2018_2019学年高中数学第二章随机变量及其分布2.2.1条件概率练习新人教A版
2020_2021学年高中数学第二章随机变量及其分布2.2.1条件概率学案含解析新人教A版选修2_3
2.2 二项分布及其应用2．2.1 条件概率内容 标 准学 科 素 养 1.理解条件概率的定义． 2.掌握条件概率的计算方法．3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.利用数学抽象 发展数学建模 提升数学运算授课提示：对应学生用书第32页[基础认识]知识点 条件概率预习教材P 51－53，思考并完成以下问题(1)三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小？提示：如果三张奖券分别用X 1，X 2，Y 表示，其中Y 表示那张中奖奖券，那么三名同学的抽奖结果共有六种可能：X 1X 2Y ，X 1YX 2，X 2X 1Y ，X 2YX 1，YX 1X 2，YX 2X 1.用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，则B 仅包含两个基本事件：X 1X 2Y ，X 2X 1Y .由古典概型计算概率的公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为P (B )＝26＝13.(2)如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？提示：因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有X 1X 2Y ，X 1YX 2，X 2X 1Y 和X 2YX 1.而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是X 1X 2Y 和X 2X 1Y .由古典概型计算概率的公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为24，即12.知识梳理 1.条件概率 (1)事件个数法：P (B |A )＝n AB n A(2)定义法：P (B |A )＝P AB P A(1)0≤P (B |A )≤1.(2)如果B 和C 是两个互斥的事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．[自我检测]1．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为( )A.8225B.12C.38D.34 答案：C2．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上或周五晚上值班的概率为________．答案：13授课提示：对应学生用书第32页探究一 求条件概率[阅读教材P 53例1]在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率． 题型：求事件的概率及条件概率方法步骤：(1)先计算出不放回地依次抽2次的试验结果总数； (2)分别计算出第1次抽到理科题和两次都抽到的试验结果总数； (3)由概率的计算公式得出所求概率．[例1] 盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E 型玻璃球，10个是F 型玻璃球．E 型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F 型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是E 型玻璃球的概率是多少？[解析] 由题意得球的分布如下：E 型玻璃球F 型玻璃球总计 红 2 3 5 蓝 4 7 11 总计61016设A ＝{取得蓝球法一：∵P (A )＝1116，P (AB )＝416＝14，∴P (B |A )＝P AB P A ＝141116＝411. 法二：∵n (A )＝11，n (AB )＝4， ∴P (B |A )＝n AB n A＝411. 方法技巧 求条件概率P (B |A )的关键就是抓住事件A 为条件和A 与B 同时发生这两点，公式P (B |A )＝n AB n A＝P AB P A既是条件概率的定义，也是求条件概率的公式，应熟练掌握．跟踪探究 1.集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下．(1)求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率； (2)求乙抽到偶数的概率；(3)集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲乙两人各从A 中任取一球．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A ：“甲抽到的数大于4”；事件B ：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P (B |A )．解析：(1)设“甲抽到奇数”为事件C ， “乙抽到的数比甲抽到的数大”为事件D ，则事件C 包含的基本事件总数为C 13·C 15＝15个，事件CD 同时发生包含的基本事件总数为5＋3＋1＝9个， 故P (D |C )＝915＝35.(2)在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P ＝915＝35.(3)甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2个．所以P (B |A )＝212＝16.探究二 条件概率的性质及应用[阅读教材P 53例2]一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率． 题型：互斥事件的条件概率方法步骤：(1)不超过2次就按对包含“第1次按对”和“第1次没按对，第2次按对”两事件的和事件；(2)分别求出“第1次按对”和“第1次没按对，第2次按对”的概率； (3)由互斥事件概率的计算公式得出所求概率．[例2] 在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．[解析] 记事件A 为“该考生6道题全答对”，事件B 为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C 为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D 为“该考生在这次考试中通过”，事件E 为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A ，B ，C 两两互斥，且D ＝A ∪B ∪C ，E ＝A ∪B ，可知P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝C 610C 620＋C 510C 110C 620＋C 410C 210C 620＝12 180C 620， P (AD )＝P (A )，P (BD )＝P (B )， P (E |D )＝P (A |D )＋P (B |D )＝P A P D＋P BPD ＝210C 62012 180C 620＋2 520C 62012 180C 620＝1358. 故获得优秀成绩的概率为1358.方法技巧 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )便可求得较复杂事件的概率．跟踪探究 2.在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球，其中有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次不放回地摸2个球，求在摸出的第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．解析：法一：设“摸出的第一个球为红球”为事件A ，“摸出的第二个球为黄球”为事件B ，“摸出的第二个球为黑球”为事件C ，则P (A )＝110，P (AB )＝1×210×9＝145，P (AC )＝1×310×9＝130.∴P (B |A )＝P AB P A ＝145110＝1045＝29， P (C |A )＝P AC P A ＝130110＝13. ∴P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝29＋13＝59.故所求的条件概率为59.法二：∵n (A )＝1×C 19＝9，n [(B ∪C )∩A ]＝C 12＋C 13＝5，∴P (B ∪C |A )＝59.故所求的条件概率为59.授课提示：对应学生用书第33页[课后小结](1)条件概率：P (B |A )＝P AB P A＝n AB n A.(2)概率P (B |A )与P (AB )的区别与联系：P (AB )表示在样本空间Ω中，计算AB 发生的概率，而P (B |A )表示在缩小的样本空间ΩA 中，计算B 发生的概率．用古典概型公式，则P (B |A )＝AB 中样本点数ΩA 中样本点数，P (AB )＝AB 中样本点数Ω中样本点数.[素养培优]1.因把基本事件空间找错而致错一个家庭中有两名小孩，假定生男、生女是等可能的．已知这个家庭有一名小孩是女孩，问另一名小孩是男孩的概率是多少？易错分析：解决条件概率的方法有两种，第一种是利用公式P (B |A )＝P AB P A.第二种为P (B |A )＝n AB n A，其中找对基本事件空间是关键．考查数学建模的学科素养．自我纠正：法一：一个家庭的两名小孩只有4种可能：{两名都是男孩}，{第一名是男孩，第二名是女孩}，{第一名是女孩，第二名是男孩}，{两名都是女孩}．由题意知这4个事件是等可能的，设基本事件空间为Ω，“其中一名是女孩”为事件A ，“其中一名是男孩”为事件B ，则Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}．∴P (AB )＝24＝12，P (A )＝34.∴P (B |A )＝P AB P A ＝1234＝23. 法二：由方法一可知n (A )＝3，n (AB )＝2. ∴P (B |A )＝n AB n A ＝23. 2．“条件概率P (B |A )”与“积事件的概率P (A ·B )”混同袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．易错分析：本题错误在于P (AB )与P (B |A )的含义没有弄清，P (AB )表示在样本空间S 中，A 与B 同时发生的概率；而P (B |A )表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的A 已经发生的条件下事件B 发生的概率．考查数学建模的学科素养．自我纠正：P (C )＝P (AB )＝P (A )·P (B |A )＝410×69＝415.。
2-2.2.1二项式分布的应用——条件概率
栏目导引
1．条件概率的概念．(难点) 2．条件概率的求法及应用．(重点)
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第二章 随机变量及其分布
栏目导引
工具
第二章 随机变量及其分布
栏目导引
在一次英语口试中，共有10道题可选择．从中随机地抽取5
道题供考生回答，答对其中3道题即可及格．假设作为考生的你，
只会答10道题中的6道题． 那么，你及格的概率是多少？在抽到的第一题不会答的情 况下你及格的概率又是多少？
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第二章 随机变量及其分布
栏目导引
(2)利用缩小样本空间的观点计算 在这种观点下，原来的样本空间Ω缩小为已知的事件 A，原来的事件B缩小为事件AB，从而可以在缩小的概率空 间上利用古典概型计算概率的公式计算条件概率，即事件B nAB 的条件概率为P(B|A)＝ . nA
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第二章 随机变量及其分布
事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道答错”，
事件D为“该考生在这次考试中通过”，
事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，
则A、B、C两两互斥，且D＝A∪B∪C，
由古典概型的概率公式及加法公式可知
P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) C106 C105· 101 C104· 102 12 180 C C ＝C 6＋ C 6 ＋ C 6 ＝ C 6 . 20 20 20 20
2 1 答案： (1)π (2)4
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第二章 随机变量及其分布
栏目导引
抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点
数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：
(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率； (2)事件B发生的条件下事件A发生的概率．
工具
第二章：随机变量及其分布（教案）
1 2．1．1离散型随机变量教学分析知识目标：1.1.理解随机变量的意义；理解随机变量的意义；理解随机变量的意义；2.2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量 的例子；的例子；3.3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量. .能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力. . 情感目标：学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣：学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣. . 教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 授课类型：新授课新授课 课时安排：1课时课时 教 具：多媒体、实物投影仪：多媒体、实物投影仪内容分析：本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和统计的一些知识．学习这些知识后，我们将能解决类似引言中的一些实际问题一些知识．学习这些知识后，我们将能解决类似引言中的一些实际问题 教学过程： 一、复习引入：二、讲解新课：思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和 0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1 ) . 在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为内的一切值3 4. 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: : 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 注意：注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，x =0，表示正面向上，x =1，表示反面向上（2）若x 是随机变量，b a b a ,,+=x h 是常数，则h 也是随机变量三、讲解范例：例1． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)(1)一袋中装有一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2) (2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η例2． 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4> 4”表示的试验结果是什么？”表示的试验结果是什么？”表示的试验结果是什么？例3 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 4km，则按，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km 4km，，则按每超出lkm 加收2元计费元计费((超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km 15km．．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程((这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费路程计费))，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)(1)求租车费求租车费η关于行车路程ξ的关系式；的关系式； ( (ⅡⅡ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km 15km，，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟停车累计最多几分钟? ?解：解：解：(1)(1)(1)依题意得依题意得η=2(ξ-4)+10-4)+10，即，即η=2ξ+2 ( (ⅡⅡ)由38=2ξ+2+2，得，得ξ=18=18，，5×（×（18-1518-1518-15））=15=15．． 所以，出租车在途中因故停车累计最多所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．分钟． 四、课堂练习：四、课堂练习：1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数x ；②长江上某水文站观察到一天中的水位x ；③某超市一天中的顾客量x 其中的x 是连续型随机变量的是（是连续型随机变量的是（ ） A ．①；．①； B ．②；．②； C ．③；．③； D ．①②③．①②③２.随机变量x 的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3P x <=，则（，则（ ） A ．3n =； B ．4n =； C ．10n =； D ．不能确定．不能确定4 3.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（的概率为（ ） A ．1112； B ．3136； C ．536； D ．1124.如果x 是一个离散型随机变量，则假命题是( ) A. x 取每一个可能值的概率都是非负数；B. x 取所有可能值的概率之和为1；C. x 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. x 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 答案：答案：1.B 2.C 3.B 4.D 1.B 2.C 3.B 4.D五、小结 ：随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念 随机变量ξ是关于试验结果的函数，果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；即每一个试验结果对应着一个实数；即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量随机变量ξ的线性组合η=a ξ+b(+b(其中其中a 、b 是常数是常数))也是随机变量 六、课后作业： 七、板书设计（略）（略） 八、教学反思：5 2． 1．2离散型随机变量的分布列教学分析教学目标：知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。
高中数学 第二章 随机变量及其分布章末复习课练习(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题
章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别．“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．2．对独立重复试验要准确理解．(1)独立重复试验的条件：第一，每次试验是在同样条件下进行；第二，任何一次试验中某事件发生的概率相等；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．(2)独立重复试验概率公式的特点：关于P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，它是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中n是重复试验次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数，弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．3．(1)准确理解事件和随机变量取值的意义，对实际问题中事件之间的关系要清楚．(2)认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等．(3)常见事件的表示．已知两个事件A、B，则A，B中至少有一个发生为A∪B；都发生为A·B；都不发生为—A ·—B ；恰有一个发生为(—A ·B)∪(A·—B )；至多有一个发生为(—A ·—B )∪(—A ·B)∪(A·—B )．4．对于条件概率，一定要区分P(AB)与P(B|A)．5．(1)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E (ξ)的值可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值．它们都由ξ的分布列唯一确定．(2)D (ξ)表示随机变量ξ对E (ξ)的平均偏离程度．D (ξ) 越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散；反之D (ξ)越小，ξ的取值越集中．(3)D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)，在记忆和使用此结论时，请注意D (aξ＋b )≠aD (ξ)＋b ，D (aξ＋b )≠aD (ξ)．6．对于正态分布，要特别注意N (μ，σ2)由μ和σ唯一确定，解决正态分布问题要牢记其概率密度曲线的对称轴为x ＝μ.专题一 条件概率的求法条件概率是高考的一个热点，常以选择题或填空题的形式出现，也可能是大题中的一个部分，难度中等．[例1] 坛子里放着7个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．解：设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A ，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B ，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB .(1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n (Ω)＝A 27＝42， 根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 14×A 16＝24. 于是P (A )＝n （A ）n （Ω）＝2442＝47.(2)因为n (AB )＝A 24＝12， 所以P (AB )＝n （AB ）n （Ω）＝1242＝27.(3)法一 由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝27÷47＝12. 法二 因为n (AB )＝12，n (A )＝24， 所以P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝1224＝12.归纳升华解决概率问题的步骤．第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验、条件概率，然后把所给问题归结为某一种．第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式．第三步，利用条件概率公式求解：(1)条件概率定义：P (B |A )＝P （AB ）P （A ）.(2)针对古典概型，缩减基本事件总数P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.[变式训练] 已知100件产品中有4件次品，无放回地从中抽取2次每次抽取1件，求下列事件的概率：(1)第一次取到次品，第二次取到正品； (2)两次都取到正品．解：设A ＝{第一次取到次品}，B ＝{第二次取到正品}．(1)因为100件产品中有4件次品，即有正品96件，所以第一次取到次品的概率为P (A )＝4100，第二次取到正品的概率为P (B |A )＝9699，所以第一次取到次品，第二次取到正品的概率为P (AB )＝P (A )P (B |A )＝4100×9699＝32825. (2)因为A ＝{第一次取到次品}，且P (A )＝1－P (A )＝96100， P (B |A )＝9599，所以P (AB )＝P (A )P (B |A )＝96100×9599＝152165. 专题2 独立事件的概率要正确区分互斥事件与相互独立事件，准确应用相关公式解题，互斥事件是不可能同时发生的事件，相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件没有影响．[例2] 某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P 1＝23，乙的命中率为P 2，在射击比赛活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．(1)若P 2＝12，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率．(2)计划在2018年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E (ξ)≥5，求P 2的取值X 围．解析：(1)因为P 1＝23，P 2＝12，根据“先进和谐组”的定义可得，该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，所以该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 12·12·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23·23⎝ ⎛⎭⎪⎫12·12＝13.(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13[C 12·P 2·(1－P 2)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23·23()P 2·P 2＝89P 2－49P 22， 又ξ～B (12，P )，所以E (ξ)＝12P ， 由E (ξ)≥5知，⎝ ⎛⎭⎪⎫89P 2－49P 22·12≥5，解得34≤P 2≤1.[变式训练] 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率． (2)2人中恰有1人射中目标的概率． (3)2人中至少有1人射中目标的概率．解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，与B ， A 与B ，与为相互独立事件．(1)2人都射中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.9＝0.72.(2)“2人中恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A 发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B 发生)．根据题意，知事件A 与B 互斥，所求的概率为P ＝P (A )＋P (B )＝P (A )P ()＋P ()P (B )＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.(3)“2人中至少有1人射中目标”包括“2人都射中”和“2人中有1人射中”2种情况，其概率为P ＝P (AB )＋[P (A )＋P (B )]＝0.72＋0.26＝0.98.专题三 独立重复试验与二项分布二项分布是高考考查的重点，要准确理解、熟练运用其概率公式P n (k )＝C kn ·p k(1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n ，高考以解答题为主，有时也用选择题、填空题形式考查．[例3] 现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，X 同学从中任取3道题解答． (1)求X 同学所取的3道题至少有1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设X 同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示X 同学答对题的个数，求X 为1和3的概率．解：(1)设事件A ＝“ X 同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“X 同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (— A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (— A )＝56.(2)P (X ＝1)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎫251·15＋C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·45＝28125； P (X ＝3)＝C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫25·45＝36125. 归纳升华解决二项分布问题必须注意： (1)对于公式P n (k )＝C k n ·p k (1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n 必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n 次．[变式训练] 口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖．每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为()A.80243B.100243C.80729D.100729解析：每次摸球中奖的概率为C 14C 15C 29＝2036＝59，由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验， 所以3次摸球恰有1次中奖的概率P ＝C 13×59×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－592＝80243.答案：A专题四 离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的均值和方差在实际问题中具有重要意义，也是高考的热点内容． [例4] (2016·某某卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. 所以，事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X 的分布列为：X 0 1 2 P415715415随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.归纳升华(1)求离散型随机变量的分布列有以下三个步骤：①明确随机变量X 取哪些值；②计算随机变量X 取每一个值时的概率；③将结果用表格形式列出．计算概率时要注意结合排列组合知识．(2)均值和方差的求解方法是：在分布列的基础上利用E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 求出均值，然后利用D (X )＝∑i ＝1n[x i －E (X )]2p i 求出方差．[变式训练] 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：0.3，0.7，0.9，求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差．(2)在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：(1)由已知条件有P (X ＜300)＝0.3，P (300≤X ＜700)＝P (X ＜700)－P (X ＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P (700≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜700)＝0.9－0.7＝0.2. P (X ≥900)＝1－P (X ＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y 的分布列为于是，E (Y )＝0×0.3D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X ＜300)＝0.7， 又P (300≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X ＜900|X ≥300)＝P （300≤X ＜900）P （X ≥300）＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.专题五 正态分布及简单应用高考主要以选择题、填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质，抓住其对称轴是关键． [例5] 某市去年高考考生成绩服从正态分布N (500，502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．解：因为考生成绩X ～N (500，502)，所以μ＝500，σ＝50，所以P (550<X ≤600)＝12[P (500－2×50<X ≤500＋2×50)－P (500－50<X ≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.故考生成绩在550～600分的人数为25 000×0.135 9≈3 398(人)． 归纳升华正态分布概率的求法1．注意3σ原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率．2．注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．[变式训练] 某镇农民年收入服从μ＝5 000元，σ＝200元的正态分布．则该镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比是________．解析：设X 表示此镇农民的平均收入，则X ～N (5 000，2002)． 由P (5 000－200＜X ≤5 000＋200)＝0.682 6. 得P (5 000＜X ≤5 200)＝0.682 62＝0.341 3.故此镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比为34.13%. 答案：34.13% 专题六 方程思想方程思想是解决概率问题中的重要思想，在求离散型随机变量的分布列，求两个或三个事件的概率时常会用到方程思想．即根据题设条件列出相关未知数的方程(或方程组)求得结果．[例6] 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率． 解：记A ，B ，C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件． 由题设条件有⎩⎪⎨⎪⎧P （A — B ）＝14，P （B — C ）＝112，P （AC ）＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）[1－P （B ）]＝14， ①P （B ）[1－P （C ）]＝112，②P （A ）P （C ）＝29. ③由①③得P (B )＝1－98P (C )，代入②得27[P (C )]2－51P (C )＋22＝0.解得P (C )＝23或P (C )＝119(舍去)．将P (C )＝23分别代入②③可得P (A )＝13，P (B )＝14.故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.(2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件．则P (D )＝1－P (— D )＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.归纳升华(1)在求离散型随机变量的分布列时，常利用分布列的性质：①p 1≥0，i ＝1，2，3，…，n ；②∑i ＝1np i ＝1，列出方程或不等式求出未知数．(2)在求两个或多个概率时，常根据不同类型的概率公式列出方程或方程组求出未知数． [变式训练] 若离散型随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 P9a 2－a3－8a求常数a 解：由离散型随机变量的性质得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－a ＋3－8a ＝1，0≤9a 2－a ≤1，0≤3－8a ≤1，解得a ＝23(舍去)或a ＝13.所以，随机变量的分布列为：ξ 0 1 P2313。
高二数学选修2-3第二章 随机变量及其分布
§2.1.1离散型随机变量一、教学目标1.复习古典概型、几何概型有关知识。
2.理解离散型随机变量的概念，学会区分离散型与非离散型随机变量。
3. 理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.重点：离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当地定义随机变量.难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究.二、复习引入：1.试验中不能的随机事件，其他事件可以用它们来，这样的事件称为。
所有基本事件构成的集合称为，常用大写希腊字母表示。
2.一次试验中的两个事件叫做互斥事件（或称互不相容事件）。
互斥事件的概率加法公式。
3. 一次试验中的两个事件叫做互为对立事件，事件A的对立事件记作，对立事件的概率公式4.古典概型的两个特征：（１） .（２） .5.概率的古典定义：P（A）= 。
6.几何概型中的概率定义：P(A)= 。
三、预习自测：1.在随机试验中，试验可能出现的结果，并且X是随着试验的结果的不同而的，这样的变量X叫做一个。
常用表示。
2.如果随机变量X的所有可能的取值，则称X为。
四、典例解析：例1写出下列各随机变量可能取得值：（1）抛掷一枚骰子得到的点数。
（2）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数。
（3）抛掷两枚骰子得到的点数之和。
（4）某项试验的成功率为0.001，在n次试验中成功的次数。
（5）某射手有五发子弹，射击一次命中率为0.9，若命中了就停止射击，若不命中就一直射到子弹耗尽.求这名射手的射击次数X的可能取值例2随机变量X为抛掷两枚硬币时正面向上的硬币数，求X的所有可能取值及相应概率。
变式训练一只口袋装有6个小球，其中有3个白球，3个红球，从中任取2个小球，取得白球的个数为X，求X的所有可能取值及相应概率。
例3△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，向△ABC内部随意投入一个小球，求小球落在△ADE 中的概率。
五、当堂检测1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是：（）(A)两次出现的点数之和；(B)两次掷出的最大点数；(C)第一次减去第二次的点数差；(D)抛掷的次数。
第二章 随机变量及其分布及第2章补充练习参考答案
第二章 随机变量及其分布1. 从一个装有4个红球和2个白球的口袋中不放回地任取5个球,以X 表示取出的红球个数.(1) 求X 的分布律;(2) 求X 的分布函数; (3) 求)40(<<X P .2. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<≤-<≤--<=2,21,3211,10)(x b a x a x a x x F ，, 且21)2(==X P ,求b a ,和X 的分布律. 3. 设随机变量X 具有分布律X -1 0 1 2 3k p 0.16 10a 2a 5a 0.3 确定常数a .4. 设在时间t(min)内,通过某十字路口的汽车数X 服从参数与t 成正比的泊松分布.已知在1min 内没有汽车通过的概率为0.2,求在2min 内有多于1辆汽车通过的概率.5. 有一决策系统,其中每一成员作出决策互不影响,且每一成员作出正确决策的概率均为)10(<<p p ,当半数以上成员作出正确决策时,系统作出正确决策,问p 多大时,5个成员的决策系统比3个成员的决策系统更为可靠?6. 某商店出售某种商品,根据历史记录分析,月销售量服从参数5=λ的泊松分布.问在月初进货时要库存多少件该种商品,才能以0.999的概率满足顾客的需求?7. 设随机变量X ~),2(2σN ,且3.0)42(=<<X P ,求)0(<X P .8. 设随机变量X ~),0(2σN ,问当σ取何值时, 概率)31(<<X P 取到最大?9. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<≥=-0,00,4)(2x x xe x f x求: (1) X 的分布函数;(2) )121(<≤-X P ; (3) )23(=X P . 10. 设随机变量X ~)1,0(U ,求X Y 32-=的密度函数.11. 设随机变量X 的密度函数为+∞<<-∞=-x Aex f x ,)(,求:(1) 确定常数A ;(2) )10(<<X P ;(3) X 的分布函数.12. 设随机变量X 的密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<<<= 其他 ,032,21,)(x B x Ax x f 且))3,2(())2,1((∈=∈X P X P ,求:(1) 常数A,B;(2) X 的分布函数.13. 设随机变量X 的绝对值不大于1, 81)1(=-=X P ,41)1(==X P ,在事件)11(<<-X 出现的条件下, X 在)1,1(-内的任一子区间上的取值的条件概率与该子区间的长度成正比,求X 的分布函数)()(x X P x F ≤=.14.设离散型随机变量X 具有分布律 ,2,1,21)(===k k X P k ,求随机变量X Y 2sin π=的分布律.15. 设一电路装有三个同种电器元件,其工作状态相互独立,且无故障工作时间都服从参数为0>λ的指数分布,当三个元件都无故障时,电路正常工作,否则整个电路不能正常工作,试求电路正常工作时间T 的概率分布.16. 设随机变量X ~)1,0(N ,求:(1) 122+=X Y 的密度函数; (2) X Z =的密度函数.第2章补充练习参考答案1. (1) X 3 4 k p32 31 (2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<= 4,143,323,0)(x x x x F (3) 32)3()40(===<<X P x P 2. 65,61==b a 3. =a 0.6 4. 255ln 224-(提示:X ~)(at π,t=1时,由)0(=X P =0.2可确定常数a ) 5. 21>p (提示:设5个成员与3个成员的决策系统中作出正确决策的人数分别为X 和Y ,则X ~),5(p B ,Y ~),3(p B ,要求)2()3(≥>≥Y P X P ) 6. 至少13件7. 0.2 8. 3ln 22=σ 9.(1)⎩⎨⎧<≥--=--0,00,21)(22x x e xe x F x x (2)231--e (3) 0 10. ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,021,31)(x y f Y 11. (1)21=A (2) 211--e (3)⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-0,2110,21)(x e x e x F x x 12. (1),31,21==B A (2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-≤<-≤=32),1(2121),1(611,0)(2x x x x x x F 13. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+-<=1,111,1671651,0)(x x x x x F 14.Y -1 0 1k p 152 31 158 15. T 服从参数为λ3的指数分布.即T 的密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00,3)(3t t e t f t T λλ(提示:T 的分布函数)(1)()(t T P t T P t F T >-=≤=)=),,(1321t X t X t X P >>>-)16. ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--1,01,)1(21)(41 y e y y f y Y π,⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0,00,2)(22z z e z f z z π第二章补充练习参考答案1. (1) X 3 4k p 32 31(2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<= 4,143,323,0)(x x x x F (3) 32)3()40(===<<X P x P 2. 65,61==b a 3. =a 0.6 4. 255ln 224-(提示:X ~)(at π,t=1时,由)0(=X P =0.2可确定常数a ) 5. 21>p (提示:设5个成员与3个成员的决策系统中作出正确决策的人数分别为X 和Y ,则X ~),5(p B ,Y ~),3(p B ,要求)2()3(≥>≥Y P X P ) 6. 至少13件7. 0.2 8. 3ln 22=σ 9.(1)⎩⎨⎧<≥--=--0,00,21)(22x x e xe x F x x (2)231--e (3) 0 10. ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,021,31)(x y f Y 11. (1)21=A (2) 211--e (3)⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-0,2110,21)(x e x e x F x x 12. (1),31,21==B A (2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-≤<-≤=32),1(2121),1(611,0)(2x x x x x x F 13. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+-<=1,111,1671651,0)(x x x x x F 14.Y -1 0 1k p 152 31 158 15. T 服从参数为λ3的指数分布.即T 的密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00,3)(3t t e t f t T λλ(提示:T 的分布函数)(1)()(t T P t T P t F T >-=≤=)=),,(1321t X t X t X P >>>-)16. ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--1,01,)1(21)(41 y e y y f y Y π,⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0,00,2)(22z z e z f z z π。
新教材高中数学习题课二随机变量及其分布新人教A版选择性必修第三册
习题课（二） 随机变量及其分布一、选择题1．已知事件A 发生时，事件B 一定发生，P (A )＝13P (B )，则P (A |B )等于( )A.16 B.14 C.13D.12解析：选C 因为P (AB )＝P (A )＝13P (B )，所以P (A |B )＝P AB P B ＝13.2．甲击中目标的概率是12，如果击中赢10分，否则输11分，用X 表示他的得分，计算X 的均值为( )A ．0.5分B ．－0.5分C ．1分D ．5分解析：选B E (X )＝10×12＋(－11)×12＝－0.5.3．已知离散型随机变量ξ的概率分布列如下：ξ 1 3 5 P0.5m0.2则数学期望E (ξ)等于( A ．1 B ．0.6 C ．2＋3mD ．2.4解析：选D 由题意得m ＝1－0.5－0.2＝0.3， 所以E (ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.4．已知随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则D (2X ＋1)等于( ) A ．6 B ．4 C ．3D ．9解析：选A 因为D (2X ＋1)＝D (X )×22＝4D (X )，D (X )＝6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝32，所以D (2X＋1)＝4×32＝6.5．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )A.1127 B.1124 C.827D.924解析：选C 设从1号箱取到红球为事件A ，从2号箱取到红球为事件B . 由题意，P (A )＝42＋4＝23，P (B |A )＝3＋18＋1＝49， 所以P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝23×49＝827，所以两次都取到红球的概率为827.6．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A ＝(例如：若a 1＝a 3＝a 5＝124A 的各位数中，已知a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，现在仪器启动一次，则E (X )＝( )A.83 B.113 C.89D.119解析：选B 法一：X 的所有可能取值为1,2,3,4,5，P (X ＝1)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝181， P (X ＝2)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝881， P (X ＝3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827， P (X ＝4)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281， P (X ＝5)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫130⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681， 所以E (X )＝1×181＋2×881＋3×827＋4×3281＋5×1681＝113.法二：由题意，X 的所有可能取值为1,2,3,4,5， 设Y ＝X －1，则Y 的所有可能取值为0,1,2,3,4，因此Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，所以E (Y )＝4×23＝83， 从而E (X )＝E (Y ＋1)＝E (Y )＋1＝83＋1＝113.二、填空题7．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝________.解析：P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，由条件概率公式，得P (B |A )＝P ABP A ＝11025＝14. 答案：148．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果P (X <10)＝0.3，P (10≤X ≤30)＝0.4，那么P (X >30)等于________．解析：根据随机变量的概率分布的性质， 可知P (X <10)＋P (10≤X ≤30)＋P (X >30)＝1， 故P (X >30)＝1－0.3－0.4＝0.3. 答案：0.39．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．解析：种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1， 每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B (1 000,0.1)，∴E (ξ)＝1 000×0.1＝100，故需补种的种子数X 的期望为2E (ξ)＝200. 答案： 200 三、解答题10．某一射手射击所得环数X 的分布列如下：X 4 5 6 7 8 9 10 P0.020.040.060.09m0.290.22(1)求m (2)求此射手“射击一次命中的环数≥7”的概率．解：(1)由分布列的性质得m ＝1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.09＋0.29＋0.22)＝0.28. (2)P (射击一次命中的环数≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.11．随机抽取某中学高一年级若干名学生的一次数学统测成绩，得到样本，并进行统计，已知分组区间和频数是[50,60)，2；[60, 70)，7；[70,80)，10；[80,90)，x ；[90,100]，2，其频率分布直方图受到破坏，可见部分如图所示，据此解答如下问题．(1)求样本容量及x 的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记2人中成绩不低于90分的人数为ξ，求ξ的数学期望．解：(1)由题意，得分数在[50,60)内的频数为2， 频率为0.008×10＝0.08， 所以样本容量n ＝20.08＝25，x ＝25－(2＋7＋10＋2)＝4.(2)成绩不低于80分的人数为4＋2＝6，成绩不低于90分的人数为2， 所以ξ的所有可能取值为0,1,2，因为P (ξ＝0)＝C 24C 26＝25，P (ξ＝1)＝C 14C 12C 26＝815，P (ξ＝2)＝C 22C 26＝115，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 P25815115所以ξ的数学期望E (ξ)＝0×5＋1×15＋2×15＝3.12．经调查统计，网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．该淘宝小店推出买一种送5元优惠券的活动．已知某网民购买A ，B ，C 商品的概率分别为23，p 1，p 2(p 1<p 2)，至少购买一种的概率为2324，最多购买两种的概率为34.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．(1)求该网民分别购买B ，C 两种商品的概率；(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求X 的分布列和数学期望． 解：(1)由题意可知至少购买一种的概率为2324，所以一种都不买的概率为1－2324＝124，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23(1－p 1)(1－p 2)＝124.① 又因为最多购买两种商品的概率为34，所以三种都买的概率为1－34＝14，即23p 1p 2＝14.② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p 1＝12，p 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝34，p 2＝12.因为p 1<p 2，所以某网民购买B ，C 两种商品的概率分别为p 1＝12，p 2＝34.(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，由题意可得X 的所有可能取值为0,5,10,15.则P (X ＝0)＝124，P (X ＝5)＝23×12×14＋13×12×14＋13×12×34＝14， P (X ＝10)＝23×12×14＋23×12×34＋13×12×34＝1124， P (X ＝15)＝23×12×34＝14.所以X 的分布列为则E (X )＝0×124＋5×14＋10×24＋15×4＝12.。
高中数学同步练习 条件概率
第二章 2.2 2.2.1A 级 基础巩固一、选择题1．抛掷红、黄两枚质地均匀的骰子,当红色骰子的点数为4或6时,两枚骰子的点数之积大于20的概率是( B )A ．14 B ．13 C ．12D ．35[解析] 抛掷红、黄两枚骰子共有6×6＝36个基本事件,其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件,此时两枚骰子点数之积大于20包含4×6,6×4,6×5,6×6,共4个基本事件．所求概率为13．2．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”,事件B ＝“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)＝( B )A ．18B ．14C ．25D ．12[解析] ∵P(A)＝C 23＋C 22C 25＝25,P(AB)＝C 22C 25＝110,∴P(B|A)＝P (AB )P (A )＝14．3．抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6},令事件A ＝{2,3,5},B ＝{1,2,4,5,6},则P(A|B)等于( A )A ．25B ．12C ．35D ．45[解析] ∵A∩B＝{2,5},∴n(AB)＝2.又∵n(B)＝5,∴P(A|B)＝n (AB )n (B )＝25．4．在区间(0,1)内随机投掷一个点M(其坐标为x),若A ＝{x|0<x<12},B ＝{x|14<x<34},则P(B|A)等于( A )A ．12B ．14C ．13D ．34[解析] P(A)＝121＝12.因为A∩B＝{x|14<x<12},所以P(AB)＝141＝14,P(B|A)＝P (AB )P (A )＝1412＝12．5．已知某产品的次品率为4%,其合格品中75%为一级品,则任选一件为一级品的概率为( C ) A ．75% B ．96% C ．72%D ．78.125%[解析] 记“任选一件产品是合格品”为事件A, 则P(A)＝1－P(A )＝1－4%＝96%．记“任选一件产品是一级品”为事件B ．由于一级品必是合格品,所以事件A 包含事件B,故P(AB)＝P(B)．由合格品中75%为一级品知P(B|A)＝75%； 故P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝96%×75%＝72%．6．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10000次后还能继续使用的概率是0.80,开关了15000次后还能继续使用的概率是0.60,则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是( A )A ．0.75B ．0.60C ．0.48D ．0.20[解析] 记“开关了10000次后还能继续使用”为事件A,记“开关了15000次后还能继续使用”为事件B,根据题意,易得P(A)＝0.80,P(B)＝0.60,则P(A∩B)＝0.60,由条件概率的计算方法,可得P ＝P (A∩B )P (A )＝0.600.80＝0.75． 二、填空题7．(2018·淄博二模)从标有1,2,3,4,5的五张卡片中,依次抽出2张,则在第一次抽到偶数的条件下,第二次抽到奇数的概率为__34__．[解析] 在第一次抽到偶数时,还剩下1个偶数,3个奇数, ∴在第一次抽到偶数的条件下, 第二次抽到奇数的概率为34．故答案为34．8．100件产品中有5件次品,不放回地抽取两次,每次抽1件,已知第一次抽出的是次品,则第2次抽出正品的概率为__9599__．[解析] 设“第一次抽到次品”为事件A,“第二次抽到正品”为事件B,则P(A)＝5100＝120,P(AB)＝C 15C 195A 2100＝19396,所以P(B|A)＝P (AB )P (A )＝9599． 9．设P(A|B)＝P(B|A)＝12,P(A)＝13,则P(B)等于__13__．[解析] ∵P(B|A)＝P (A∩B )P (A ),∴P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)＝12×13＝16,∴P(B)＝P (A∩B )P (A|B )＝1612＝13．三、解答题10．一个盒子中有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每一次取后不放回．若已知第一只是好的,求第二只也是好的概率．[解析] 令A i ＝{第i 只是好的},i ＝1,2． 解法一：n(A 1)＝C 16C 19,n(A 1A 2)＝C 16C 15, 故P(A 2|A 1)＝n (A 1A 2)n (A 1)＝C 16C 15C 16C 19＝59．解法二：因事件A 1已发生(已知),故我们只研究事件A 2发生便可,在A 1发生的条件下,盒中仅剩9只晶体管,其中5只好的,所以P(A 2|A 1)＝C 15C 19＝59．B 级 素养提升一、选择题1．(2019·深圳一模)夏秋两季,生活在长江口外浅海域的中华鲟洄游到长江,历经三千多公里的溯流搏击,回到金沙江一带产卵繁殖,产后待幼鱼长大到15厘米左右,又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼苗,该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15,雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05,若该批鱼苗中的一个诞性个体在长江口外浅海域已长成熟,则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( C )A ．0.05B ．0.0075C ．13D ．16[解析] 设事件A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟, 事件B 为雌性个体成功溯流产卵繁殖,由题意可知P(A)＝0.15,P(AB)＝0.05, ∴P(B|A)＝P (AB )P (A )＝0.050.15＝13．故选C ．2．(2019·山西一模)甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“三局两胜”制,甲在每局比赛中获胜的概率均为23,且各局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为( B )A ．13B ．25C ．23D ．45[解析] 由题意,甲获得冠军的概率为23×23＋23×13×23＋13×23×23＝2027,其中比赛进行了3局的概率为23×13×23＋13×23×23＝827,∴所求概率为827÷2027＝25,故选B ． 二、填空题3．从1～100这100个整数中,任取一数,已知取出的一数是不大于50的数,则它是2或3的倍数的概率为__3350__．[解析] 解法一：根据题意可知取出的一个数是不大于50的数,则这样的数共有50个,其中是2或3的倍数的数共有33个,故所求概率为3350．解法二：设A ＝“取出的数不大于50”,B ＝“取出的数是2或3的倍数”,则P(A)＝50100＝12,P(AB)＝33100, ∴P(B|A)＝P (AB )P (A )＝3350．4．投掷两颗均匀骰子,已知点数不同,设两颗骰子点数之和为ξ,则ξ≤6的概率为__1130__．[解析] 解法一：投掷两颗骰子,其点数不同的所有可能结果共30种,其中点数之和ξ≤6的有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),共11种,∴所求概率P ＝1130．解法二：设A ＝“投掷两颗骰子,其点数不同”,B ＝“ξ≤6”,则P(A)＝3036＝56,P(AB)＝1136,∴P(B|A)＝P (AB )P (A )＝1130．三、解答题5．某校高三(1)班有学生40人,其中共青团员15人．全班平均分成4个小组,其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员,求他是第一组学生的概率． [解析] 设事件A 表示“选到第一组学生”, 事件B 表示“选到共青团员”． (1)由题意,P(A)＝1040＝14．(2)解法一：要求的是在事件B 发生的条件下,事件A 发生的条件概率P(A|B)．不难理解,在事件B 发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提),有15种不同的选择,其中属于第一组的有4种选择．因此,P(A|B)＝415．解法二：P(B)＝1540＝38,P(AB)＝440＝110,∴P(A|B)＝P (AB )P (B )＝415．6．设b 和c 分别是抛掷一枚骰子先后得到的点数,用随机变量X 表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率； (2)求X 的分布列；(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．[解析] (1)由题意知,设基本事件空间为Ω,记“方程x 2＋bx ＋c ＝0没有实根”为事件A,“方程x2＋bx ＋c ＝0有且仅有一个实根”为事件B,“方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根”为事件C,则Ω＝{(b,c)|b,c ＝1,2,…,6},A ＝{(b,c)|b 2－4c<0,b,c ＝1,2,...,6} B ＝{(b,c)|b 2－4c ＝0,b,c ＝1,2,...,6} C ＝{(b,c)|b 2－4c>0,b,c ＝1,2, (6)∴Ω中的基本事件总数为36个,A 中的基本事件总数为17个,B 中的基本事件总数为2个,C 中的基本事件总数为17个．又∵B 、C 是互斥事件,故所求概率P ＝P(B)＋P(C)＝236＋1736＝1936．(2)由题意,X 的可能取值为0,1,2,则P(X ＝0)＝1736,P(X ＝1)＝118,P(X ＝2)＝1736,故X 的概率分布列为：(3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件D,“方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根”为事件E,由上面分析得 P(D)＝1136,P(DE)＝736,∴P(E|D)＝P (DE )P (D )＝711．。
概率论与数理统计+第二章+随机变量及其分布+练习题答案
滨州学院《概率论与数理统计》（公共课）练习题第二章 随机变量及其分布一、填空题 10.712设一本书的各页的印刷错误个数X 服从泊松分布律．已知有一个和两个印刷错误的页数相同，则随意抽查的4页中无印刷错误的概率p = 0.0003 ．3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=≤=．若，；，若；，若；，若 3 1 324544 21 51 1 0 }{)(x x x x x X x F P 4{}12525.032)05.0()02(25.0=-=---=<≤F F X P ． 例2.11设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其它06310)(9231x x x f ;若k 使得32)(=≥k X P ，则k 的取值范围是 . 【[1,3]】例2.13 设X 服从二项分布),(p n B ，且已知)2()1(===X P X P ，)3(2)2(===X P X P ，则)4(=X P ＝ . 【24310】 例2.14若随机变量X 服从正态分布)0)(,(2>σσμN ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率是21，则=μ . 【4】2.22 （1）24310；（2）4；（3）2922；（4）649；（5）)0(2)1(ln 221)(+∞<<--=y y Y I e y y f π〖选择题〗1 [ C ]2 [ C ]3 [ C ]例2.1 【C 】例2.2 【A 】 例2.3 【B 】例2.5 【A 】例2.16设随机变量X ,Y 相互独立均服从正态分布)4,1(N , 若概率21)1(=<-bY aX P ,则(A)1,2==b a(B) 2,1==b a(C) 1,2=-=b a(D) 2,1-==b a 【A 】例2.18 设X 为随机变量, 若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=01020232X A 的特征根全为实数的概率为0.5, 则(A)X 服从区间[0,2]上的均匀分布 (B) X 服从二项分布B(2, 0.5) (C) X 服从参数为1的指数分布 (D) X 服从标准正态分布 【A 】2.23 （1）A ；（2）B ；（3）C ；（4）C ；（5）B 解答题〗 〖解答题〗例2.30解 不妨假设正立方体容器的边长为１．引进事件：{}0==X A ，即事件A 表示“小孔出现在容器的下底面”．由于小孔出现在正立方体的6个侧面是等可能的，易见 61)(=A P ．从而，{}61===)(0A X P P．对于任意x ＜0，显然()=x F ０；而()610=F ．由于小孔出现的部位是随机性，可见对于任意)75.0,0(∈x ，有(){}{}．641646100xx x X X x F +=+=≤<+≤=P P 该式中4x 表示容器的四个侧面x 以下的总面积，而容器6个侧面的总面积为６．对于任意x ≥0.75，显然()1=x F．于是，最后得()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=．若若若 75.0 , 1 , 75.00 , 641, 0 , 0 x x x x x F例2.31（分布函数）解 因X 服从指数分布，且21==λX E (百小时)，故分布参数λ=0.5，故X的分布函数为()⎩⎨⎧≤>-=-．，若；，若0 0 0 e 15.0x x x G x 易见，{}1.0min ，X Y=．设)(y F 是Y 的分布函数，则对于y <0，)(y F =0；对于y >0.1，)(y F =1；对于1.00≤≤y ,有{}{}．，y y G y X y X y Y y F 5.0e 1)(}1.0 min{}{)(--==≤=≤=≤=P P P 于是，{}.10 min ，X Y=的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<=-．，若，若，，若 1.0 1 , 1.00 e 1 0 0 5.0y y y y F y例2.33解 试验次数X 是一随机变量．为求X 的概率分布，引进事件：j B ={第j 次试验成功}（j =1,2,…,n ）．显然P(j B ) = p ．而由于试验的独立性，知事件n B B B ,,,21 …相互独立．设试验进行到成功或n 次为止，则X 的可能值为1,2,…,n 且1}1{B X==；对于2≤k ≤n－1，．；；；，111111112111)(}{ )(}1{)12()(}{}{ }{------======-≤≤=======k n k k k n k k q B B n X p B X n k pq B B B k X B B B n X B B B k X P P P P P P于是，X 的概率分布为有限几何分布：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1121321~n n q pq pq pq pn n X ． 例2.35解 以ν表示抽到的30件产品中不合格品的件数，则ν服从参数为（30，0.02）的二项分布：．；；4545.0}0{1}1{3340.002.098.030}1{5455.098.0}0{2930==-=≥=⨯⨯=====ννννP P P P1) 不合格品不少于两件的概率．1205.002.098.03098.01}1{}0{1}2{2930=⨯⨯--==-=-=≥=ννναP P P2) 在已经发现一件不合格品的条件下，不合格品不少于两件的条件概率{}．2652.0}1{}2{}1{}2,1{12≈≥≥=≥≥≥=≥≥=νννννννβP P P P P 例2.36解 由条件知每台设备出现故障的概率为0.08．以ν表示10台设备中同时出现故障的台数，则ν服从参数为（10，0.08）的二项分布．需要安排的值班人数k 应满足条件：95.0}{≥≤k νP ．需要对不同的k 进行试算．首先，设k =１和k ＝２，相应得{}{}{}{}{}{}．，95.09599.008.092.008.092.01092.021281.008.092.01092.010128210910910≥≈⨯⨯+⨯⨯+==+≤=≤≈⨯⨯+==+==≤C ννννννP P P P P P因此，至少需要安排2个人值班．例2.37解 设X ——一周5个工作日停用的天数；Y ——一周所创利润．X 服从参数为(5,0.2)的二项分布．因此，有．，，，057.0205.0410.0328.01}3{205.08.02.010}2{410.08.02.05}1{328.08.0}0{3245=---=≥=⨯⨯===⨯⨯=====X X X X P P P P一周所创利润Y 是X 的函数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-====３．，若２，，若１，，若，，若X X X X Y 2 2 7 0 10 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-328.0410.0205.0057.010722~Y ． 例2.38(二项分布)解 设n ——至少出现一件不合格品所要生产产品的件数，则n 件产品中不合格品的件数n ν服从参数为（n ，0.01）的二项分布；按题意，n 应满足条件．， 0729.29899.0ln 05.0ln 95.099.01}0{1}1{≈≥≥-==-=≥n nn n ννP P 于是，为至少出现一件不合格品的概率超过95%，最少需要298.0729×3≈895分，将近14小时55分．例3.41解 由条件知X +Y 是一日内到过该商店的顾客的人数，服从参数为λ的泊松分布．设X ——一日内到过该商店的顾客中购货的人数．由条件知，在一日内有n 个顾客到过该商店的条件下，购货人数的条件概率分布为{}()．；),2,1,0(1m n m p p C n Y X m X mn m m n ≥=-==+=- P由全概率公式可见，对于m =0,1,2,…，有{}{}{}()[]()()()()[]()()[]()()()．p mp mk km m n mn m mn nmn mm nmn n mn mm nmn m p m p p k m p p m n m p n p p C n p p Cn Y X n Y X m Xm X λλλλλλλλλλλλλλλ---∞=-∞=--∞=--∞=--∞===-=--=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==+=+===∑∑∑∑∑e ! e e ! 1!1e!1!1e!!1ee ! 110P P P于是，一日内到过该商店的顾客中购货的人数X 服从参数为p λ的泊松分布．同理，Y 服从参数为)1(p -λ的泊松分布．例2.44 解 以()t ν表示t =90天内售出的电冰箱台数．可以假设()t ν服从参数为t λ的泊松分布．由条件知()λν77E ==56，从而λ=8（台）．这样，()t ν服从参数为t λ=8t 的泊松分布： (){}()() ,2,1,0 e !88===-k k t k t tkνP ．随机变量X 的可能值为自然数m =0,1,2,…．记t a λ=．由全概率公式，有{}(){}(){}()()()()()()()()， pa m pa a a m k k a m m n mn ammn a n m n m m nmn m pa m pa k qa m pa m n qa m pan a q p C n a n a m X m X ---∞=-∞=--∞=--∞====-=======∑∑∑∑e !e e ! ! e!! e ! e ! 0ννP P P 其中6.390805.0=⨯⨯==t p pa λ．因此返修件数X 服从参数为3.6的泊松分布：{}() ,2,1,0 e !6.36.3===-m m m X m P ．例2.47解 由条件知{}{}{}{}，⎪⎭⎫ ⎝⎛--≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--=≤≤-=≤-≤--=≤--=>-=310821)36(310821310823108310812011 1 025.0a a a X a X a a X a a a X a a X ΦΦΦP P P P P其中()x Φ是标准正态分布函数．由熟知的事实()975.096.1=Φ，可见．；；94.5696.131082 0.975031082≈≈-≈⎪⎭⎫⎝⎛-a a a Φ 例2.48 解 由条件知()210,0~N X．设ν为100次独立重复测量中事件{}6.19 >X 出现的次数，则{}05.096.1106.19 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=>=X X p P P ．易见ν服从参数为(100 , 0.05)的二项分布，近似服从参数为5的泊松分布．因此{}{}{}{}{}()．87.05.125115.125105.095.0299100 05.095.010095.012101313555529899100≈++-=---≈⨯⨯⨯-⨯⨯--==-=-=-=<-=≥=----e e e e ννννναP P P P P 〖证明题〗例2.52（分布函数）证明 只需验证)()()(21x bF x aF x F +=满足分布函数的三条基本性质．由条件知a 和b 非负且a +b =1．由于)(1x F 和)(2x F 都是分布函数，可见对于任意，有1)()()(021=+≤+=≤b a x bF x aF x F对于任意实数21x x <，由于)2,1)(()(21=≤i x F x F i i ，可见，)()()()()()(2222112111x F x bF x aF x bF x aF x F =+≤+=即)(x F 单调不减．由)(1x F 和)(2x F 的右连续性，可见)(x F 也右连续．最后，．；1)(lim )(lim )(lim 0)(lim )(lim )(lim 2121=+==+=+∞→+∞→+∞→-∞→-∞→-∞→x F b x F a x F x F b x F a x F x x x x x x于是)()()(21x bF x aF x F +=也是分布函数．例2.53（分布函数） 证明 指数分布函数为)0(e 1)(≥-=-x x F x λ设}{P )(y Y y G ≤=为Y=)(X F 的分布函数．由于分布函数)(x F 的值域为(0,1)，可见当0≤y时0)(=y G ；当1≥y 时1)(=y G ．设10<<y ，有．y y F y X y y Y y G X =⎪⎭⎫⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--≤=≤-=≤=-)1ln(1)1ln(1}e 1{}{)(λλλP P P 于是，)(y G 是区间(0,1)上的均匀分布函数，从而Y=例2.4 【π2=C ；5)arctan 2(πe】例2.6 连续型随机变量X 的分布函数为：x B A x F arctan )(+=，∞<<∞-x试求：（1）常数A 、B ；（2）)11(<<-X P ；（3）随机变量X 的概率密度.【（1）π1,21==B A ；（2）21；（3）)1(12x +π】 例2.7 设随机变量X 具有对称的密度函数，即)()(x f x f =-，证明对任意的0>a ，有（1）⎰-=-=-adx x f a F a F 0)(21)(1)(（2）1)(2)|(|-=<a F a X P (3) ))(1(2)|(|a F a X P -=>问题3: 已知实际背景, 求随机变量的分布律与分布函数(或密度函数)例2.8 一袋中装有4个球，球上分别记有号码1,2,3,4。
高中数学 第2章 概率 2.1 随机变量及其概率分布讲义 苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学
2.1 随机变量及其概率分布学习目标核心素养1.了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列刻画随机现象的重要性，会求某些简单离散型随机变量的分布列．(重点、难点)2．掌握离散型随机变量分布列的性质，掌握两点分布的特征．(重点)1.通过对离散型随机变量的学习，提升数学抽象素养．2．借助随机变量的分布列，提升逻辑推理素养.1．随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示．思考1：随机变量是自变量吗？[提示] 不是，它是随试验结果变化而变化的，不是主动变化的．思考2：离散型随机变量的取值必须是有限个吗？[提示] 不一定．离散型随机变量的取值可以一一列举出来，所取值可以是有限个，也可以是无限个．2．概率分布列假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，x n，且P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n，①则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．称表X x1x2…x nP p1p2…p np i(i ＝1,2，…，n)满足条件：①p i≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝1.思考3：在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数吗？[提示] 错误．每一个可能值对应的概率为[0,1]中的实数．思考4：离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1吗？[提示] 不可以．由离散型随机变量的含义与分布列的性质可知不可以．思考5：离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的吗？[提示] 是．离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是彼此互斥的．3．两点分布如果随机变量X的分布表为X 10P p q其中0<p<1，q＝1－p，这一类分布称为01分布或两点分布，并记为X～01分布或X～两点分布．1．掷均匀硬币一次，随机变量为( )A．掷硬币的次数B．出现正面向上的次数C．出现正面向上的次数或反面向上的次数D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和B[掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.A项中，掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的概率的和必是1，对应的是必然事件，所以不是随机变量．] 2．设离散型随机变量ξ的分布列如下：ξ－1012 3P 0.100.200.100.200.40 Pξ0．40 [P(ξ<1.5)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.10＋0.20＋0.10＝0.40.] 3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验成功与否(记X＝0为试验失败，记X＝1为试验成功)，则P(X＝0)等于________．1 3[设试验失败的概率为p，则2p＋p＝1，∴p＝13.]随机变量的概念【例1】(1)国际机场候机厅中2019年5月1日的旅客数量；(2)2019年1月1日至5月1日期间所查酒驾的人数；(3)2019年6月1日某某到的某次列车到站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．[思路探究] 利用随机变量的定义判断．[解] (1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)列车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．随机变量的辨析方法(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．(2)随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．1．(1)下列变量中，是随机变量的是________．(填上所有正确的序号)①某人掷硬币1次，正面向上的次数；②某音乐歌曲《小苹果》每天被点播的次数；③标准大气压下冰水混合物的温度；④你每天早晨起床的时间．(2)一个口袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X，则X的可能取值构成集合________．事件{X＝k}表示取出________个红球，________个白球，k＝0,1,2,3,4.(1)①②④(2){0,1,2,3,4} k4－k[(1)①②④中每个事件的发生是随机的，具有可变性，故①②④是随机变量；标准大气压下冰水混合物的温度为0 ℃，是必然的，不具有随机性．(2)由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,4.{X＝k}表示取出的4个球中含k个红球，4－k个白球．]随机变量的分布列及应用【例2】ξ表示取出的3只球中的最大，写出随机变量ξ的概率分布．[思路探究] 由本例中的取球方式可知，随机变量ξ与球的顺序无关，其中球上的最大只有可能是3,4,5，可以利用组合的方法计算其概率．[解] 随机变量ξ的可能取值为3,4,5.当ξ＝3时，即取出的三只球中最大为3，则其他两只球的编号只能是1,2，故有P(ξ＝3)＝C22C35＝110；当ξ＝4时，即取出的三只球中最大为4，则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只，故有P(ξ＝4)＝C23C35＝310；当ξ＝5时，即取出的三只球中最大为5，则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只，故有P(ξ＝5)＝C24C35＝610＝35.因此，ξ的分布列为ξ34 5P11031035利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意∑i＝1np i＝1，而且要注意p i≥0，i＝1,2，…，n.2．设随机变量ξ的概率分布为P⎝⎛⎭⎪⎫ξ＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)．求：(1)常数a的值；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35； (3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜ξ<710.[解] 题目所给的ξ的概率分布表为ξ 15 25 35 45 55 Pa2a3a4a5a(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝15.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝45＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝55＝315＋415＋515＝45或P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝1－P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≤25＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋215＝45.(3)因为110<ξ<710，所以ξ＝15，25，35.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<ξ<710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＝a ＋2a ＋3a ＝6a ＝6×115＝25.随机变量的可能取值及试验结果[1．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？[提示] 可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X ，则X 可取哪些数字？ [提示] X ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？[提示] “ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．【例3】 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6X卡片中任取2X，所取卡片上的数字之和．[思路探究] 分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果[解] (1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2， (11)(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5， (11)X＝3，表示“取出标有1,2的两X卡片”；X＝4，表示“取出标有1,3的两X卡片”；X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两X卡片”；X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两X卡片”；X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两X卡片”；X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两X卡片”；X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两X卡片”；X＝10，表示“取出标有4,6的两X卡片”；X＝11，表示“取出标有5,6的两X卡片”．用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)在2018年大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．[解] (1)X可能取值0,1,2,3,4,5，X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.(2)ξ可能取值为0,1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．1．本节课重点是随机变量的概念及随机变量的分布列及其性质，以及两点分布，难点是随机变量的取值及概率．2．判断一个试验是否为随机试验，依据是这个试验是否满足以下三个条件：(1)试验在相同条件下是否可以重复；(2)试验的所有可能结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；(3)每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验前无法预知出现哪个结果．3．本节课的易错点：在利用分布列的性质解题时要注意：①X＝xi的各个取值所表示的事件是互斥的；②不仅要注意i＝1np i＝1，而且要注意0≤p i≤1，i＝1,2，…，n.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )(2)在概率分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )(3)概率分布列中每个随机变量的取值对应的概率都相等．( )(4)在概率分布列中，所有概率之和为1.( )[解析] (1)√因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．(2)×因为在概率分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]X围内．(3)×因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．(4)√由分布列的性质可知，该说法正确．[答案] (1)√(2)×(3)×(4)√2．下列叙述中，是随机变量的为( )A．某人早晨在车站等出租车的时间B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度C．射击十次，命中目标的次数D ．袋中有2个黑球，6个红球，任取2个，取得1个红球的可能性 C [根据随机变量的含义可知，选C.] 3．随机变量η的分布列如下：则x 0 0.55 [由分布列的性质得 0．2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.] 4．袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量X 为此时已摸球的次数，求随机变量X 的概率分布列．[解] 随机变量X 可取的值为2,3,4， P (X ＝2)＝C 12C 13C 12C 15C 14＝35；P (X ＝3)＝A 22C 13＋A 23C 12C 15C 14C 13＝310；P (X ＝4)＝A 33C 12C 15C 14C 13C 12＝110；所以随机变量X 的概率分布列为：。
2018_2019学年高中数学2.1离散型随机变量及其分布列(6)限时训练(无答案)新人教A版选修2_3
集宁一中东校区高二年级学理科数学限时跟踪训练（6）一.选择填空题（每题8分，共72分）1．某人射击的命中率为p(0<p<1)，他向一目标射击，射中目标则停止射击，射击次数的取值是( )A．1,2,3，…，n B．1,2,3，…，n，…C．0,1,2，…，n D．0,1,2，…，n，…2. 10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率3. 下列随机变量中不是离散型随机变量的是( )A．盒子里有除颜色不同，其他完全相同的红球和白球各5个，从中摸出3个球，白球的个数XB．小明回答20道选择题，答对的题数XC．某人早晨在车站等出租车的时间XD．某人投篮10次投中的次数X4．一串钥匙有5枚，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数ξ的最大值可能为( )A．5 B．2C． 3 D．45. ①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；③测量一批电阻，阻值在950 Ω～1 200 Ω之间记为X；④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机变量的是( )A．①②B．①③C．①④D．①②④6．(2015·太原高二检测)某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次未击中目标D．第4次击中目标7. 100粒玉米种子中有4粒被虫蛀，从中任取3粒当种子，设可能含有的被虫蛀的种子X1粒，则X的可能取值为________．8. 在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________________．9. 在一批产品中共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是________．二.解答题（每题14分，共28分）10. 写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果．(1)一个人要开房门，他共有10把钥匙，其中仅有一把是能开门的，他随机取钥匙去开门并且用后不放回，其中打开门所试的钥匙个数为ξ；(2)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.11. 袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球则得2分，用X表示得分数，求X的概率分布列．.2。
高中数学选修2-3(人教A版)第二章随机变量及其分布2.2知识点总结含同步练习及答案
第二章随机变量及其分布 2.2二项分布及其应用
一、学习任务 1. 了解条件概率的定义及计算公式，并会利用条件概率解决一些简单的实际问题． 2. 能通过实例理解相互独立事件的定义及概率计算公式，并能综合利用互斥事件的概率加法公 式即对立事件的概率乘法公式． 3. 理解独立重复试验的概率及意义，理解事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 公式，并能利用 n 次独立重复试验的模型模拟 n 次独立重复试验． 二、知识清单
（2）设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 P1 ，则
¯ ∩ ¯¯ ¯ ∩ ¯¯ ¯ ∩ ¯¯ ¯) P1 = P (¯¯ A A B B ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯) = P (¯¯ A A B B 1 2 = (1 − )2 (1 − )2 2 5
n−k k P (X = k) = Ck , k = 0, 1, 2, ⋯ , n. n p (1 − p)
此时称随机变量 X 服从二项分布（binnomial distribution），记作 X ∼ B(n, p)），并称 p 为 成功概率． 例题： 下列随机变量 X 的分布列不属于二项分布的是（ ） A．投掷一枚均匀的骰子 5 次，X 表示点数 6 出现的次数 B．某射手射中目标的概率为 p ，设每次射击是相互独立的，X 为从开始射击到击中目标所需要 的射击次数 C．实力相等的甲、乙两选手举行了 5 局乒乓球比赛，X 表示甲获胜的次数 D．某星期内，每次下载某网站数据后被病毒感染的概率为 0.3，X 表示下载 n 次数据后电脑被 病毒感染的次数 解：B 选项 A，试验出现的结果只有两个：点数为 6 和点数不为 6 ，且点数为 6 的概率在每一次试验 都为
高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布 2-2-1条件概率
1．某气象台统计，该地区下雨的概率为
4 15
，刮四级以
上风的概率为
2 15
，既刮四级以上的风又下雨的概率为
1 10
，
设A为下雨，B为刮四级以上的风，求P(B|A)，P(A|B)．
解析： 由题意知P(A)＝145，
P(B)＝125，P(AB)＝110，
1 故P(B|A)＝PPAAB＝140＝38.
知识重难点
1．由条件概率的定义知，P(B|A)与P(A|B)是不同的；另 外，在事件A发生的前提下，事件B发生的可能性大小不一定 是P(B)，即P(B|A)与P(B)不一定相等．
2 ． 在 条 件 概 率 的 定 义 中 ， 要 强 调 P(A) ＞ 0. 当 P(A) ＝ 0 时，不能用现在的方法定义事件A发生的条件下事件B发生的 条件概率．
C620
C620
11分
故所求的概率为1538.
12分
[规律方法] 1.利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可 使求有些条件概率较为简捷，但应注意这个性质是在“B与 C互斥”这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条件而乱 用这个公式．
2．求复杂的概率，往往把它分解为若干个互不相容的 简单事件，然后利用条件概率和乘法公式．
[问题2] 三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同 学无放回地抽取一张，奖品是“周杰伦武汉演唱会门票一 张”，那么问最后一名同学中奖的概率是否比前两位小？
[提示] 设三张奖券为X1，X2，Y，其中Y表 示中奖奖券且Ω为所有结果组成的全体，“最后 一名同学中奖”为事件B，则所研究的样本空间Ω ＝{X1YX2，X2YX1，X1X2Y，X2X1Y，YX1X2，YX2X1}
3．P(B|A)＝
高中数学 第二章 随机变量及其分布学业质量标准检测练习(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题
第二章 学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法不正确的是( C )A ．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B ．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0C ．公式E (X )＝np 可以用来计算离散型随机变量的均值D ．从一副扑克牌中随机抽取5X ，其中梅花的X 数服从超几何分布[解析] 公式E (X )＝np 并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算．故选C ．2．若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、5个红球，现从两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 15＋C 14C 16C 112C 111的是( C )A ．P (X ＝0)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)[解析] 由已知易知P (X ＝1)＝C 18C 15＋C 14C 16C 112C 111．3．已知10件产品中有3件是次品，任取2件，若X 表示取到次品的件数，则E (X )等于( A )A ．35 B ．815 C ．1415D ．1[解析] 由题意知，随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×715＋1×715＋2×15＝15＝5．4．(2018·全国卷Ⅱ理，8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( C )A ．112B ．114C ．115 D ．118[解析] 不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C 210＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，∴所求概率为345＝115．故选C ．5．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是( C )A ．0.16B ．0.24C ．0.96D ．0.04[解析] 三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96．6．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( C )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的[解析]X ＝k 表示取出的螺丝钉恰有k 只为好的，则P (X ＝k )＝C k 7C 4－k3C 410(k ＝1、2、3、4)．∴P (X ＝1)＝130，P (X ＝2)＝310， P (X ＝3)＝12， P (X ＝4)＝16，∴选C ．7．(2020·全国卷Ⅲ)设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1,10x 2，…，10x n 的方差为( C )A ．0.01B ．0.1C ．1D ．10[解析] 因为数据ax i ＋b i (i ＝1,2，…，n )的方差是数据x i (i ＝1,2，…，n )的方差的a 2倍，所以所求数据方差为102×0.01＝1.故选C ．8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)<P (X ＝6)，则p ＝( B )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3[解析] 由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X 服从二项分布，即X ～B (10，p )，所以DX ＝10p (1－p )＝2.4，所以p ＝0.4或0.6.又因为P (X ＝4)<P (X ＝6)，所以C 410p 4·(1－p )6<C 610p 6(1－p )4，所以p >0.5，所以p ＝0.6．二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．指出下列随机变量是离散型随机变量的是( AB ) A ．小明回答20道选择题，答对的题数 B ．某超市5月份每天的销售额C ．某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差XD ．某某某某市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一X 围内变化，该水位站所测水位X [解析] A 项，小明回答的题数X 的取值可以一一列出，故X 为离散型随机变量；B 项，某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量；C 项，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量，D 项，不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一X 围内变化，不能按次序一一列举．故选AB ．10．把一条正态曲线C 1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C 2，下列说法中正确的是( ABC )A ．曲线C 2仍然是正态曲线B ．曲线C 1和曲线C 2的最高点的纵坐标相等C ．以曲线C 2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C 1为概率密度曲线的总体的期望大2D ．以曲线C 2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C 1为概率密度曲线的总体的方差大2 [解析] 正态曲线沿着横轴方向水平移动只改变对称轴位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线．在正态曲线沿着横轴方向水平移动的过程中，σ始终保持不变，所以曲线的最高点的纵坐标(即正态密⎭⎪⎫度函数的最大值12πσ不变，方差σ2也没有变化．设曲线C 1的对称轴为x ＝μ，那么曲线C 2的对称轴为x ＝μ＋2，说明期望从μ变到了μ＋2，增大了2．11．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( ACD )A ．2个球都是红球的概率为16B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23D ．2个球中恰有1个红球的概率为12[解析] 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A 2， 则P (A 1)＝13，P (A 2)＝12，且A 1，A 2独立；在A 中，2个球都是红球为A 1A 2，其概率为16，A 正确；在B 中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为56，B 错误；在C 中，2个球中至少有1个红球的概率为1－P (A )P (B )＝1－23×12＝23，C 正确；在D中，2个球中恰有1个红球的概率为13×12＋23×12＝12，D 正确．故选ACD ．12．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A 1，A 2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B 表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是( AD )A ．P (B )＝2330B ．事件B 与事件A 1相互独立C ．事件B 与A 2事件相互独立D ．A 1，A 2互斥[解析] 由题意知P (A 1)＝35，P (A 2)＝25，P (B )＝P (B |A 1)＋P (B |A 2)＝35×56＋25×46＝＝2330，A 正确；又P (A 1B )＝12，因此P (A 1B )≠P (A 1)P (B )，B 错误；同理，C 错误；A 1，A 2不可能同时发生，故彼此互斥，故D 正确，故选AD ．三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知随机变量ξ的分布列如下表，则a ＝__0.2__，E (ξ)＝__1.8__.[解析] ；E (ξ)＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8．14．一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”，则P (B |A )＝__23__．[解析] 由条件知，P (A )＝34，P (AB )＝C 23C 24＝12，∴P (B |A )＝P AB P A ＝23．15．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1、A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是__②④__(写出所有正确结论的序号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．[解析] 从甲罐中取出一球放入乙罐，则A 1、A 2、A 3中任意两个事件不可能同时发生，即A 1、A 2、A 3两两互斥，故④正确，易知P (A 1)＝12，P (A 2)＝15，P (A 3)＝310，又P (B |A 1)＝511，P (B |A 2)＝411，P (B |A 3)＝411，故②对③错；∴P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝P (A 1)·P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)·P (B |A 3)＝12×511＋15×411＋310×411＝922，故①⑤错误．综上知，正确结论的序号为②④．16．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为__625__.(用数字作答)[解析] 由a 4＝2，a 7＝－4可得等差数列{a n }的通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1,2,3，…)．{a n }的前10项分别为8,6,4,2,0，－2，－4，－6，－8，－10.由题意知三次取数相当于三次独立重复试验，在每次试验中取得正数的概率为25，取得负数的概率为12，在三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C 23(25)2(12)1＝625．四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？[解析] 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球； 事件B ：从1号箱中取出的是红球．P (B )＝42＋4＝23． P (B )＝1－P (B )＝13．(1)P (A |B )＝3＋18＋1＝49．(2)∵P (A |B )＝38＋1＝13，∴P (A )＝P (A ∩B )＋P (A ∩B ) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B ) ＝49×23＋13×13＝1127． 18．(本题满分12分)(2019·全国Ⅱ卷理，18)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．(1)求P (X ＝2)；(2)求事件“X ＝4且甲获胜”的概率．[解析] (1)X ＝2就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P (X ＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5．(2)X ＝4且甲获胜，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1．19．(本题满分12分)甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X ，Y ，X 和Y 的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较.[解析]E (X )＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，D (X )＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81．工人乙生产出次品数Y 的数学期望和方差分别为E (Y )＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D (Y )＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61．由E (X )＝E (Y )知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D (X )>D (Y )，可见乙的技术比较稳定．20．(本题满分12分)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望E (X )． [解析] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 48C 510＝518．(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4， 则P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142．因此X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2． 21．(本题满分12分)某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考查得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是23，且各题答对与否互不影响．设选手甲、选手乙答对的题数分别为X ，Y ． (1)写出X 的概率分布列(不要求计算过程)，并求出E (X )，E (Y )；(2)求D (X )，D (Y )．请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛． [解析] (1)X 的分布列为所以E (X )＝1×15＋2×35＋3×5＝2．由题意得，Y ～B (3，23)，E (Y )＝3×23＝2．(2)由(1)得E (X )＝E (Y )．D (X )＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25．∵Y ～B (3，23)，∴D (Y )＝3×23×13＝23．∴D (X )<D (Y )．因此，建议该单位派甲参加竞赛．22．(本题满分12分)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．[解析] (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有 P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14．(2)X 的可能取值为0,1,2，且 P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115综上知，X 的分布列为：故E (X )＝0×715＋1×15＋2×15＝5．。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.2.2 事件的相互独立性 新人教A
解析：根据相互独立事件的概念知，这三个说法都是 正确的．
答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．袋内有 3 个白球和 2 个黑球，从中不放回地摸球， 用 A 表示“第一次摸得白球”，用 B 表示“第二次摸得白 球”，则 A 与 B 是( )
A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件 解析：根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定
(3)条件概率法：当 P(A)＞0 时，可用 P(B|A)＝P(B) 判断．
[变式训练] 下面所给出的两个事件 A 与 B 相互独立
吗？ ①抛掷一枚骰子，事件 A＝“出现 1 点”，事件 B＝
“出现 2 点”； ②先后抛掷两枚均匀硬币，事件 A＝“第一枚出现正
面”，事件 B＝“第二枚出现反面”；
③在含有 2 红 1 绿三个大小相同的小球的口袋中，任 取一个小球，观察颜色后放回袋中，事件 A＝“第一次取 到绿球”，B＝“第二次取到绿球”．
解：①事件 A 与 B 是互斥事件，故 A 与 B 不是相互
独立事件．
②第一枚出现正面还是反面，对第二枚出现反面没有
影响，所以 A 与 B 相互独立．
③由于每次取球观察颜色后放回，故事件 A 的发生 对事件 B 发生的概率没有影响，所以 A 与 B 相互独立．
义可知，A 与 B 不是相互独立事件．
答案：D
3．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去
北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没
有影响，那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为
()
A.5690
B.35
1
1
C.2
D.60
解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14， 15.因此，他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45，所以， 至少有 1 人去北京旅游的概率为 P＝1－23×34×45＝35.
人教版高中数学选修2-3第二章随机变量及其分布单元测试(一)- Word版含答案
2018-2019学年选修2-3第二章训练卷随机变量及其分布（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则()3P ξ==（ ） A ．22313C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B ．22331C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ C ．21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭D ．23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭2．某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率是（ ） A ．0.1462B ．0.1538C ．0.9962D ．0.85383．已知某离散型随机变量X 服从的分布列如图，则随机变量X 的方差D(X)等于（ ）A ．19B ．29C ．13D ．234．设随机变量ξ等可能取值1、2、3、…、n ，如果P(ξ<4)＝0.3，那么n 的值为（ ） A ．3 B ．4C ．9D ．105．有编号分别为1、2、3、4、5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为（ ） A ．521B ．27C ．13D ．8216．在比赛中，如果运动员A 胜运动员B 的概率是23，那么在五次比赛中运动员A恰有三次获胜的概率是（ ） A ．40243B ．80243C ．110243D ．202437．如果随机变量ξ表示抛掷一个各面分别有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量ξ的均值为（ ） A ．2.5B ．3C ．3.5D ．48．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是（ ） A ．512B ．12C ．712D ．349．设随机变量ξ的概率分布列为()()()110,1kk P k p p k ξ--===，则E(ξ)和D(ξ)的值分别是（ ） A ．0和1B ．p 和p 2C ．p 和1－pD ．p 和(1－p)p10．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为（ ） A ．0.9B ．0.2C ．0.7D ．0.511．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为（ ）A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多2只是坏的12．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R 的函数：()1f x x =，()22f x x =，()33f x x =，()4sin f x x =，()5cos f x x =，()62f x =．现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为（ ） A ．74B ．7720C ．34D ．73此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）13．随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ＝0)＝15，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________．14．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)． ①P(B)＝25；②P(B|A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．15．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数字0，两个面上标以数字1，一个面上标以数字2．将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望 是_______．16．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E(ξ)＝________(结果用最简分数表示)．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（12分）某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X 的分布列．18．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35，现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立． （1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．19．（12分）端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．（1）求三种粽子各取到1个的概率；（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．20．（12分）甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．（1）求甲、乙两人都被分到A社区的概率；（2）求甲、乙两人不在同一个社区的概率；（3）设随机变量ξ为四名同学中到A社区的人数，求ξ的分布列和E(ξ)的值．21．（12分）有红、黄、蓝、白4种颜色的小球，每种小球数量不限且它们除颜色不同外，其余完全相同，将小球放入编号为1，2，3，4，5的盒子中，每个盒子只放一只小球．（1）放置小球满足：“对任意的正整数j(1≤j≤5)，至少存在另一个正整数k(1≤k≤5，且j≠k)使得j号盒子与k号盒子中所放小球的颜色相同”的概率；（2）记X为5个盒子中颜色相同小球个数的最大值，求X的概率分布和数学期望E(X)．22．（14分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．2018-2019学年选修2-3第二章训练卷随机变量及其分布（一）答 案一、选择题． 1．【答案】C【解析】ξ＝3表示前2次测到的为次品，第3次测到的为正品， 故()234431P ξ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭=．故选C ．2．【答案】A【解析】237240C 10.1462C P =-=．故选A ．3．【答案】B【解析】由m ＋2m ＝1得，m ＝13，∴E(X)＝0×13＋1×23＝23，()22122202133393D X ⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，故选B ．4．【答案】D【解析】∵P(ξ<4)＝3n ＝0.3，∴n ＝10．故选D ．5．【答案】D【解析】从10个球中任取4个，有410C 210=种取法， 取出的编号互不相同的取法有445C 280⋅=种，∴所求概率P ＝80210＝821．故选D ． 6．【答案】B 【解析】32352280C 133243P ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选B ． 7．【答案】C【解析】∵p( ξ＝k)＝16(k ＝1，2，…，6)．∴()()12616 3.5E ξ++=⋯+=．故选C ．8．【答案】C【解析】由题意P(A)＝12，P(B)＝16，事件A 、B 中至少有一个发生的概率P ＝1－12×56＝712．9．【答案】D【解析】这是一个两点分布，分布列为∴E(ξ)＝p ，D(ξ)＝p(1－p)10．【答案】D【解析】设事件A 、B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5， 事件恰有一人击中敌机的概率为()()()()()()()110.5P AB AB P A P B P A P B +=⋅-+-⋅=．故选D ．11．【答案】C【解析】ξ＝k 表示取出的螺丝钉恰有k 只为好的，则()473410C C C 4)2(13k kP k k ξ-===、、、， ∴P(ξ＝1)＝130，P(ξ＝2)＝310，P(ξ＝3)＝12，P(ξ＝4)＝16．故选C ．12．【答案】A【解析】由于()2f x ，()5f x ，()6f x 为偶函数，()1f x ，()3f x ，()4f x 为奇函数， ∴随机变量ξ可取1，2，3，4．()131621C 1C P ξ===，()11331165C C 3C 2C 10P ξ===，()111323111654C C C 3C C C 203P ξ===，()1111321311116543C C C C 1C C C 24C 0P ξ===．∴ξ的分布列为E(ξ)＝1×12＋2×310＋3×320＋4×120＝74．二、填空题． 13．【答案】25【解析】本题考查期望，方差的求法．设ξ＝1概率为P ．则E(ξ)＝0×15＋1×P ＋2(1－P －15)＝1，∴P ＝35．故D(ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)×35＋(2－1)2×15＝25．14．【答案】②④【解析】由条件概率知②正确．④显然正确．而且P(B)＝P(B∩(A 1∪A 2∪A 3))＝P(B∩A 1)＋P(B∩A 2)＋P(B∩A 3) ＝P(A 1)·P(B|A 1)＋P(A 2)P(B|A 2)＋P(A 3)P(B|A 3) ＝510·511＋210·411＋310·411＝922． 故①③⑤不正确． 15．【答案】49【解析】设ξ表示向上的数之积，则P(ξ＝1)＝13×13＝19，P(ξ＝2)＝12C ×13×16＝19， P(ξ＝4)＝16×16＝136，P(ξ＝0)＝34．∴Eξ＝1×19＋2×19＋4×136＝49．16．【答案】47【解析】由题意，ξ的可能取值为0，1，2，则()2527C 10C 210P ξ===，()115227C C 10C 121P ξ===，()2227C 1C 221P ξ===． ∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝1221＝47．三、解答题． 17．【答案】见解析．【解析】由题意知，用X 表示成功的人数，则X 服从n ＝3，p ＝34的二项分布，于是有()3333C 144kkk P X k -⎛⎫⎛⎫=⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=，0,1,2,3k =．∴X 的分布列为18．【答案】（1）1315；（2）分布列见解析，140．【解析】（1）设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立 事件，则事件B 为一种新产品都没有成功，因为甲，乙成功的概率分别为23，35．则P(B)＝(1－23)×(1－35)＝13×25＝215，再根据对立事件概率之间的公式可得P(A)＝1－P(B)＝1315， ∴至少一种产品研发成功的概率为1315．（2）由题可设该企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有0，120＋0，100＋0，120＋100，即ξ＝0，120，100，220，由独立试验的概率计算公式可得： P(ξ＝0)＝(1－23)×(1－35)＝215；P(ξ＝120)＝23×(1－35)＝415；P (ξ＝100)＝(1－23)×35＝15；P(ξ＝220)＝23×35＝25；∴ξ的分布列如下：则数学期望E(ξ)＝0×215＋120×415＋100×15＋220×25＝32＋20＋88＝140．19．【答案】（1）14；（2）分布列见解析，35．【解析】（1）令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有()111235310C C C 1C 4P A ==． （2）X 的可能取值为0，1，2，且()38310C 70C 15P X ===，()1228310C C 71C 15P X ===，()2128310C C 12C 15P X ===；综上知，X 的分布列为：故E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)20．【答案】（1）118；（2）56；（3）分布列见解析，43．【解析】（1）记甲、乙两人同时到A 社区为事件M ，那么()232343A 1C A 18P M ==，即甲、乙两人同时分到A 社区的概率是118． （2）记甲、乙两人在同一社区为事件E ，那么()332343A 1C A 6P E ==，∴甲、乙两人不在同一社区的概率是()()516P E P E =-=． （3）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“ξ＝i(i ＝1，2)”是指有i 个同学到A 社区，则()22422343C A 1C 32A p ξ===．∴()()21312p pξξ-====， ξ的分布列是：∴E(ξ)＝1×23＋2×13＝43．21．【答案】（1）31256；（2）分布列见解析，635256．【解析】（1）4种颜色的球放置在5个不同的盒子中，共有45种放法， 满足条件的发放分为两类：①每个盒子中颜色都相同，共有4种，②有2种颜色组成，共有22452C C 120⨯⨯=，所求的概率为54120314256P +==． （2）X 的可能的值为2，3，4，5．则()1321124542545C C C C C C 7541282P X +===，()132455C C 34541283P X ⋅===， ()1414535C C C 1544256P X ===，()54145526P X ===； ∴X 的概率分布列为：E(X)＝2×75128＋3×45128＋4×15256＋5×1256＝635256．22．【答案】（1）710；（2）分布列见解析，35．【解析】（1）记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}， B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}． 由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥， 且B 1＝A 1A 2，21212B A A A A =+，C ＝B 1＋B 2． 因P(A 1)＝410＝25，P(A 2)＝510＝12，∴P(B 1)＝P(A 1A 2)＝P(A 1)P(A 2)＝25×12＝15，()()()()()()()()()()212121212121211P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=-++-=212111152522⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故所求概率为P(C)＝ P(B 1＋B 2)＝P(B 1)＋P(B 2)＝15＋12＝710．（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，∴13,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭～．于是()03031464C 551025P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，()12131448C 551125P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=， ()21231412C 551225P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，()3033141C 551235P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=． 故X 的分布列为X 的数学期望为E(X)＝3×15＝35．。
人教版高中数学第二章2.2-2.2.1条件概率
类型 3 条件概率的性质及其应用
[典例 3] 在一个袋子中装有 10 个球，设有 1 个红球， 2 个黄球，3 个黑球，4 个白球，从中依次摸 2 个球，求 在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的 概率．
解：法一 设“摸出第一个球为红球”为事件 A，“摸 出第二个球为黄球”为事件 B，“摸出第三个球为黑球” 为事件 C，则 P(A)＝110，P(AB)＝110××29＝415，P(AC)＝ 110××39＝310.
答案：甲抽到的数大于 4 的情形有(5，1)，(5，2)， (5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)， (6，4)，(6，5)，(6，6)，共 12 个，其中甲、乙抽到的两 数之和等于 7 的情形有(5，2)，(6，1)，共 2 个．所以 P(B|A) ＝122＝16.
第二章 随机变量及其分布
2．2 二项分布及其应用 2．2.1 条件概率
[学习目标] 1.通过对具体情景的分析，了解条件概 率的定义(重点)． 2.掌握求条件概率的两种方法(难 点)． 3.利用条件概率公式解决一些简单的问题(重点、 难点)．
[知识提炼·梳理]
1．条件概率
条件 设 A，B 为两个事件，且 P(A)＞0
解析：由题意可知，n(B)＝C1322＝12，n(AB)＝A33＝6.
所以 P(A|B)＝nn（（ABB））＝162＝12.
答案：12
5．在 5 道题中有 3 道数学题和 2 道物理题．如果不 放回地依次抽取 2 道题，则在第 1 次抽到数学题的条件下， 第 2 次抽到数学题的概率是________．
生的条件下，事件 B 不会发生．
(2)对，因为事件 A 等于事件 B，所以事件 A 发生， 事件 B 必然发生．
高中数学 第二章 随机变量及其分布章末复习 新人教A版选修2-3
解 设顾客所获的奖励额为X，
依题意，得 P(X＝60)＝CC11·C24 13＝12，
即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为12.
解答
②顾客所获的奖励额的分布列及均值；
解 依题意得X的所有可能取值为20,60， P(X＝20)＝CC2423＝12，P(X＝60)＝12，
即X的分布列为
X
20
60
P
1 2
1 2
所以这位顾客所获奖励额的均值为 E(X)＝20×12＋60×12＝40.
解答
(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标 有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组 成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所 获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计， 并说明理由.
跟踪训练3 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为 1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产 该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零 售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. (1)已知甲厂产品的等级系数X1的分布列如下表：
1 ③曲线在 x＝μ 处达到峰值 σ 2π ； ④曲线与x轴之间的面积为 1 ； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着 μ 的变化而沿x轴平移， 如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ 越小 ，曲线越“瘦高”，表示总 体的分布越集中；σ 越，大曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如 图乙所示.
解答
反思与感悟 求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能的全部取值； (2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)； (3)写出X的分布列； (4)由分布列和均值的定义求出E(X)； (5)由方差的定义，求D(X)，若X～B(n，p)，则可直接利用公式求，E(X)＝ np，D(X)＝np(1－p).
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2.2.1 条件概率, [A 基础达标]1．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为( ) A ．0.6 B ．0.7 C ．0.8D ．0.9解析：选C.设“第一个路口遇到红灯”为事件A ，“第二个路口遇到红灯”为事件B ，则P (A )＝0.5，P (AB )＝0.4， 则P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.8.2．(2018·西安高二检测)7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是( ) A.14 B.15 C.16 D.17解析：选C.记“甲站在中间”为事件A ，“乙站在末尾”为事件B ，则n (A )＝A 66，n (AB )＝A 55， P (B |A )＝A 55A 66＝16.3．(2018·洛阳高二检测)一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第一次取得一等品的条件下，第二次取得的是二等品的概率是( ) A.12 B.13 C.14D.23解析：选A.设事件A 表示“第一次取得的是一等品”，B 表示“第二次取得的是二等品”． 则P (AB )＝3×25×4＝310，P (A )＝35.由条件概率公式知 P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝31035＝12.4．在区间(0，1)内随机投掷一个点M (其坐标为x )，若A ＝{x |0<x <12}，B ＝{x |14<x <34}，则P (B |A )等于( )A.12 B.14 C.13D.34解析：选A.P (A )＝121＝12.因为A ∩B ＝{x |14<x <12}，所以P (AB )＝141＝14，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1412＝12.5．(2018·四川广安期末)甲、乙两人从1，2，…，15这15个数中，依次任取一个数(不放回)，则在已知甲取到的数是5的倍数的情况下，甲所取的数大于乙所取的数的概率是( ) A.12 B.715 C.815D.914 解析：选D.设事件A ＝“甲取到的数是5的倍数”，B ＝“甲所取的数大于乙所取的数”，又因为本题为古典概型概率问题，所以根据条件概率可知，P (B |A )＝n （A ∩B ）n （A ）＝4＋9＋143×14＝914.故选D. 6．已知P (A )＝0.4，P (B )＝0.5，P (A |B )＝0.6，则P (B |A )为________． 解析：因为P (A |B )＝P （AB ）P （B ），所以P (AB )＝0.3. 所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.30.4＝0.75.答案：0.757．抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子的点数为3或6，则两骰子点数之和大于8的概率为________．解析：令A ＝“抛掷出的红、蓝两颗骰子中蓝骰子的点数为3或6”，B ＝“两骰子点数之和大于8”，则A ＝{(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，AB ＝{(3，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}． 所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝n （AB ）n （A ）＝512.答案：5128．从一副不含大、小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张．已知第1次抽到A ，则第2次也抽到A 的概率是________．解析：设“第1次抽到A ”为事件A ，“第2次也抽到A ”为事件B ，则AB 表示两次都抽到A ，P (A )＝452＝113，P (AB )＝4×352×51＝113×17，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝117. 答案：1179．(2018·福建厦门六中高二下学期期中)一个袋子中，放有大小、形状相同的小球若干，其中标号为0的小球有1个，标号为1的小球有2个，标号为2的小球有n 个．从袋子中任取2个小球，取到标号都是2的小球的概率是110.(1)求n 的值；(2)从袋子中任取2个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率． 解：(1)由题意得C 2n C 2n ＋3＝n （n －1）（n ＋3）（n ＋2）＝110，解得n ＝2(负值舍去)．所以n ＝2.(2)记“一个的标号是1”为事件A ，“另一个的标号也是1”为事件B ，所以P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝C 22C 25－C 23＝17. 10．已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．解：设“任选一人是男人”为事件A ；“任选一人是女人”为事件B ，“任选一人是色盲”为事件C .(1)P (C )＝P (AC )＋P (BC )＝P (A )P (C |A )＋P (B )P (C |B )＝100200×5100＋100200×0.25100＝21800.(2)P (A |C )＝P （AC ）P （C ）＝520021800＝2021.[B 能力提升]11．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1，2，3，4，5，6点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，记事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (B |A )的值为( ) A.12 B.13 C.14D.16解析：选B.根据题意，事件A 为“x ＋y 为偶数”，则x ，y 两个数均为奇数或偶数，共有2×3×3＝18个基本事件．所以事件A 发生的概率为P (A )＝2×3×36×6＝12，而A ，B 同时发生，基本事件有“2＋4”“2＋6”“4＋2”“4＋6”“6＋2”“6＋4”，一共有6个基本事件， 所以事件A ，B 同时发生的概率为P (AB )＝66×6＝16， 所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1612＝13.12．从1～100共100个正整数中，任取一数，已知取出的一个数不大于50，则此数是2或3的倍数的概率为________．解析：设事件C 为“取出的数不大于50”，事件A 为“取出的数是2的倍数”，事件B 是“取出的数是3的倍数”． 则P (C )＝12，且所求概率为P (A ∪B |C )＝P (A |C )＋P (B |C )－P (AB |C )＝P （AC ）P （C ）＋P （BC ）P （C ）－P （ABC ）P （C ）＝2×(25100＋16100－8100)＝3350.答案：335013．一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么：(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？解：(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A ，“再摸出1个白球”为事件B ，则“先后两次摸出白球”为事件AB ，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果， 所以P (A )＝12，P (AB )＝2×14×3＝16，所以P (B |A )＝1612＝13.所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13.(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A 1，“再摸出1个白球”为事件B 1，“两次都摸出白球”为事件A 1B 1，P (A 1)＝12，P (A 1B 1)＝2×24×4＝14，所以P (B 1|A 1)＝P （A 1B 1）P （A 1）＝1412＝12.所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12.14．(选做题)在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若能答对其中的5道题就能获得优秀．已知某考生能答对其中的10道题，并且已知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．解：设“该考生6道题全答对”为事件A ，“该考生恰好答对了5道题”为事件B ，“该考生恰好答对了4道题”为事件C ，“该考生在这次考试中通过”为事件D ，“该考生在这次考试中获得优秀”为事件E ，则D ＝A ∪B ∪C ，E ＝A ∪B ，且A ，B ，C 两两互斥，由古典概型的概率公式知P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝C 610C 620＋C 510C 110C 620＋C 410C 210C 620＝12 180C 620， 又AD ＝A ，BD ＝B ， 所以P (E |D )＝P (A ∪B |D ) ＝P (A |D )＋P (B |D ) ＝P （AD ）P （D ）＋P （BD ）P （D ）＝P （A ）P （D ）＋P （B ）P （D ）＝C 610C 62012 180C 620＋C 510C 110C 62012 180C 620＝1358.。