二维连续型随机变量及其概率分布

3.2 二维连续型随机变量及其概率分布
3.2.1 联合分布函数和边缘分布函数 3.2.2 联合密度函数和边缘密度函数 3.2.4 随机变量的独立性 3.2.5 二维正态分布
3.2.1 联合分布函数和边缘分布函数
定义3.3 设(ξ,η)是二维随机变量，x,y是任意实数， 令 F ( x, y ) = P{ξ ≤ x,η ≤ y} ，则称F(x,y)为二维随 机变量(ξ,η)的联合分布函数，简称为(ξ,η)的分布函 数。
(2)ξ和η的联合分布函数和边缘分布函数； (3)P{(ξ,η) ∈G},G如右图所示； (4)P{ξ ≤ η};
+∞ 3 x 2 y x > 0 3e 3 x , x > 0 +∞ dy, ∫ 6e (1 解：) f ξ ( x) = ∫ f ( x, y )dy = 0 = x ≤ 0 0, x ≤ 0 ∞ 0, 2e 2 y , y > 0 同样可得，fη ( y ) = ∫ f ( x, y )dx = ∞ 0, y ≤ 0 (2)(ξ ,η )的联合分布函数
在联合分布函数中，除第i个变量xi外，让其余所 有变量都趋向于+∝，就可得到ξi的边缘分布函数，即 Fξi(xi)=F(+∝,…,+∝,xi ,+∝,…,+∝)，若对于任意实数 x1, x2,…, xn，恒有联合分布函数F(x1, x2,…, xn)= Fξ1(x1)…Fξn(xn)，则称随机变量ξ1,ξ2,…,ξn相互独立。
P{x1 < ξ ≤ x2 , y1 < η ≤ y 2 } = F ( x2 , y 2 ) + F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y 2 ) F ( x2 , y1 )
二维随机变量的联合函数的基本性质： (1) F(x,y)对x和y分别是单调非降的，即对任意固定 的x，任意实数y1<y2有：F(x,y1) ≤ F(x,y2)；对任 意固定的y，任意实数x1<x2有：F(x1,y) ≤ F(x2,y) (2) 0 ≤ F(x,y) ≤ 1；F(-∝, -∝)=0；F (+∝, +∝)=1 (3) F(x,y)对x和y分别右连续，即对任意的x,y有 F(x+0,y)=F(x,y)；F(x,y+0)=F(x,y)；
例3.11 设(ξ,η)的联合分布密度函数为
8 xy, 0 ≤ x ≤ 10,0 ≤ y ≤ x f ( x, y ) = 其它 0,
求ξ和η的边缘密度函数。 解：当0 ≤x ≤1时，ξ的边缘密度函数：
f ξ ( x) =
+∞ ∞
∫
f ( x, y )dy = ∫0 8 xydy = 4 x 3
F ( x, y ) =
∑∑
{( i、j )|满足x i ≤ x , y j ≤ y }
P{ξ = xi ,η = y j }
3.2.2 联合密度函数和边缘密度函数
定义3.4 设F(x,y)是(ξ,η)的联合分布函数，如果存 在一个函数f(x,y)，使得对于任意的x和y恒有
F ( x, y ) = ∫ ∞ ∫ ∞ f (u , v)dudv
+∞
∫ x ∫ y 6e 3u 2 v dudv, x > 0, y > 0 0 0 F ( x, y ) = ∫ ∫ f (u , v)dudv = 其它 ∞ ∞ 0,
x y
1 e 3 x , x > 0 ξ的边缘分布函数Fξ ( x) = F ( x,+∞) = 0, x ≤ 0 1 e 2 y , y > 0 同理，η的边缘分布函数Fη ( y ) = 0, y ≤ 0 (3) P{(ξ ,η ) ∈ G} = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫0 {∫0 6e 3 x 2 y dy}dx
Fη1η2 (y1,y2)=P{η1≤y1, η2≤y2}=P{aξ1+b≤y1, ξ23≤y2} =P{ξ1≤(y1-b)/a, ξ2≤ 3 y 2 } 由于ξ1与ξ2独立, 上式=P{ξ1≤(y1-b)/a}P{ ξ2≤ 3 y 2 } = P{aξ1+b≤y1}P{ ξ23≤y2} = P{η1≤y1}P{η2≤y2} = Fη1(y1) Fη2 (y2) 即η1与η2相互独立。
1 G 1 x
= 1 3e 2 + 2e 3
(4) P{ξ ≤ η} =
x≤ y
∫∫ f ( x, y )dxdy
由于f(x,y)仅在第一象限非 0，故积分区域K如右图：
P{ξ ≤ η} = ∫∫ 6e 3 x 2 y dxdy
K
= ∫0 dy ∫0 6e
y+∞源自3 x 2 ydx = 3 / 5
+∞ +∞
二维随机变量(ξ,η)的每个分量也有密度函数。若ξ 的边缘分布函数为Fξ(x)，如果存在某个函数fξ(x)， x 对于任意实数x，有Fξ ( x) = ∫ f ξ (t )dt ，则称fξ(x)为ξ ∞ 的边缘密度函数。 边缘密度函数与联合密度函数的关系式：
f ξ ( x) =
+∞ ∞ +∞
3.2.4 随机变量的独立性
定义3.5 设随机变量(ξ,η)的联合密度函数为f(x,y)， ξ和η的边缘密度函数分别为fξ(x),fη(x)，如果对任 意实数x和y，有f(x,y)= fξ(x)fη(x)，则称随机变量
ξ和η相互独立，反之，则称ξ和η不独立。
相互独立随机变量的性质： (1)随机变量ξ与η相互独立的充要条件是：η关于 ξ=x的条件密度函数与条件无关，等于η的边缘 密度函数(或ξ关于η=x的条件密度函数与条件 无关，等于ξ的边缘密度函数)； (2)两个随机变量ξ、η相互独立的充要条件为它们 的联合分布函数等于边缘分布函数的乘积，即 对任意实数x、y有F(x,y)= Fξ(x)Fη(x)；
x y
则称f(x,y)为二维随机变量(ξ,η)的联合概率密度函 数(简称密度函数)，同时称(ξ,η)为二维连续型随机 变量。
联合密度函数具有的性质：
(1) f ( x, y ) ≥ 0 (2) ∫ ∞ ∫ ∞ f ( x, y )dxdy = 1
反之，满足这两个条件的函数f(x,y)都可以作为某个 连续型二维随机变量的密度函数。
1/ π , x 2 + y 2 ≤ 1 f ( x, y ) = 其它 0,
ξ的边缘密度函数为
1 x 1 | x |< 1 2 1 x 2 , | x |< 1 ∫ 1 x dy, = π f ξ ( x) = ∫ f ( x, y )dy = π | x |≥ 1 | x |≥ 1 ∞ 0, 0,
x
当0 ≤y≤1时，η的边缘密度函数：
fη ( y ) =
+∞ ∞
∫
f ( x, y )dx = ∫y 8 xydx = 4 y (1 y 2 )
1
4 x , 0 ≤ x ≤ 1 所以： f ξ ( x) = 0, 其它
3
4 y (1 y 2 ), 0 ≤ y ≤ 1 fη ( y ) = 其它 0,
若存在某个函数f(x1, x2,…, xn)，对一切实数x1, x2,…, xn，总有
F ( x1 , x2 ,..., xn ) = 和Fξi ( xi ) =
xi x1 x 2 x 3 ∞ ∞ ∞
∫ ∫ ∫ ... f (t ,..., t
1 i
n
)dt1 ...dt n
∞
∫ fξ (t )dt , i = 1,2,3,..., n
∫ f ( x, y )dy；fη ( y ) = ∫ f ( x, y )dx
∞
设G是平面上的有界区域，面积为A，若(ξ,η)的密 度函数 1 / A, ( x, y ) ∈ G f ( x, y ) = 其它 0, 则称(ξ,η)在G上服从均匀分布。
例3.9 设(ξ,η)在以原点为中心的单位圆上服从均匀 分布，求(ξ,η)的联合密度函数，和求ξ,η的边缘密度 函数。 解：因x2+y2 ≤1的面积为π，所以联合密度函数为
+∞
2 2
同理，η的边缘密度函数为
2 1 y 2 , | y |< 1 fη ( y ) = ∫ f ( x, y )dx = π | y |≥ 1 ∞ 0,
+∞
例3.10 设(ξ,η)的联合密度函数为
6e 3 x 2 y , x > 0, y > 0 f ( x, y ) = 其它 0, 试求(1)ξ和η的边缘密度函数；
(4) 对任意的x1<x2和y1<y2有 F(x2, y2)+ F(x1, y1)- F(x1, y2)- F(x2, y1) ≥ 0 任何二维随机变量的分布函数都满足以上四条性 质，反之，满足这四条性质的函数都可以作为某 个二维随机变量的联合分布函数。
二维随机变量(ξ,η)的每个分量都是一维随机变量， 都有自己的分布函数，称之为边缘分布函数。 Fξ(x)=P{ω|ξ(ω)≤x}=P{ξ≤x,η≤+∝}=F(x,+∝); 同样： Fη(x)=F(+∝,y) 对二维离散型随机变量，联合分布：
n维随机变量 设ξ1, ξ2,…, ξn为n个定义在同一基本事件空间 上的随机变量，它们按某个顺序排列，就构成了n维 随机变量(ξ1, ξ2,…, ξn)。 对任意的n个实数x1, x2,…, xn，令F(x1, x2,…, xn)=P{ξ1≤ x1 ,…, ξn≤ xn }，称为n维随机变量(ξ1, ξ2,…, ξn)的联合分布函数。 对每个随机变量ξi，令Fξi(xi)=P{ξi≤xi}， i=1,2,…,n，它们称为随机变量ξi的边缘分布函数。
的实数，则称(ξ,η)为服从参数为1,2, σ12,σ22, ρ的二 维正态分布，记成(ξ,η)~N(1,2, σ12,σ22, ρ)