排列组合高考题型总结
高考数学排列组合解题技巧总结
高考数学排列组合解题技巧总结一、定义排列：一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中任取m个元素的一个排列.组合：一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个排列.二、学习指导1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。
组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的.2、较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。
必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列.3、排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。
弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧.4、“正难则反”是处理问题常用的策略.三、常用方法1、合理选择主元例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有$A_5^3$种不同坐法。
例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。
2、“至少”型组合问题用隔板法对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成n＋1份。
例5. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？解：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有:$C_5^3$（种）3、注意合理分类元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。
13种排列组合题型详解，助你拿下高考数学卷上17分，一分都不能丢
13种排列组合题型详解，助你拿下高考数学卷上17分，一分都不能丢高考数学中有一部分知识叫做排列组合概率及统计学，大概占17分左右，但是这部分知识又不是很难，所以这17分一分都不能丢！类型一、特殊元素和特殊位置优先策略位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素；若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置；若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。
这种首先确定排列还是组合的问题，对于首位和末位无须考虑顺序，但是首位末位有优先需求，所以先要排首位和末位，末位必须是奇数，也就是从1，3,5这个里边去挑选一个即可，那首位还不能排0，在排除一个奇数，只剩下4个数可以选择，所以剩下的三位我们直接全排列就可以。
类型二、相邻/相间元素捆绑策略要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题，即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列。
审题时一定要注意关键字眼。
类型三、不相邻问题插空策略先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端。
所以这两个方法的关键字都是相邻，以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”。
“插空”有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定。
类型四、定序问题倍缩空位插入策略顺序固定问题用“除法”，对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。
当然还可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理。
类型五、重排问题求幂策略分房问题又名：住店法，重排问题求幂策略，解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。
高中数学排列组合题型总结
排列组合题型总结排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。
因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。
一． 直接法1． 特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理：25A 24A =240 2．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ，共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252 二． 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。
如上例中（2）可用间接法2435462A A A +-=252 例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个，其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个，这是不合题意的。
故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432（个） 三． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有11019A A ⨯=100中插入方法。
四． 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有44A 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：44A ×44A =576 练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（3324A C ） 2． 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（1928129A C ⋅）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列）五． 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。
2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题02 排列数组合数的计算含解析
2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题2排列数组合数类型一、排列数组合数的简单计算【例1】对于满足〃213的正整数〃，)B. A：-【例2】计算A； =.【例3】计算A：0, A：；[例4】计算C”, C；=.【例5】计算C：0, C；：【例6】计算A；, A；。
, C：, C> C；9+C：9.【例7】已知A」I=140A；,求〃的值.【例8】解不等式式<64；2【例9】证明：A；-9A； + 8A； =A：.【例10】解方程A；、= 100A：.【例11】解不等式A；<6A「.【例12】解方程：11C：=24C1【例13]解不等式：C;>3邕.■【例14】设用表示不超过x的最大整数(如0=2, ( =1),对于给定的，定义C：=xe[l,+8),则当xe I，3、时，函数C；的值域是( ), Z■ 1 「、A. —, 28B. —, 5613 」[3 )/ X Z -1 /C. 4, yju [28, 56)D. 4, y U y, 28【例15】组合数C： (〃 > r 2 1, 〃、rw Z)恒等于()B. (/7 + l)(r+l)C- C 〃心；【例16]已知C>：C鬻：C%=3:5:5,求勿、〃的值.类型二、排列数组合数公式的应用【例17】已知求的值.【例18］若C^=C祟,SeN),则曾=【例19］若C；T :C： :C：x =3：4：5,贝ij〃一m=【例20】证明：〃C：=々+ 1尤7+AC： 1 1【例21】证明：y—c y=—yc M,.占j+1 “ 〃 +w+,【例22】求证:A'-1 =A a',1 +to -l)A fl：2 .【例23】证明：£圮：=〃・2"7. *-0【例24】证明：C1 +2C2 +X3 +L +/J C P=-C0+C1 +L +C “). n n n n 2 n n n【例25】求证：C；；+C；；,+C；；+2+L +C；' =C：：；X；【例26】计算：器+%，C：+C；+C；+L +C：3【例27】证明：C°C* +Ci(/T +C2C〃-2+L +C*C° =C* .(其中AWm in , n}) to n m n a n a n〃♦k '7【例28】解方程C；»C；：；+C* + ；A>【例29】确定函数A：的单调区间.【例30】规定A： =xG-l)L G-卬+1),其中xeR , m为正整数，且A：=l,这是排列数A：(〃，勿是正整数，且加W〃)的一种推广.⑴求A二的值；⑵排列数的两个性质：①A：=〃A：二，②A：+R A：T=A：M(其中必，〃是正整数).是否都能推广到A：(xcR , m是正整数)的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由.专题2排列数组合数类型一、排列数组合数的简单计算【例1】对于满足〃213的正整数“，(〃-5)仅-6)...仅一12)=()A. A，B. A：_5C. A：D. A；，【解析】C.【例2】计算耳=.【解析】210【例3】计算A；。
排列组合知识点归纳总结高考题
排列组合知识点归纳总结高考题编号一：排列组合基础知识在高考数学中，排列组合是一个重要的考点。
掌握排列组合知识对于解决相关题目至关重要。
本文将对排列组合的基础知识进行归纳总结，并配以高考题进行实例分析。
1. 排列排列是从若干个元素中取出一部分元素，按照一定的顺序进行排列，形成不同的序列。
排列有两种情况：有重复元素的排列和无重复元素的排列。
1.1 有重复元素的排列当从 n 个元素中取出 r 个进行排列时（r ≤ n），若这些元素中有重复元素，则排列的总数为 P(n;r) = n! / (n1! × n2! × ... × nr!)，其中 ni 表示第 i 个元素的个数。
【例题1】：某班上有 10 名学生，其中 5 名男生和 5 名女生，现要从这 10 人中选出 3 人组成一支足球队。
求不同的组队方案数。
解：由于男生和女生分别占一定数量，该问题属于有重复元素的排列。
根据公式可知，解法为 P(5;3) = 5! / (2! × 3!) = 10 种。
1.2 无重复元素的排列当从 n 个不同元素中取出 r 个进行排列时（r ≤ n），排列的总数为P(n;r) = n! / (n-r)!。
【例题2】：有 9 个不同的球队参加一场篮球比赛。
其中第一名和第二名分别获得冠军和亚军。
请问这 9 支球队的比赛有多少种可能的结果？解：由于每个球队的位置是不同的，问题属于无重复元素的排列。
根据公式可知，解法为 P(9;2) = 9! / 7! = 72 种。
2. 组合组合是从若干个元素中取出一部分元素，不考虑顺序，形成不同的组合。
同样地，组合也有两种情况：有重复元素的组合和无重复元素的组合。
2.1 有重复元素的组合当从 n 个元素中取出 r 个进行组合时（r ≤ n），若这些元素中有重复元素，则组合的总数为 C(n;r) = (n+r-1)! / (r! × (n-1)!)。
排列组合常考题型
排列组合常考题型排列组合是数学中研究事物的安排方式的一门学问，常用于计算不同的组合可能性数量。
在考试和竞赛中，排列组合的题目类型多样，以下是一些常见的题型：1. 排列题：- 求解从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的排列数，公式为P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表示阶乘。
- 有重复元素的排列问题，如n个a和m个b的排列方式。
- 带有限制条件的排列问题，例如要求某些元素必须相邻或者某些位置上的元素必须满足特定条件。
2. 组合题：- 求解从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的组合数，公式为C(n, m) = n! / [m! * (n-m)!]。
- 组合数的性质和应用，如集合的子集个数、二进制数的1的个数等。
3. 分堆问题：- 将n个物品分成k个非空组的方法数。
- 把n个物品分成任意数量的非空组的方法数。
4. 分配问题：- 将不同类型的物品分配到不同组或位置的问题，可能涉及多重集合的排列组合。
5. 错排问题（Derangement）：- 求没有任何一个元素出现在原位置上的排列数，记为D(n)。
6. 利用包含与排除原理计算至少满足一个条件的情况数。
7. 使用递推关系和母函数解决复杂的排列组合问题。
8. 概率与统计中的应用，比如桥牌、彩票中奖计算等。
9. 利用组合几何学解决空间中的排列组合问题，例如线段、圆周上的点分布等。
10. 置换群、轨道和稳定化子等高级组合结构问题，常见于高等数学和组合数学领域。
这些题型通常需要学生掌握基本的排列组合概念、性质以及解题技巧，并能根据具体问题的约束条件灵活运用公式和策略来解决问题。
高考排列组合常见题型及解题策略
可重复的排列求幂法相邻问题捆绑法相离问题插空法元素分析法〔位置分析法〕多排问题单排法定序问题缩倍法〔等几率法〕标号排位问题〔不配对问题〕不同元素的分配问题〔先分堆再分配〕一样元素的分配问题隔板法：多面手问题〔分类法---选定标准〕走楼梯问题〔分类法与插空法相结合〕排数问题〔注意数字“0〞〕染色问题“至多〞“至少〞问题用间接法或分类: 十三．几何中的排列组合问题:排列组合常见题型及解题策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客〞，能重复的元素看作“店〞，那么通过“住店法〞可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】〔1〕有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？〔2〕有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？〔3〕将3封不同的信投入4个不同的邮筒，那么有多少种不同投法？【解析】：〔1〕43〔2〕34〔3〕34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有〔〕A、38B、83C、38A D、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店〞，3项冠军看作3个“客〞，他们都可能住进任意一家“店〞，每个“客〞有8种可能，因此共有38种不同的结果。
所以选A二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B视为一人，且B固定在A的右边，那么此题相当于4人的全排列，4424A种【例2】〔2021卷理〕3位男生和3位女生共6位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，那么不同排法的种数是〔 〕 A.360 B.188 C.216 D.96【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432 种其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法 ：元素相离〔即不相邻〕问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A 种【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不同的插法〔具体数字作答〕 【解析】：111789A A A =504【例3】 高三〔一〕班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的 演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，那么不同排法的种数是 【解析】：不同排法的种数为5256A A ＝3600【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进展，工 程丙必须在工程乙完成后才能进展，有工程丁必须在工程丙完成后立即进展。
排列组合知识点归纳总结高考
排列组合知识点归纳总结高考一、简介排列组合是数学中的一个重要分支，也是高考数学考试中常见的题型。
掌握排列组合的知识，不仅可以帮助我们解决实际问题，还有助于提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
本文将对排列组合的基本概念、计算公式以及应用进行总结和归纳。
二、基本概念1. 排列排列是从给定的若干个元素中，取出一部分元素，按照一定的顺序进行排列。
排列的计算公式为：A(n,m) = n! / (n - m)!2. 组合组合是从给定的若干个元素中，取出一部分元素，不考虑其顺序，进行组合。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n - m)!)三、排列组合的计算公式1. 排列当元素可以重复使用时，排列的计算公式为：A'(n,m) = n^m2. 组合当元素可以重复使用时，组合的计算公式为：C'（n，m）= C（n+m-1，m）四、应用1. 随机抽奖在某次抽奖活动中，参与者共10人，要从中抽取3名幸运儿，问有多少种可能的结果？解题思路：这是一个组合问题，从10人中抽取3人，不考虑顺序。
根据组合的计算公式C(n,m) = n! / (m! * (n - m)!), 可以得出C(10,3) = 10! / (3! * (10 - 3)!) = 120 种可能的结果。
2. 配对组合在某次活动中，有5对情侣参加，要求每对情侣都不跟自己的伴侣配对，问有多少种可能的配对方式？解题思路：这是一个排列问题，每对情侣都有两种可能的配对方式。
根据排列的计算公式A(n,m) = n! / (n - m)!, 可以得出A(10,5) = 10! / (10 - 5)! = 30,240 种可能的配对方式。
3. 买彩票中奖某彩票号码由6个数字组成，开奖时从0-9之间随机选择6个数字作为中奖号码，以每注彩票中奖概率为4‰，购买一张彩票的中奖概率是多少？解题思路：这是一个组合问题，从10个数字中选择6个数字作为中奖号码，不考虑顺序。
微考点7-3 排列组合11种常见题型总结分析(11大题型)-【高频考点解密】2024年高考数学二轮卷
微考点7-3 排列组合11种常见题型总结分析（11大题型）题型一：特殊元素与特殊位置优待法解题思路：对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。
【精选例题】【例1】从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）（A）280种（B）240种（C）180种（D）96种【例2】7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（）种站排方式．A．672B．864C．936D．1056【例3】将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A活动，则不同的分配方法有种．（用数字作答）【题型专练】1．某校从8名教师中选派4名教师到4个边远地区支教（每地1人），要求甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，则不同的选派方案有______种．2．某医院安排王医生、李医生、赵医生、张医生、孙医生5人到三个社区开展主题为“提高免疫力，预防传染病”的知识宣传活动，要求每人只能参加一个社区的活动，每个社区必须有人宣传，若李医生、张医生不安排在同一个社区，孙医生不单独安排在一个社区，则不同的安排方法有种．3．4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（）A．288B．336C．368D．4124．某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有种.题型二：分类讨论思想解题思路：遇到情况比较复杂，我们可以通过分类讨论，分出几种情况，再用分类加法原理进行计算【精选例题】【例1】（2023全国卷乙卷真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）A．120B．60C．30D．20【例2】（2023全国卷甲卷真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．【例3】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖，将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况数（）A．60B．40C．30D．80【题型专练】1.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（）A．20种B．16种C．12种D．8种2．某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有___种．题型三：插空法（不相邻问题）解题思路：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可【例1】黄金分割最早见于古希腊和古埃及.黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的a，b 两段，使得长线段a 与原线段a b +的比等于短线段b 与长线段a 的比，即()::a a b b a +=，其比值约为0.618339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为（ ）A ．180B ．210C ．240D ．360【例2】把5件不同产品A ，B ，C ，D ，E 摆成一排，则（ ） A ．A 与B 相邻有48种摆法B ．A 与C 相邻有48种摆法C ．A ，B 相邻又A ，C 相邻，有12种摆法D ．A 与B 相邻，且A 与C 不相邻有24种摆法【例3】有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（ ）A ．12B ．48C ．72D ．96【题型专练】1．有互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有摆放方法（ ）A ．120种B ．32种C ．24种D ．16种2．某单位为葫芦岛市春节联欢会选送了甲、乙两个节目，节目组决定在原有节目单中6个节目的相对顺序保持不变的情况下填加甲乙两个节目，若甲、乙演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为 .（用数字作答）3．四名男生和两名女生排成一排，要求两位女生不相邻，则不同排法的种数是 .（结果用数字作答）题型四：捆绑法（相邻问题）解题思路：对于某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素捆绑，再将它与其它元素在一起排列，注意捆绑部分的内部顺序。
高考数学题型归纳汇总
高考数学题型归纳汇总高考数学题型：排列组合篇1. 驾驭分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简洁的应用问题。
2. 理解排列的意义，驾驭排列数计算公式，并能用它解决一些简洁的应用问题。
3. 理解组合的意义，驾驭组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简洁的应用问题。
4. 驾驭二项式定理和二项绽开式的性质，并能用它们计算和证明一些简洁的问题。
5. 了解随机事务的发生存在着规律性和随机事务概率的意义。
6. 了解等可能性事务的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事务的概率。
7. 了解互斥事务、相互独立事务的意义，会用互斥事务的概率加法公式与相互独立事务的概率乘法公式计算一些事务的概率。
8. 会计算事务在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.高考数学题型：立体几何篇1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不行缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟识公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，驾驭立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维实力和空间想象实力。
2. 判定两个平面平行的方法：(1)依据定义--证明两平面没有公共点;(2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;(3)证明两平面同垂直于一条直线。
高考数学题型：导数应用篇1. 导数概念的理解。
2. 利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值。
复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。
课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。
3. 要能正确求导，必需做到以下两点：(1)娴熟驾驭各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。
排列组合题型总结
排列组合题型总结
排列组合是数学中的一个重要概念，在计算中经常用到，以下是排列组合题型的总结：
1. 排列问题：
排列指的是从n个元素中取出m个元素进行排列的问题，其公式为：
A(n, m) = n!/(n-m)!
主要注意点：
- 选取的元素是有序的。
- 选取m个元素后，这m个元素之间是有先后顺序的。
2. 组合问题：
组合指的是从n个元素中选取m个元素的问题，其公式为：
C(n, m) = n!/((n-m)!*m!)
主要注意点：
- 选取的元素是无序的。
- 选取的元素数量固定为m，之间没有先后顺序。
3. 常见的排列组合问题：
- 从n个元素中取出m个元素进行排列，且要求选取的元素必须包含某几个元素。
- 从n个不同的元素中取出m个，其中有k个元素必须选取，且这k个元素的排列方式已经确定，求剩余元素的排列方式。
- 对于排列或组合问题，统计满足特定条件的个数。
以上是排列组合问题的常见形式，需要掌握常用的排列组合公式，并根据具体问题理解是否需要考虑先后顺序或特定条件。
完整版)高考排列组合知识点归纳
完整版)高考排列组合知识点归纳第四讲：排列组合一、分类计数原理与分步计数原理1.分类加法计数原理：对于一件事情，有两种不同的方案，第一类方案有m种不同的方法，第二类方案有n种不同的方法，那么完成这件事情共有m+n种不同的方法。
2.分步乘法计数原理：完成一件事情需要两个步骤，第一步有m种不同的方法，第二步有n种不同的方法，那么完成这件事情共有m×n种不同的方法。
二、排列数1.组合：从n个元素中取出m个元素，记作Cnmn!/m!(n-m)!2.排列：1）全排列：将n个元素全排列，记作Ann!2）从n个元素中取出m个元素，并将这m个元素全排列，记作Anmn!/ (n-m)!三、二项式定理a+b)nC n 0 a n b 0C n 1 a n-1 b 1 C n n abn1.二次项系数之和：Cnr2.展开式的第r项：Tr+1Cnr例题1：(x-1)4的展开式中的常数项是（）A、6.B、4.C、-4.D、-6例题2：在二项式(x-2y) 5的展开式中，含x2y3的项的系数是（）A、-20.B、-3.C、6.D、20 随堂训练：1、在二项式(x21)5的展开式中，含x4的项的系数是（）A、-10.B、10.C、-5.D、52、(1/x-2x25的展开式中的常数项是（）A、5.B、-5.C、10.D、-103、在二项式(x+3y)6的展开式中，含x2y4的项的系数是（）A、45.B、90.C、135.D、2704、已知关于x的二项式(x+3an的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为（）A、1.B、±1.C、2.D、±25、(1-2x)(1-3x)4的展开式中，x2的系数等于？6、(ax21/2x-2)7的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中常数项为？7、(x22)2x的展开式中常数项是70，则n=？若展开式(ax+)(2x+)5中常数项为-40，则a=？四、排列组合题型总结解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题，弄清要做什么事；2.确定采取分步还是分类，或分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类；3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素；4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
高考排列组合知识点总结及典型例题
高考排列组合知识点总结及典型例题知识点总结：一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式： 1.()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---=……2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(2)![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式：()()()C A A n n n m m n m n m n mn m mm==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 nn n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注： 若12m m 1212m =m m +m n nn C C ==则或四、二项式定理.1. ⑴二项式定理：nn n r r n r n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b aC T rr n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n是偶数时，中间项是第12+n项，它的二项式系数2nn C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C最大.③系数和：1314201022-=++=+++=+++n n n n n n nn n n n C C C C C C C C典例分类讲解：一、合理分类与准确分步法(利用计数原理)解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
排列组合的21种经典题型及解法
排列组合的21种经典题型及解法1.单选题：单选题要求考生从给定的选项中选出一个最佳答案。
解法：根据题目的问题和给定的选项，仔细分析，排除干扰，找出最佳答案。
2.多选题：多选题要求考生从给定的选项中选出多个最佳答案。
解法：根据题目的问题和给定的选项，仔细分析，排除干扰，找出最佳答案，并判断是否有多个最佳答案。
3.判断题：判断题要求考生根据题目的问题和给定的信息，判断给出的答案是正确还是错误。
解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，判断出正确答案。
4.填空题：填空题要求考生根据题目的问题和给定的信息，填入正确的答案。
解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，填入正确的答案。
5.问答题：问答题要求考生根据题目的问题和给定的信息，给出详细的答案。
解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，给出详细的答案。
6.排序题：排序题要求考生根据题目的问题和给定的信息，按照要求的顺序进行排列。
解法：根据题目的问题和给定的佶息，仔细分析，排除干扰，按照要求的顺序进行排列。
7.计算题：计算题要求考生根据题目的问题和给定的信息，运用数学计算得出答案。
解法:根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，运用数学计算得出答案。
8.简答题：简答题要求考生根据题目的问题和给定的信息，给出简短的答案。
解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，给出简短的答案。
9.完形填空：完形填空要求考生根据文章的内容，从文中空缺处填入正确的单词或词组。
解法：根据文章的内容，仔细分析，排除干扰，从文中空缺处填入正确的单词或词组。
10.阅读理解：阅读理解要求考生根据文章的内容，回答问题或做出判断。
解法：根据文章的内容，仔细分析，排除干扰，回答问题或做出判断。
11.词汇题：词汇题要求考生根据题目的问题和给定的单词，找出正确的答案。
解法：根据题目的问题和给定的单词，仔细分析，排除干扰，找出正确的答案。
12.语法题：语法题要求考生根据题目的问题和给定的句子，选择正确的语法形式。
高考数学排列组合与概率题型讲解
高考数学排列组合与概率题型讲解在高考数学中，排列组合与概率是非常重要的知识点，也是很多同学感到头疼的部分。
今天，咱们就来好好梳理一下这部分的题型，帮助大家更轻松地应对高考。
一、排列组合题型1、排列问题排列是指从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列。
比如，从 5 个不同的球中取出 3 个进行排列，有多少种不同的排法。
解决排列问题的关键是要明确元素的选取是否有顺序要求。
如果有顺序要求，就用排列数公式 A(n,m) ＝ n! ／（n m)！来计算。
例：有 5 个不同的班级，要从中选出 3 个班级按照一定的顺序进行参观，有多少种不同的选法？解：这是一个排列问题，因为班级的选取有顺序之分。
根据排列数公式，A(5,3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 5×4×3 ＝ 60（种）2、组合问题组合是指从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素组成一组，不计较组内各元素的次序。
比如，从5 个不同的球中取出3 个组成一组，有多少种不同的组法。
解决组合问题用组合数公式 C(n,m) ＝ n! ／ m!（n m)！。
例：从 10 名学生中选出 5 名参加比赛，有多少种选法？解：这是一个组合问题，C(10,5) ＝ 10! ／ 5!（10 5)！＝ 252（种）3、排列组合综合问题有些题目会同时涉及排列和组合的知识，需要我们仔细分析，分步或分类来解决。
例：从 5 名男生和 3 名女生中选出 3 人参加活动，其中至少有一名女生，有多少种选法？解：可以分为两种情况，一种是有 1 名女生 2 名男生，另一种是有2 名女生 1 名男生。
有 1 名女生 2 名男生的选法：C(3,1)×C(5,2) ＝ 3×10 ＝ 30（种）有 2 名女生 1 名男生的选法：C(3,2)×C(5,1) ＝ 3×5 ＝ 15（种）所以，总的选法为 30 ＋ 15 ＝ 45（种）二、概率题型1、古典概型古典概型具有两个特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等。
(完整版)排列组合知识点总结+典型例题及答案解析
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=L L L 注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
2024年高考数学专项复习排列组合12种题型归纳(解析版)
排列组合12种题型归纳1．排列与组合的概念名称定义区别排列从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数．用符号“A m n ”表示A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！(n －m )！(n ，m ∈N *，且m ≤n )(1)A n n ＝n ！；(2)0！＝1C m n ＝A m nm ！组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号“C m n ”表示C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(n ，m ∈N *，且m ≤n )(1)C n n ＝C 0n ＝1；(2)C m n ＝C n －m n ；(3)C m n ＋1＝C mn ＋C m －1n【题型一】人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：2024年高考数学专项复习排列组合12种题型归纳（解析版）【变式演练】1.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A．30B．36C．60D．722.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．144B．120C．72D．483.2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙､高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（）A．28种B．32种C．36种D．44种【题型二】人坐座位模型2：染色（平面）【典例分析】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域颜色不相同的概率是A.1/7 b.2/7 c.3/7 D.4/7【变式演练】1.正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种.A．420B．600C．720D．7802.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A ．40320种B ．5040种C ．20160种D ．2520种3.如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A ．192B ．336C ．600D ．以上答案均不对【题型三】人坐座位模型3：染色（空间）:【典例分析】如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A ．6种B ．9种C ．12种D ．36种【变式演练】1.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是()A．420B．210C．70D．352.在如图所示的十一面体ABCDEFGHI中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为__________．3.用五种不同颜色给三棱台ABC DEF的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有___________种.【题型四】书架插书模型【典例分析】有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．168B．260C．840D．560【变式演练】A aB bC cD d1.从A，B，C，D，a，b，c，d中任选5个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列（即按(),(),(),()先后顺序，但大小写可以交换位置，如AaBc或aABc都可以），这样的情况有__________种．（用数字作答）2.．在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法3.书架上有排好顺序的6本书，如果保持这6本书的相对顺序不变，再放上3本书，则不同的放法共有（）.A．210种B．252种C．504种D．505种【题型五】球放盒子模型1：球不同，盒子也不同【典例分析】已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（）A．150B．240C．390D．1440【变式演练】1.将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（）A．30种B．90种C．180种D．270种2.将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球分别放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为A．17B．16C．625D．7243.将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法种数为（）A．15B．30C．20D．42【题型六】球放盒子模型2：球相同，盒子不同【典例分析】把1995个不加区别的小球分别放在10个不同的盒子里，使得第i 个盒子中至少有i 个球（1,2,...,10i ），则不同放法的总数是A ．101940C B ．91940C C ．101949C D ．91949C 【变式演练】1.将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（）A ．22B ．25C ．20D ．482.把20个相同的小球装入编号分别为①②③④的4个盒子里，要求①②号盒每盒至少3个球，③④号盒每盒至少4个球，共有种方法.A ．39C B ．319C C ．3494C AD ．143205C C 3.将7个相同的小球放入A ，B ，C 三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（）种不同的放法．A ．60种B ．36种C ．30种D ．15种【题型七】相同元素排列模型1：数字化法【典例分析】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓才加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A.24B.18C.12D.9【变式演练】1.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？A ．5B ．25C ．55D ．752.跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种3.如图所示，甲､乙两人同时出发，甲从点A 到B ，乙从点C 到D ，且每人每次都只能向上或向右走一格.则甲､乙的行走路线没有公共点的概率为（）.A ．37B ．57C ．514D ．1321【题型八】相同元素排列模型2：空车位停车等【典例分析】1.某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A．240B．360C．480D．7202.马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有种【变式演练】1.某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是A．48B．54C．72D．842.现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有_________种.3.地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库.当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有________种.【题型九】相同元素排列模型3：上楼梯等【典例分析】欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有A．34种B．55种C．89种D．144种【变式演练】1.斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..，在数学上，斐波那契数列以如下被递推的方法定义：()11f =，()21f =，()()()()122,f n f n f n n n N *=-+-≥∈.这种递推方法适合研究生活中很多问题.比如：一六八中学食堂一楼到二楼有15个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有（）种上楼方法.A ．377B ．610C ．987D ．15972.从一楼到二楼共有12级台阶，可以一步迈一级也可以一步迈两级，要求8步走完，则从一楼到二楼共有走法．A ．12B ．8C ．70D ．663.某人从上一层到二层需跨10级台阶.他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步.从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶.则他从一层到二层可能的不同过程共有（）种.A ．6B ．8C ．10D ．122010年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题【题型十】多事件限制重叠型【典例分析】班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一个发言，且甲、乙都发言时丙不能发言，则甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为A ．217B ．316C ．326D ．328【变式演练】1.某同学计划用他姓名的首字母,T X ，身份证的后4位数字（4位数字都不同）以及3个符号,,αβθ设置一个六位的密码．若,T X 必选，且符号不能超过两个，数字不能放在首位和末位，字母和数字的相对顺序不变，则他可设置的密码的种数为（）A ．864B ．1009C ．1225D ．14412.2019年11月19日至20日，北京师范大学出版集团携手北师大版数学教材编写组在广东省珠海市联合举办了以“新课程，我们都是追梦人”为主题的北师大版中小学数学教材交流研讨会，会议期间举办了一场“互动沙龙”，要求从6位男嘉宾，2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中1位，如果2位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是（）A ．1860B ．1320C ．1140D ．10203.有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有______种不同的停放方法．（用数字作答）【题型十一】多重限制分类讨论【典例分析】高一新生小崔第一次进入图书馆时看到了馆内楼梯（图1），她准备每次走1级或2级楼梯去二楼，并在心中默默计算这样走完25级楼梯大概有多少种不同的走法，可是当她走上去后发现（图2）原来在13级处有一宽度达1.5米的平台，这样原来的走楼梯方案需要调整，请问，对于剩下的15级()123+楼梯按分2段的走法与原来一次性走15级的走法相比较少了______种．【变式演练】1.市内某公共汽车站有7个候车位(成一排),现有甲，乙，丙，丁，戊5名同学随机坐在某个座位上候车,则甲，乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为______；（用数字作答）3位同学相邻，另2位同学也相邻，但5位同学不能坐在一起的不同的坐法种数为______.（用数字作答）2.2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有()种．A ．120B ．156C ．188D ．2403.甲、乙、丙、丁等六名退休老党员相约去观看党史舞台剧《星火》．《星火》的票价为50元/人，每人限购一张票．甲、乙、丙三人各带了一张50元钞，其余三人各带了一张100元钞．他们六人排成一列到售票处买票，而售票处一开始没有准备50元零钱，那么他们六人共有多少种不同排队顺序能使购票时售票处不出现找不出钱的状态．（）A ．720B ．360C ．180D ．90【题型十二】综合应用【典例分析】设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需Ti 分钟，假设Ti 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少()A ．从Ti 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从Ti 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近Ti 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变【变式演练】1.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（）A ．120B ．112C ．110D ．162.设A 是集合{}12345678910，，，，，，，，，的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A 的个数为（）A ．32B ．56C ．72D ．843.为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲､乙､丙､丁､戊共五名学生担任冰球､冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人.则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（）A．34B．23C．56D．12【经典题专练】1.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则,A C区域涂色不相同的概率为()A．17B．27C．37D．472.将一个四棱锥S ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数是A．540B．480C．420D．3603.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，现采用抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级3人不相邻的概率为（）A．512B．712C．914D．5144.10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A ．2263C A B ．2666C A C ．2266C AD ．2265C A 5.将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A ．90B ．135C ．270D ．3606.现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（）A ．28B ．24C ．18D ．167.某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为A ．16B ．18C ．32D ．728.校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有__________种．（用数学作答）9.如图，在某城市中，M ､N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A ､2A ､3A ､4A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M ､N 处的甲､乙两人分别要到N ､M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N ､M 处为止.则下列说法正确的是（）A ．甲从M 到达N 处的方法有120种B ．甲从M 必须经过2A 到达N 处的方法有64种C ．甲､乙两人在2A 处相遇的概率为81400D ．甲､乙两人相遇的概率为1210.有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.11.2020年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为1P ，第二批派出两名医务人员的年龄最大者为2P ，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为3P ，则满足123P P P <<的分配方案的概率为（）A ．13B ．23C ．120D ．3412.如图，在某海岸P 的附近有三个岛屿Q ，R ，S ，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有（）.A ．24种B ．20种C ．16种D ．12种13.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A ．每人都安排一项工作的不同方法数为54B ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A C C ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C CC C A +D ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +14.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下：数字123456789形式ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨ其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示.（如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（）A ．87B ．95C ．100D ．10315.如图为33⨯的网格图，甲、乙两人均从A 出发去B 地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到达任何一个位置（网格交点处）时向右走过的格数不少于向上走过的格数，记甲、乙两人所走路径的条数分别为M、 的值为（）N，则M NA．10B．14C．15D．16排列组合12种题型归纳1．排列与组合的概念名称定义区别排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．用符号“A m n”表示A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)(1)A n n＝n！；(2)0！＝1C m n＝A m nm！组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号“C m n”表示C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)(1)C n n＝C0n＝1；(2)C m n＝C n－m n；(3)C m n＋1＝C m n＋C m－1n【题型一】人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：解答（1）：先捆绑俩女生，再排列捆绑女生，然后排列四个男生，两个“女生”插孔即可，2242 3245 C A A A（2）分类讨论24422422243445224542451; (2); (3)2C A A A A A C A A A （）都不相邻：A 两队各自相邻：一对两人相邻：！【方法技巧】人坐座位模型：特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列。
排列组合总结(含答案)
1．（站队模型）4男3女站成一排：①女生相邻；5353A A ⋅②女生不相邻；4345A A ⋅③女生从高到低排；47A④甲不在排头，乙不在排尾；解析：当甲在排尾时有66A ；当甲不在排尾时有115555A A A ⋅⋅2．（组数模型）由0到9这10个数字组成没有重复数字的四位数： ①奇数；末位有112588A A A②偶数；解析：末位为0，有39A ；末位不为0，有112488A A A ⋅⋅③被5整除的数；解析：末位为0，有49A ；末位为5，有1288A A ⋅④比3257大的数； 解析：首位为4到9时有396A ；首位为3时281749A ⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩百位为到时有6十位为6到9时有4A 百位为2时十位为5时有2 ⑤被3整除的三位数．12333311123322111333332A A A C C C A C C C A ⎧⋅+⎪⎧⋅⋅⋅⎨⎪⎨⎪⋅⋅⋅⎪⎩⎩都从一个集合中选时有含0时有各选一个时有不含0时有3．（分组分配问题）6个不同的小球：①放入三个不同的盒子；解析：63②放入三个不同的盒子，每盒不空；解析：4363321363132226426222:A C C C A C C C ⎧⎪⋅⋅⋅⎨⎪=++⋅⋅⎩6＝4＋1＋1：有C 6=3+2+1:有有③分三组（堆），每组至少一个；解析：41162122321631222642336222:C C A C C C C C C A ⎧⋅⋅⎪⎪⎪⋅⋅⎨⎪⋅⋅⎪=++⎪⎩C 6＝4＋1＋1：有6=3+2+1:有有4．6个相同的小球：①放入三个不同的盒子；解析：相当于分名额，盒子可空：插板法：28C ②放入三个不同的盒子，每盒不空；25C ③恰有一个空盒．解析：相当于两个盒子不空：1253C C ⋅5．6名同学报名三科竞赛：①每人限报一科；63②每科限报一人；366．（选派问题）5男3女：①选2人开会；28C②选正副班长，至少1女；2285A A - ③选4人开会，至多2男；解析：即至少2女，22313535C C C C ⋅+⋅④选4人跑4×100接力，至少2女．解析：()2231435354C C C C A ⋅+⋅⋅。
高考数学复习考点题型归类解析46排列与组合(解析版)
高考数学复习考点题型归类解析专题46排列组合一、关键能力1. 理解排列、组合的概念，掌握排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题. （1）考查两个计数原理；（2）考查排列组合问题、概率计算中两个计数原理的应用．（3）两个计数原理是解决排列、组合问题的基本方法，同时又能独立地解决一些简单的计数问题，通常与排列组合问题或概率计算问题综合考查． 二、必备知识1. 排列的相关概念及排列数公式(1)排列的定义：从个不同元素中取出 ()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用表示．(3)排列数公式：这里并且(4)全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，(叫做n 的阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定.2.组合的相关概念及组合数公式n m m n ≤n m n m m n ≤n m m n A ()()()121mn A n n n n m =---+,n m N∈m n ≤n n ()()1221!n n A n n n n =--⋅⋅=()!!m n n A n m =-0!1=(1)组合的定义：从个不同元素中取出 ()个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用表示．[来源:学.科.网](3)组合数的计算公式：，由于，所以.(4)组合数的性质：①；②；③.三、高频考点+重点题型 考点一 、排列问题例1-1、有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有( )A ．66种B ．60种C ．36种D ．24种 【答案】B 【分析】首先利用全排列并结合已知条件即可求解. 【详解】首先对五名学生全排列，则共有55120A =种情况，又因为只有甲在乙的左边或右边两种情况， 所以甲不排在乙的左边的不同的站法共有55602A =种情况. 故选：Bn m m n ≤n m n m m n ≤n m m n C ()()()()121!!!!mmnnmm n n n n m A n C A m m n m ---+===-0!1=01n C =m n m n n C C -=11m m m n n n C C C -+=+11r r n n rC nC --=例1-2、男生甲和女生乙及另外2男2女共6位同学排成一排拍照，要求男女生相间且甲和乙相邻，共（ ）种不同排法. 【答案】40 【分析】给6个人编号，在进行分类讨论，即可求解 【详解】不妨给6人从左至右依次编号为：123456，先讨论男女男女男女的排法， 若甲排1号位，则乙只能排二号位，剩下两男两女全排列，共有222214A A ⋅⋅=种；若甲排3号位，则乙可以选择2号位或4号位，剩下两男两女全排列，共有222228A A ⋅⋅=种； 若甲排5号位，则乙可以选择4号位或6号位，剩下两男两女全排列，共有222228A A ⋅⋅=种； 合计20种排法，若再将男女调换位置，则符合条件的总排法有20240⨯=种， 故答案为：40例1-3、名男同学、名女学生和位老师站成一排拍照合影，要求位老师必须站正中间，队伍左右两端不能同时是一男学生与一女学生，则总共有__________种排法． 【答案】 【解析】当两端都是男生时：当两端都是女生时：共有种排法 故答案为例2-1、用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有( )3322576242342288A A A ⨯⨯=242342288A A A ⨯⨯=576576A ．96个B ．78个C ．72个D ．64个 答案 B解析 根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则万位数必须是2,3,4,5这4个数字中的一个，当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A 44＝24(个)；当万位数是2,4,5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A 44－A 33)＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求．故选B. 例2-2、用0,1,2,3,4,5这6个数字． (1)能组成多少个无重复数的四位偶数？(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)? (1)156 (2)132(1)符合要求的四位偶数可分为三类： 第一类：0在个位时,有A 35个；第二类：2在个位时,首位从1,3,4,5中选定1个(A 14种),十位和百位从余下的数字中选,有A 24种,于是有A 14·A 24个；第三类：4在个位时,与第二类同理,也有A 14·A 24个．由分类加法计数原理得,共有A 35＋2A 14·A 24＝156(个)．(2) 先排0,2,4,再让1,3,5插空,总的排法共A 33A 34＝144(种),其中0在排头,将1,3,5插在后3个空的排法共A 22·A 33＝12(种),此时构不成六位数,故总的六位数的个数为A 33A 34－A 22A 33＝144－12＝132(种).对点练1．（2021·浙江高二期中）将编号为、、、、的个小球全部放入、、三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（）123455A B CA ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】将编号为、、、、的个小球，根据小球的个数可分为、、或、、两组. ①当三个盒子中的小球个数分别为、、时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，故个小球的编号只能是、、的在一个盒子里，故只有一种分组方法，再分配到三个盒子，此时共有种分配方法；②当三个盒子中的小球个数分别为、、时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，此时放个小球的盒子中小球的编号分别为、或、或、或、或、或、，共种，再分配到三个盒子中，此时，共有种.综上所述，不同的放法种数为种. 故选：A.对点练2.（2021·江西·横峰中学高二期中（理））现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是________.（用数字作答） 【答案】336 【分析】根据排列定义及公式即可求解. 【详解】423648601234551131221133135336A =1222()1,3()2,4()1,3()2,5()1,4()2,5()1,4()3,5()1,5()2,4()2,4()3,5633636A =64362+=从8名学生干部中选出3名同学排列的种数为38876336A=⨯⨯=，故共有336种不同的选派方案.故答案为：336考点二.组合问题例3-1、(2018·全国Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有______种．(用数字填写答案)答案16解析方法一按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C12C24种，有2位女生参加有C22C14种．故所求选法共有C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种)．方法二间接法：从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种情况，没有女生参加的情况有C34种，故所求选法共有C36－C34＝20－4＝16(种)．例3-2．从7名男生，5名女生中选取5人，至少有2名女生入选的种数为________．答案596解析“至少有2名女生”的反面是“只有一名女生或没有女生”，故可用间接法，所以有C512－C1515C47－C57＝596(种)．例4-1．(2021·衡水中学调研)为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．答案182解析甲、乙中裁一人的方案有C12C38种，甲、乙都不裁的方案有C48种，故不同的裁员方案共有C12C38＋C48＝182(种)．例4-2.（2021·河南高考模拟（理））安排，，，，，，共6名义工照顾A B C D E F甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工不安排照顾老人甲，义工不安排照顾老人乙，则安排方法共有（ ） A.30种B.40种C.42种D.48种 【答案】C 【解析】名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：种安排方法其中照顾老人甲的情况有：种照顾老人乙的情况有：种照顾老人甲，同时照顾老人乙的情况有：种符合题意的安排方法有：种本题正确选项：对点练1、甲、乙两人从4门课程中各选修2门．求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？ (2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？ (1)24 (2)30(1)解法1：甲或乙中一人先选,方法有C 24,另一人再选,有C 12C 12种,则选法种数共有C 24C 12C 12＝24(种)．解法2：先确定相同的那一门,有C 14种,再甲、乙各选一本不同的,有A 23种,则选法种数共有C 14·A 23＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C 24C 24,又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C 24种,因此满足条件的不同选法种数为C 24C 24－C 24＝30(种).对点练2、.（湖南高考真题）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允A B 62264C C 90=A 1254C C 30=B 1254C C 30=A B 1143C C 12=∴9030301242--+=C许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ） A.10B.11C.12D.15 【答案】B 【解析】由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C 42=6个；第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有C 41=4个；第三类：与信息0110有没有两个对应位置上的数字相同有C 40=1个，由分类计数原理与信息0110至多有两个数字对应位置相同的共有6+4+1=11个，故选B ．对点练3．（2021·浙江温州·高三月考）一个盒子里装有7个大小､形状完成相同的小球，其中红球4个，编号分别为1，2，3，4，黄球3个，编号分别为1，2，3，从盒子中任取4个小球，其中含有编号为3的不同取法有________种. 【答案】30 【解析】从反面考虑，总数为,不含有编号为3的总数为,即得解. 【详解】从反面考虑，总数为,不含有编号为3的总数为,所以含有编号为3的总数为.故答案为：30.47C 45C 47C 45C 447530C C -=变式4.(2021·杭州二模)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种 D共有4个不同的偶数和5个不同的奇数,要使和为偶数,则4个数全为奇数,或全为偶数,或2个奇数和2个偶数,故不同的取法有C 45＋C 44＋C 25C 24＝66(种),故选D ．考点三、排列与组合的综合问题例5、（多选题）2021年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，滨州市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（） A ．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种 B ．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种C ．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种D ．所有不同分派方案共种 【答案】ABC 【解析】对于选项A ：若企业没有派医生去，每名医生有种选择，则共用种，若企业派1名医生则有种，所以共有种.对于选项B ：若每家企业至少分派1名医生，则有种， A B C C A 34C 24216=C 134232C ⋅=163248+=211342132236C C C A A ⋅=对于选项C ：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到企业，若甲企业分人，则有种；若甲企业分 人，则有种，所以共有种.对于选项D ：所有不同分派方案共有种. 故选：例6、（2017·浙江高考真题）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答） 【答案】660 【解析】第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为.对点练1.（2021·浙江·诸暨市教育研究中心高二期末）用红、黄、蓝三种颜色填涂如图所示的六个方格，要求有公共边的两个方格不同色，则不同的填涂方法有（ ）A ．96种B ．48种C ．144种D ．72种 【答案】D 【分析】A 2336A =12123126C C A =6612+=43ABC 13316240C C =422412A =4012480⨯=22226215C C =422412A =1512180⨯=480180660+=660将涂色方法分为两类，即,,,A B D F 用三种颜色涂和用两种颜色涂，分别计算出两种情况下涂色方案的种数，根据分类加法计数原理即可求得结果.【详解】将六个方格标注为,,,,,A B C D E F ，如下图所示，①若,,,A B D F 用三种颜色涂，则,D F 同色或AF 同色或AD 同色，当,D F 同色时，六个方格的涂色方法有313212A C =种；当AF 同色时，六个方格的涂色方法有313212A C =种；当AD 同色时，六个方格的涂色方法有31132224A C C =种；②若,,,A B D F 用两种颜色涂，则,,A D F 同色，此时六个方格的涂色方法有21132224A C C =种； 综上所述：不同的填涂方法有1212242472+++=种.故选：D.对点练2.(2021·福建福州模拟)福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有 ()A ．90种B ．180种C ．270种D ．360种【答案】B【解析】根据题意，分3步进行分析：①在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有166C =种情况；②在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C 15＝5种情况；③将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后安排到剩下的2个展区，有种情况，则一共有6×5×6＝180种不同的安排方案，故选B.巩固训练一. 单选题1．三名学生报名参加校园文化活动，活动共有三个项目，每人限报其中一项，则恰有两名学生报同一项目的报名方法种数有（ ）A ．6种B ．9种C ．18种D ．36种【答案】C【分析】根据题意首先从三名学生中选2名选报同一项目，再从三个项目中选2项项目，全排即可.【详解】由题意可得22233233218C C A ⋅⋅=⨯⨯=，故选：C2．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说:“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说:“你不会是最差的”，从这两个回答分析，这5人的名次排列所有可能的情况共有（ ）A ．18种B ．36种C ．54种D ．72种【答案】C【分析】222422226C C A A ⨯=甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理即可得到结果．【详解】由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有33A 种排法．故共有33333332154A ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=种不同的情况．故选：C.3.某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．120C ．144D ．168答案 B解析 安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A 22C 13A 23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A 22A 34＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．4.大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A ，B ，C ，D 四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )A．18种B．24种C．36种D．48种答案 B解析根据题意，分两种情况讨论：①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C23×C12×C12＝12(种)乘坐方式；②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C13×C12×C12＝12(种)乘坐方式，故共有12＋12＝24(种)乘坐方式，故选B.5．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为()A．16 B．18 C．24 D．32答案 C解析将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A33＝6(种)排法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．6．互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法() A．A55种B．A22种C．A24A22种D．C12C12A22A22种答案 D解析红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊花两边各一盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有C12C12A22A22种摆放方法．7．十三届全国人大二次会议于2021年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含A，B两市代表团)安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A，B两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为()A．6 B．12 C．16 D．18答案 B解析如果仅有A，B入住a宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有C23A22＝6(种)安排数，如果有A，B及其余一个代表团入住a宾馆，则余下两个代表团入住b，c，此时共有C13A22＝6(种)安排数，综上，共有不同的安排种数为12.8．马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有()A．60种B．20种C．10种D．8种答案 C解析根据题意，可分为两步：第一步，先安排四盏不亮的路灯，有1种情况；第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，在5个空位中任意选3个，插入三盏亮的路灯，有C35＝10(种)情况．故不同的开灯方案共有10×1＝10(种)．9．有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法数为()A．56 B．63 C．72 D．78答案 D解析若没有限制，5列火车可以随便停，则有A55种不同的停靠方法；快车A停在第3道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；快车A停在第3道上，且货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A33种，故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为A55－2A44＋A33＝120－48＋6＝78.10．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有()A．24种B．28种C．36种D．48种答案 D解析分类计数原理，按红红之间有蓝无蓝两类来分．(1)当红红之间有蓝时，则有A22A24＝24(种)．(2)当红红之间无蓝时，则有C12A22C12C13＝24(种)；因此，这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，则有48种排法．11．(2017·全国Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种答案 D解析由题意可知，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种)，或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种)．12．若一个四位数的各位数字之和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2 017”．试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2 017的“完美四位数”的个数为( )A ．55B ．59C ．66D ．71答案 D解析 记千位为首位，百位为第二位，十位为第三位，由题设中提供的信息可知，和为10的无重复的四个数字有(0,1,2,7)，(0,1,3,6)，(0,1,4,5)，(0,2,3,5)，(1,2,3,4)，共五组．其中第一组(0,1,2,7)中，7排在首位有A 33＝6(种)情形，2排在首位，1或7排在第二位上时，有2A 22＝4(种)情形，2排在首位，0排在第二位，7排在第三位有1种情形，共有6＋4＋1＝11(种)情形符合题设；第二组中3,6分别排在首位共有2A 33＝12(种)情形；第三组中4,5分别排在首位共有2A 33＝12(种)情形；第四组中2,3,5分别排在首位共有3A 33＝18(种)情形；第五组中2,3,4分别排在首位共有3A 33＝18(种)情形．依据分类计数原理可知符合题设条件的“完美四位数”共有11＋12＋12＋18＋18＝71(个)二. 填空题13．（2018·浙江高考真题）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260.【解析】若不取零，则排列数为224534C C A ,若取零，则排列数为21135333C C A A ,因此一共有22421135345333C C A C C A A 1260+=个没有重复数字的四位数. 14．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1080【解析】41345454A C C A 1080+=15.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】120【解析】①1男4女，1436C C 45=种；②2男3女，2336C C 60=种；③3男2女，3236C C 15=种；∴一共有456015120++=种．故答案为：120.16.（2021·全国高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：246C =现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A =根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种故答案为：36.17．用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的6位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________．答案40解析第一步将3,4,5,6按奇偶相间排成一列，共有2×A22×A22＝8(种)排法；第二步再将1,2捆绑插入4个数字产生的5个空位中，共有A15＝5(种)插法，插入时需满足条件相邻数字的奇偶性不同，1,2的排法由已排4个数的奇偶性确定．∴不同的排法有8×5＝40(种)，即这样的六位数有40个．18．某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为________．答案180解析设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有C14种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有C24A33种方法，这时共有C14C24A33种参加方法；(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有C24种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A33种方法，这时共有C24A33种参加方法；综合(1)(2)，共有C14C24A33＋C24A33＝180(种)参加方法．19．从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为________．(用数字作答) 答案 23解析 ①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C 35－C 33＝9，②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C 35－C 33＝9，③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C 45＝5， 综合①②③得，不同的选法种数为9＋9＋5＝23.20．某宾馆安排A ，B ，C ，D ，E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A ，B 不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)答案 114解析 5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1，1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有C 35·A 33＝60(种)，A ，B 住同一房间有C 13·A 33＝18(种)，故有60－18＝42(种)，当为(2,2,1)时，有C 25·C 23A 22·A 33＝90(种)，A ，B 住同一房间有C 23·A 33＝18(种)， 故有90－18＝72(种)，根据分类计数原理可知，共有42＋72＝114(种)．三. 解答题21．求下列各式中的正整数n ：（1）33210n n A A =；（2）101098765n A =⨯⨯⨯⨯⨯．21 / 21 【答案】（1）8n =（2）6【分析】（1）根据排列数公式列出方程即可求解；（2）根据排列数公式列出方程即可求解； （1）解：因为33210n n A A =，所以()()()()221221012n n n n n n ⨯-⨯-=⨯⨯-⨯-，解得8n =； （2）解：因为101098765n A =⨯⨯⨯⨯⨯，又()10109101n A n =⨯⨯⨯-+，所以1015n -+=，解得6n =.22．利用组合数公式证明111m m m n n n C C C ++++=．【答案】证明见解析【分析】利用组合数公式分别计算等式左右两边即可证明.【详解】证明：因为()11(1)!1!()!m n n C m n m +++=+-，()()()1!11!!!(1)!(1)!!()!(1)!()!(1)!()!m m n n n n m m n n n C C n m m m n m m n m m n m +⎡⎤-+++⎣⎦++==--+-+--=+， 所以111m m m n n n C C C ++++=。
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排列组合高考题型汇总
知识点
一、排列
€n）个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取定义:一般地，从n个不同元素中取出m（m
出m个元素的一个排列；排列数用符号A m表示
对排列定义的理解：
定义中包括两个基本内容：①取出元素②按照一定顺序。
因此，排列要完成的“一件事情”是“取出m个元素，再按顺序排列”相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同。
若只有元素相同或部分相同，而排列顺序不相同，都是不同的排列。
比如abc与acb是两个不同的排列
描述排列的基本方法：树状图
排列数公式：A二n（n…1）（n…2）…（n…m+1）（弘m，N）我们把正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n 表示，即心n心…1）沢（n…2）…2X1，并规定0!=1。
A n=n!
全排列数公式可写成n
n!
A m二n（n…1）（n…2）…（n…m+1）=
由此，排列数公式可以写成阶乘式："（n…m）!（主要用于化简、证明等）
二、组合
€n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的定义:一般地，从n个不同元素中取出m（m
C m
一个组合；组合数用符号n表示对组合定义的理解：
取出的m个元素不考虑顺序，也就是说元素没有位置要求，无序性是组合的特点.
只要两个组合中的元素完全相同，则不论元素的顺序如何，都是相同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合
排列与组合的区别：主要看交换元素的顺序对结果是否有影响，有影响就是“有序”，是排列问题；没影响就是“无序”，是组合问题。
n,meN *，且
变式：C m
n =C n-m(n,m e N*,且m€n) n
组合数公式：
A m n(n，1)(n—2)…(n—m…1)
C m=—=
n A m m!
m
n!n(n一1)(n一2)…(m+1)
m!(n-m)!(n-m)!
组合数的两个性质
1、C m=C n-m
nn
n
①计算C m时，若m>-，通常不直接计算C m，而改为计算C n，m，这样可以减少计算量
n
2
nn
②为了使这个公式在m=n时也成立，我们规定C o=1，这只是一个规定，并没有实际的组合意义
n
2、C m=C m+C m-1
n…1nn
题型一投信问题
【例1】
1、个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同.
（1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？
（2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？
2、五位旅客到一个城市出差，这个城市有6家旅馆，有多少种住宿方法？
3、12名旅客在一辆火车上，共有六个车站，有多少种下车方案？
4、3个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼，有几种下楼方案？
题型二染色问题
1、如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.
2.如图所示，用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允
许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有种．
3•用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,…，9的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边）
的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有种．
□
题型三相邻问题、间隔问题、特殊位置问题，特殊元素问题、甲不在某位乙不在某位问题
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（1）选其中5人排成一排；
（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；
（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
（4）全体排成一排，女生必须站在一起；
（5）全体排成一排，男生互不相邻；
（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.
（7）甲必须站在中间
（8）甲不能站在开头,乙不站在排尾。
题型四顺序一定问题
1、7名同学排成一排，甲必须在乙的左边，有多少种排队方法？
2、7名同学排成一排，甲在乙的左边，乙在丙的左边，共有几种排队方法？
题型五平均分配与不平均分配问题
1、有6本书，平均分成三组，共有多少种分配方法？
2、有6本书，平均分成三组，共有多少种分配方法？
3、六本不同的书分成1本，2本，3本，共有多少种分配方法？
4、六本不同的书分成1本，2本，3本，然后分给甲、乙、丙三位同学，共有多少种分配方法？
5、6本不同的书，分成两个1本，一个四本三组，分给三位同学，共有多少种不同的分发？
题型六综合
1、用0、1、
2、
3、
4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：（1）奇数；（2）偶数；（3）大于3125的数.
解（1）144（个）.
（2）156（个）.
（3）162（个）.
2、（12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员；
（3）队长中至少有1人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员.
4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.
（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？
（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？
5、摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有（）
A.1440种
B.960种
C.720种
D.480种
6、宿舍楼内的走廊一排有8盏灯，为节约用电又不影响照明，要同时熄掉其中3盏，但这3盏灯不能相邻，则不同的熄灯方法种数为.（用数字作答）
【过关练习】1.由0,1,2,3,4,5共六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万又不是5个倍数的数有多少个？（分别用直接法、优先法、间接法）
2.3名男生，4名女生，全体站成一排，男生必须在一起，有几种排列方案？
3.甲、乙等6人站成一排，要求甲和乙不相邻，有几种站法？
4.7人站成一排，其中甲在乙前，乙在丙前（不一定相邻），则共有多少种不同的站法？
5.在100个零件中有80个正品、20个次品，从中任意选2个进行检测，其中至少有一个次品的选法有多少种？
6.求方程x+x+x+x€10的正整数解的组数
1234
7.将组成篮球队的10个名额分配给7所学校，每校至少1个名额，问名额的分配方式有多少种？课后练习
【补救练习】1.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．648
2•将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）
A.18
B.24
C.30
D.36
3.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）
A.70种
B.80种
C.100种
D.140种
4.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）
A.360
B.188
C.216
D.96
5.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同
的分配方案有种。
6.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则
不同的站法种数是（用数字作答）。
7•将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种。
【巩固练习】
1.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）
A.85
B.56
C.49
D.28
2.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）
A.36种
B.48种
C.72种
D.96种
3.在7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？
（1）A，B必须当选；
（2）A，B必不当选；
（3）A，B不全当选；
（4）至少有2名女生当选；
（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.
【拔高练习】
1.已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试,直至找出所有4件次品为止.
（1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？。