2.2.3向量数乘运算及其几何意义
第二章 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
2．2.3 向量数乘运算及其几何意义学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．知识点一 向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同；当λ<0时，与a 方向相反.特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0. 知识点二 向量数乘的运算律 1．λ(μa )＝(λμ)a . 2．(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . 3．λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 知识点三 向量共线定理 1．向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 2．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b . 思考 共线向量定理中为什么规定a ≠0?答案 若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线． (1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa . (2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .1．若向量b 与a 共线，则存在唯一的实数λ使b ＝λa .( × ) 提示 当b ＝0，a ＝0时，实数λ不唯一． 2．若b ＝λa ，则a 与b 共线．( √ ) 提示 由向量共线定理可知其正确．3．若λa ＝0，则a ＝0.( × ) 提示 若λa ＝0，则a ＝0或λ＝0.题型一 向量的线性运算例1 (1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝________. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 9a解析 3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . (2)若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝______. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 4b －3a解析 由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0， 所以x ＋3a －4b ＝0，所以x ＝4b －3a . 反思感悟 向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 跟踪训练1 计算：(a ＋b )－3(a －b )－8a . 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算解 (a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a )＋(b ＋3b )－8a ＝－2a ＋4b －8a ＝－10a ＋4b .题型二 向量共线的判定及应用命题角度1 判定向量共线或三点共线 例2 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)若a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线．考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定向量共线 解 ∵b ＝6a ，∴a 与b 共线．(2)若AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．反思感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b ＝λa (a ≠0)，还要说明向量a ，b 有公共点．跟踪训练2 已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线 答案 A ，B ，D解析 ∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD → ＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．命题角度2 利用向量共线求参数值例3 已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定k 的值． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 解 ∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.反思感悟 利用向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．跟踪训练3 设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？ 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 解 d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2，要使d 与c 共线，则存在实数k ，使得d ＝k c ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2. 因为e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ.故存在实数λ和μ，使得d 与c 共线，此时λ＝－2μ. 题型三 用已知向量表示其他向量例4 在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.13AC →＋23AB → B.53AB →－23AC →C.23AC →－13AB → D.23AC →＋13AB → 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 示意图如图所示，由题意可得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →.跟踪训练4 如图所示，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形．又BM＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量解 因为BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .因为CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )． MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .向量的综合应用典例 如图，设O 是△ABC 内一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 3解析 如图所示，分别取BC ，AC 边的中点D ，E ，则OB →＋OC →＝2OD →，① OA →＋OC →＝2OE →，② 由①×2＋②可得OA →＋2OB →＋3OC →＝2(2OD →＋OE →)．又因为OA →＋2OB →＋3OC →＝0， 所以2OD →＋OE →＝0，即OE →＝－2OD →， 所以OD →，OE →共线，且|OE →|＝2|OD →|.所以S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABC S △AOC＝3.[素养评析] 本题主要考查向量共线条件的应用，解题时需充分利用好几何图形，借助几何直观使问题得解，这正体现了数学中直观想象的核心素养.1．下列各式计算正确的有( ) (1)(－7)6a ＝－42a ； (2)7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； (3)a －2b ＋a ＋2b ＝2a ； (4)4(2a ＋b )＝8a ＋4b .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 C解析 (1)(3)(4)正确，(2)错，7(a ＋b )－8b ＝7a ＋7b －8b ＝7a －b . 2．在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →等于( ) A.12AM → B.AM → C ．2AM → D.MA → 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 C解析 如图，作出平行四边形ABEC ，因为M 是BC 的中点，所以M 也是AE 的中点，由题意知，AB →＋AC →＝AE →＝2AM →，故选C.3．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝12考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 D解析 当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.∴n ＝2m ，此时m ，n 共线．4．已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且P A →＋PB →＋PC →＝AC →，则下列向量一定共线的是( ) A.PC →与PB → B.P A →与PB → C.P A →与PC →D.PC →与AB →考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定向量共线 答案 B解析 因为P A →＋PB →＋PC →＝AC →， 所以P A →＋PB →＋PC →＋CA →＝0， 即－2P A →＝PB →，所以P A →与PB →共线．5.如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的． 2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．λa 与a 的方向不是相同就是相反 B ．若a ，b 共线，则b ＝λa C ．若|b |＝2|a |，则b ＝±2a D ．若b ＝±2a ，则|b |＝2|a | 考点 向量数乘的定义及运算 题点 向量数乘的定义及几何意义 答案 D解析 显然当b ＝±2a 时，必有|b |＝2|a |. 2．3(2a －4b )等于( ) A ．5a ＋7b B ．5a －7b C ．6a ＋12bD ．6a －12b考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 D解析 利用向量数乘的运算律，可得3(2a －4b )＝6a －12b ，故选D.3．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，且A ，B ，C 三点共线，则实数λ的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．－2或1D ．－1或2考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 D解析 因为A ，B ，C 三点共线， 所以存在实数k 使AB →＝kAC →. 因为AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ， 所以λa ＋2b ＝k [a ＋(λ－1)b ]．因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2＝k (λ－1)，解得λ＝2或λ＝－1.4．如图，△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，DC →＝3BD →，AE →＝2EC →，则DE →等于( )A ．－13a ＋34bB.512a －34bC.34a ＋13b D ．－34a ＋512b考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 DE →＝DC →＋CE →＝34BC →＋⎝⎛⎭⎫－13AC → ＝34(AC →－AB →)－13AC →＝－34AB →＋512AC →＝－34a ＋512b ，故选D.5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 连接CD ，OD ，如图所示．∵点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点， ∴AC ＝CD ，∠CAD ＝∠DAB＝12×60°＝30°. ∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°. 由此可得∠CAD ＝∠ADO ＝30°，∴AC ∥DO . 由AC ＝CD ，得∠CDA ＝∠CAD ＝30°， ∴∠CDA ＝∠DAO ，∴CD ∥AO ， ∴四边形ACDO 为平行四边形， ∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列说法中正确的是( ) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A ．②④ B ．①② C ．①③ D ．③④ 考点 向量数乘的定义及运算 题点 向量数乘的运算及运算律 答案 B解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．7．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 ∵△DEF ∽△BEA ， ∴DF AB ＝DE EB ＝13，∴DF ＝13AB ， ∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →.∵AC →＝AB →＋AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →＝b ， 联立得AB →＝12(a －b )，AD →＝12(a ＋b )，∴AF →＝12(a ＋b )＋16(a －b )＝23a ＋13b .二、填空题8．(a ＋9b －2c )＋(b ＋2c )＝________.考点 向量的线性运算及应用题点 向量的线性运算答案 a ＋10b9．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.考点 向量共线定理及其应用题点 利用向量共线定理求参数答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又∵向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12. 10．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b表示)考点 向量共线定理及其应用题点 用已知向量表示未知向量答案 14b －14a 解析 如图，MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC → ＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14b －14a . 11．若非零向量a 与b 不共线，k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，则实数k 的值为________． 考点 向量共线定理及其应用题点 利用向量共线定理求参数答案 ±6解析 ∵k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使得k a ＋2b ＝λ(3a ＋k b )，∴(k －3λ)a ＋(2－λk )b ＝0，∴(k －3λ)a ＝(λk －2)b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3λ＝0，λk －2＝0，∴k ＝±6. 12．如图，在△ABC 中，延长CB 到D ，使BD ＝BC ，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB→＋μAC →，则t ＝λ－μ的最大值是________．考点 向量共线定理及其应用题点 向量共线定理在平面几何中的应用答案 3解析 设AE →＝kAD →，0≤k ≤1，则AE →＝k (AC →＋2CB →)＝k [AC →＋2(AB →－AC →)]＝2kAB →－kAC →，∵AE →＝λAB →＋μAC →，且AB →与AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ，μ＝－k ，∴t ＝λ－μ＝3k . 又0≤k ≤1，∴当k ＝1时，t 取最大值3.故t ＝λ－μ的最大值为3.三、解答题13．计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎡⎦⎤12a ＋37⎝⎛⎭⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．考点 向量的线性运算及应用题点 向量的线性运算解 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b .(2)原式＝12⎝⎛⎭⎫3a －23a ＋2b －b －76⎝⎛⎭⎫12a ＋12a ＋37b ＝12⎝⎛⎭⎫73a ＋b －76⎝⎛⎭⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c＝(6a －4a ＋4a )＋(8b －6b )＋(6c －4c －2c )＝6a ＋2b .14．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.考点 向量的线性运算及应用题点 用已知向量表示未知向量解 如图，设AB →＝a ，AD →＝b .∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴BN →＝12b ，DM →＝12a . ∵在△ADM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →， 即⎩⎨⎧ b ＋12a ＝c ，①a ＋12b ＝d . ②①×2－②，得b ＝23(2c －d )， ②×2－①，得a ＝23(2d －c )． ∴AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d .15．已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD为梯形．考点 向量共线定理及其应用题点 向量共线定理在平面几何中的应用证明 如图所示．∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )，∴AD →＝2BC →.∴AD →与BC →共线，且|AD →|＝2|BC →|.又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．。
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
探究一： 探究一：向量的数乘运算及其几何意义
O
A
B
C
OC
uur u OP =
P
N
M
O
-
2
O
A
B
C
P
N
M
O
2 3
- 2：如图，设点M为△ABC的重心， ABC的重心， 的重心 BC的中点 的中点， D为BC的中点，那么向量 BD 与 BC ， 分别有什么关系？ A D与 DM 分别有什么关系？
A
1 BD BC 2
M B D C
A D 3DM
探究二: 探究二:向量的数乘运算性质
(3 2)
2
2
思考6 若存在实数λ 思考6：若存在实数λ，使 A B l BC ， 三点的位置关系如何？ 则A、B、C三点的位置关系如何？ A B l BC A、B 、C 共线
3.向量的数乘运算律，不是规定， 3.向量的数乘运算律，不是规定，而是 向量的数乘运算律 可以证明的结论. 可以证明的结论.向量共线定理是平面 几何中证明三点共线，直线平行， 几何中证明三点共线，直线平行，线段 数量关系的理论依据. 数量关系的理论依据.
作业： 作业： P90练习 练习： P90练习：3，4，5，6.
高中新课程数学必修④ 高中新课程数学必修④
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
mzgang888@
问题提出
1.如何求作两个非零向量的和向量、 1.如何求作两个非零向量的和向量、差 如何求作两个非零向量的和向量 向量？ 向量？
2.相同的几个数相加可以转化为数乘运 2.相同的几个数相加可以转化为数乘运 3=5×3=15.那么相 算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相 等的几个向量相加是否也能转化为数乘 运算呢？这需要从理论上进行探究. 运算呢？这需要从理论上进行探究.
21-2.2.3向量数乘运算及其几何意义
2.2.3向量数乘的运算及其几何意义教材分析向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.但是引进向量，而不研究它的运算，则向量只是起到一个路标的作用；向量只有引进运算后才显得威力无穷.本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意义；本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义.向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线l 就可以用点A 和某个向量aλ表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解向量数乘定义、几何意义及其运算律；向量共线定理.教学目标重点：掌握向量数乘的定义、运算律,理解向量共线定理. 难点：向量共线定理的探究及其应用.知识点：向量数乘定义、几何意义及其运算律；向量共线定理.能力点：理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行.教育点：通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用.自主探究点：向量数乘的运算律及向量共线定理.训练（应用）点：运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行.考试点：运用向量定义、运算律进行有关计算，运用共线定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题.易错易混点：共线定理中的条件限制.教具准备 尺规、多媒体等 课堂模式 学案导学 一、引入新课：1.复习向量的加法、减法，采用提问的形式. 问题1：向量加法的运算法则？ 问题2：向量减法的几何意义？学生回答完毕后，教师通过多媒体上的图像让学生更直观感受.向量的加法：三角形法则（首尾相连）和平行四边形法则（共起点）.向量的减法：=，= 则 -=。
向量数乘运算及其几何意义
例1．计算：
（1） 3 4a
-12a
（2）3a b 2a b a
5b
（3）2a 3b c 3a 2b c -a+5b-2c
例2.如图：已知 AD 3 AB，DE 3BC，试判断 AC与 AE
是否共线． 解： AE AD DE
E C
3AB 3 BC
3AB BC
A B
3 AC
D
∴ AC与 AE 共线．
练习： (1)设 e1、e2 是两个不共线向量，已 AB 2e1 Re2 ， CB e1 3e2 ，若A、B、C三点共线，求的R值．
答:R=6
小节:
1、向量数乘运算及其几何意义 2、向量数乘运算的运算律 3、向量共线的判定
作业：
课本P103 9
数乘向量的运算律：
结合律
a a
第一分配律 a a a
第二分配律 a b a b
定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充分必要条件是有
且仅有一个实数 ，使得 b a ．
证明：（1）对于向量 （a a 0) ，如果有一个实数
使 b a
那么，由向量数乘的定义知，a与b共线
（2）已知
向量 a 的
a与b共线
倍，即
，a 0
b
，且向量 b 的长度是
a ，那么当 a与b
同向时，有 b a ；当 a与b 反向时 ， 有 b a
综上，如果 （a a 0) b 与 共线，那么有且只有一个实
数 使 b a
2.2.3 向量数乘运算及 其几何意义
学习目标：
1、向量数乘运算及其几何意义 2、向量数乘运算的运算律
人教新课标A版高一数学《必修4》2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课后总结
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算， 例如 λ＋a，λ－a 是没有意义的． 2.λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩 a 大或缩小为原来的|λ|倍．向量 表示与向量 a 同向的单 |a| 位向量.
谢谢大家！
2 2 1 解：原式＝3(4a－3b)＋9b－6(6a－7b) 8 2 7 ＝ a－2b＋ b－a＋ b 3 9 6
8 2 7 5 11 ＝ 3－1 a＋ －2＋9＋6 b＝3a－18b
5 11 ＝ (3i＋2j)－ (2i－j) 3 18 10 11 11 34 71 ＝5i＋ 3 j－ 9 i＋18j＝ 9 i＋18j.
自我检测
→等 1.如图所示， D 是△ABC 的边 AB 上的中点， 则向量CD 于( B ) 1→ → A.BC＋2BA 1→ → C.－BC－2BA 1→ → B.－BC＋2BA 1→ → D.BC－2BA
1→ → → → → 解析 CD＝BD－BC＝2BA－BC.
2 1 2.设 a＝3i＋2j，b＝2i－j，试用 i，j 表示向量 [(4a－3b)＋ b－ 3 3 1 4(6a－7b)]．
小结 对数乘运算的理解，关键是对实数的作用的认识， λ>0 时，λa 与 a 同向，模是|a|的 λ 倍；λ<0 时，λa 与 a 反向， 模是|a|的－λ 倍；λ＝0 时，λa＝0.
跟踪训练 1 下面给出四个命题： ① 对于实数 m 和向量 a、b，恒有 m(a－b)＝ma－mb； ② 对于实数 m、n 和向量 a，恒有(m－n) a＝ma－na； ③ 若 ma＝mb(m∈R)，则有 a＝b； ④ 若 ma＝na (m，n∈R，a≠0)，则 m＝n. 其中正确命题的个数是( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
茅盾中学
首页
首页
引入 进行 小结 作业
教学过程
§ 2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
EXIT
2014年7月5日星期六
茅盾中学 沈晓强
茅盾中学
引入
首页 已知非零向量a, 试作出a a a和(a) ( a) (a). 教学过程
首页 例1、计算 :
引入 进行 小结 作业
教学过程
思考 :
(2)若b // a(a 0), 则b a是否成立 ?
2014年7月5日星期六
EXIT (1)若b a(a 0), 则a, b位置关系如何?
茅盾中学 沈晓强
茅盾中学
新课
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个 实数 , 使b a.
进行 小结 作业
向规定如下 :
(1) | a || || a |;
(2)当 0时, a的方向与a相同;当 0时,
EXIT a的方向与a相反;
(3) 0时, a 0.
2014年7月5日星期六
茅盾中学 沈晓强
茅盾中学
新课
首页 向量的数乘运算律 : (1) ( a) ( )a; 教学过程 (2)( )a a a; 引入
引入 进行 小结 作业
a a
O A
3a PS 3a
2014年7月5日星期六
EXIT
a
S
a
R
Q
a
P
茅盾中学 沈晓强
茅盾中学
新课
首页 向量的数乘运算 : 一般地, 规定实数与向量a的积是一个向 教学过程 量, 这种运算, 称之.记作 a, 它的长度与方 引入
§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
b // a( a 0 ) 存在唯一实数，使b a
思考 (1)为什么规定 a 0 ? (2) 若 a 0 ,则情况会怎样?
当a 0, b 0时，显然a // b，但符合条件有无数多个
当a 0, b 0时，显然a // b，但符合条件不存在 综上所述， a必须是非零向量
a
3a 3a
6a
2 (3a) (2 3)a
一般地
2013-1-10
( a) ( )a
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 8
§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
4.已知非零向量 a , b ,试作出 2(a b) 和 2a 2b , 并进行比较. a a
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
16
§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课堂练习 <<教材>> P.90 书面作业 <<教材>> P.91 习题2.2 A组9.10 练习1.2.3.4.5.6
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
共起点
A
a
首
尾
尾首
B
a b
A
a+b
b a
C
b
a+b
B
O
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
3
§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
3、向量减法的三角形法则
口决：共起点，指被减 4、向量减法的平行四边形法则 共起点 b A A
a a a+b a
数学(2.2.3向量数乘运算及其几何意义)
运算规则
总结词
向量数乘运算的规则包括与标量乘法类似，但需要注意向量的方向性。
详细描述
向量数乘运算的规则与标量乘法类似，实数与向量的每个分量相乘，得到的结果仍为一个向量。但需要注意的是， 向量的方向性在数乘运算中会发生变化。当实数为正时，向量的方向保持不变；当实数为负时，向量的方向会反 向；当实数为零时，向量的长度为零，方向任意。
性质
总结词
向量数乘运算具有分配律和结合律。
详细描述
向量数乘运算具有分配律，即对于任意实数$k$和$l$， 以及任意向量$overset{longrightarrow}{a}$和 $overset{longrightarrow}{b}$，有$(k + l)overset{longrightarrow}{a} = koverset{longrightarrow}{a} + loverset{longrightarrow}{a}$。同时，向量数乘运算也 具有结合律，即对于任意实数$k$、$l$和向量 $overset{longrightarrow}{a}$、 $overset{longrightarrow}{b}$、 $overset{longrightarrow}{c}$，有 $(kl)overset{longrightarrow}{a} = k(loverset{longrightarrow}{a})$。
向量的长度和方向的变化
长度变化
标量数乘会导致向量的长度发生变化。设$k > 0$，则$koverset{longrightarrow}{a}$ 的长度是$overset{longrightarrow}{a}$长度的$|k|$倍；设$k < 0$，则
$koverset{longrightarrow}{a}$的长度是$overset{longrightarrow}{a}$长度的 $frac{1}{|k|}$倍。
必修4课件2.2.3向量数乘运算及其几何意义
b
A
三 【应用】
a
B
练习：
三 【应用】
1.若λa=0，则_______.
2：如图，若P为AB的中点，则 uuu uuu r uuu r r OP 与 OA 、OB 的关系如何？
O
r uuu 1 uuu uuu r r OP = (OA + OB ) 2
A P B
三 【应用】
3.已知非零向量a, 求与a共线的单位向量。
M B D C
二 【新课】
2.共线向量定理
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当 有唯一一个实数λ，使得 b=λa
思考:1) a为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?
3.数乘运算律 思考:(1) 3 (2a) 6a (3 2)a ? 3 (2a) (3 2)a ? 6a ? ? (2 3)a 2a 3a (2) (2 3)a 5a 2a 3a 5a 2(a+b) = 2a+2b (3) 2(a+b)=? 2a+2b=?
4.O是平面上一点，求证：若存在实数 使得 OP OA (1 )OB, 则点A、B、P三点共线。 反之
a 的定义及运算律 (a≠0)
②向量共线定理
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同； 当λ<0时,λa的方向与a方向相反； 特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
思考： 如图，设点M为△ABC的重心， D为BC的中点，那么向量 BD与 BC， AD与DM 分别有什么关系？
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义(A3)
重点 难点
1．实数 λ 与向量 a 可作数乘，但实数 λ 不能与向量 a 进行加、减运算， 如 λ＋a，λ－a 都是无意义的．还必须明确 λa 是一个向量，λ 的符号与 λa 的方向相 关，|λ|的大小与 λa 的模长有关． 2．利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要 注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中 的“平行”或“点共线”问题. 【向量数乘运算的物理背景】 (1)一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量 v，那么在同方向上 3 秒钟的位移对应的向量 用 3v 表示，试在直线 l 上画出 3v 向量，看看向量 3v 与 v 的关系如何？
鸡西市第十九中学学案
2015 年（ ）月（ ）日 班级 姓名
2.2.3 学习 目标
向量数乘运算及其几何意义
1．了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义． 2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算． 3．理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关 共线向量问题．
CD ＝4e1－8e2，求证：A、B、D 三点共线．
3．已知 e1 与 e2 不共线， AB ＝e1＋e2， BC ＝2e1＋8e2， CD ＝3(e1－e2)， 求证：A、B、D 三点共线．
例3
如图， ▱ABCD 的两条对角线相交于点 M， 且 AB ＝a，AD ＝b， 你能用 a、 b 表示 MA 、MB 、
三点之间的位置关系，并说明理由．
1 1 1 2．如图， AM ＝ AB ， AN ＝ AC .求证： MN ＝ BC . 3 3 3 小结 本题给出了证明三点共线方法，利用向量共线定理，关键是找到唯一实数 λ，使 a＝λb， 先证向量共线，再证三点共线． 训练 2 已知两个非零向量 e1 和 e2 不共线，如果 AB ＝2e1＋3e2， BC ＝6e1＋23e2，
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
课 题：2.2.3向量数乘运算及其几何意义教学目的：1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2.掌握实数与向量的积的运算律；3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行.教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件教学难点：对向量共线的充要条件的理解课时安排：1课时教学过程：一、复习引入：1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则2.向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b )二、讲解新课：1．示例：已知非零向量a ，作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a)OC =OA AB BC ++ =a +a +a =3aPN =PQ QM MN ++ =(-a )+(-a )+(-a )=-3a（1）3a 与a 方向相同且|3a |=3|a |；（2）-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a |2．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =3．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa② 第二分配律：λ(a +b )=λa +λb ③4．向量共线的充要条件若有向量a (a ≠0)、b ，实数λ，使b =λa ，则a 与b 为共线向量若a 与b 共线(a ≠0 )且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa ； 当a 与b 反向时b =-μa 从而得向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使b =λa三、讲解范例：例1. 如图，已知任意两个与非零向量a ，b ，试作=+,＝+2,=+3，你能判断A,B,C 三点之间的位置关系吗？为什么？例 2.在 ABCD 中，对角线交于点M, 设=,=,试用a , b 表示,,,.例3.若3m ＋2n ＝a ，m －3n ＝b ，其中a ，b 是已知向量，求m ，n .例4.凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证EF ＝21(AB +DC ). 解法一：构造三角形，使EF 作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决.过点C 在平面内作CG ＝AB ，则四边形ABGC 是平行四边形，故F 为AG 中点.∴EF 是△ADG 的中位线，∴EF =DG 21, ∴EF ＝21DG .而DG ＝DC ＋CG ＝DC ＋AB ，∴EF ＝21（AB ＋DC ）. 解法二：创造相同起点，以建立向量间关系如图，连EB ，EC ，则有EB ＝EA ＋AB ，EC ＝ED ＋DC ，又∵E 是AD 之中点，∴有EA ＋ED ＝0 .即有EB ＋EC ＝AB ＋DC ；以EB 与EC 为邻边作平行四边形EBGC ，则由F 是BC 之中点，可得F 也是EG 之中点.∴EF ＝21EG ＝21（EB ＋EC ）＝21（AB ＋DC ） 四、小结:通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用.五、课后作业：1. 如图，在△ABC 中,AB =a , BC =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求向量AG3．在中，设对角线AC =a ，BD =b 试用a , b 表示AB ，BC。
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
1 §2.2.3 向量数乘运算及其几何意义一、学习目的：1、掌握向量的数乘运算及几何意义；2、掌握向量数乘运算律，并会运用它们进行计算；3、理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向量共线的向量，能判断两个向量共线；4、进一步理解类比和化归思想．二、教学重点：向量的数乘运算及几何意义教学难点：对向量共线的充要条件的理解 三、自学设计1、若向量a 是非零向量，则a a a ++ 记作________，其长度是a 的长度的______倍；()()()a a a -+-+-记作_______，其长度是a的长度的______倍。
2、向量的数乘的概念：实数λ与__________________________，这种运算叫做向量的数乘，记作________。
它的长度与方向规定如下：（1）||_________a λ=；（2）0λ>时，a λ 与a 方向相________；0λ<时，a λ 与a的方向相______。
3、若 2.5a b = ，则向量,a b的方向相______，a 的长度是b 的长度的___________倍。
若2a b =- ，则向量,a b的方向相______，a 的长度是b 的长度的___________倍。
4、填空：(1)()______;(2)()__________;(3)()__________(4)()__________a a ab a λμλμλλ=+=+=-==5、阅读P88例5，回答：（1）本例的运算与整式的运算类似吗？ （2）请编三道与例5类型相似的题目给你的同桌做做。
6、向量共线定理：_________________________________________________________。
（1）定理中为什么规定0a ≠ ？ （2）根据这个定理，你认为怎样判断向量,a b是否共线？7、阅读P89例6，回答：（1）用向量法判断A 、B 、C 三点共线的思路的怎样的？____________________________________ （2）你还有不同的解法吗？把你的解法写下来：2 8、阅读P89例7，回答：（1）根据三角形法则或平行四边形法则，能够直接用,a b表示的向量有哪些？这些向量与所要表示的向量有怎样的关系？（2）在图2.2-21中，如果规定,A C a B D b == ，你能用,a b 表示,A D A B吗？四、达标练习（A ）1、P90练习2，3，4，5.2、点 C 在线段AB 上，且3A C =A B 5，则AC 等于（ ）.A. 2B C 3B. 3B C 2C. 2B C 3-D. 3B C 2-（B ）3、已知m ,n不共线，若 a = m 2n , b = 3m + n , c = 2m + 3n - 则a b - 与c 的位置关系是（ ）.A. 不共线B. 共线C. 相等D. 无法确定4、设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是（ ）.A.a 与a λ- 反向B. ||||a a λ≤-C. a 与2a λ 同向 D. ||||a a λλ⋅≤-五、课后拓展延伸1、设21,e e 是两个不共线的向量，已知1228AB e e =-，213e e CB +=，212e e CD -=，则A 、B 、D三点是否共线？说明理由。
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
如图， b 例1：如图，已知任意两个 非零向量 a，, 试作 OA = a + b, OB = a + 2b, OC = a + 3b, 你能判断 A, B, C三点之间的位置关系吗 ？为什么？ 为什么？
C 3b 2b b B A
a
b
AC = 2 AB
所以A， ， 三点共线 所以 ，B，C三点共线
λ > 1时，
0 < λ < 1时，
λ a是沿 a的方向放大了 λ 倍
λ a是沿 a的方向缩小了 λ 倍 λ < − 1时， λ a是沿 a的反方向放大了 | λ | 倍 − 1 < λ < 0时， λ a是沿 a的反方向缩小了 | λ | 倍
设a, b为任意向量，λ,µ为任意实数，则有： b为任意向量 λ,µ为任意实数，则有： 为任意向量， 为任意实数
例1 : 计算 (1) ( −3) × 4a ( 2) 3(a + b ) − 2(a − b ) − a ( 3) ( 2a + 3b − c ) − ( 3a − 2b + c )
b 例 2 : 若 3 m + 2 n = a , m − 3 n = b , 其中 a，是 已知向量， n 已知向量，求 m，
结论： 结论：若 OP = x OA + yOB , 且x + y = 1，则 P，A，B 三点共线， 三点共线，反之也成立 。
如图， 例 3：如图，点 O为三角形 ABC 的重心 2 A 求证： AO 求证： = AE 3
F O B E C D
AM 1 AN 1 如图， 例4：如图，在 ∆ ABC 中， = , = , BN 与 CM 交 AB 3 AC 4 b表示 AP . 于点 P ，且 AB = a , AC = b , 用向量 a，
【数学】2.2.3 向量数乘运算及其几何意义(人教A版必修4)1
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆
规律
记忆后
选择巩固记忆的时间 艾宾浩斯遗忘曲线
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择巩固记忆的时间！ TIP2：人的记忆周期分为短期记忆和长期记忆两种。 第一个记忆周期是 5分钟 第二个记忆周期是30分钟 第三个记忆周期是12小时 这三个记忆周期属于短期记忆的范畴。
（图片来自网络）
1 费曼学习法--实操步骤 获取并理解
2 根据参考复述
费
3 仅靠大脑复述
曼
4 循环强化
学
5 反思总结
习
6 实践检验
法
费曼学习法--
实操
第一步 获取并理解你要学习的内容
（一） 理 解 并 获 取
1.知识获取并非多多益善，少而精效果反而可能更好，建议入门时选择一个概念或 知识点尝试就好，熟练使用后，再逐渐增加，但也不建议一次性数量过多（根据自 己实际情况，参考学霸的建议进行筛选）； 2.注意用心体会“理解”的含义。很多同学由于学习内容多，时间紧迫，所以更 加急于求成，匆匆扫一眼书本，就以为理解了，结果一合上书就什么都不记得了。 想要理解，建议至少把书翻三遍。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4 天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
OB a 2b,OC a 3b. 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
解:
a
AB OB OA
b 3b
B
a 2b - (a b) b
AC OC OA
a 3b - (a b) 2b
AC 2AB
所以, A, B,C三点共线
2b
A
b a
O
例.如图, ABCD的两条对角线相交与点M ,且AB a,
3a与a的方向相反
3a 3 a
一、向量的数乘运算的定义
1.定义：实数与向量 a 的积是一个向量，这种运算 叫做向量的数乘，记为 a,
2.其方向和长度规定如下：
（1） a a ;
（2） 当 0, a 与 a 的方向相同； 当 0, a 的方向与 a 的方向相反； 当 0，a 0.
注意：与 a 只可乘积，不可加减！
AD b,你能用a,b表示MA, MB, MC和MD.
解 : 在 ABCD中. AC AB AD a b
D
C
M
b
DB AB AD a b
MA
1
AC
1
(a
b)
A
1a
1
a
bB2ຫໍສະໝຸດ 222MB 1 DB 1 (a b) 1 a 1 b
2
2
22
MC 1 AC 1 a 1 b
)+ (-
a
)+ (-
a)
A
B
CD
已知非零向量a ，作a+a+a 和(- a )+(-a)+(-a ) a
aa a
-a -a -a
OA B C
N M QP
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
[解析] 把已知中的两等式看做关于m、n的方程，联立 方程组3mm－＋32nn＝＝ba，， 解得mn＝＝111311aa－＋113211bb.，
规律总结：此题在求解过程中，利用了实数与向量的积 以及它所满足的运算律．另外，解向量的二元一次方程组的 方法与解实数的二元一次方程组的方法相同．
若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则(13a－b)－3(a＋23b)＋(2b －a)＝________.
个点，动点
P
满足O→P＝O→A＋λ
→ AB →
＋
→ AC →
，λ∈[0，＋∞)，则
|AB| |AC|
点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A．外心 C．重心
[答案] B
B．内心 D．垂心
[解析]
易知A→P＝λ
→ AB →
＋
→ AC →
.
|AB| |AC|
→→
因为
AB →
与
AC →
是单位向量，
注：向量与实数之间可以像多项式
一样进行运算.
三、共线向量基本定理：
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当
有唯一一个实数 ，使得 b a
思考:1) a 为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?
定理的应用:
(1)有关向量共线问题:
例2:如图：已知 AD 3AB ，DE 3BC ，
试判断 AC 与 AE 是否共线． E
(1)掌握实数与向量的积的定义; (2)掌握实数与向量的积的运算律， 并进行有关的计算; (3)掌握共线向量基本定理，并会判断 两个向量是否共线； (4)能运用向量判断点共线、线共点等.
已知非零向量 a
a
作出：a a a a a a
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例、如图：已知 AD = 3 ⋅ AB ， DE = 3 BC ， 如图： 是否共线． 试判断 AC 与 AE 是否共线． E
C A B D
例、 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点 如图，在平行四边形ABCD中 AB中点 中点，
1 N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C 在线段BD上 且有BN= BD，求证： 3
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) 根据定义，求作向量3(2a (6a (a为非零向量)，并进行比较。 为非零向量) 并进行比较。 (2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b， a,b，求作向量2(a+b) a+2 并进行比较。 并进行比较。 r
a
r 3(2a )
r b r
r r r r (1)向量 3a 的方向与 a的方向相同 向量 3a的长度是 a 的方向相同, 向量 r r 的3倍,即 3a = 3 a . 倍即 r r r r (2)向量−3a r 向量 的方向与 a的方向相反, 向量 −3a的长度是 a 的方向相反 r 的3倍,即 −3a = 3 a . 倍即
r r a+b
特点:共起点 特点 共起点
C
r b
A
A
r a
B
O
r a
r a
3.向量减法三角形法则: 3.向量减法三角形法则: 向量减法三角形法则
r b
B
r b
O
r a
A
r uuu r r BA = a − b
特点：共起点，连终点， 特点：共起点，连终点，方向指向被减数
实际背景
一物体作匀速直线运动 ，一秒钟的位移对应 向量 a , 那么在同方向上 3秒的位移对应的向量 用3a表示，试画出该向量。
思考2 如图，设点M uuu 的重心， 思考2：如图，设点M为△ABC的重心， ABC的重心 r uuu r BC的中点 的中点， D为BC的中点，那么向量 BD 与 BC ， uuu uuur r u 分别有什么关系？ AD与 DM 分别有什么关系？ A
uuu 1 uuu r r BD = BC 2 uuu r uuur u AD = - 3DM
三点共线。 三点共线。
D C
N
A
M
B
uuu r r r r r 如图， 例、如图，已知任意两个向量 a、 ，试作OA = a + b, b
uuu r r r uuur r r 你能判断A、 、 三点之 OB = a + 2b, OC = a + 3b. 你能判断 、B、C三点之
C
间的位置关系吗？为什么？ 间的位置关系吗？为什么？
(4) 在平行四边形ABCD中,AB = a, AD = b, AN = 3 NC,M为BC的
1 1 中点,则 MN 等于＿＿＿＿＿＿ b − a+ 4 4
练习
为边ＢＣ的中点,求证: ＢＣ的中点 （5）在∆ABC 中,设D为边ＢＣ的中点,求证:
1 (1) AD = ( AB + AC ) (2)3 AB + 2 BC + CA = 2 AD 2
D M C
b
A
r a
B
如图， 延长BA C,使AC=BA,在OB上取 BA到 例、 如图，在 ∆OAB 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取
1 OB D,使 OB.DC与OA交于E,设 交于E, 点D,使BD= OB.DC与OA交于E,设 OA = a， = b， 请用 3 B a， b表示向量 OC， . DC
r r 3(2a ) = 6a
r r a +b
a
r r 2a + 2b
r r r r 2(a + b ) = 2a + 2b
r 2b
r 2a
向量的数乘运算满足如下运算律：
λ， µ 是 实 数 ，
（ 1） λ µ a ) = ( λ µ ) a ; （
r
r
( 2 )( λ + µ )a = λ a + µ a ; ( 3 )λ ( a + b ) = λ a + λ b .
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
练习
1 (3) D是∆ABC中BC边上一点，且BD = BC，设 AB = a, AC = b, 3 A 则AD等于（ C ）
1 A. (a − b ) 3 1 C . (2a + b) 3
1 B . (b − a ) 3 1 D . (2b + a ) B 3
D
C
2.2.3向量的数乘运算 向量的数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则: 1.向量加法三角形法则: 向量加法三角形法则 特点:首尾相接， 特点 首尾相接，首尾连 首尾相接 C r r r a+b b
2.向量加法平行四边形法则: 2.向量加法平行四边形法则: 向量加法平行四边形法则
B
r bLeabharlann r aur uu r uuu r ur uu uuu ur uu r r r 是两个不共线的向量， 设 e1 , e2是两个不共线的向量，AB = 2e1 + ke2 , CB = e1 + 3e2 , uuu r ur uu r 三点共线， 的值. CD = 2e1 − e2 ，若A、B、D三点共线，求k的值 、 、 三点共线 的值
Ａ
Ｂ Ｄ Ｃ
小结: 小结
一、①λa
的定义及运算律 向量a 向量a与b共线
②向量共线定理 (a≠0) b=λ b=λa
二、定理的应用： 定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 三点共线: AB=λ 3. 证明 两直线平行: 两直线平行: AB=λ AB=λCD AB∥ AB∥CD
r a r a r a r a r −a r −a r −a
r r r r r uuu uuu uuu uuu r r r r r r a OC = OA + AB + BC = a + a + ar 记: a +r + a = 3a r uuu r r uuu r r 即: OC = 3a. 同理可得 PN = (−a) + (−a) + (−a) = −3a 同理可得: r r r 思考题2: 有什么关系? 思考题 r 向量 3a 与向量 a 有什么关系 向量 −3a 有什么关系? 与向量 a 有什么关系
rD b rE A
a
O C
r (1) 设 a 是非零向量,λ 是非零实数,下列结论正确的
是( B ). A. a与 − λ a的方向相反 C. λ a ≥ a
练习
a与 λ 2 a的方向相同 B. D. λ a = λ a (2) 下列四个说法正确的个数有( C ).
1 对于实数 m和向量 a、 b，恒有 m（a − b） m a − mb; = 2 对于实数 m、 n和向量 a，恒有 ( m − n ) a = m a − n a; 3 若 m a = m b ( m ∈ R ), 则有 a = b ; 4 若 m a = n a ( m 、 n ∈ R ), a ≠ 0, 则有 m = n;
M B D C
对于任意一个三角形， 对于任意一个三角形， 三角形的三条高的交点叫做垂心 垂心， 三角形的三条高的交点叫做垂心， 三角形的三条中线的交点所为重心 重心， 三角形的三条中线的交点所为重心， 内心， 三角形的三条角平分线的交点叫内心 三角形的三条角平分线的交点叫内心， 三角形的三条中垂线的交点叫外心 三角形的三条中垂线的交点叫外心
a
3a
在物理中位移与速度的关系：s=vt， 在物理中位移与速度的关系： ， 力与加速度的关系： 力与加速度的关系：f=ma. 其中位移、速度， 加速度都是向量， 其中位移、速度，力、加速度都是向量， 而时间、 而时间、质量都是数量
讲授新课 r r r r r r r 思考题1:已知向量 思考题 已知向量 a, 如何作出 a + a + a 和(−a) + (−a) + (−a)?
r r 特别地:（ − λ） = λ − a a r r r r λ a − b = λ a − λb
r
r
r
r
r
r
r
(
)
( )
向量的加、 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 数乘运算统称为向量的线性运算
例、计算下列各式
r r (1)( − 3 ) × 4 a = −12a r r r r r r ( 2)3( a + b ) − 2( a − b ) − a = 5b r r r r r r (3)(2a + 3b − c) − (3a − 2b + c)
r 3b r 2b
r a
r b
B
A
r b
O
r a
的两条对角线相交于点M， 例、如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点 ，且 如图，平行四边形 的两条对角线相交于点
r r uuu r uuur r r uuur uuur uuuu uuuu r r b AB = a, AD = b ，你能用 a 、 来表示 MA、 、 和 MD 。 MB MC
A,B,C三点共线 A,B,C三点共线
直线AB∥直线CD 直线AB∥直线CD AB与CD不在同一直线上 AB与CD不在同一直线上
ur uu r 已知两个非零向量e1和e2不共线，如果 uuu r ur uu uuu r r ur uu uuu r r ur uu r AB = 2e1 + 3e2， = 6e1 + 23e2， = 4e1 − 8e2， BC CD 求证 : A、B、D三点共线.