物理-高斯定理
大学物理 高斯定理
正点电荷与负点电荷的电场线
+
-
第1章 静止电荷的电场 章
10
大学 物理学
1.6 高斯定理
一对等量正点电荷的电场线
+
+
第1章 静止电荷的电场 章
11
大学 物理学1.6 高斯定理源自一对等量异号点电荷的电场线
-
+
第1章 静止电荷的电场 章
12
大学 物理学
1.6 高斯定理
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
3.高斯定理源于库仑定律 3.高斯定理源于库仑定律 高于库仑定律 高斯 定理
(2)高斯定理高于库仑定律 (以下将要证明) (2)高斯定理高于库仑定律 以下将要证明) A.
库仑 定律
第1章 静止电荷的电场 章 4.静电场性质的基本方程 4.静电场性质的基本方程
7
大学 物理学
1.6 高斯定理
r r 1 ∫ E ⋅ dS =
q2
q3 q6
∫
S
r r r r r r r r r E ⋅ dS = ？ E = E1 + E 2 + E 3 + E 4 + E 5 + E 6
∫
S
r r E ⋅ dS =
∫
S
r r E1 ⋅ d S +
∫
S
r r E 2 ⋅ dS +
∫
S
r r E3 ⋅ dS
+
=
∫
S
r r r r r r E 4 ⋅ dS + ∫ E5 ⋅ dS + ∫ E6 ⋅ dS
2
=∫
q
dS = 2
q
2.大学物理-高斯定理
关于高斯定理的讨论：
es
1 E dS q内
s
0
3. 利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静电场 成立条件：静电场
求解条件：电场分布具有某些对称性
才能找到恰当的高斯面，使 s E cos dS 中的 E和 cos 能够提到积分号外，从而简便地求出 E 分布
能否用高斯定理求电场分布？
如果不能，是否意味着高斯定理失效？
q内 ( r ) dV
R ,r
dV L 2rdr
[例三] 无限大均匀带电平面的电场（电荷面密度 ）
对称性分析： 视为无限长均匀带电直线的集合
dE
x
dE
P
' dE
dE
E方向 垂直于带电平面，
E cos0 dS E cos0 dS E cos dS 2 E 2S
左 右 侧
0
0
2 0
E
o
x
2 0
E 2 0
其指向由 号决定
的符
讨论： 1.电荷均匀分布无限大平板（厚度 h 0 ）的电场。
2.电荷分层均匀分布分层均匀无限大平板（厚度
讨论：
1. 无限长均匀带电柱面的电场分布
对称性分析：视 为无限长均匀带 电直线的集合； 选高斯面；同轴 圆柱面
R
o o
r
r
P
E o R r
' dE
P
dE
' dE dE
由高斯定理计算
r R: E0 r R:
E 2 0 r
2. 计算均匀带电圆柱层（ R1 , R2 , ）的电场分布
第3节 高斯定理
当 1 = - 2 =
E A EC 0
EB
0
1.3 讨论：
高斯定理
以上三例电荷分布分别具有球对称性、轴对称性、
面对称性，电荷分布的对称性决定了场的对称性。 用 Gauss定理可以计算具有强对称性场的场强
通量要好算 注意选取合适的Gauss面
Gauss定理可以和场强叠加原理结合起来运用， 计算各种球对称性、轴对称性、面对称性的场。
dS' E
1.3
任意曲面
S
高斯定理
E E d S
任意闭合曲面
E E d S
S
1.3
高斯定理
2
规定： 取闭合面外法线方向为正，则
2
, d E 0
;
, d E 0
1.3
高斯定理
例：求在均匀电场通过一矩形 闭合曲面的电通量。
1.3
d
q 4 0
d
S
q
0
包围一个点电荷的任意曲面上的电通量等于 q 0 2 结果与电力平方反比律分不开 f r
1.3
高斯定理
闭合曲面不包围点电荷
闭合曲面不包围点电荷
，
d' d
'E E
dS´与dS所对的立体角
则电通量也有
对于闭合面S’+S，总通量为 E 0
高斯定理
Gauss定理应用列举
定理反映了静电场的性质——有源场
提供求带电体周围的电场强度的方法
球对称的电场 轴对称的电场 无限大带电平面的电场
1.3
高斯定理
-高斯定理
I. 以单个点电荷q为球心，包围该电荷的同心球面
S 的电通量等于 q / 0
dΦe
E
E
q
4
π
0
r
2
dS
4
eˆ r
q
π
0
r
ห้องสมุดไป่ตู้
2
dS
e
4
q
π0r 2
dS
r
q S
dS E
q
0
4π r 2 对以点电荷q为中心的任意球面
来说，通过它的电通量都一样
9.3 高斯定理
II. 包围点电荷q 的任意闭合曲面S 的电通量E都等
Qr E
4π 0R3
Q
E
4π 0r
Qr
2
4π 0R3
rR rR
QE
4 π0R2
o Rr
9.3 高斯定理
如果我们直接用来表示球体内的场强
E
q 4 πr3
S内
3
R S1 Q
E 4πr 2 4 πr3 0 3
9.3 高斯定理
一、球对称的电场
例题1 点电荷的电场强度
对称性分析
r
E
选高斯面
根据高斯定理计算场强
E dS
1
S
0
i
qi
q S
E 4r 2 q 0
E
4
q
π 0r 2
eˆ r
9.3 高斯定理
例求球题体2 一内外半任径意为点R的的均电匀场带强电度球体，带Q的正电荷E ，
对称性分析
形象地描绘电场
电场线
——直观的图 象形式
电场线是对电场的一种几何描述， 但也被赋予了明确的物理性质
大学物理 高斯定理
引言概述：在大学物理中，高斯定理是一项重要的物理原理，它描述了电场和磁场的性质。
高斯定理由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯于18世纪中叶提出，是电磁学的基础之一。
本文将介绍高斯定理的概念、原理及其在电场和磁场中的应用。
正文内容：1. 高斯定理的概念1.1 定义高斯定理是描述电场和磁场分布的一种数学工具，它通过计算电场或磁场通过一个闭合曲面（高斯面）的总通量来研究场的分布。
1.2 数学表达高斯定理可以用数学表达式表示为：∮E·dA = q/ε0，其中∮E·dA表示场在闭合曲面上的总通量，q表示闭合曲面内的电荷量，ε0为真空介电常数。
2. 高斯定理的原理2.1 高斯面的选择高斯定理中的高斯面是根据具体问题选择的，一般情况下我们选择对称性较高的闭合曲面，以简化计算。
2.2 电场线的特性高斯定理的基础是电场线的性质，电场线从正电荷流向负电荷，且与介质边界垂直，通过一个封闭曲面的电场线数目与该封闭曲面内的电荷量有关。
2.3 通量与电场强度高斯定理中的总通量与电场强度呈正相关关系，通过计算总通量可以得到闭合曲面内的电场强度大小。
3. 高斯定理在电场中的应用3.1 点电荷的场分布高斯定理可以用来研究点电荷周围的电场分布，通过选择以点电荷为中心的球面作为高斯面，可以计算出球面内外的电场强度大小。
3.2 均匀带电球壳的场分布对于均匀带电球壳，可以通过选择以球壳为中心的闭合曲面来计算球壳内外的电场分布，根据高斯定理可以得到球壳内外的电场强度大小。
4. 高斯定理在磁场中的应用4.1 磁场的总通量类似于电场，磁场也可以使用高斯定理来描述，通过计算磁场通过闭合曲面的总通量可以了解磁场的分布情况。
4.2 磁场的磁感应强度高斯定理在磁场中的应用可以得到磁场的磁感应强度大小，通过选择合适的闭合曲面，可以计算出曲面内外的磁感应强度。
5. 高斯定理的实际应用5.1 高斯定理在电容器中的应用电容器是电子器件中常见的元件，根据高斯定理，可以计算电容器两极板之间的电场强度，进而了解电容器的性能。
高斯定理(电磁学)
证明方法
高斯定理的证明通常基于库仑定律、电场线性质和微积分等 基本原理。通过选择适当的闭合曲面和运用微积分中的高斯 公式，可以推导出高斯定理。
推导过程
首先，根据库仑定律，电场线从正电荷发出，终止于负电荷 或无穷远处。然后，通过选取适当的闭合曲面，将电荷包围 在其中，运用高斯公式和高斯定理的推导过程，最终得到高 斯定理的数学表述。
要点一
总结词
高斯定理在其他领域也有广泛的应用，如电场、量子力学 、光学等。
要点二
详细描述
高斯定理在电场中可以用来计算电场的分布和强度，以及 电通量的计算等问题。在量子力学中，高斯定理可以用来 研究波函数的性质和演化。在光学中，高斯定理可以用来 研究光场的分布和强度，以及光通量的计算等问题。
05
高斯定理的扩展和深化
磁场中的应用
总结词
高斯定理在磁场中也有广泛的应用，它可以 帮助我们理解和计算磁场的分布和强度。
详细描述
在磁场中，高斯定理可以用来计算球形区域 内磁场的分布和强度，通过球面上的磁场强 度的积分可以得到球内的磁场。此外，高斯 定理还可以用来研究磁场线的闭合性质，以 及磁通量的计算等问题。
其他领域的应用
引力场中的应用
总结词
高斯定理在引力场中也有重要的应用，它可以帮助我们理解和计算引力场的分布和强度。
详细描述
在引力场中，高斯定理可以用来计算球形区域内物质的质量分布，通过球面上的引力场强度的积分可以得到球内 的质量。此外，高斯定理还可以用来研究引力场的空间分布，通过球面上的引力场强度的分布，可以推导出球内 引力场的分布情况。
高斯定理的应用条件
适用范围
高斯定理适用于任何线性、非自相互作用、电荷连续分布的电场。对于非线性、 自相互作用或离散分布的电荷，高斯定理可能不适用。
大学物理 第七章 高斯定理
。 解：电荷及场分布：柱对称性，场方向沿径向。
高斯面：与带电圆柱同轴的圆柱形
R
闭 合面,高为l,半径为r
sE dS 侧面 E dS E 2 rl
qin
0
由高斯定理知 E qin
2 0lr
r
l
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（1）当r<R 时，高斯面内电荷量为：
半径R,电荷量为q
高斯面
E
问题关键：高斯面的选取
+ +P+
+
+q
+
A:球壳内任意一点P的场强如何求？
+ +
+ +
e E dS
0
+
+
+++ +
S
径向
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e EdS EdS
S
s
E dS E 4 r2 0 S
E 0 (r R)
高斯面
E
+ +P+
+
+q
+
+
+
+ +
qin
q
4 R3
4r3
3
q
r
3
R
3
e EdS EdS E dS
S
S
S
E 4 r2 qin
0
E
高斯面
P+
+ +r +
+
E
qr
4 0 R 3
(r R)
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大学物理高斯定理公式
大学物理高斯定理公式大学物理中的高斯定理公式是一种关于电场和电流分布的基本定律。
高斯定理可以用于描述物体电场和电流分布，同时可以用于计算一般电场和电流分布情况下的电容量和电侵蚀率。
这里介绍几种常用的高斯定理公式。
一、单点电荷的高斯定理公式通常情况，单一的常规的静电场的电荷分布是具有点特征的，此时只需要考虑一个点电荷的作用，可以根据高斯定理，给出点电荷产生的电场的表达式：$$E(r)=\frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}$$其中，$E$ 是点电荷$q$所产生的电场，$\epsilon_0$是空气介电常数，$r$是测量点相较于点电荷的距离。
二、多点电荷组合的高斯定理公式当考虑多点电荷时，就没有简单地表达式了，首先根据高斯定理，给出多点电荷产生的电场的概念的表达式：$$E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i}{4\pi \epsilon_0 r_i^2}$$其中，$E(r,t)$是测量点相较于多点电荷源的电场强度，$q_i$表示第i个点电荷，$\epsilon_0$是空气介电常数，$r_i$是测量点和第i个点电荷的距离，n表示点电荷的数量。
有时，我们可以使用梯度运算来分析多点电荷组合作用下的电场，即：$$\nabla E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i \cdot \nabla r_i}{4\pi\epsilon_0 r_i^3}$$三、静电场介电体上的高斯定理公式静电场介电体的电场分布可以根据高斯定理给出：$$E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i \cdot \nabla r_i}{4\pi \epsilon(r)r_i^2}$$其中，$E(r,t)$是测量点相较于多点电荷源的介电体静电场强度，$q_i$表示第i个点电荷，$\epsilon(r)$是介电体在多点电荷源处的介电常数，$r_i$是测量点和第i个点电荷的距离，n表示点电荷的数量。
大学物理高斯定理课件
复分析
在复分析中，高斯定理可以用于研究复函数的积分和全纯函数的空间性质。
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微分情势和积分公式
高斯定理的推导过程中需要用到微分 情势和积分公式，这些是微分几何的 重要概念和工具。
03
高斯定理的证明
证明的思路
01
引入高斯定理的背 景和意义
阐述高斯定理在电场和磁场中的 重要性，说明证明高斯定理的必 要性。
02
确定证明方法
03
构建证明框架
介绍使用微积分和向量场的方法 来证明高斯定理，说明其公道性 和可行性。
01
多重积分情势
高斯定理可以通过多重积分的情势进行 推广，以处理更复杂的几何形状和场散 布。
02
03
广义高斯定理
广义高斯定理将高斯定理的应用范围 扩大到非保守场，例如电磁场和引力 场。
高斯定理在其他物理领域的应用
01
02
03
电动力学
高斯定理在电动力学中用 于计算电场和电荷散布的 关系，以及电磁波的传播 。
相对论物理
在相对论物理中，高斯定 理可以应用于计算引力场 的能量密度和压力。
粒子物理学
在粒子物理学中，高斯定 理可以用于计算粒子在强 磁场中的运动轨迹和能量 。
高斯定理在其他数学领域的应用
微积分学
高斯定理是微积分学中的重要概念，可以用于 解决一系列积分问题。
实分析
实分析中，高斯定理可用于研究函数的积分性 质和可积性。
04
高斯定理的应用实例
电场中的应用
计算电场散布
高斯定理可以用来计算给定电荷散布 的电场散布，特别是在处理点电荷、 均匀带电球体等简单电荷散布时，高 斯定理提供了简洁的解决方案。
大学物理Ⅱ 高斯定理
P
l
e
E dS S
E dS
侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
侧 EdS E 侧 dS E 2r l
根据高斯定理得 E 2r l 1 l 0
E 2 0 r
用高斯定理求场强小结：
1 . 对称性分析
电荷分布对称性→场强分布对称性
点电荷 球对称性 均匀带电球面
均匀带电球壳
球体
轴对称性 柱对称
无限带电直线
无限带电圆柱 无限圆柱面 无限同轴圆柱面
无限大平面 面对称性 无限大平板
若干无限大平面
2. 高斯面的选择
①高斯面必须通过所求的场强的点。
②高斯面上各点场强大小处处相等，方向处处与该 面元线平行；或者使一部分高斯面的法线与场强方 向垂直；或者使一部分场强为零。
+ q+ +
+
0
R
r
高斯定理的应用
例2 均匀带电球体的电场。球半径为R，带电为q。
解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面
1）r R时 ，
E ds E ds
E 4r2
s
s
r
q
0
4 r3
3
0
q
4 R3
4 r3330E qr4 0R3
R
高斯面
高斯定理的应用
Φe前 Φe后 Φe下
s
E
dS
0
y
P
N
en
o
zM
en
E
en
Q
Rx
Φe左
s左
E
dS
ES左
cosπ
ES左
Φe右 s右E dS ES右 cos ES左
大学物理静电场的高斯定理
高斯定理的数学表达形式简洁明了，是解决静电场问题的重要
03
工具。
高斯定理在物理中的重要性
高斯定理在物理学中具有广泛 的应用，不仅限于静电场。
它可用于分析恒定磁场、时 变电磁场以及相对论性电磁
场中的问题。
高斯定理是电磁学理论体系中 的重要基石，对于深入理解电 磁场的本质和规律具有不可替
代的作用。
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高斯定理的重要性
总结词
高斯定理是静电场理论中的基本定理之一，它揭示了电场与电荷之间的内在联 系。
详细描述
高斯定理的重要性在于它提供了一种计算电场分布的方法，特别是对于电荷分 布未知的情况。同时，它也揭示了电场线总是从正电荷出发，终止于负电荷， 或者穿过不带电的区域。
高斯定理的历史背景
总结词
高斯定理的发现和证明经历了漫长而曲折的历史过程。
VS
按空间位置分类
静电场可分为点电荷产生的电场、线电荷 产生的电场、面电荷产生的电场等类型。 这些不同类型的电场具有不同的分布规律 和性质。
05
高斯定理的推导过程
利用高斯定理推导电场强度与电通量的关系
总结词
通过高斯定理，我们可以推导出电场强度与 电通量之间的关系，即电场线穿过任意闭合 曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷 量与真空电容率的乘积。
静电场的电场强度与电势具有相对独立性
电场强度与电势之间没有直接关系，改变电场中某点的电势，不会影响该点的电场强度。
静电场的分类
按产生方式分类
静电场可分为感应起电和接触起电两种 方式。感应起电是由于带电体在接近导 体时，导体内部电荷重新分布而产生电 场；接触起电是两个不同物体相互接触 时，由于电子的转移而产生电场。
高斯定理的解释和公式
高斯定理的解释和公式
高斯定理，也称为散度定理，是数学中的一个重要定理。
它描述了一个向量场通过一个封闭曲面的总量。
高斯定理在物理学和工程学的许多领域中都有广泛的应用，如电磁学、流体力学和热传导等。
高斯定理的数学表达形式如下：
对于一个平滑的三维矢量场F=(Fx,Fy,Fz)，定义一个封闭曲面S来围绕一个具有体积V的区域D。
那么，高斯定理可以写作：
∬S F·dS = ∭D ∇·F dV
其中，F·dS表示向量场F在曲面元dS上的点积积分，∇·F表示向量场F的散度，dV表示体积元。
这个定理的物理解释是，对于一个流经封闭曲面的流体量，其发散性（流出和流入区域的总和）等于其在包围该区域的体积中的源和汇的总量。
高斯定理的应用非常广泛。
在电磁学中，它可以用来计算通过一个闭合曲面的电场强度和磁场强度的总量。
在流体力学中，它可以用来计算液体或气体通过一个封闭曲面的流量。
在热传导中，它可以用来计算热量通过一个封闭曲面的扩散量。
总之，高斯定理提供了一个非常强大的工具，用于计算向量场通过封闭曲面的总量。
它在物理和工程学中的应用使得我们能够更好地理解和分析各种自然现象和工程问题。
大学物理-高斯定理
电场强度的计算
F
1
4 0
q1q2 r2
r0
电场强度
E
F
q0
(1) 点电荷的场强
E
1 4πε0
q r2
r0
(2) 场强叠加原理
E E1 E2 En
(3) 电荷连续分布的 带电体的电场
电 荷
E dE
dq
r
(q)
(q) 4 0r 3
分 布
dq ρdV (体 分 布) dq σdS (面 分 布) dq λdl (线 分 布)
q2 A P*
s
q2 B
q1
在点电荷 和q 的q静电场中，做如下的三个闭合面
求通过各闭合S面1 ,的S电2 ,通S量3。,
Φe1
E dS
q
S1
0
Φe2 0
Φe3
q
0
q
q
S1
S2
S3
例：一点电荷位于边长为 a 的立方体的顶角上， 求：通过该立方体表面总的电通量。
解： 顶角所在的三个面上的通量为零。 其余三个面上直接计算困难
(3) 天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算，地球大 小和形状的理论研究等。统计 理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。
(5) 高斯还创立了电磁量的绝对单位制。
一、电通量 1、电场线 ( Electric Field Line ) （电场的几何描述）
E
n
dS
E
S E cos dS
Φe
E dS
S
为通过 S 面的电通量。
dS 有两个法线方向，dφ 可正可负。
S为封闭曲面
规定：闭合面上各面元的外法
高斯定理表达式及其物理意义
高斯定理表达式及其物理意义
高斯定理是18世纪德国数学家卡尔高斯提出的一个重要定理，它对于计算物体表面积和空间容积具有极大的意义。
高斯定理的表达式为：
S = 2λπr^2 V =/2πr^2
其中，S表示物体的表面积，V表示物体的容积，λ表示表面张力，r表示物体的半径。
高斯定理的定理推导是以表面张力和表面张力作为基础，表明物体表面积与物体容积之间存在联系。
因为表面张力是以米为单位的，所以用高斯定理可以用来测量物体的表面面积和容积。
物体的表面积指的是物体的外表面的投影面积大小。
物体的表面系数是指物体的表面积与物体体积的比值，用高斯定理可以很容易求出表面系数的大小。
由高斯定理可以推出：
S = 2λπr^2
∴A = S/V = 2λπr^2/ (λ/2πr^2) = 4πr
从上面的结果可以看出，表面系数A与物体的半径r有关。
物体的容积指的是物体内积的大小，用高斯定理可以求出物体的容积：
V =/2πr^2
从上面的结果可以看出，物体的容积与物体的表面张力以及半径有关。
高斯定理的物理意义在于它可以将物体的表面积和容积联系起
来，用高斯定理可以很容易求出物体的表面系数，从而得出物体的表面积和容积。
因此，高斯定理在测量物体表面积和容积以及应用面及润滑学、汽车工程等领域都有重要的意义。
总之，高斯定理表达式是描述物体表面积和容积之间关系的一个重要定理，对于测量物体表面积和容积以及应用于润滑学和汽车工程等领域都有重要的意义。
高 斯 定 理
1.3 高斯定理
静电场是由电荷所激发的，通过电场空间某一给定闭合 曲面的电通量与激发电场的场源电荷必定有确定的关系。德 国科学家高斯通过缜密运算论证了这个关系，并提出了著名 的高斯定理。该定理给出了通过任何曲面S的电通量φe与闭 合曲面内部所包围的电荷之间的关系。下面就以点电荷为例 来讨论。
（3）利用高斯定理解出场强E。
【例7-4】求点电荷Q的电场强度的分布情况。
S
0
由此可见，通过此球面的电通量等于球面内的电荷量q除以 真空电容率ε0 ，与球面半径无关。
（2）一个正点电荷q，被任意闭合曲 面S′和球面S同时包围，如下图所示。根 据电力线的连续性可知，凡是通过球面S 的电力线都一定通过曲面S′。所以通过闭 合曲面S′的电通量等于通过球面S的电通 量，均为 q/ε0 。
物理学
高斯定理
1.1 电场线
电场线是空间中一系列假想的曲线，主要反映电场的特
征，描述电场中各点场强E的大小和方向。为此，对电场线作
如下规定：
（1）电场线上每一点的切线方向与该点场强E的方向一
致。这样，电场线的方向就反映了场强方向的分布情况。
（2）在任一场点，使通过垂直于场强E的单位面积的电
场线数目（称为电场线密度），正比于该点处场强E的大小。
2．非均匀电场的电通量
在非均匀电场中，为了求出通过任意曲面S的电通量φe， 可以把曲面S分成无限多个面元dS，如下图所示。此时，面元 dS可以近似看成一个平面，并且在面元的范围内电场强度可 以近似看成大小相等、方向相同的匀强电场。
物理高斯定理
如图所示，此时空气中场强不变，铜板中场强为零。
两极板A、B的电势差为
U
VA－VB
E0d1＋E0d2＝E0 d
d VB
qd d
0S
所以铜板插入后的电容C’ 为
C
q VA－VB
0S
d d
2）由上式可见，C’ 的值与d1和d2无关（ d1增大时， d2减小。 d1+ d2=d-d' 不变），所以铜板离极板的 距离不影响C’ 的值
与8个负电荷间的相互作用能量是
；
3d
，故中心正电荷
4
e2
4 0 3d
3d / 2
8
e2
4 0 3d / 2
静电场的能量
所以，这个点电荷系统的总相互作用能量为
W
1
4
0
12e 2 d
12e 2
2d
4e 2 3d
32e 2 3d
解二 任一顶点处的电势为
e
e
Vi
3(
)
4 0d
3(
4 0
) 2d
e
2e
(
)
＝2Q20dS＝20dSd
U 2
d 2
代入已知数据，可算得
A 2.99106 J
球内 r 处电场
E
Qr
4 0R3
，
(r R)
W
1 2
0
E
2dV
0
2
E
R
0
1 Qr
40 r3
Qr
4 0 R3
，
2
4r
(r
2dr
R)
0
2
R
Q
4 0 r
2
高斯定理
§6-2 高斯定理
高斯 (C.F.Gauss 1777-1855）
德国数学家、天文学 家和物理学家，有“数 学王子”美称，他与韦 伯制成了第一台有线电 报机和建立了地磁观测 台，高斯还创立了电磁 量的绝对单位制.
一、高斯定理的导出
问题：点电荷q的电通量？
1.点电荷在半径为R的球面中心
dS
+
'
q
q 0 : E 0 q 0 : E 0
0
3.点电荷在任意闭合曲面外
E
q
S
ES 0
"
结论：
E E dS
s
q 0 0
q在S内 q在S外
4.点电荷系的电场强度通量
E
dS
s
qi
in q i i
1 E E dS ε0 S
E
q
0
E
n
q0
E
n
q0
q 0 : E 0 q 0 : E 0
r
S
r
S
单个点电荷场中，由 +q 发出的电场线延伸到 ，
由 而来的电场线到 -q 终止。在无电荷处，电场线 不中断、不增加。
2.点电荷在任意闭合曲面内 E
S
q
S
E
q
S
S
ES ES
2、高斯面内电荷分布发生变化，曲面上的电场强 度的大小和方向会发生变化，但只要高斯面内电 荷总量不变，通过高斯面的电通量就不变。 3、高斯面外的电荷会影响曲面上的电场强度的 大小和方向，但不会影响通过高斯面的电通量。 4、高斯定律是以库伦定律为基础得出的，库伦 定律只适用于静电场，但高斯定理同时也是用 于变化的电场，是电磁场的基本规律之一。 5、高斯定理并未直接指明源电荷所产生电场的 具体形式。能直接用高斯定理求出场强的电场， 都必须具有一定的对称性(特殊性)。
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S (2) E n θ
二、电（场）通量
2、电场中任一曲面的电通量
dS
E
二、电（场）通量
3、电场中任一闭合曲面的电通量 规定：闭合曲面的“外法向”为“正方向”
dS
dS θ
E2
1 E1
二、电（场）通量
随堂练习
例1 以点电荷为球心, 半径为R 的球面的电通量。
结果： q内
0
R
2、性质：
(1) 电场线起自正电荷(或无穷远)，止于负电荷 (或无穷远)，但不会在没有电荷的地方中断；
(2) 静电场中的电场线不形成单向闭合线； (3) 任意两条电场线在无电荷处不会相交。
二、电（场）通量
【电通量】通过电场中任一曲面的电力线的条数
1、匀强电场中任一平面的电通量
S
S
E
n
E
(1) E // n
+
+
r+
+
+
+
+
+
+
+++
高斯面
+ + + +
+ + +
++ +
r+
+
+
+ ++
E
|rR
Q 4πε0r 2
r
0
E |rR 0
四、应用高斯定理求场强
例1 求半径为R 的球面均匀带电荷Q 时的电场分布。
EA
分析电场分布特点
dE dE
结论一：
E 的方向一定沿着径向；
dS
+
+r
+
+
+dS
+
+
+
+
+
+r
++ + + +
结论二：
EA EB
EB
在以球心为圆
B
心的球面上，电
场强度大小相同。
四、应用高斯定理求场强
+ ++
+
一、电场 二、电场强度
1、定义
回顾：上次课主要内容
2、场强的计算
（1）点电荷：
（2）点电荷系：
（3）连续带电体：
三、几种典型带电体的场强公式
1、无限长带电棒外的场强
E λ
a
2πεoa
2、均匀带电圆环的场强
qx E 4 πε0 ( x2 R2 )3 2
3、无限大带电面的场强
σ E
2ε0
电磁学第三讲
静电场的通量 高斯定理
几种带电体系电场线实验图
点电荷
平行板电容器
一对等量异号点电荷
一对等量同号点电荷
正、负点电荷
平行板电容器
一对等量异号点电荷
一对等量同号点电荷
【电场线】 形象描述电场的一簇虚拟有向曲线。
dS
EB
EA B
A
1、规定： 对电场线上任一点
1）切向
E 的方向；
2）疏密
E 的大小。
q1 q2
q3
S
p
q4
qN
四、应用高斯定理求场强
第一步：分析带电体及其场的对称性；
第二步：取合适的高斯面，使其满足
（1）面元法向平行或垂直于电场线；
（2）面元法向平行电场线处的场强大小相等；
第三步：计算通过高 斯面的电通量
E S
ds
ES E
第四步：计算高斯面所包围的净电荷 qi内
第五步：代入高斯定理，求场强E讨论：1）点电荷不在球面中心； 2）若为任意封闭曲面呢？ 3）若点电荷在封闭曲面外呢？ 4）若封闭曲面内有多个点电荷呢？
三、静电场高斯定理
E dS S
qi内
0
说明：
（1）s E
dS
取决于qi内
E 取决于空间所有电荷分布；
（2）意义——表明静电场是有源场。
（3）高斯定理源于库仑定律，
但又高于库仑定律。