函数的间断点及其类型

f (1 ) 2 ,
f (1),
断点 .
x 0 为函数的第一类可去间
若令 f (1) 2,
2 x , 则 f (x) 1 x , 0 x 1, x 1, 在 x 1 处连续 .
7
例
讨论函数
1 , f (x) x x,

x 0, x 0,
x 0
x 0
( 2 ) f ( x ) 在 x 0 处连续 .
解 因为
lim f ( x ) 1 , lim f ( x ) b ,
x 0
所以
( 1 ) 要 lim f ( x ) 存在 , 必需且只需
x 0
x 0
lim f ( x ) lim f ( x ), 即 b 1( a 可任取 ).



.
如果 f ( x 0 ) f ( x 0 ), 则称点 x 0 为函数 f ( x )的可去间断点 .
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 函数在点 x 0 处的左、右极限都存在
.
5
第二类间断点 如果 f ( x ) 在点 x 0 处的左、右极限
f ( x 0 ), f ( x 0 ) 至少有一个不存 函数 f ( x )的第二类间断点 .
x 0
lim e
x 0
2x
1 2x 1 ln( 1 3 x )
x 0
1 lim
1 2x 1 ln( 1 3 x )
x 0
1 lim 2
x 0
(2 x ) 3x

1 3
23
x 0 , ln( 1 x ) ~ x ,
arcsin x ~ x ,
u 0
e lim
3
u u(u 2)
u 0
e lim
3
1 u2
u 0

e
3
.
24
2
( 3 ) lim f ( x ) f ( x 0 ).
x x0
x x0
如果上述三个条件中只
要有一个不满足
, 则称
函数 f ( x ) 在点 x 0 处不连续 f ( x )的不连续点
( 或间断 ), 并称点 x 0 为
( 或间断点 ).
2
间断点图形：函数在一点间断，其图形在该点断开.
§1.10 函数的间断点 及其类型
1
函数 f ( x )在点 x0处连续 lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
1. 间断点的定义
函数 f ( x )在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
( 1 ) f ( x ) 在点 x 0 处有定义 ;
( 2 ) lim f ( x ) 存在 ;
x k为无穷间断点 .
12
例 当 a 取何值时 ,
cos x , 函数 f ( x ) a x, f (0) a ,
x 0
x 0

x 0, x 0,
在 x 0 处连续 .
解
lim f ( x ) lim cos x 1 ,
x 0
x 0

lim f ( x ) lim ( a x ) a ,
2
究 复 合 函 数 f [ g ( x )] 与 g [ f ( x )] 的 连 续 性 . 1, x 0 2 f ( x ) 0, x 0 解答 g ( x ) 1 x 1, x 0 2 f [ g( x )] sgn(1 x ) 1
第一类间断点 第二类间断点
17
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
无穷型
18
思考与练习
讨论函数 间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 , x = 2 是第二类无穷间断点 .
19
思考题
设 f ( x ) sgn x ， g ( x ) 1 x ， 试 研
f [ g ( x )] 在 ( , ) 上 处 处 连 续
g[ f ( x )] 1 sgn x
2
2, 1,
x 0 x 0
g [ f ( x )] 在 ( , 0 ) ( 0 , ) 上 处 处 连 续
x 0 是它的可去间断点.
20
y
y f x
x1
o
x2
x3
x
11
例 讨论函数
f (x)
x sin x
的间断点 .
解 令 sin x 0 , x k ( k Z )为间断点 .
当 k 0, x 0,
lim f ( x ) 1 ,
x 0
x 0为可去间断点 .
当 k 0,
x k
lim f ( x ) ,
x 0
函数无定义, 是函数的间断点.
1
x
x 0, 由于 lim f ( x ) lim
x 0
,
1 e 1
1 x
所以 x
0 是函数的第二类间断点, 且是无穷型.
x1
x
x 1, 由于 lim f ( x ) lim
x 1

1 e 1
1 x

0
lim f ( x ) lim
x 0
( 2 ) 要 f ( x ) 在 x 0 处连续 , 必需且只需
x 0
lim f ( x ) lim f ( x ) f (0), 即 a b 1.
x 0
16
小 结
1 、函数间断点的定义. 2、 在点 间断的类型: 可去间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 振荡间断点 个不存在 (见下图)
x 1

x1
x
1 e
1 x

1
所以 x
1是函数的第一类间断点, 且是跳跃型.
15
sin x x 2 .设 f ( x ) a 1 b x sin x
x 0 x 0 x 0
问 a , b 为何值时 ,
( 1 ) lim f ( x ) 存在 ;
作业
习题1-10 (63页)
1. 2. 3.(1)
21
求 lim (
x
2
x x 3 x)
2
2

x3 x x3 x 3 1 x
2
lim
x x3 x
2
lim
x
x x3 x
x
lim
x3 x x3 x
2
x
lim
x 0, x 0, 在 x 0 处的连续性 .
y

在 , 则称点 x 0 为
例 解
讨论函数

x, f (x) 1 x ,
f ( 0 ) 1,


f (0 ) 0,

f ( 0 ) f ( 0 ),
o x
x 0 为函数的第一类跳跃间
断点 .

要使 f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 )


a 1,
故当且仅当a 1时, 函数 f ( x ) 在 x 0 处连续 .
13
例 问 x 0 是函数 f ( x ) e 解
lim f ( x ) lim e
x 0 1 x

1 x
的第几类间断点
1 x
x 0为第二类间断点
.
这种情况称为振荡间
断点 .
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.
9
Hale Waihona Puke Baidu
总结两类间断点:
第一类间断点: 跳跃型, 可去型 第二类间断点: 无穷型, 无穷次振荡型 极限与连续之间的关系: f(x)在 x0 点连续
f(x)在x0点存在极限
10
判断下列间断点类型:
y
y
y
2 1
o
y
x0
x
o
1
x
o
y
x0
x
o
x0
x
o
x
3
初等函数无定义的点是间断点. 分段函数的分段点可能是间断点, 也 可能是连续点, 需要判定.
4
2. 间断点的分类
第一类间断点 如果 f ( x ) 在点 x 0 处间断，且 f ( x 0 ),
f ( x 0 ) 都存在 .

如果 f ( x 0 ) f ( x 0 ), 则称点 x 0 为函数 f ( x )的跳跃间断点
6
例 讨论函数
2 x , f ( x ) 1, 1 x , 0 x 1, x 1 x 1, .


y
y 1 x
2 1
y 2
x
在 x 1 处的连续性
o
1
x
解
f (1 ) 1 ,
lim f ( x ) 2
x1
f (1 ) 2 ,
x
1
1 x

3 x
2

1 2
1
又 lim ( x x 3 x )
2 x
()
22
x 0 , ln( 1 x ) ~ x ,
m
1 x 1 ~
1 m
x
求 lim
( 1 2 x 1 )e ln( 1 3 x ) lim
2x
求 lim
e
3x
ln x
2
x1
arcsin( x 1 )
( ) 0
e lim
3
0
lim e
x1
3x
lim
ln x arcsin( x 1 )
2
ln x arcsin( x 1 )
2
x1
x1
u x 1 e lim
3
ln[ 1 u ] arcsin u ( u 2 )
.
0,
x 0
x 0
lim f ( x ) lim e
x 0

1 x
,
x 0是 f ( x ) e

1 x
的第二类间断点
.
14
1 .求函数 f ( x )
1
1x 0
的间断点 ,
并指出其类型.
0 1 e 1 1 x
解
当 x 0 , x 1时 ,
在 x 0 处的连续性 .
y
解
f (0 ) 0,

f ( 0 ) ,
x 0为函数的第二类间断点
.
o
x
为无穷间 断点 .
8
例 讨论函数
f ( x ) sin
1 x
在 x 0 处的连续性
.
解 在 x 0处没有定义 ,
且 lim sin
x 0
1 x
不存在 .
y sin