信息安全数学基础习题答案 2
信息安全数学基础作业参考答案

1、证明:任意奇整数可表示为2k0+1,k0 Z
(2k0+1)2=4k02+4k0+1=4k0(k0+1)+1
由于k0与k0+1为两连续整数,必有一个为偶数,所以k0(k0+1)=2k
所以(2k0+1)2=8k+1 得证。
7、证明:因为a3-a=(a-1)a(a+1)
当a=3k,k Z 3|a 则3|a3-a
因为e|a/d,故e|a,所以e|(a, c)。
相反地,如果f=(a, c),由题设(a, b, c)=1,于是有(f, b)=1,所以(d, f)=1,因而f|a/d;而显然有f|bc/d,因此f|e,综上,e=f。
因此(a, b)(a,c)=de=d(a/d,bc/d)=(a,bc)
14、证明:
当a=3k-1,k Z 3|a+1 则3|a3-a
当a=3k+1,k Z 3|a-1 则3|a3-a
所以a3-a能被3整除。
13、证明:
设d=(a,b),则(a/d, b/d)=1。因此如果g|a/d,则(g, b/d)=1;
设e=(a/d,bc/d),有e|a/d,所以(e, b/d)=1,因此必有e|c。
a+a=(a+a)(a+a)=aa+aa+aa+aa=a+a+a+a
9、证明:
10、证明:
等式右边包含k个2。
11、证明:
14、证明:
第三章
4、证明:
因为
当 , 时,
当 , 时,
当 , 时,
当 , 时,
第四章
8、证第五章
信息安全数学基础课后答案(陈恭亮著)清华大学出版社

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案答题 习础基学数全安息信
2
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第一章参考答案(1) 5,4,1,5.(2) 100=22*52, 3288=23*3*137.(4) a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––pr, b=q1q2––qs,又因为(a,b)=1,表明a, b没有公共(相同)素因子. 同样可以将a n, b n表示为多个素因子相乘a n=(p1p2––pr)n, b n=(q1q2––qs)n明显a n, b n也没有公共(相同)素因子.(5)同样将a, b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––pr, b=q1q2––qs,a n=(p1p2––pr)n, b n=(q1q2––qs)n,因为a n| b n所以对任意的i有, pi的n次方| b n,所以b n中必然含有a的所有素因子, 所以b中必然含有a的所有素因子, 所以a|b.(6)因为非零a, b, c互素,所以(a, b)=(a, c)=1,又因为a=p1p2––pr,b=q1q2––qs, ab=p1p2––prq1q2––qs, 又因为a, b, c互素, 所以a, b, c中没有公共(相同)素因子, 明显ab和c也没有公共(相同)素因子.所以(ab, c)= (a, b)(a, c).(7)2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,9 7,101,103,107, 109, 113, 127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199.(11)对两式进行变形有21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m即使求21和1001的公约数, 为7和1.(12)(70!)/(61!)= 62*63*––*70=(-9)*(-8)*––*(-1)=-9!=-362880=1(mod 71). 明显61!与71互素, 所以两边同乘以61!, 所以70!=61!(mod 71).(13)当n为奇数时2n=(-1)n=-1=2(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=0(mod 3), 所以结论成立.当n为偶数时2n=(-1)n=1(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=2(mod 3), 所以结论成立.(14)第一个问:因为(c,m)=d, m/d为整数.假设ac=k1m+r, bc=k2m+r,有ac=k1d(m/d)+r, bc=k2d(m/d)+r所以ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1,所以两边可以同除以一个c, 所以结论成立.第二个问题:因为a=b(mod m), 所以a-b=ki *mi,a-b是任意mi的倍数,所以a-b是mi 公倍数,所以[mi]|a-b.(利用式子:最小公倍数=每个数的乘积/最大公约数, 是错误的, 该式子在两个数时才成立)(15)将整数每位数的值相加, 和能被3整除则整数能被3整除, 和能被9整除则整数能被9整除, (1)能被3整除, 不能被9整除,(2)都不能,(3)都不能,(4)都不能第二章答案(5)证明:显然在群中单位元e满足方程x2=x, 假设存在一个元素a满足方程x2=x, 则有a2=a, 两边同乘以a-1有a=e. 所以在群中只有单位元满足方程x2=x.(6)证明:因为群G中每个元素都满足方程x2=e, 所以对群中任意元素a,b 有aa=e, bb=e, (ab)2=abab=e. 对abab=e, 方程两边左乘以a, 右乘以b有aababb=(aa)ba(bb)=ba=aeb=ab, 有ab=ba, 所以G是交换群.(7)证明:充分性:因为在群中对任意元素a,b有(ab)2=a2b2即abab=aabb, 方程两边左乘以a的逆元右乘以b的逆元, 有a-1ababb-1= a-1aabbb-1, 有ab=ba, 所以G是交换群.必要性:因为群G是交换群, 所以对任意元素a,b有ab=ba, 方程两边左乘以a右乘以b有abab=aabb, 有(ab)2=a2b2.(8)证明:因为xaaba=xbc,所以x-1xaxbaa-1b-1=x-1xbca-1b-1,所以存在唯一解x=a-1bca-1b-1使得方程成立。
信息安全数学基础答案第一二三四五六七八章2

第一章(1)5,4,1,5.(2)100=22*52, 3288=23*3*137.(4)a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––p r, b=q1q2––q s,又因为(a, b)=1,表明a, b 没有公共(相同)素因子. 同样可以将a n, b n表示为多个素因子相乘a n=(p1p2––p r)n, b n=(q1q2––q s)n明显a n, b n也没有公共(相同)素因子.(5)同样将a, b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––p r, b=q1q2––q s, a n=(p1p2––p r)n, b n=(q1q2––q s)n,因为a n| b n所以对任意的i有, p i的n次方| b n, 所以b n中必然含有a的所有素因子, 所以b中必然含有a的所有素因子, 所以a|b.(6)因为非零a, b, c互素,所以(a, b)=(a, c)=1,又因为a=p1p2––p r, b=q1q2––q s, ab=p1p2––p r q1q2––q s, 又因为a, b, c互素, 所以a, b, c中没有公共(相同)素因子, 明显ab和c 也没有公共(相同)素因子.所以(ab, c)= (a, b)(a, c).(7)2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107, 109, 113, 127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199.(11)对两式进行变形有21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m即使求21和1001的公约数, 为7和1.(12)(70!)/(61!)= 62*63*––*70=(-9)*(-8)*––*(-1)=-9!=-362880=1(mod 71). 明显61!与71互素, 所以两边同乘以61!, 所以70!=61!(mod 71).(13)当n为奇数时2n=(-1)n=-1=2(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=0(mod 3), 所以结论成立.当n为偶数时2n=(-1)n=1(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=2(mod 3), 所以结论成立. (14)第一个问:因为(c,m)=d, m/d为整数.假设ac=k1m+r, bc=k2m+r,有ac=k1d(m/d)+r, bc=k2d(m/d)+r所以ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1,所以两边可以同除以一个c, 所以结论成立.第二个问题:因为a=b(mod m), 所以a-b=k i*m i,a-b是任意m i的倍数,所以a-b是m i公倍数,所以[m i]|a-b.(利用式子:最小公倍数=每个数的乘积/最大公约数, 是错误的, 该式子在两个数时才成立)(15)将整数每位数的值相加, 和能被3整除则整数能被3整除, 和能被9整除则整数能被9整除, (1)能被3整除, 不能被9整除,(2)都不能,(3)都不能,(4)都不能第二章(5)证明:显然在群中单位元e满足方程x2=x, 假设存在一个元素a满足方程x2=x, 则有a2=a, 两边同乘以a-1有a=e. 所以在群中只有单位元满足方程x2=x.(6)证明:因为群G中每个元素都满足方程x2=e, 所以对群中任意元素a,b有aa=e, bb=e, (ab)2=abab=e. 对abab=e, 方程两边左乘以a, 右乘以b有aababb=(aa)ba(bb)=ba=aeb=ab, 有ab=ba, 所以G是交换群.(7)证明:充分性:因为在群中对任意元素a,b有(ab)2=a2b2即abab=aabb, 方程两边左乘以a的逆元右乘以b的逆元, 有a-1ababb-1= a-1aabbb-1, 有ab=ba, 所以G是交换群.必要性:因为群G是交换群, 所以对任意元素a,b有ab=ba, 方程两边左乘以a右乘以b有abab=aabb, 有(ab)2=a2b2.(8)证明:因为xaaba=xbc,所以x-1xaxbaa-1b-1=x-1xbca-1b-1,所以存在唯一解x=a-1bca-1b-1使得方程成立。
信息安全数学基础习题答案

信息安全数学基础习题答案信息安全数学基础习题答案1.简答题 a) 什么是信息安全?信息安全是指保护信息的机密性、完整性和可用性,以防止未经授权的访问、使用、披露、干扰、破坏或篡改信息的行为。
b) 什么是加密?加密是指通过对信息进行转换,使其无法被未经授权的人理解或使用的过程。
加密算法通常使用密钥来对信息进行加密和解密。
c) 什么是对称加密算法?对称加密算法是一种使用相同的密钥进行加密和解密的算法。
常见的对称加密算法有DES、AES等。
d) 什么是非对称加密算法?非对称加密算法是一种使用不同的密钥进行加密和解密的算法。
常见的非对称加密算法有RSA、ECC等。
e) 什么是哈希函数?哈希函数是一种将任意长度的数据映射为固定长度的输出的函数。
哈希函数具有单向性,即很难从哈希值逆推出原始数据。
2.选择题 a) 下列哪种算法是对称加密算法? A. RSA B. AES C. ECC D.SHA-256答案:B. AESb) 下列哪种算法是非对称加密算法? A. DES B. AES C. RSA D. SHA-256答案:C. RSAc) 下列哪种函数是哈希函数? A. RSA B. AES C. ECC D. SHA-256答案:D. SHA-2563.计算题 a) 使用AES算法对明文进行加密,密钥长度为128位,明文长度为64位。
请计算加密后的密文长度。
答案:由于AES算法使用的是128位的块加密,所以加密后的密文长度也为128位。
b) 使用RSA算法对明文进行加密,密钥长度为1024位,明文长度为64位。
请计算加密后的密文长度。
答案:由于RSA算法使用的是非对称加密,加密后的密文长度取决于密钥长度。
根据经验公式,RSA算法中加密后的密文长度为密钥长度的一半。
所以加密后的密文长度为1024/2=512位。
c) 使用SHA-256哈希函数对一个长度为128位的明文进行哈希计算,请计算哈希值的长度。
答案:SHA-256哈希函数的输出长度为256位。
信息安全数学基础答案

信息安全数学基础答案【篇一:信息安全数学基础习题答案】xt>第一章整数的可除性1.证明:因为2|n 所以n=2k , k?z5|n 所以5|2k ,又(5,2)=1,所以5|k 即k=5 k1 ,k1?z 7|n 所以7|2*5 k1 ,又(7,10)=1,所以7| k1 即k1=7 k2,k2?z 所以n=2*5*7 k2 即n=70 k2, k2?z因此70|n32.证明:因为a-a=(a-1)a(a+1)3当a=3k,k?z 3|a 则3|a-a3当a=3k-1,k?z 3|a+1 则3|a-a3当a=3k+1,k?z 3|a-1 则3|a-a3所以a-a能被3整除。
3.证明:任意奇整数可表示为2 k0+1, k0?z22(2 k0+1)=4 k0+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1由于k0与k0+1为两连续整数,必有一个为偶数,所以k0(k0+1)=2k2所以(2 k0+1)=8k+1 得证。
34.证明:设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a-a3由第二题结论3|(a-a)即3|(a-1)a(a+1)又三个连续整数中必有至少一个为偶数,则2|(a-1)a(a+1)又(3,2)=1所以6|(a-1)a(a+1) 得证。
5.证明:构造下列k个连续正整数列:(k+1)!+2, (k+1)!+3, (k+1)!+4,……, (k+1)!+(k+1), k?z对数列中任一数 (k+1)!+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1],i=2,3,4,…(k+1) 所以i|(k+1)!+i即(k+1)!+i为合数所以此k个连续正整数都是合数。
1/26.证明:因为191<14 ,小于14的素数有2,3,5,7,11,13经验算都不能整除191所以191为素数。
1/2因为547<24 ,小于24的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23经验算都不能整除547所以547为素数。
信息安全数学基础习题答案

信息安全数学基础习题答案信息安全数学基础习题答案第⼀章整数的可除性1.证明:因为2|n 所以n=2k , k∈Z5|n 所以5|2k ,⼜(5,2)=1,所以5|k 即k=5 k1,k1∈Z7|n 所以7|2*5 k1 ,⼜(7,10)=1,所以7| k1即k1=7 k2,k2∈Z 所以n=2*5*7 k2即n=70 k2, k2∈Z 因此70|n2.证明:因为a3-a=(a-1)a(a+1)当a=3k,k∈Z 3|a 则3|a3-a当a=3k-1,k∈Z 3|a+1 则3|a3-a当a=3k+1,k∈Z 3|a-1 则3|a3-a所以a3-a能被3整除。
3.证明:任意奇整数可表⽰为2 k0+1,k0∈Z(2 k0+1)2=4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1由于k0与k0+1为两连续整数,必有⼀个为偶数,所以k0 (k0+1)=2k所以(2 k0+1)2=8k+1 得证。
4.证明:设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a3-a由第⼆题结论3|(a3-a)即3|(a-1)a(a+1)⼜三个连续整数中必有⾄少⼀个为偶数,则2|(a-1)a(a+1)⼜(3,2)=1 所以6|(a-1)a(a+1) 得证。
5.证明:构造下列k个连续正整数列:(k+1)!+2, (k+1)!+3, (k+1)!+4,……, (k+1)!+(k+1), k∈Z对数列中任⼀数 (k+1)!+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1)所以i|(k+1)!+i 即(k+1)!+i为合数所以此k个连续正整数都是合数。
6.证明:因为1911/2<14 ,⼩于14的素数有2,3,5,7,11,13经验算都不能整除191 所以191为素数。
因为5471/2<24 ,⼩于24的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23经验算都不能整除547 所以547为素数。
信息安全数学基础 课后习题答案,裴定一,徐详 编著 ,人民邮电出版社

·
·
(1
−
1 ql
)
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q1 · · · ql − 1) · · · (ql
− 1)
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2.10 (1)
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1 p1
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··
·
(1
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1 pr
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´ ϕ(n)
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1 2
n
⇔
r
(1 −
i=1
Q=
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p−1 2
2
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(−1)
p−1 2
(p
−
1)!
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(−1)
p+1 2
(mod p)
3.7
−2 p
=
−1 p
·
2 p
=
(−1)
p−1 2
·
(−1)
p2 −1 8
=
t1
É ´ ≥ t2, a + b = pt2 (pt1−t2 a1 + b1)
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´ t1> t2, pt1−t2 a1 + b1 = 0, (p, pt1−t2 a1 + b1) = 1,
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5 227
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信息安全数学基础习题答案第一章整数的可除性1.证明:因为2|n 所以n=2k , k∈Z5|n 所以5|2k ,又(5,2)=1,所以5|k 即k=5 k1,k1∈Z7|n 所以7|2*5 k1 ,又(7,10)=1,所以7| k1即k1=7 k2,k2∈Z 所以n=2*5*7 k2即n=70 k2, k2∈Z因此70|n2.证明:因为a3-a=(a-1)a(a+1)当a=3k,k∈Z 3|a 则3|a3-a当a=3k-1,k∈Z 3|a+1 则3|a3-a当a=3k+1,k∈Z 3|a-1 则3|a3-a所以a3-a能被3整除。
3.证明:任意奇整数可表示为2 k0+1,k0∈Z(2 k0+1)2=4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1由于k0与k0+1为两连续整数,必有一个为偶数,所以k0 (k0+1)=2k所以(2 k0+1)2=8k+1 得证。
4.证明:设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a3-a由第二题结论3|(a3-a)即3|(a-1)a(a+1)又三个连续整数中必有至少一个为偶数,则2|(a-1)a(a+1)又(3,2)=1 所以6|(a-1)a(a+1) 得证。
5.证明:构造下列k个连续正整数列:(k+1)!+2, (k+1)!+3, (k+1)!+4,……, (k+1)!+(k+1), k∈Z对数列中任一数 (k+1)!+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1)所以i|(k+1)!+i 即(k+1)!+i为合数所以此k个连续正整数都是合数。
6.证明:因为1911/2<14 ,小于14的素数有2,3,5,7,11,13经验算都不能整除191 所以191为素数。
因为5471/2<24 ,小于24的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23经验算都不能整除547 所以547为素数。
由737=11*67 ,747=3*249 知737与747都为合数。
8.解:存在。
eg:a=6,b=2,c=910.证明:p1 p2 p3|n,则n= p1 p2 p3k,k∈N+又p1≤p2≤p3,所以n= p1 p2 p3k≥p13 即p13≤n1/3p1为素数则p1≥2,又p1≤p2≤p3,所以n= p1 p2 p3k≥2 p2 p3≥2p22即p2≤(n/2)1/2得证。
11.解:小于等于5001/2的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,依次删除这些素数的倍数可得所求素数:12.证明:反证法假设3k+1没有相同形式的素因数,则它一定只能表示成若干形如3k-1的素数相乘。
(3 k1+1)(3 k2+1)=[( 3 k1+1) k2+ k1]*3+1 显然若干个3k+1的素数相乘,得到的还是3k+1的形式,不能得出3k-1的数,因此假设不成立,结论得证。
同理可证其他。
13.证明:反证法假设形如4k+3的素数只有有限个,记为p1, p2,…, p n因为4k+3=4k`-1=4k-1 构造N=4*p1*p2*…*p n-1≥3*p1*p2*…*p n所以N>p i (i=1,2,…,n)N为4k-1形式的素数,即为4k+3的形式,所以假设不成立。
原结论正确,形如4k+3的素数有无穷多个。
28.(1)解:85=1*55+3055=1*30+2530=1*25+525=5*5所以(55,85)=5(2)解:282=1*202+80202=2*80+4280=1*42+3842=1*38+438=9*4+24=2*2所以(202,282)=229.(1)解:2t+1=1*(2t-1)+22t-1=(t-1)*2+12=2*1所以(2t+1,2t-1)=1(2)解:2(n+1)=1*2n+22n=n*2所以(2n,2(n+1))=232.(1)解:1=3-1*2=3-1*(38-12*3)=-38+13*(41-1*38)=13*41-14*(161-3*41)=-14*161+55*(363-2*161)=55*363+(-124)*(1613-4*363)=(-124)*1613+551*(3589-2*1613)=551*3589+(-1226)*1613所以s=-1226 t=551(2)解:1=4-1*3=4-1*(115-28*4)=-115+29*(119-1*115)=29*119+(-30)*(353-2*119)=-30*353+89*(472-1*353)=89*472+(-119)*(825-1*472)=(-119)*825+208*(2947-3*825)=208*2947+(-743)*(3772-1*2947)=951*2947+(-743)*3772所以s=951 t=-74336.证明:因为(a,4)=2 所以a=2*(2m+1) m∈Z所以a+b=4m+2+4n+2=4(m+n)+4=4(m+n+1)即4|a+b所以(a+b,4)=437.证明:反证法假设n为素数,则n| a2- b2=(a+b)(a-b)由1.4定理2知n|a+b或n|a-b,与已知条件矛盾所以假设不成立,原结论正确,n为合数。
40.证明:(1)假设是21/2有理数,则存在正整数p,q,使得21/2=p/q,且(p, q)=1 平方得:p2=2q2, 即2|p2,所以p=2m, m∈N因此p2=4m2=2q2 q2=2m2 q=2n, n∈N则(p, q)=(2m,2n)=2(m, n)≥2与(p, q)=1矛盾所以假设不成立,原结论正确,21/2不是有理数。
(2)假设是71/2有理数,则存在正整数m,n,使得71/2=p/q,且(m, n)=1 平方得:m2=2n2, 即7|m2将m表示成n个素数p i的乘积,m= p1 p2 p3……p n ,p i为素数。
因为7为素数,假设7 !| m,则7 !∈{p1,p2,p3,……p n}所以m2= p12 p22 p32……p n 2=( p1 p2 p3……p n)( p1 p2 p3……p n)所以7 !| m2,与7|m2矛盾,故7|m, m=7k同理可知:7|n, n=7 k0所以(m, n)=(7k,7 k0)=7(k, k0)≥7 与已知矛盾故原结论正确,71/2不是有理数。
(3)同理可证171/2不是有理数。
41.证明:假设log210是有理数,则存在正整数p, q,使得log210=p/q,且(p, q)=1 又log210=ln10/ln2=p/qLn10q=ln2p 10q=2p(2*5)q=2p 5q=2p-q所以只有当q=p=0是成立,所以假设不成立故原结论正确,log210是无理数。
同理可证log37,log1521都是无理数。
50.(1)解:因为8=23, 60=22*3*5所以[8,60]=23*3*5=12051.(4)解:(471179111011001,4111831111011000)= 4104707908301011000=1011000[471179111011001,4111831111011000]= 4111471179111831111011001第二章.同余1.解:(1)其中之一为9,19,11,21,13,23,15,25,17(2)其中之一为0,10,20,30,40,50,60,70,80(3).(1)或(2)中的要求对模10不能实现。
2.证明:当m>2时,因为(m-1)2=m2-2m+1=m(m-2)+1所以(m-1)2≡1(mod m)即1与(m-1)2在同一个剩余类中,故02,12,…,(m-1)2一定不是模m的完全剩余系。
6.解:21≡2(mod7), 22≡4(mod7), 23≡1(mod7)又20080509=6693503*3所以220080509=(23)6693503≡1(mod7)故220080509是星期六。
7.证明:(i)因为a i≡b i (modm),1≤i≤k 所以a i=b i+k i m又a1+a2+… +a k=∑a i=∑(b i+k i m)=∑b i+m*∑k i所以有∑a i≡∑b i (mod m)即a1+a2+… +a k=b1+b2+… +b k (mod m)(ii)因为a i≡b i (mod m),1≤i≤k 所以a i(mod m)=b i (mod m)所以(a1a2…a k)mod m≡[(a1mod m)( a2mod m)…(a k mod m)]mod m≡[(b1mod m)( b2mod m)…(b k mod m)]mod m≡(b1b2…b k)mod m所以a1a2…a k≡a1a2…a k(mod m)8.证明:如果a2≡b2(mod p) 则a2= b2+kp , k∈Z即kp=a2-b2=(a+b)(a-b) 所以p|(a+b)(a-b)又p为素数,根据1.4定理2知p|a+b或p|a-b 得证。
9.证明:如果a2≡b2(mod n) 则a2= b2+kn , k∈Z即kn=a2-b2=(a+b)(a-b) 所以n|(a+b)(a-b)由n=pq知kpq=a2-b2=(a+b)(a-b)因为n!|a-b, n!|a+b,所以p,q不能同时为a-b或a+b的素因数。
不妨设p|a-b, q|a+b ,则q!|a-b, p!|a+b 即(q, a-b)=1,(p, a+b)=1因此(n, a-b)=(pq, a-b)=(p, a-b)=p>1(n, a+b)=(pq, a+b)=(q, a+b)=q>1故原命题成立。
10.证明:因为a≡b (mod c) 则a=cq+b , q∈Z根据1.3定理3知(a, c)=(b, c)17.解:(1)a k+a k-1+… +a0=1+8+4+3+5+8+1=30因为3|30 ,9!|30 所以1843581能被3整除,不能被9整除。
(2)a k+a k-1+… +a0=1+8+4+2+3+4+0+8+1=31因为3!|31 , 9!|31 所以184234081不能被3整除,也不能被9整除。
(3)a k+a k-1+… +a0=8+9+3+7+7+5+2+7+4+4=56因为3!|56 , 9!|56 所以8937752744不能被3整除,也不能被9整除。
(4)a k+a k-1+… +a0=4+1+5+3+7+6+8+9+1+2+2+4+6=58因为3!|58 , 9!|58 所以4153768912246不能被3整除,也不能被9整除。
20.解:(89878*58965)mod9≡[(89878mod9)*(58965mod9)]mod9≡(4*6)mod9≡6(mod9) ≡5299?56270(mod9)又5299?56270≡(45+?)mod9≡?(mod9)所以 ?=6 即未知数字为6。