函数的间断点及其类型
函数间断点分类及类型精品PPT课件
1
x
解 f (1) 1, f (1 ) 2, = f (1 ) 2, 会不会连续呢？
lim f ( x) 2 f (1), 还是间断点 x1
x 0为函数的第一类可去间断点.
15
例3
讨论函数
f (x)
1
x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0) 0,
xx+
0
9
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
y 不见了
y 掉队了
y
另立山头
o x0 y
2 1
x o1
井水不犯河水
xo
x0
x
y
各自为政
o
x0
x
ox
10
3. 间断点的分类
第一类间断点
如果 f (x)在点 x0处间断，且f (x0 ), f (x0 )都存在.
如果 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称点 x0为函数 f ( x)的跳跃间断点 . 如果 f (x0 ) f (x0 ),则称点 x0为函数 f (x)的可去间断点 .
x 0,
y
f (0 ) 0, f (0 ) 1, 第一类
o
x
f (0 ) f (0 ),
跳跃间断点
x 0为函数的第一类跳跃间断点.
14
例2 讨论函数
y
2 x, 0 x 1,
f
(x)
1,
x 1
2
1 x, x 1,
1
在x 1处的连续性 ，如果不连续说出它到类型 o
y 1 x
y2 x
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函数间断点的类型
函数间断点的类型
函数间断点是指函数图像中的某一点，该点处的函数值无法通过连续的方法来定义。
函数间断点可以分为以下几种类型：
1. 可去间断点：函数在该点上的极限存在，但是函数在该点上未定义或定义与极限不相等。
例如，函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)在x = 1处的间断点就是可去间断点。
这种类型的间断点可以通过对函数进行修补或定义来消除。
2. 跳跃间断点：函数在该点的左右极限存在，但是左右极限不相等。
例如，函数g(x) = [x]在x = 1处的间断点就是跳跃间断点，其中[x]表示向下取整函数，即x的整数部分。
这种类型的间断点可以用数列极限来定义。
3. 无穷间断点：函数在该点的左右极限至少有一个不存在或为无穷大。
例如，函数h(x) = 1/x在x = 0处的间断点就是无穷间断点。
这种类型的间断点可以进一步细分为左侧无穷间断点和右侧无穷间断点。
函数间断点的类型与函数的性质密切相关，对于特定类型的间断点，需要采用相应的方法进行处理和求解。
间断点及其分类
第十九讲、间断点及其分类定义19.1. 设f (x) 在点x 的某个去心邻域U x 内有定义, 则下列情形之一，o( )0 0函数f (x) 在点x处不连续：（1）函数f (x) 在点x处没有定义；（2）函数f (x) 在点x处有定义，但极限lim ( )x→x f x 不存在；（3）函数f (x) 在点x处有定义，极限lim ( )x→x f x 也存在，但lim ( ) ( )x→x f x ≠ f x0 0这样的点x称为函数f (x) 的不连续点，通常称为间断点。
间断点的分类：设x为函数f (x) 的间断点，（I）若步地，f(x +)及f x −均存在，我们称( )x 为函数f (x) 的第一类间断点。
进一可去间断点，即+−f (x )=f (x )0 0第一类间断点跳跃间断点，即f (x +) ≠ f (x −)0 0（II）若断点f x +及( )f x −至少有一个不存在，我们称( )x 为函数f (x) 的第二类间注记19.1：若要么x为函数f (x) 的可去间断点，则要么函数f (x) 在x 没有定义，lim x→x f (x) ≠ f (x ) 。
于是，当0 0 x 为函数f (x) 的可去间断点时，可以通过补充函0数f (x) 在x的定义，或者改变f (x) 在0 x 处的取值使之在x 连续。
πx=。
0 2 例子19.1：（1）f (x) = tan x ，因为l im tanπx→+2 x与lim tanπx→−2x存不存在，故点πx=为函数f (x) = tan x 的第二0 2类间断点。
又因为与均发散到无穷，故我们又进一步lim tan x lim tan xππx→+x→−2 2π地称点=为函数f (x) = tan x 的无穷间断点。
x0 21（2）=，0 0f (x) sin x =x1 1 1因为x→+x 与x→−x 不存在，故点x =为函数=的第二lim sin 0 0 f (x) sinlim sin0 0x1类间断点。
1.6.4间断点及其分类
都存在， 若 f ( x0 0) 和 f ( x0 + 0) 都存在，则称 x0 是 f ( x ) 的 第一类间断点 第一类间断点. 类间断点
①若 f ( x0 0)≠ f ( x0 + 0) ，则称 x0 是 f ( x ) 的 跳跃间断点 跳跃间断点；
可去间断点. ②若 f ( x0 0)= f ( x0 + 0) ，则称 x0 是 f ( x ) 的 可去间断点.
如果不是闭区间而是开区间， 注：如果不是闭区间而是开区间，那么定理的结论 如果不是闭区间而是开区间 不一定成立. 不一定成立.
1 例如： 内无界. 例如： f ( x )= ∈C (0, 1) ，但 f ( x ) 在 (0, 1) 内无界. x
最大值最小值定理） 定理 5（最大值最小值定理） 设 f ( x )∈C [a , b] ，则
∵ f (0)= 1< 0 ， f (1)=1> 0 ，
∴ c∈(0, 1) ，使 f (c )= c 2c 1= 0 ，
内至少有一个实数根. 即方程 x 2 x 1 = 0 在 ( 0, 1) 内至少有一个实数根 .
必有实根. 例 4．证明：实系数方程 x 3 + ax 2 + bx + c = 0 必有实根 ．证明：
1.6.4 间断点及其分类 1.间断点的定义 1.间断点的定义
定义 3 不连续， 若函数 f ( x ) 在点 x0 不连续，则称 f ( x ) 在点 x0 间断点. 间断, 间断,点 x0 称为 f ( x ) 的间断点.
若 f ( x ) 有下列三种情况之一： 有下列三种情况之一： 没有定义； ① 在 点 x 0 没有定义； 不存在； ② 极限 lim f ( x ) 不存在；
2.3-2间断点及其分类闭区间上连续函数的性质
1三、函数的间断点及其分类如果f (x )在x 0 处不连续, 则称点x 0 为函数f (x )的间断点(或不连续点) . Next f (x ) 在x 0处连续的三要素：)(x f (1)在某邻域内有定义；)(0x N )(lim x f xx 0→(2)存在;(3)00lim ()().xxf x f x →=有一条不满足，x 0为f (x )间断点.xy 1sin=f (x )在x =0 附近无限震荡3间断点分类第一类间断点0()f x −及0()f x +均存在00()(),f x f x −+=00()(),f x f x −+≠第二类间断点0()f x −及0()f x +中至少一个不存在若其中有一个为振荡,若其中有一个为,∞称0x 为可去间断点;称0x 为跳跃间断点.称0x 为无穷间断点;称0x 为振荡间断点;⎧⎨⎩⎧⎨⎩……Previous Next4() , () , f x x x F x A x x ≠⎧=⎨=⎩所以，F (x ) 在x 0处连续.此时有lim ()lim ()x x x x F x f x →→=0()A F x ==Previous Next注如果是函数f (x )的可去间断点，构造0x13四、闭区间上连续函数的性质定义函数f (x ) 定义在区间I 上，有称f (x 0) 是函数f (x ) 在区间I 上的最大(小)值.定理(最值定理) 设 f (x ) 在[a , b ]上连续,即12,[,],a b ξξ∃∈都有1()min (),a x b f f x ξ≤≤=2()max ().a x bf f x ξ≤≤=则 f (x ) 在[a , b ] 上必能取到最大(小)值,12()()()f f x f ξξ≤≤Previous Next 00()()(()())f x f x f x f x ≤≥x I∀∈0,x I ∈若[,],x a b ∈对于一切即15定理(有界性定理)则f (x )在[ a , b ] 上有界.Previous Next 定理(介值定理)若f (x ) 在[ a , b ] 上连续, 至少存在一个使 [ , ]a b ξ∈().f ξμ=若f (x ) 在[ a ,b ]上连续,对任意x ∈[ a , b ] 有m ≤f (x ) ≤M .即,,m M ∃最大值M 和最小值m 之间的任何一个值.则它一定能取到即[,],m M μ∀∈18例证明：方程在( 1 , 2 )中有实根.3310x x −+=证设3()31,f x x x =−+则f (x ) 在[ 1, 2]上连续.又f (1) = -1 , f (2) = 3,根据零点定理, (1, 2),ξ∃∈使()0.f ξ=故方程在( 1 , 2 )中有实根.3310x x −+=Previous Next 即3310ξξ−+=19例如果f (x )在[ a , b ]上连续, 且f (a ) < a , f (b ) > b ,证明：在( a , b )内至少存在一点ξ, 使ξξ=)(f 证,)()(x x f x F −=令0,<由零点定理,使),,(b a ∈∃ξ()()0F f ξξξ=−=b b f b F −=)()(,0>.)(ξξ=f 即Previous Next 则F (x ) 在[ a , b ]上连续.()()F a f a a =−而(构造函数)20例如果f (x )在[ 0, 1 ]上连续, 且f (1) > 1,证明：在( 0, 1 )内至少存在一点ξ, 使2()f ξξ−=证2()()1,F x x f x =−令(0)1F 而=−,0<由零点定理,(0,1),ξ使∃∈2()()10,F f ξξξ=−=(1)(1)1F f =−,0>2().f ξξ即−=则F (x )在[ 0, 1 ]上连续,Previous (变形，构造函数)。
函数的间断点及其类型(老黄学高数第118讲)
指出下列函数的间断点并说明其类型：
.
(1)f(x)=x+1/x；(2)f(x)=sinx/|x|；(3)f(x)=[|cos x|]. (3) f(x)在x=nπ间断，(n=0,±1,±2,…) 且
x=nπ是f(x)的可去间断点, (n=0,±1,±2,…).
1、若 f(x)=A，(1)而f在点x0无定义，或
(2)有定义但f(x0)≠A，则称点x0为f的可去间断点.
g(x)=
y 2 f(x)=|sgn x|
O 2x
(2)
可定义函数 ：当x≠x0时， (x)=f(x)； 当x=x0时， (x0)=A. 则x0是 的连续点.
1、若 f(x)=A，(1)而f在点x0无定义，或
老黄学高数
第118讲 函数的间断点
及其类型
设函数f在某U⁰(x0)内有定义. 若f在点x0无定义，或f在点x0有定义不连续，则 称点x0为函数f的间断点或不连续点。
即间断点包括以下两种情形之一： (1)f在点x0无定义或极限 f(x)不存在； (2)f在点x0有定义且极限 f(x)存在，但
f(x)≠f(x0).
.
(1)f(x)=x+1/x；(2)f(x)=sinx/|x|；(3)f(x)=[|cos x|].
解：(1)∵f(x)在x=0的左右极限都不存在， ∴x=0是f(x)的第二类间断点.
指出下列函数的间断点并说明其类型：
.
(1)f(x)=x+1/x；(2)f(x)=sinx/|x|；(3)f(x)=[|cos x|]. (2)f(x)在x=0间断，且
∴整数点都是函数f(x)=[x]的跳跃间断点. (2)对sgn x在点x=0处的左、右极限分别为-1和1， ∴x=0是sgn x的跳跃间断点.
函数间断点的分类标准
函数间断点的分类标准
函数间断点是指函数在某一点处不连续的点。
根据其不连续的原因，可以将函数间断点分为以下三类：
1. 第一类间断点：也称为可去间断点（removable discontinuity），是指函数在某一点处虽然没有定义，但是可以通过重新定义函数在该点的值，使得函数在该点处连续。
2. 第二类间断点：也称为跳跃间断点（jump discontinuity），是指函数在某一点处的左右极限都存在，但是左右极限不相等。
3. 第三类间断点：也称为无穷间断点（infinite discontinuity），是指函数在某一点处的左右极限都不存在或者都为无穷大。
需要注意的是，函数间断点的分类标准并不是唯一的，不同的教材和学者可能会有不同的分类方式。
但是，以上三种分类方式是比较常见和广泛接受的。
函数间断点的类型
函数间断点的类型函数的间断点是指函数在某些点上不连续的现象。
函数的间断点可以分为几种类型，包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
首先，我们来看可去间断点。
可去间断点是指函数在某个点上的间断点可以通过修补来消除。
也就是说，在这个点上，函数虽然不连续，但是可以通过重新定义函数在该点上的值，使得函数在该点上连续。
一个常见的可去间断点的例子是函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)，在 x = 1 处是一个可去间断点。
我们可以通过简单的化简，将函数重新定义为 f(x) = x + 1，从而消除间断点。
其次，跳跃间断点是指函数在某个点上的值从一个常数值跳跃到另一个常数值，导致函数在该点上不连续。
一个典型的跳跃间断点的例子是函数 f(x) = [x]，其中[x] 表示不大于 x 的最大整数。
在整数点上，函数的值会突然跳跃，导致函数在这些点上不连续。
最后，无穷间断点是指函数在某个点上的值趋近于无穷大或无穷小，导致函数在该点上不连续。
一个常见的无穷间断点的例子是函数 f(x) = 1/x，在 x = 0 处是一个无穷间断点。
在 x = 0 的附近，函数的值趋近于无穷大，因此在该点上函数不连续。
总的来说，函数的间断点可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点这三种类型。
每种类型的间断点都有其特点和表现形式，了解函数的间断点类型有助于我们更深入地理解函数的性质和行为。
在数学分析和函数的研究中，对函数的间断点的类型进行分类和研究是非常重要的。
通过对函数的间断点的类型的研究，我们可以更好地理解函数的性质，从而更好地应用函数的知识解决实际问题。
函数的间断点及其类型
函数的间断点及其类型
函数的间断点是指在该点处函数的极限不存在或者左右极限
存在但不相等。
间断点可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点三种类型。
1. 可去间断点：在该点处函数的左右极限都存在且相等，但函数在该点处没有定义。
例如，函数 f(x) = x^2在 x=0 处没有定义，但左右极限都为 0，因此 0 是 f(x)的可去间断点。
2. 跳跃间断点：在该点处函数的左右极限都存在，但不相等。
例如，函数 f(x) = x在 x=0 处的左极限为-1，右极限为 1，因此
0 是 f(x)的跳跃间断点。
3. 无穷间断点：在该点处函数的左右极限至少有一个不存在，或者左右极限都存在但等于正无穷或负无穷。
例如，函数 f(x) = 1/x 在 x=0 处的右极限为正无穷，左极限为负无穷，因此 0 是
f(x)的无穷间断点。
判断一个函数的间断点类型，可以通过计算函数在该点处的左右极限来确定。
如果左右极限都存在且相等，则该间断点为可去间断点；如果左右极限不相等，则该间断点为跳跃间断点；如果至少有一个极限不存在，或者两个极限都存在但等于正无穷或负无穷，则该间断点为无穷间断点。
《间断点及其分类》课件
分类
第一类间断点
跳跃间断点。
第二类间断点
奇点。
第三类间断点
可去间断点。
跳跃间断点
定义
例子
函数在某一点的左右极限存在， 但不相等。
f(x) = { x, x < 1 x+ 1, x≥ 1 }
性质
在跳跃间断点处，函数图像的 曲线从一个点跳跃到另一个点， 导致函数值发生突变。
奇点
定义
函数在某一点的极限不存在。
《间断点及其分类》PPT 课件
在学习微积分时，遇到间断点是很常见的。本次课程将帮助你更好地学习间 断点及其分类。
什么是间断点？
定义
在函数图像中，不连续点称为 间断点。它们可以是跳跃间断 点或奇点。
跳跃间断点
奇点
函数在某一点的左右极限存在， 但不相等，导致函数值发生突 变。如：f(x) = |x|
函数在某一点的极限不存在。 如：f(x) = 1/x
例子
f(x) = 1/x
性质
在奇点处，函数图像无法被连数在某一点的极限存在，但 与函数在该点的值不相等。
例子
f(x) = (x-1)/(x²-1)
性质
在可去间断点处，函数图像在 该点的值可以通过修改函数的 定义来使之与该点的极限相等。
总结
1 定义
间断点是函数图像中不 连续的点。
2 分类
跳跃间断点和奇点为第 一类和第二类间断点。 可去间断点为第三类间 断点。
3 应用
在微积分学习中，间断 点是非常重要的概念， 应充分理解和掌握。
大一高数知识点总结间断点
大一高数知识点总结间断点大一高数知识点总结—间断点高等数学是大一学生必修的一门重要课程，其中的间断点是其中一个重要的知识点。
本文将对间断点的概念、分类和相关性质进行总结和讨论。
一、概念在数学中，我们称函数f(x)在点x=a处存在间断点，当且仅当下面三个条件满足其中之一：1. f(x)在点x=a的左右极限存在，但它们不相等；2. f(x)在点x=a的左右极限存在，但它们等于无穷大；3. f(x)在点x=a的左右极限至少有一个不存在。
二、分类根据间断点的性质，我们可以将间断点分为以下三类：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
1. 可去间断点可去间断点也称为可去断点，是指当函数f(x)在点x=a的左右极限存在且相等时，在该点函数值f(a)与左右极限相等的点。
在这种情况下，我们可以通过定义一个新的函数g(x)，使得g(x)在点x=a的左右极限存在且相等，同时g(a)=f(a)，从而在该点解决了间断的问题。
2. 跳跃间断点跳跃间断点是指当函数f(x)在点x=a的左右极限存在，但它们不相等时，函数值f(a)与左右极限存在差距的点。
这种间断点的存在导致函数的图像在相应点上出现明显的跳跃现象。
3. 无穷间断点无穷间断点也称为无穷断点，是指当函数f(x)在点x=a的左右极限存在，且至少一个极限等于正无穷或负无穷时的点。
这种间断点的存在导致函数在相应点上存在发散或趋势以及各种特殊的性质。
三、性质间断点具有以下一些重要的性质，这些性质为我们进一步研究函数的连续性和收敛性提供了基础。
1. 黎曼可积性若函数f(x)在点x=a的左右极限存在且相等，且f(x)在[a,b]上有界，则函数f(x)在区间[a,b]上是黎曼可积的。
2. 连续性若函数f(x)在点x=a的左右极限都存在，且这两个极限等于f(a)，则称f(x)在点x=a连续。
3. 收敛性当函数f(x)在点x=a的左右极限至少有一个不存在，那么我们可以说f(x)在该点的极限不存在或者函数在该点处发散。
函数的间断点及其类型
讨
论
函
数
f
(
x)
x, 1 x,
解 f (0 ) 0, f (0 ) 1,
x 0,在x 0处的连续性.
x 0,
y
f (0 ) f (0 ),
o
x
x 0为函数的第一类跳跃间断点.
6
例 讨论函数
f
(
x)
2 1,
x,
0 x 1, x1
4
2. 间断点的分类 第一类间断点 如 果 f ( x)在 点x0处 间 断 ， 且f ( x0 ),
f ( x0 )都 存 在.
如果 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称点x0为函数 f ( x)的跳跃间断点. 如果 f ( x0 ) f ( x0 ),则称点x0为函数 f ( x)的可去间断点.
o
x
8
例 讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0处的连续性. x
解 在x 0处没有定义,
且 limsin 1 不存在.
x0
x
y sin 1 x
x 0为第二类间断点.
这 种 情 况 称 为 振 荡 间断 点.
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.
9
总结两类间断点: 第一类间断点: 跳跃型, 可去型 第二类间断点: 无穷型, 无穷次振荡型
x2 x 3 x2 lim
lim
x x2 x 3 x
x
x3 x2 x 3 x
lim
x3
lim
1 3 x
1
x x2 x 3 x
x
1
1 x
求函数间断点的方法
求函数间断点的方法在数学中，函数的间断点是指在某个点上，函数在该点处的定义发生改变或者函数的极限不存在。
在实际问题中，研究函数的间断点是一个重要的课题，因为它可以帮助我们理解函数的行为和性质。
函数的间断点分为三类：可移除间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
下面我将分别介绍这三类间断点的定义、性质和判定方法。
1. 可移除间断点可移除间断点是指函数在某个点上的定义突然发生改变，但是函数在该点的极限存在。
形式上，如果对于函数f(x)，存在实数c和极限L，使得f(x)在c点的邻域内除了c点本身以外都有定义，且极限lim_(x→c) f(x)存在，则称c点为可移除间断点。
判断一个点是否为可移除间断点的方法是在该点附近观察函数的行为。
如果函数在该点附近表现出分段定义的特征，且两个分段在该点处的极限相等，则该点为可移除间断点。
在解析上，如果存在函数g(x)在该点附近连续且与函数f(x)相等（相差一个可去间断点），则该点为可移除间断点。
例如，考虑函数f(x) = x / x，在x=0处的定义为0。
在x=0附近，函数的绝对值x 在x=0处不可导，但在该点附近可以定义函数g(x) = 1。
因此，函数f(x)在x=0处为可移除间断点。
2. 跳跃间断点跳跃间断点是指函数在某个点上的定义突然发生改变，并且函数在该点的极限也不存在。
形式上，如果对于函数f(x)，存在实数c，使得f(x)在c点的邻域内两侧的极限存在，且不相等，则称c点为跳跃间断点。
判断一个点是否为跳跃间断点的方法是在该点附近观察函数的两个极限是否存在且不相等。
如果在该点附近的左极限和右极限不相等，则该点为跳跃间断点。
例如，考虑函数f(x) = 1 / x，在x=0处的定义不存在。
在x=0附近，函数的左极限为负无穷，右极限为正无穷。
因此，函数f(x)在x=0处为跳跃间断点。
3. 无穷间断点无穷间断点是指函数在某个点上的定义突然发生改变，并且函数在该点的极限为无穷大。
间断点的分类及判断方法有哪些方法技巧
间断点的分类及判断⽅法有哪些⽅法技巧
如果函数f在点x连续，则称x是函数f的连续点；如果函数f在点x不连续，则称x是函数f的间断点。
间断点的类别及判断⽅法
⾸先讲⼀下间断点的类型，有第⼀类间断点：其中包括可去间断点（左右极限相等此点⽆意义）、跳跃间断点（左右极限不相等）
第⼆类间断点：震动间断点（函数值在上下来回震动）、⽆限间断点（函数值）
判断⽅法⾸先找出函数没有意义的点。
然后判断左右极限，如果存在则是第⼀类间断点，不存在是第⼆类间断点。
最后根据极限是否相等、是否存在来判断是可去间断点、跳跃间断点、震动间断点、⽆限间断点中的哪⼀种。
间断点是什么
间断点是指在⾮连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。
间断点可以分为⽆穷间断点和⾮⽆穷间断点，在⾮⽆穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。
左右极限存在且相等是可去间断点，左右极限存在且不相等才是跳跃间断点。
设⼀元实函数f（x）在点x0的某去⼼邻域内有定义。
如果函数f(x)有下列情形之⼀：
（1）函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)；
（2）函数f(x)在点x0的左右极限中⾄少有⼀个不存在；
（3）函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0⽆定义。
则函数f(x)在点x0为不连续，⽽点x0称为函数f(x)的间断点。
间断点及其分类
3
2
例 8．设 f C[a, b] ，证明：若a x1 x2 xk b
1 k （ k 为某一正整数） ，则存在c[a, b] ，使 f (c) f ( xi ) 。 k i1
证明：∵ f C[a, b] ， [ x1, xk ] [ a, b] ，∴ f (x) C [ x1 , x k ] ，
1 x 1
2
，
∴ lim f ( x) 不存在，
故 x 1 为跳跃间断点。
1.5.5 ± Õ Ç ø ¼ ä É Ï Á ¬ Ð ø º ¯ Ê ý µ Ä Ð Ô Ö Ê
定理 4（有界性定理） 设 f C[a, b] ，则 f 在 [ a , b ] 上有界，即 M 0 ， x [a, b] ，有 f ( x) M 。
3
∴必存在 x1 , x2 ( x1 x2 ) ，使得 f ( x1 ) 0, f ( x2 ) 0 ，
而 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 上连续，
故由零点定理知，必存在c ( x1 , x 2 ) ，使得 f (c) 0 ，
即方程 x ax bx c 0 必有实根。
x 1, 1 x 0, 例如： f ( x) 0, x 0 x 1, 0 x 1,
y
1
-1
o
-1
1
在[1, 1] 上无最大值和最小值。
x
定理 6（零点定理） 设 f C[a, b] ，且f (a) f (b) 0 ， 则至少存在一点c(a, b) ，使得 f (c) 0 。
y
y f ( x)
o
a
c
b
x
定理 6 的几何意义是： 若连续曲线弧 y f ( x) 的两个端点 位于 x 轴 的不同侧，则这段曲线弧与 x 轴 至少有一个交点。
函数不连续点的分类
函数不连续点的分类函数的连续性是数学中一个重要的概念，它描述了函数在某个点上的性质。
如果函数在某个点上连续，意味着函数在该点附近的取值变化平滑，没有突变或跳跃。
然而，并非所有的函数都是连续的，有些函数在某些点上是不连续的。
本文将介绍函数不连续点的分类。
一、第一类间断点第一类间断点是指函数在该点上的左右极限存在，但不相等。
也就是说，函数在该点的左右两侧有极限，但两个极限不相等。
这种情况下，函数在该点上的取值会出现跳跃。
例如，考虑函数f(x) = |x|，在x = 0处，函数的左极限为-1，右极限为1，两者不相等。
因此，函数f(x)在x = 0处是第一类间断点。
二、第二类间断点第二类间断点是指函数在该点上的左右极限至少有一个不存在。
也就是说，函数在该点的左右两侧至少有一个方向上的极限不存在。
例如，考虑函数g(x) = 1/x，在x = 0处，函数的左极限为负无穷，右极限为正无穷。
因为左右极限至少有一个不存在，所以函数g(x)在x = 0处是第二类间断点。
三、可去间断点可去间断点是指函数在该点上的左右极限存在且相等，但函数在该点上的取值与极限不相等。
也就是说，函数在该点的左右两侧有极限，且两个极限相等，但函数在该点上的取值与极限不相等。
例如，考虑函数h(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)，在x = 1处，函数的左极限和右极限都为2。
然而，函数在x = 1处的取值为0，与极限不相等。
因此，函数h(x)在x = 1处是可去间断点。
四、无穷间断点无穷间断点是指函数在某个点上的极限为无穷大或无穷小。
也就是说，函数在该点的左右两侧的极限至少有一个是无穷大或无穷小。
例如，考虑函数k(x) = 1/x，在x = 0处，函数的左极限为负无穷，右极限为正无穷。
因为左右极限至少有一个是无穷大，所以函数k(x)在x = 0处是无穷间断点。
综上所述，函数的不连续点可以分为第一类间断点、第二类间断点、可去间断点和无穷间断点。
函数的间断点
(2) 跳跃间断点
如果 f ( x)在点x0处左右极限都存在, 但f ( x0 ) f ( x0 ), 则称点x0为函数 f ( x)的跳跃间断点.
例2
讨论函数
f (x)
x, 1 x,
解 f (0 ) 0, f (0 ) 1,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
y
f (0 ) f (0 ),
解
x2
x2 1 2x
3
(x (x
1)( x 3)( x
1) 1)
，
lim
x1
x2 1 x2 2x 3
lim
x1
x1 x3
1， 2
故 x 1 为第一类(可去型)间断点；
而
lim
x3
x
2
x2 1 2x
3
,
故 x 3 为第二类(无穷型)间断点.
8
例6
讨论函数
f
(x)
1 1 e x /(1 x)
虽然初等函数在其定义域上都是连续函数， 但也有许多函数不是连续的.
间断点分类：
1、左右极限都存在的间断点,称第一类间断点：
(1) 可去间断点
如
果
f
(
x
)在
点
x0处
的
极
限
存
在,
但
lim
x x0
f (x)
A f ( x0 ), 或 f ( x)在点x0处无定义，则称点x0
为函数 f ( x)的可去间断点.
间断点
Байду номын сангаас
第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型.
(见下图)
10
高数上第一章154间断点及其分类
利用连续函数的性质求解间断点问题
02
如在闭区间上连续的函数必定有界、介值定理等，可以通过这
些性质来求解间断点问题。
通过补充定义使函数连续
03
对于可去间断点，可以通过补充或修改函数在该点的定义，使
函数在该点连续，从而简化问题的求解过程。
05 间断点在实际问题中应用
物理学中间断点现象解释
01
经典物理中的间断点
复合函数间断点处理技巧
分解复合函数
将复合函数分解为若干个基本初等函 数，分别分析这些基本初等函数的间 断点。
注意定义域变化
在处理复合函数间断点时，要特别注 意各基本初等函数定义域的变化对复 合函数间断点的影响。
判断复合函数间断点
根据基本初等函数的间断点，结合复合函 数的运算性质（如加减、乘除、复合等） ，判断复合函数的间断点及其类型。
根据函数在间断点处的不同表现 ，间断点可分为第一类间断点和 第二类间断点。
第一类间断点（可去、跳跃）
可去间断点
函数在该点处无定义或左右极限不相 等，但极限存在。通过补充或修改函 数在该点的定义，可以使函数在该点 连续。
跳跃间断点
函数在该点处的左右极限都存在但不 相等，且函数在该点处无定义。
第二类间断点（无穷、震荡）
指数函数和对数函数间断点问题探讨
指数函数间断点
指数函数在其定义域内是连续的，因 此没有间断点。但在某些特定情况下 （如底数或指数趋于无穷大时），可 能会出现间断现象。
对数函数间断点
对数函数在其定义域内也是连续的，但 当对数函数的真数趋于零或负无穷大时 ，可能会出现间断现象。此时需要结合 对数函数的定义域和值域进行分析。
高数上第一章154间断点及其分类
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y f x
x1
o
x2
x3
x
11
例 讨论函数
f (x)
x sin x
的间断点 .
解 令 sin x 0 , x k ( k Z )为间断点 .
当 k 0, x 0,
lim f ( x ) 1 ,
x 0
x 0为可去间断点 .
当 k 0,
x k
lim f ( x ) ,
u 0
e lim
3
u u(u 2)
u 0
e lim
3
1 u2
u 0
e
3
.
24
2
x 0
lim e
x 0
2x
1 2x 1 ln( 1 3 x )
x 0
1 lim
1 2x 1 ln( 1 3 x )
x 0
1 lim 2
x 0
(2 x ) 3x
1 3
23
x 0 , ln( 1 x ) ~ x ,
arcsin x ~ x ,
x
1
1 x
3 x
2
1 2
1
又 lim ( x x 3 x )
2 x
()
22
x 0 , ln( 1 x ) ~ x ,
m
1 x 1 ~
1 m
x
求 lim
( 1 2 x 1 )e ln( 1 3 x ) lim
2x
§1.10 函数的间断点 及其类型
1
函数 f ( x )在点 x0处连续 lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
1. 间断点的定义
函数 f ( x )在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
( 1 ) f ( x ) 在点 x 0 处有定义 ;
( 2 ) lim f ( x ) 存在 ;
.
如果 f ( x 0 ) f ( x 0 ), 则称点 x 0 为函数 f ( x )的可去间断点 .
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 函数在点 x 0 处的左、右极限都存在
.
5
第二类间断点 如果 f ( x ) 在点 x 0 处的左、右极限
f ( x 0 ), f ( x 0 ) 至少有一个不存 函数 f ( x )的第二类间断点 .
2
究 复 合 函 数 f [ g ( x )] 与 g [ f ( x )] 的 连 续 性 . 1, x 0 2 f ( x ) 0, x 0 解答 g ( x ) 1 x 1, x 0 2 f [ g( x )] sgn(1 x ) 1
求 lim
e
3x
ln x
2
x1
arcsin( x 1 )
( ) 0
e lim
3
0
lim e
x1
3x
lim
ln x arcsin( x 1 )
2
ln x arcsin( x 1 )
2
x1
x1
u x 1 e lim
3
ln[ 1 u ] arcsin u ( u 2 )
x 1
x1
x
1 e
1 x
1
所以 x
1是函数的第一类间断点, 且是跳跃型.
15
sin x x 2 .设 f ( x ) a 1 b x sin x
x 0 x 0 x 0
问 a , b 为何值时 ,
( 1 ) lim f ( x ) 存在 ;
y
y
y
2 1
o
y
x0
x
o
1
x
o
y
x0
x
o
x0
x
o
x
3
初等函数无定义的点是间断点. 分段函数的分段点可能是间断点, 也 可能是连续点, 需要判定.
4
2. 间断点的分类
第一类间断点 如果 f ( x ) 在点 x 0 处间断，且 f ( x 0 ),
f ( x 0 ) 都存在 .
如果 f ( x 0 ) f ( x 0 ), 则称点 x 0 为函数 f ( x )的跳跃间断点
f [ g ( x )] 在 ( , ) 上 处 处 连 续
g[ f ( x )] 1 sgn x
2
2, 1,
x 0 x 0
g [ f ( x )] 在 ( , 0 ) ( 0 , ) 上 处 处 连 续
x 0 是它的可去间断点.
20
.
0,
x 0
x 0
lim f ( x ) lim e
x 0
1 x
,
x 0是 f ( x ) e
1 x
的第二类间断点
.
14
1 .求函数 f ( x )
1
1x 0
的间断点 ,
并指出其类型.
0 1 e 1 1 x
解
当 x 0 , x 1时 ,
x k为无穷间断点 .
12
例 当 a 取何值时 ,
cos x , 函数 f ( x ) a x, f (0) a ,
x 0
x 0
x 0, x 0,
在 x 0 处连续 .
解
lim f ( x ) lim cos x 1 ,
x 0
x 0
lim f ( x ) lim ( a x ) a ,
1 x
x 0为第二类间断点
.
这种情况称为振荡间
断点 .
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.
9
总结两类间断点:
第一类间断点: 跳跃型, 可去型 第二类间断点: 无穷型, 无穷次振荡型 极限与连续之间的关系: f(x)在 x0 点连续
f(x)在x0点存在极限
10
判断下列间断点类型:
x 0
( 2 ) 要 f ( x ) 在 x 0 处连续 , 必需且只需
x 0
lim f ( x ) lim f ( x ) f (0), 即 a b 1.
x 0
16
小 结
1 、函数间断点的定义. 2、 在点 间断的类型: 可去间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 振荡间断点 个不存在 (见下图)
作业
习题1-10 (63页)
1. 2. 3.(1)
21
求 lim (
x
2
x x 3 x)
2
2
x3 x x3 x 3 1 x
2
lim
x x3 x
2
lim
x
x x3 x
x
lim
x3 x x3 x
2
x
lim
第一类间断点 第二类间断点
17
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
无穷型
18
思考与练习
讨论函数 间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 , x = 2 是第二类无穷间断点 .
19
思考题
设 f ( x ) sgn x ， g ( x ) 1 x ， 试 研
x 0
x 0
( 2 ) f ( x ) 在 x 0 处连续 .
解 因为
lim f ( x ) 1 , lim f ( x ) b ,
x 0
所以
( 1 ) 要 lim f ( x ) 存在 , 必需且只需
x 0
x 0
lim f ( x ) lim f ( x ), 即 b 1( a 可任取 ).
f (1 ) 2 ,
f (1),
断点 .
x 0 为函数的第一类可去间
若令 f (1) 2,
2 x , 则 f (x) 1 x , 0 x 1, x 1, 在 x 1 处连续 .
7
例
讨论函数
1 , f (x) x x,
x 0, x 0,
要使 f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 )
a 1,
故当且仅当a 1时, 函数 f ( x ) 在 x 0 处连续 .
13
例 问 x 0 是函数 f ( x ) e 解
lim f ( x ) lim e
x 0 1 x
1 x
的第几类间断点
x 0
函数无定义, 是函数的间断点.
1
x
x 0, 由于 lim f ( x ) lim
x 0
,
1 e 1
1 x
所以 x
0 是函数的第二类间断点, 且是无穷型.
x1
x
x 1, 由于 lim f ( x ) lim
x 1
1 e 1
1 x
0
lim f ( x ) lim
( 3 ) lim f ( x ) f ( x 0 ).
x x0
x x0
如果上述三个条件中只
要有一个不满足
, 则称
函数 f ( x ) 在点 x 0 处不连续 f ( x )的不连续点