数值计算_第7章 数值微分和数值积分
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分与数值积分是现代计算机科学中非常重要的数学工具。
它们可以用来处理各种研究。
在本文中，我们将讨论这两种方法的基础原理，以及它们在不同领域中的应用。
什么是数值微分？数值微分是指对给定函数进行求导的一种数值方法。
在实际应用中，函数的导数通常很难求得解析解，这时需要使用数值微分的方法来进行近似计算。
数值微分通常是通过在函数的某个点进行差分计算来完成的。
考虑一个函数$f(x)$在某个点$x_0$进行微分的情况。
我们可以计算$f(x_0+h)$和$f(x_0-h)$，其中$h$是一个小的正数。
然后，我们可以计算$[f(x_0+h) - f(x_0-h)]/2h$来得到$f'(x_0)$的近似值。
数值微分的应用非常广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算物理量相关的导数。
例如，流体力学中的速度梯度、量子力学中的波函数导数，都可以使用数值微分进行近似计算。
此外，在金融领域中，数值微分也可用于计算期权价格等任意变量导数的近似解。
什么是数值积分？数值积分是指对给定函数进行积分的一种数值方法。
与数值微分类似，函数的积分通常很难求得解析解，而不得不使用数值积分的方法来近似计算。
在数值积分中，我们通常使用数值积分公式来计算定义在一个区间$[a,b]$上的函数（如果积分问题是无限积分，我们需要进行变形，将其转化为有限积分问题）。
数值积分公式通常基于插值方法，即将函数转化为一个多项式，并对多项式进行积分。
数值积分也应用广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算面积、物质质量，以及探测信号的峰值等。
在金融领域中，数值积分也可用于计算期权定价公式的近似解。
数值微分和数值积分的误差分析在应用数值微分和数值积分时，误差是一个重要的考虑因素。
误差源可以来自于采样、采样噪声、近似方法等。
通常，我们使用误差分析来评估误差大小。
数值微分的误差通常归因于选取的$h$值。
当$h$太大时，我们会失去一些重要的信息，如函数的局部斜率。
数值计算_第7章数值微分和数值积分
数值计算_第7章数值微分和数值积分数值微分和数值积分是数值计算中的两个重要内容，它们在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍数值微分和数值积分的概念、方法和应用，并分析其优缺点。
数值微分是通过数值方法来近似计算函数的导数。
在实际问题中，往往很难直接计算函数的导数，因此需要使用数值方法来进行近似计算。
常用的数值微分方法有中心差分法、向前差分法和向后差分法。
中心差分法是一种通过利用函数在特定点两侧的数据点来计算函数的导数的方法。
具体方法是用函数在该点两侧的差值来估计导数。
中心差分法具有较高的精度和稳定性，适用于函数光滑的情况。
向前差分法和向后差分法是一种通过利用函数在该点的数据点来计算函数的导数的方法。
向前差分法用函数在该点的后一点数据来估计导数，向后差分法用函数在该点的前一点数据来估计导数。
这两种方法的精度相对较低，但计算简单，适用于函数不太光滑的情况。
数值微分方法的优点是计算简单、直观易懂、易于实现。
缺点是对函数的平滑性和间隔大小要求较高，误差较大。
数值积分是通过数值方法来近似计算函数的积分。
在实际问题中，往往很难直接计算函数的积分，因此需要使用数值方法来进行近似计算。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和数值积分公式。
梯形法则是一种通过将区间划分为多个小区间，在每个小区间上用梯形面积来近似计算积分的方法。
辛普森法则是一种通过将区间划分为多个小区间，在每个小区间上用抛物线面积来近似计算积分的方法。
这两种方法的精度较高，适用于函数较光滑的情况。
数值积分公式是通过选取节点和权重，将积分转化为对节点函数值的加权求和。
常用的数值积分公式有高斯求积公式和牛顿-寇茨公式。
这些公式具有较高的精度和稳定性，适用于计算复杂函数的积分。
数值积分方法的优点是适用范围广、精度较高、计算稳定。
缺点是计算量较大、计算复杂、需要选取合适的节点和权重。
数值微分和数值积分在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。
数值方法中的数值微分和数值积分
泰勒展开法：将函数 在某点处展开成泰勒 级数，然后利用级数 的各项系数计算数值 微分
牛顿插值法：利用牛 顿插值多项式计算数 值微分，其思想是通 过构造插值多项式ห้องสมุดไป่ตู้ 逼近导数函数
数值微分的误差分析
数值微分的基本概念
数值微分误差的来源
数值微分误差的估计
减小误差的方法
数值微分的应用
计算物理量的变化 率
应用领域的比较
数值微分的应用领域：主要应用于求解微分方程的近似解，例如在物理学、 工程学和经济学等领域。
数值积分的应用领域：主要应用于求解定积分、不定积分等积分问题，例 如在计算面积、体积、物理实验数据处理等领域。
比较：数值微分和数值积分在应用领域上存在差异，但两者都是数值计算 中的重要工具，可以相互补充。
矩形法：将积分区 间划分为若干个小 的矩形，用矩形面 积的和近似积分
梯形法：将积分区 间划分为若干个小 的梯形，用梯形面 积的和近似积分
辛普森法：将积分 区间划分为若干个 等分的子区间，用 抛物线面积的和近 似积分
牛顿-莱布尼茨法 ：利用定积分的定 义和牛顿-莱布尼 茨公式，通过求和 的方式计算定积分
预测函数的变化趋 势
优化问题中的梯度 计算
机器学习中的梯度 下降算法
Part Three
数值积分
数值积分的概念
数值积分定义：用数值方法近似计算定积分的值 常用方法：矩形法、梯形法、辛普森法等 近似误差：与使用的数值方法有关，通常误差随迭代次数增加而减小 应用领域：科学计算、工程、数学建模等
数值积分的计算方法
数值积分的误差分析
算法稳定性：数值积分方法的稳定性和误差控制 步长选择：步长对误差的影响和最佳步长选择 收敛性：数值积分方法的收敛速度和误差收敛性 误差来源：数值积分中误差的来源和减小误差的方法
武汉大学《数值分析》课件-第7章
，
b
n
a
可知 t [ 0, n] ．
由Lagrange插值基函数有
lk
(x)
lk
(a
th)
n i0,ik
x xk
xi xi
n ti i0,ik k i
(1)nk
n
ti
k !(n k )! i0,ik
而 dx hd t b a dt，所以
n
b a
lk
(x)dx
n 0
再用 h/2 代替 h , 使(6)式变为
F*
F2
(h)
1 8
k2h2
3 32
k3h3
(7..).
用4乘(7)式减去(6)式,消去含 h2的项,得
F*
[
F2
(
h 2
)
F2 (h
/
2) 3
F2 (h)]
1 8
(k83)h3
...
同样记
而 I 3( f ) b 6 a (1 4 1) (b a )
有 R ( ,1) 0
I(
f
)
I3(
f
)
R( ,
f
)
b a{ f 6
(a) 4
f
(a
b) 2
f
(b)}
R( ,
f
)
（1）当 f ( x) x时 ， I ( f ) b 2 a2 I3( f ) b 6 a ( a 22a 2b b ) b2 2 a2
| R(1, f ) | M n1 hn2 n n (t i)dt
(n 1)!
0 i0
(5)
验证求积公式(3)的代数精确度，不用误差估计的(4)式，
第七章数值微积分
Ck(n)
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
误差估计 （一）求积公式的代数精确度 若当f(x)为任意次数不高于m的多项式时，求积公 n b 式 ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
f ′′( x − θ 2 h) f ( x ) − f ( x − h) f ′( x) − =− h = O ( h) h 2
f ( x + h) − f ( x − h) f ′( x) − 2h f ′′′( x + θ 1 h) + f ′′′( x − θ 2 h) 2 =− h = O(h 2 ) 12
a k =0
均成立，而对某个m+1次多项式，公式不精确成立， 则称该求积公式具有m次代数精确度. 可以验证：梯形公式具有1次代数精确度。 事实上，由f(x)为1次多项式， f ′′(ξ ) R1 ( x ) = f ( x) − L1 ( x ) = ( x − a )( x − b) = 0 2
⇒∫
求导得且分别 代入三点有:
截断误差
h2 ′ f ′′′(ξ 0 ) R2 ( x 0 ) = − 3 h2 ′ f ′′′(ξ1 ) ξ 0 , ξ1 , ξ 2 ∈ (a, b) R2 ( x1 ) = − 6 h2 ′ f ′′′(ξ 2 ) R2 ( x1 ) = 3
b
a
b−a f ( x)dx = ∫ L1 ( x)dx = [ f (a ) + f (b)] a 2
b
b
若取f(x)=x2 ⇒ ∫a
第7章 数值微分和积分 习题
第7章 数值微分与数值积分一、填空题1. 设()11=f ，()22=f ，()03=f ，由数值微分的三点求导公式得到()≈'1f .2. 已知()11=f ，()53=f ，()35-=f ，由Simpson 求积公式求得()≈⎰dx x f 51. 3. 计算积分dx x ⎰10.5，取4位有效数字. 用梯形公式计算求得的近似值为 ，用Simpson 公式计算求得的近似值为 ；梯形公式的代数精度为 ，Simpson 公式的代数精度为 . 4. 若用复化梯形公式计算⎰10dx e x，要求误差不超过610-，至少用 个求积节点（利用余项公式估计）.二、单选题1. 等距二点求导公式()≈'1x f ( ).A ．()()0101x x x f x f --B ．()()1001x x x f x f --C ．()()1001x x x f x f -+D ．()()0101x x x f x f +- 2. 5个节点的Newton-Cotes 求积公式，至少具有的代数精度次数为( ).A ．5B ．4C ．6D ．3三、判断题1. 求积公式的精度随着代数精度的增加而提高. （ ）2. 当8≥n 时，Newton-Cotes 求积公式会发生数值不稳定性. （ ）四、计算题1. 求积公式为()()()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-≈⎰-21211111f f B f f A dx x f ，求A 、B 使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度.2. 已知数值积分公式为()()()[]()()[]h f f h h f f h dx x f h '-'++≈⎰00220λ，试确定积分公式中的参数λ，使其代数精确度尽量高，并其其代数精确度.3. 取4个等距节点，用复化梯形公式求⎰10dx e x 的近似值（取四位小数），并求该近似值有效数字的位数.五、综合题 1. 判断数值求积公式[])2()1(23)( 30f f dx x f +≈⎰是否为插值型求积公式，给出原因.2. 取5个等距节点，分别用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算积分dx x ⎰+202211的近似值（保留四位小数）.。
数值分析-第七章小结
第七章 常微分方程初值问题的数值解法--------学习小结姓名 班级 学号一、 学习体会本章研究求解常微分方程初值问题的数值方法．构造数值方法主要有两条途径：基于数值积分的构造方法和基于泰勒展开的构造方法．后一种方法更灵活，也更具有一般性．泰勒展开方法还有一个优点，它在构造差分公式的同时可以得到关于截断误差的估计．常微分方程初值问题的数值解法的基本思想就是对常微分方程初值问题的数值解法，就是要算出精确解y(x)在区间[a,b]上的一系列离散节点处的函数值的近似值.数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从而求出离散节点的数值。
本章介绍了常微分方程初值问题的基本数值解法,包括单步法和多步法。
单步法主要有欧拉法、改进欧拉法和龙格—库塔方法，多步法是Adams 法。
它们都是基于把一个连续的定解问题离散化为一个差分方程来求解，是一种步进式的方法。
用多步法求常微分方程的数值解可获得较高的精度。
实际应用时，选择合适的算法有一定的难度，既要考虑算法的简易性和计算量，又要考虑截断误差和收敛性、稳定性。
谢谢半年多来的老师和助教的辛勤劳动！二、 知识梳理7.1 常微分方程初值问题的数值解法一般概念基本思想:将初值问题离散化步长h ，取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=，且M t T ≤，则初值问题000'(,),()y f t y t t Ty t y =≤≤⎧⎨=⎩ 的数值解法的一般形式是1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-显式Euler 公式10(,),0,1,n n n n n y y hf t y t t nh n +=+⎧⎨=+=⎩隐式Euler 公式1110(,),0,1,n n n n n y y hf t y t t nh n +++=+⎧⎨=+=⎩7.2 显示单步法7.2.1 显示单步法的一般形式1(,,),(0,1,...,1)n n n n y y h t y h n M ϕ+=+=-单步法的局部截断误差111()()[,(),]n n n n n R y t y t h t y t h φ---=--整体截断误差()n n n y t y ε=-定理7.2.1 单步法的阶设增量函数在区域00{(,,)|,||,0}D t y h t t T y h h =≤≤<∞≤≤内对变量y 满足Lipschitz 条件，即存在常数K ，使对D 内任何两点1(,,)t u h 和2(,,)t u h ，不等式1212|(,,)(,,)|||t u h t u h K u u ϕϕ-≤-成立，那么，若单步法的局部截断误差1n R +与1(1)p h p +≥同阶，即11()p n R O h ++=，则单步法的整体截断误差1n ε+与p h 同阶，即1()p n O h ε+=。
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析中两个重要的概念和技术。
它们在数学与工程领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理和应用。
1. 数值微分数值微分是指通过数值计算方法来逼近函数的导数。
在实际计算中，我们常常需要求解某一函数在特定点的导数值，这时数值微分就能派上用场了。
一种常用的数值微分方法是有限差分法。
它基于函数在离给定点很近的两个点上的函数值来逼近导数。
我们可以通过选取合适的差分间距h来求得函数在该点的导数值。
有限差分法的一般形式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，f'(x)是函数f(x)在点x处的导数值，h是差分间距。
数值微分方法有很多种，比如前向差分、后向差分和中心差分等。
根据实际需求和计算精度的要求，我们可以选择合适的数值微分方法来进行计算。
2. 数值积分数值积分是指通过数值计算方法来近似计算函数的定积分。
在实际问题中，我们经常需要求解函数在某一区间上的积分值，而数值积分可以提供一个快速而准确的近似。
一种常见的数值积分方法是复合梯形法。
它将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上应用梯形面积的计算公式。
最后将所有小区间上的梯形面积相加，即可得到整个积分区间上的积分值。
复合梯形法的一般形式可以表示为：∫[a, b] f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2∑(i=1 to n-1)f(x_i) + f(b)]其中，[a, b]是积分区间，h是分割的小区间宽度，n是划分的小区间个数，x_i表示第i个小区间的起始点。
除了复合梯形法，还有其他常用的数值积分方法，比如复合辛普森法、龙贝格积分法等。
根据被积函数的性质和计算精度要求，我们可以选择合适的数值积分方法来进行计算。
3. 数值微分和数值积分的应用数值微分和数值积分在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，我们经常需要对物体的位置、速度和加速度进行计算。
数值积分和数值微分ppt课件
5.2.2 数值微分
设函数 f(x)在[a,b]上可导，已知 f(x)在 x j 的函数 值 y j f (x j ) ( j 0,1,, n) ， a x0 x1 xn b . 如果 f(x)的解析表达式未知，问如何近似计算 f(x)在 某点 x=c 处的导数？特别是如何近似计算 f(x)在 x0, x1,, xn 的导数？
y4
未 知 函 数 f(x)
y3
已知结点
线 性 插 值 函 数 S41(x)
y2
y1
y0
y
0
x0
x1
x2
x3
x4
x
图5.9 复化梯形求积公式示意图
5.2.1 数值积分
容易求得
b a
Sn1
(
x)dx
的值为
1 n
Tn 2 j1 x j x j1 y j1 y j
(5.2.1)
如果划分 a x0 x1 xn b 将区间[a,b] n 等分，
b]为n等分，分点为 xk x0 kh k = 0, 1, 2,…, n
2）在区间 [xk, xk+1]上使用以上求积公式求得Ik 3）取和值，作为整个区间上的积分近似值。 这种求积方法称为复化求积方法。
j
值 y j f (x j ) ( j 0,1,, n) ， a x0 x1 xn b ，
5.2.2 数值微分
先考虑简化的问题：设划分 a x0 x1 x2 b 将 区间[a,b]二等分，记 h (b a) 2 ，已知 f(x)在 x j 的函
数值 y j f (x j ) (j=0,1,2). 记
L2 (x) c1(x x1)2 c2 (x x1) c3 是由结点 (x j , y j ) (j=0,1,2)确定的至多二次插值多项
Matlab与工程计算 第七章 数值积分、微分
Xiamen University
Matlab and Engineering Calculation
dx=diff(f([x,3.01]))/0.01; %直接对f(x)求数值导数 gx=g(x); %求函数f的导函数g在假设点的导数
plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx, 'r-'); %作图
Xiamen University
Matlab and Engineering Calculation
f ' ( x) =
f ( x + h) − f ( x ) h
Xiamen University
Matlab and Engineering Calculation
例6-6 生成以向量V=[1,2,3,4,5,6]为基础的范得蒙矩阵，按列 进行差分运算。 命令如下： V=vander(1:6) DV=diff(V) %计算V的一阶差分
7.1.2 数值积分的实现方法(Quadrature)
1．自适应辛普生法 基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来 求定积分。该函数的调用格式为： [I,n]=quad(fun,a,b,tol,trace) fun是被积函数名、句柄或内联函数对象; a和b分别是定积分的下限和上限; tol用来控制积分精度，缺省时取tol=10-6; trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过 程，取0则不展现，缺省时取trace=0 I即定积分值，n为被积函数的调用次数。
数值计算方法第07章数值微分与数值积分
h
2
f '( x) f ( x) f ( x h) f ''( x 2h) h O(h)
h
2
f '( x) f ( x h) f ( x h) 2h
f (3)( x 3h) f (3)( x 3h) h2 O(h2 )
12
心差商公式
sin x2 , cos x2 , sin x , 1 , 1 x3 , ex2 x ln x
17
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示,但表达 式相当复杂,计算极不方便.
x x1 x0 x1
f
( x0 )
x x0 x1 x0
f
(
x1
)@
x
h
x1
f
( x0 )
x
x0 h
f ( x1 )
则
L1( x)
1 [ h
f
( x0 )
f
( x1 )]
(7.1)
L1( x0 )
1 [ h
f
( x0 )
f
( x1 )],
L1( x1 )
1 [ h
f
( x0 )
f
x0 )( x x2 ) x0 )( x1 x2 )
f
( x1)
(x (x2
x0 )( x x1 ) x0 )( x2 x1 )
f
(x2 )
(x
x1 )( x 2h2
x2 )
f
( x0 )
(x
x0 )( x h2
x2 )
f
(x ( x1 )
x0 )( x 2h2
x1 )
f (x2 )
数值积分和数值微分(7)
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I [ G[
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数值分析中的数值微分与数值积分
数值分析中的数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析领域中两个重要的概念。
它们在计算机科学、工程学和物理学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理以及一些常用的方法和技巧。
一、数值微分数值微分是通过数值方法来计算函数的导数。
导数是描述函数变化率的工具，它在物理学、经济学和生物学等领域中具有重要的作用。
1. 前向差分法（Forward Difference）前向差分法是一种简单而常用的计算导数的方法。
它利用函数在某一点上的值与函数在该点附近的一个点上的值之间的差异来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，h为步长，为了提高精度，需要选择足够小的步长。
2. 后向差分法（Backward Difference）后向差分法与前向差分法类似，不同之处在于它利用函数在某一点上的值与函数在该点附近的一个点上的值之间的差异来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h))/h同样地，步长h需要选择足够小。
3. 中心差分法（Central Difference）中心差分法是一种更加准确的数值微分方法，它利用函数在某一点上的前后两个点的值来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h))/(2h)中心差分法相对于前向差分法和后向差分法而言，具有更高的精度。
二、数值积分数值积分是通过数值方法来计算函数的积分。
积分在物理学、经济学和统计学等领域中起着重要的作用，它可以用来计算面积、体积以及概率等。
1. 矩形法（Rectangle Method）矩形法是一种简单的数值积分方法，它利用多个矩形来逼近曲线下的面积。
具体来说，将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间上选择一个点作为高度，从而构造出多个矩形。
最后，将各个矩形的面积相加，即可得到近似的积分值。
2. 梯形法（Trapezoidal Method）梯形法是一种更加准确的数值积分方法，它利用多个梯形来逼近曲线下的面积。
数值分析中的数值微分与数值积分
数值分析中的数值微分与数值积分数值分析是一门重要的数学分支，用于研究如何使用计算机来求解各种数学问题。
数值微分和数值积分是数值分析中的两个基本概念，它们在科学计算和工程应用中具有广泛的应用。
一、数值微分数值微分是通过数值方法来近似计算函数的导数。
在实际计算中，往往很难直接求得函数的导数表达式，这时候数值微分方法就派上用场了。
1. 前向差分公式前向差分公式是最简单的数值微分方法之一，它基于导数的定义，用函数值的差商来近似计算导数。
假设函数f(x)在点x0处可导，则其导数f'(x0)可以近似表示为：f'(x0) ≈ (f(x0 + h) - f(x0)) / h其中h是一个足够小的正数，通常称为步长。
通过取不同的步长h，可以得到不同精度的数值微分结果。
2. 中心差分公式中心差分公式是数值微分中较为常用的方法，它利用了函数值的前向和后向差商来近似计算导数。
假设函数f(x)在点x0处可导，则其导数f'(x0)可以近似表示为：f'(x0) ≈ (f(x0 + h) - f(x0 - h)) / (2h)与前向差分公式相比，中心差分公式的精度更高，但计算量稍大一些。
二、数值积分数值积分是通过数值方法来近似计算函数在某个区间上的定积分值。
定积分在数学、物理等领域中具有广泛的应用，尤其是对于无法用解析方法求解的积分问题，数值积分提供了可行的解决办法。
1. 矩形法则矩形法则是最简单的数值积分方法之一，它将函数在积分区间上分成若干个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和。
假设函数f(x)在区间[a, b]上积分，则其定积分值可以近似表示为：∫[a,b] f(x)dx ≈ (b - a) * f(x)其中x是[a, b]上的随机点。
2. 梯形法则梯形法则是数值积分中较常用的方法，它将函数在积分区间上分成若干个小梯形，然后计算这些小梯形的面积之和。
假设函数f(x)在区间[a, b]上积分，则其定积分值可以近似表示为：∫[a,b] f(x)dx ≈ (b - a) * (f(a) + f(b)) / 2梯形法则的精度要比矩形法则要高一些。
第7章 MATLAB数值微分与积分
在科学实验和工程应用中，函数关系表达式往往是 不知道的，只有实验测定的一组样本点和样本值， 这时，人们就无法使用quad等函数计算其定积分。 在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求 定积分问题用梯形积分函数trapz，其调用格式为：
I=trapz(X,Y)
其中，向量X、Y定义函数关系Y = f(X)。X、Y是两 个等长的向量：X = (x1，x2，…，xn)，Y = (y1， y2，…，yn)，并且x1<x2<…<xn，积分区间是[x1， xn]。
用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同一个 坐标系中做出f‘(x)的图像。
f=@(x) sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2;
g=@(x) (3*x.^2+4*x-1)./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5;
第7章 MATLAB数值微分与积分
5．累计梯形积分 在MATLAB中，提供了对数据积分逐步累计的函数 cumtrapz。该函数调用格式如下。 Z=cumtrapz(Y) Z=cumtrapz(X,Y) 对于向量Y，Z是一个与Y等长的向量；对于矩阵Y，Z 是一个与Y相同大小的矩阵，累计计算Y每列的积分。 函数其他参数的含义和用法与trapz函数的相同。例如：
f
(a)
f
(b)]
基本辛普森公式：
S2
ba[ 6
f
(a) 4
f
(a b) 2
f
(b)]
复合梯形公式：
s3
h[ f 2
数值微分与数值积分的技术原理
数值微分与数值积分的技术原理数值微分和数值积分是数值分析中常用的数学方法，它们在工程、科学等领域具有广泛的应用，例如数值模拟、数据处理、信号处理等。
本文将介绍数值微分和数值积分的技术原理，旨在帮助读者更好地理解这些方法所基于的原理和实现方式。
一、数值微分数值微分是用数值方法来近似计算函数的导数，它的核心思想是利用函数在一点附近的局部信息来估计导数。
数值微分的比较常用的方法是前向差分、后向差分和中心差分。
下面将分别介绍它们的原理和实现。
1.前向差分前向差分是利用函数在某一点的函数值和函数在该点处的导数来近似计算函数在该点的导数。
其原理如下：$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$由于$h$趋近于0时，上式右侧的分式求值较为困难，所以我们可以将其替换为有限的、足够小的$h$，这样就得到了前向差分公式：$f'(x_0)\approx\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$其中，$h$是差分步长，越小则得到的结果越接近真实值，但是计算量也越大。
2.后向差分后向差分与前向差分的思路相似，只是差分点的位置不同。
其原理如下：$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}$同样地，将上式右侧的分式替换为有限的$h$，就得到了后向差分公式：$f'(x_0)\approx\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}$3.中心差分中心差分是利用函数在某一点前后两个点的函数值来近似计算函数在该点的导数。
其原理如下：$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}$同样地，将上式右侧的分式替换为有限的$h$，就得到了中心差分公式：$f'(x_0)\approx\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}$二、数值积分数值积分是用数值方法来近似计算函数的定积分值，它的核心思想是将定积分转化为曲线下面的面积，然后用数值积分方法来近似计算这个面积。
数值积分与数值微分
数值积分与数值微分数值积分和数值微分是数值计算中重要的概念和方法，它们在科学、工程和统计等领域有广泛的应用。
本文将介绍数值积分和数值微分的基本概念、原理和方法，并对其在实际问题中的应用进行讨论。
一、数值积分数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。
定积分是函数在给定区间内的面积，表示为∫f(x)dx。
在实际计算中，由于很多函数的原函数求解十分困难或不可求得，因此需要借助数值积分方法来进行求解。
1.1 矩形法矩形法是最基本的数值积分方法之一。
它将积分区间等分为若干小区间，并在每个小区间上取一点，然后用这些小区间上的函数值的平均值来近似积分值。
具体而言，对于等分为n个小区间的积分，矩形法可以表示为：∫f(x)dx ≈ Δx * (f(x0) + f(x1) + ... + f(xn-1))其中，Δx为每个小区间的长度，xi为每个小区间上的取点。
矩形法的计算简单，但精度较低。
1.2 梯形法梯形法是另一种常用的数值积分方法，它通过用梯形面积来逼近积分值。
类似于矩形法，梯形法将积分区间等分为若干小区间，并在每个小区间上取两个点，然后用这些小区间上的梯形面积之和来逼近积分值。
具体而言，梯形法可以表示为：∫f(x)dx ≈ Δx/2 * (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn-1) + f(xn))其中，Δx为每个小区间的长度，xi为每个小区间上的取点。
梯形法相对于矩形法有更高的精度，但计算复杂度也相应提高。
1.3 辛普森法则辛普森法则是一种更加精确的数值积分方法，它利用三次多项式来逼近积分值。
辛普森法则将积分区间等分为若干小区间，并在每个小区间上取三个点，然后通过构造一个三次多项式，利用多项式的积分近似面积来逼近积分值。
具体而言，辛普森法则可以表示为：∫f(x)dx ≈ Δx/3 * (f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + ... + 2f(xn-2) +4f(xn-1) + f(xn))其中，Δx为每个小区间的长度，xi为每个小区间上的取点。
第7章 MATLAB数值微分与积分_习题答案
1第7章 MATLAB 数值微分与积分习题7一、选择题1．diff([10,15])的值是（ ）。
AA ．5B ．10C ．15D ．252．数值积分方法是基于（ ）的事实。
DA ．求原函数很困难B ．原函数无法用初等函数表示C ．无法知道被积函数的精确表达式D ．A ，B ，C 三个选项3．求数值积分时，被积函数的定义可以采取（ ）。
DA ．函数文件B ．内联函数C ．匿名函数D ．A ，B ，C 三个选项4．以下选项不能用来求数值积分的函数是（ ）。
BA ．quadgkB ．quad2C ．integralD ．integral25．以下选项不是离散傅里叶变换的函数是（ ）。
CA ．fftB ．fft2C ．fft1D ．fftn二、填空题1．在MATLAB 中，没有直接提供求 的函数，只有计算 的函数diff 。
数值导数，向前差分2．基于变步长辛普森法，MATLAB 给出了 函数和 函数来求定积分。
quad ，quadl3．MA TLAB 提供了基于全局自适应积分算法的 函数来求定积分，该函数的积分限 （可以或不可以）为无穷大。
integral ，可以4．MATLAB 提供的 、 、 函数用于求二重积分的数值解， 、 函数用于求三重积分的数值解。
integral2，quad2d ，dblquad ，integral3，triplequad5．MA TLAB 提供了离散傅里叶变换函数fft ，对应的逆变换函数是 。
ifft三、应用题1．求函数在指定点的数值导数。
（1）2346x x x x f 22ππππ,,,,cos sin)(=+= （2）321x 1x x f 2,,,)(=+=2(1):(2):直接用导数函数求:f=inline('x./sqrt(x.^2+1)');f(1)用拟合函数求:f=inline('sqrt(x.^2+1)');x=0:0.001:5;p=polyfit(x,f(x),5);dp=polyder(p);dpx=polyval(dp,1)2．求定积分。
数值计算中的偏微分方程数值积分法
数值计算中的偏微分方程数值积分法偏微分方程是数学中的一个重要分支，其研究对象是复杂自然现象和工程问题中的物理、化学、生物、经济等现象。
偏微分方程的解析解只有在非常简单的情况下才能够求得，而大多数情况下只能通过数值方法来求解。
数值方法是利用计算机对偏微分方程进行离散化处理，然后使用数值算法求解出离散化后的方程解，从而近似求得原方程的解。
偏微分方程数值积分法是数值计算中的一种重要方法，其主要思想是将偏微分方程中的连续函数用一组离散的数值表示。
我们将定义一个网格来划分偏微分方程所涉及的空间，将空间上的点用网格点表示。
然后用数值方法将连续函数的导数或积分用其相应的差分或积分近似代替，从而得到一个离散的数值问题。
求解该离散问题得到数值解的方法就是数值积分法。
常见的偏微分方程数值积分法有以下几种：一、有限差分法有限差分法是最常见的一种偏微分方程数值积分法，它是将偏微分方程中函数的导数用其相应的差分值代替，从而得到一个离散化的问题。
有限差分法可以用于求解线性和非线性偏微分方程，包括抛物型方程、双曲型方程和椭圆型方程等。
有限差分法的基本思想是将求解区域划分为若干个网格，然后在每个网格上采用函数在该点的导数的差分近似代替实际的导数。
假设在区域上，$u(x,y)$ 为实际函数，$u_{i,j}$ 表示在$(x_i,y_j)$ 点上离散化后的函数值。
为了离散化这个函数，可以用有限差分来代替导数。
其中，$u_x$ 是对 $x$ 向偏导数的近似，$u_{x,x}$ 是对 $x$ 向二阶偏导数的近似。
二、有限体积法有限体积法是一种离散化连续偏微分方程的数值计算方法，它是以解析逆问题的数值算法为基础的。
该方法利用待求区间上的体积平均量表示偏微分方程离散化后的差分表达式。
在有限体积法中，算法方法基于给定体积、通量及源项的离散形式，具体求解方法分为分段线性算法、高分辨率算法等。
三、谱方法谱方法是应用数学中的谱理论来求解偏微分方程的方法。
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第7章数值微分和数值积分7.1 数值微分7.1.1 差商与数值微分当函数是以离散点列给出时，当函数的表达式过于复杂时，常用数值微分近似计算的导数。
在微积分中，导数表示函数在某点上的瞬时变化率，它是平均变化率的极限；在几何上可解释为曲线的斜率；在物理上可解释为物体变化的速率。
以下是导数的三种定义形式：（7.1）在微积分中，用差商的极限定义导数；在数值计算中返璞归真，导数取用差商（平均变化率）作为其近似值。
最简单的计算数值微分的方法是用函数的差商近似函数的导数，即取极限的近似值。
下面是与式（7.1）相应的三种差商形式的数值微分公式以及相应的截断误差。
向前差商用向前差商（平均变化率）近似导数有：（7.2）其中的位置在的前面，因此称为向前差商。
同理可得向后差商、中心差商的定义。
由泰勒展开得向前差商的截断误差：向后差商用向后差商近似导数有：（7.3）与计算向前差商的方法类似，由泰勒展开得向后差商的截断误差：中心差商用中心差商（平均变化率）近似导数有：（7.4）由泰勒展开得中心差商的截断误差：差商的几何意义微积分中的极限定义，表示在处切线的斜率，即图7.1中直线的斜率；差商表示过和两点直线的斜率，是一条过的割线。
可见数值微分是用近似值内接弦的斜率代替准确值切线的斜率。
图7.1 微商与差商示意图例7.1给出下列数据，计算，解：（5.07－5.06）/（0.04－0.02）= 0.5（5.05－5.07）/（0.08－0.04）= －0.5（5.05－5.055）/（0.08－0.10）= 0.25（(0.10) －(0.06)）/（0.10－0.06）= 18.75设定最佳步长在计算数值导数时，它的误差由截断误差和舍入差两部分组成。
用差商或插值公式近似导数产生截断误差，由原始值的数值近似产生舍入误差。
在差商计算中，从截断误差的逼近值的角度看，越小，则误差也越小；但是太小的会带来较大的舍入误差。
怎样选择最佳步长，使截断误差与舍入误差之和最小呢？一般对计算导数的近似公式进行分析可得到误差的表示式，以中心差商为例，截断误差不超过而舍入误差可用量估计（证明略），其中是函数的原始值的绝对误差限，总误差为当时，总误差达到最小值，即（*）可以看到用误差的表达式确定步长，难度较大，难以实际操作。
通常用事后估计方法选取步长，例如，记为步长等于的差商计算公式，给定误差界，当时，就是合适的步长。
例7.2 对函数，取不同的步长计算，观察误差变化规律，从而确定最佳步长。
解：表中数据显示，当步长从0.10减少到0.03时，数值微分误差的绝对值从0.0048减少到0.0001，而随着的进一步减少，误差的绝对值又有所反弹，表明当步长小于0.03时，舍入误差起了主要作用。
在实际计算中是无法得到误差的准确数值的，这时以最小为标准确定步长，本例中取= 0.04。
7.1.2 插值型数值微分对于给定的的函数表，建立插值函数，用插值函数的导数近似函数的导数。
设为上的节点，给定，以为插值点构造插值多项式，以的各阶导数近似的相应阶的导数，即当时，（7.5）误差项为：例7.3给定，并有，计算。
解：作过的插值多项式：将代入得三点端点公式和三点中点公式：利用泰勒（Taylor）展开进行比较和分析，可得三点公式的截断误差是。
类似地，可得到五点中点公式和五点端点公式：7.1.3 样条插值数值微分把离散点按大小排列成，用关系式构造插值点的样条函数：当则当时，可用计算导数。
7.2数值积分在微积分中用牛顿－莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式计算连续函数的定积分：但是，当被积函数是以点列的形式给出时，当被积函数的原函数难以得到时，例如，则无法用牛顿－莱布尼兹积分公式计算。
有时当被积函数的原函数过于复杂时，也不宜套用积分公式计算积分，而应采用数值积分公式计算定积分。
在微积分中，定积分是黎曼（Rimann）和的极限，它是分割小区间长度趋于零时的极限，即在数值积分公式中，只能用有限项的和近似上面的极限，通常由函数在离散点函数值的线性组合形式给出。
记，在本章中，用表示精确积分值，用表示近似积分值，称为积分节点，称为积分系数。
确定中积分系数的过程就是构造数值积分公式的过程。
怎样判断数值积分公式的效果？代数精度是衡量数值积分公式优劣的重要标准之一。
定义7.1 (代数精度)记上以为积分节点的数值积分公式为若满足而，则称具有阶代数精度。
由此可知当具有阶代数精度时，对任意的阶多项式都有。
7.2.1 插值型数值积分对给定的被积函数在上的点列作拉格朗日插值多项式，以近似计算，即记，则有数值积分误差，也就是对插值误差的积分值或对一般的函数，但若是一个不高于次的多项式，由于，而有。
因此，阶插值多项式型式的数值积分公式至少有阶代数精度。
例7.4建立上节点为的数值积分公式。
解：由得得以数值积分公式：7.2.2 牛顿-柯特斯（Newton-Cote’s）积分把积分区间分成等分，记步长为，取等分点作为数值积分节点，构造拉格朗日插值多项式，取由此得到的数值积分称为牛顿—柯特斯积分。
下面可以看到，牛顿－柯特斯积分系数和积分节点以及积分区间无直接关系，系数固定而易于计算。
梯形积分以和为插值节点构造线性函数，有那么，提取公因子后，得到牛顿－柯特斯积分的组合系数：，，它们已与积分区间没有任何关系了。
记（7.6）称为梯形积分公式。
它的几何意义是用梯形面积近似代替积分值（图7.2）。
图7.2 梯形积分怎样确定梯形积分公式的代数精度？我们可以取验证取时，有即：取时，有即：取时，有得梯形求积公式具有一阶代数精度。
梯形积分公式的误差：由得因为在上不变号，由积分中值定理得到梯形求积公式的截断误差：（7.7）辛普森（Simpson）积分对区间作二等分，记。
以和为插值节点构造二次插值函数，那么，有计算得到积分组合系数：，，。
（7.8）S (f)称为辛普森或抛物线积分公式。
它的几何意义是用过三点的抛物线面积近似代替积分的曲边面积（图7.3）。
图7.3 抛物线积分面积分别将代入到和中，可以得到表明辛普森公式对于次数不超过三次的多项式准确成立，具有三阶代数精度。
因此可设一个三次多项式满足条件：，计算得到误差为：于是有但故辛普森求积公式的截断误差：（7.9）牛顿-柯特斯积分系数等分区间，取等分点为积分节点，，其中。
以为插值节点构造插值函数。
其中令，代入上式得（7.10）这里称为牛顿-柯特斯系数可见在取等距节点时，积分系数与积分节点和积分区间无直接关系，只与插值的节点总数有关，而在例7.3中的积分系数是待定系数，这就简化了数值积分公式，而不必对每一组插值节点xi都要计算一组相应的积分系数ai。
在公式（7.10）中取=1，可算出梯形积分系数；取=2，可算出辛普森积分系数。
在表7.1中列出从1到6的牛顿-柯特斯系数。
从表中可以看出牛顿-柯特斯系数具有对称性。
表7.17.2.3 求积公式的收敛性与稳定性定义7.2若，则称求积公式是收敛的。
定义中的包含了，通常都要求计算积分的求积公式是收敛的。
稳定性是研究计算公式当有误差时，的误差是否增长，现设，误差记为。
定义7.3对任给，只要，就有则称求积公式是稳定的。
定理7.1若求积公式的系数，则求积公式是稳定的。
证明由于,，故有于是对，只要，就有故求积公式是稳定的。
7.3复化数值积分由插值的龙格现象可知，高阶牛顿-柯特斯积分不能保证等距数值积分系列的收敛性，同时可证（略）高阶牛顿-柯特斯积分的计算是不稳定的。
因此，实际计算中常用低阶复化梯形等积分公式。
7.3.1 复化梯形积分把积分区间分割成若干小区间，在每个小区间上用梯形积分公式，再将这些小区间上的数值积分累加起来，称为复化梯形公式。
复化梯形公式用若干个小梯形面积逼近积分比用一个大梯形公式效果显然更好，如图7.4所示。
这种作法使我们想起定积分定义，即它为被积函数无限分割的代数和。
这也正是计算定积分最朴素的算法。
图7.4 复化梯形公式积分视图复化梯形积分计算公式对作等距分割，有，，于是在上，，则有记等分的复化梯形公式为，有（7.11）复化梯形公式截断误差由，根据均值定理，当时，存在，有，于是（7.12）由此看到复化梯形公式的截断误差按照或者的速度下降，事实上，可以证明，只要在上有界并黎曼可积，当分点无限增多时，复化梯形公式收敛到积分。
记，则有对于任给的误差控制小量，有或就有，式中表示取其最大整数。
7.3.2 复化辛普森积分把积分区间分成偶数等分，记，其中是节点总数，是积分子区间的总数。
记，，在每个区间上用辛普森数值积分公式计算，则得到复化辛普森公式，记为。
复化辛普森积分计算公式而，称（7.13）为复化辛普森积分公式，它是在上采用辛普森积分公式叠加而得。
下面用图7.5显示复化辛普森积分计算公式中节点与系数的关系，取，在每个积分区间上提出因子后，三个节点的系数分别是1，4，1；将4个积分区间的系数按节点的位置累加，可以清楚地看到，首尾节点的系数是1，奇数点的系数是4，偶数点的系数是2。
图7.5 复化辛普森积分系数复化辛普森公式的截断误差设，在上的误差为因此，即（7.14）与复化梯形公式类似，误差的截断误差按照或者的速度下降。
可以证明，只要在上有界并黎曼可积，当分点无限增多时，复化辛普森公式收敛到积分。
记，则有对任给的误差控制小量，只要或就有。
例7.5求，计算中要求有5位有效数字。
用复化梯形和复化辛普森求积公式的分点应取多少？解：由复化梯形误差公式得到：计算出，复化梯形公式至少要在.00等分n = 68。
由复化辛普森误差公式，有在复化辛普森公式中取或。
7.3.3 复化积分的自动控制误差算法复化积分的误差公式表明，截断误差随分点的增大而减小，对于给定的误差量，用估计函数导数的界的方法可计算出。
用误差公式计算满足精度的分点数，像是在做一道计算导数上界的微积分习题（如例7.5所示）。
但是在实际运算中，一般难以估计出函数的各阶导数界，也就无法确定分点数。
在计算中常用误差的事后估计方法，即用估计误差。
T2n (f )的计算公式对定积分，取分点，计算得取分点，计算得这里，。
可以看到，的值是与新增分点的组合。
取分点，计算得这里，。
同理，计算时只要在的基础上计算新增分点，的值再做组合，如图7.6所示。
图7.6 与一般地，每次总对前一次的小区间分半，分点加密一倍，并可充分利用老分点上的函数值，每次只需计算新增分点的和。
对上等分，，则有记上的中点为则（7.15）其中。
或其中。
类似地，可得积分节点为，的辛普森求积公式的关系式：（7.16）其中：由误差公式：由于，分别为及个点上的均值，可视，于是上式表明的误差大约是误差的4倍。
或（7.17）由此得到启发，对任给的误差控制量，要，只需即可，而用作为控制手段简单直接，序列在计算机上也不难实现。