第五节 扩张原理和模糊数
模糊数学原理及应用
模糊数学原理及应用
模糊数学是一门研究模糊集合、模糊逻辑等概念和方法的数学分支学科，它是20世纪60年代兴起的一门新兴学科，其理论和方法在实际问题中有着广泛的应用。
本文将就模糊数学的原理及其在实际中的应用进行介绍和分析。
首先，我们来看一下模糊数学的基本原理。
模糊数学的核心概念是模糊集合和
模糊逻辑。
模糊集合是指其隶属度不是二值的集合，而是在0到1之间连续变化的集合。
模糊逻辑是一种对不确定性进行推理的逻辑系统，它允许命题的真假值在0
和1之间连续变化。
这些基本概念为模糊数学的发展奠定了基础。
其次，我们来探讨模糊数学在实际中的应用。
模糊数学在控制系统、人工智能、模式识别、决策分析等领域有着广泛的应用。
在控制系统中，模糊控制可以有效地处理非线性和不确定性系统，提高控制系统的性能。
在人工智能领域，模糊推理可以用来处理模糊信息，提高智能系统的推理能力。
在模式识别中，模糊集合可以用来描述模糊的特征，提高模式识别的准确性。
在决策分析中，模糊数学可以用来处理不确定性信息，提高决策的科学性和准确性。
总之，模糊数学作为一种新兴的数学分支学科，其原理和方法在实际中有着广
泛的应用前景。
我们应该深入学习和研究模糊数学，不断拓展其理论和方法，促进其在实际中的应用，为推动科学技术的发展做出更大的贡献。
希望本文的介绍能够对大家对模糊数学有所了解，并对其在实际中的应用有所启发。
模糊数学原理及应用
模糊数学原理及应用
模糊数学，也被称为模糊逻辑或模糊理论，是一种基于模糊概念和模糊集合的数学分析方法，用于处理不精确或不确定性的问题。
模糊数学允许将不明确的概念和信息进行量化和处理，以便更好地处理现实生活中存在的模糊性问题。
模糊数学的基本原理是引入模糊集合的概念，其中的元素可以具有模糊或不确定的隶属度。
模糊数学中的隶属函数可以用于刻画元素对于一个模糊集合的隶属程度。
模糊集合的运算可以通过模糊逻辑实现，模糊逻辑是概率逻辑和布尔逻辑的扩展，它允许使用连续的度量范围来推导逻辑结论。
模糊逻辑中的运算包括取补、交集和并集等，它们可以用来处理模糊概念之间的关系。
模糊数学在许多领域都有广泛的应用。
在控制系统中，模糊控制可以用于处理难以量化的问题，如温度、湿度和压力等。
在人工智能领域，模糊推理可以用于处理自然语言的不确定性和模糊性。
在决策分析中，模糊数学可以用于处理多个决策因素之间的不确定性和模糊性。
此外，模糊数学还在模式识别、图像处理、数据挖掘和人机交互等领域得到广泛应用。
通过使用模糊数学的方法，可以更好地处理现实世界中存在的不确定性和模糊性，从而提高问题解决的准确性和效率。
模糊数学_3第五章 模糊映射与变换,模糊关系方程
f fR : u V
满足：
{ f (u)} R | u
f (u ) vu
反之任给一普通映射 f : U V 也可确定普通关系
R {(u,v) | v f (u )}
或
1 当v f (u ) X R (u ,v) 0 当v f (u )
普通关系的映射象和原象都是清晰的。
~
R | u 4 f (u4 ) (0.7,0,0.4)
~
R | u1 0.4 0.7 0 ~ R | u 2 0.1 0.4 0.3 R ~ u R|u ~ 3 0 0.5 0 R | u 4 0.7 0 0.4 ~ v
对于模糊集合普通映射， f : U V 给定 A F (U )，在 f 之下的象应当是什么？ ~ 给定 B F (V )，在 f 之下的原象应当是什么？ ~ 普通集合 f 怎样扩展到 F (U ) 与 F (V ) 之间去。 • 定义5.６ 设 f : U V ，所谓 f 在模糊集类上的扩展， 1 乃是指这样两个映射，仍记为 f 与 f
f : U V
设 A 1, 0, 0.2, 0, 0.1,， 0.9
~
由扩展原理： f ( A) (v1) A (u1 ) A (u2 ) A (u3 )
~ ~ ~ ~
1 0 0.2 1
f ( A) (v2 ) 0.1
f ( A) (v3 ) 0.9
在身高论域V上应表现为
0 .1 0 .2 1 . 5 1 .6
b a R (0.8,1,0.8,0.6,0.2) 0.8 1 0.8 0.6 0.2 1.4m 1.5m 1.6m 1.7m 1.8m
模糊数学法的原理及应用
模糊数学法的原理及应用1. 引言模糊数学是一种基于模糊逻辑的数学方法，其目的是处理那些现实世界中存在不确定性和模糊性的问题。
相对于传统的二值逻辑，模糊数学可以更好地刻画事物的模糊性和不确定性，因此被广泛应用于各个领域。
2. 模糊数学的基本概念模糊数学的基本概念包括模糊集合、隶属函数和模糊关系等。
2.1 模糊集合模糊集合是指元素隶属于集合的程度可以是连续的，而不仅仅是二值的。
模糊集合可以用隶属函数来描述，隶属函数将元素和隶属度之间建立了映射关系。
2.2 隶属函数隶属函数描述了元素对模糊集合的隶属程度。
隶属函数通常是一个在区间[0, 1]上取值的函数，表示元素隶属于模糊集合的程度。
2.3 模糊关系模糊关系是指模糊集合之间的关系。
模糊关系可以用矩阵来表示，其中每个元素表示了模糊集合之间的隶属度。
3. 模糊数学的应用模糊数学在各个领域都有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用实例。
3.1 模糊控制模糊控制是一种通过模糊逻辑和模糊推理来进行控制的方法。
模糊控制可以应用于各种物理系统，例如温度控制、汽车驾驶等，通过模糊控制可以更好地应对系统不确定性和模糊性的问题。
3.2 模糊分类模糊分类是一种模糊集合的分类方法。
与传统的二值分类不同，模糊分类可以更好地处理具有模糊边界的样本。
模糊分类可以应用于各种模式识别和数据挖掘任务中。
3.3 模糊优化模糊优化是一种利用模糊数学方法进行优化的技术。
传统的优化方法通常需要准确的数学模型和目标函数，而模糊优化可以在模糊和不确定的情况下进行优化。
3.4 模糊决策模糊决策是一种基于模糊逻辑和模糊推理的决策方法。
模糊决策可以用于各种决策问题，例如投资决策、风险评估等，通过模糊决策可以更好地处理决策中的不确定性和模糊性。
4. 总结模糊数学是一种处理不确定性和模糊性的有效方法，它可以更好地刻画现实世界中存在的模糊信息。
模糊数学在控制、分类、优化和决策等领域都有广泛的应用。
随着人工智能和大数据技术的不断发展，模糊数学的应用将会更加重要和广泛。
模糊数学原理及其应用
绪言任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强，逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。
模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。
经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。
这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。
而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。
清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。
模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。
实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。
传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。
精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。
但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。
如判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业” 表达，否则，便是经济效益不好的企业。
根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少1元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。
这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。
类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。
它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。
模糊数学(扩张原理)
扩张原理1
设f: UV,由f可以诱导出一个映射：
f:F(U)F(V), A|f(A) 隶属函数
f
(
A)(v)
f
(u)v
A(u)
f 1(v)
0
f 1(v)
吉林大学计算机科学与技术学院
15
扩张原理1
设f: UV,由f可以诱导出另一个映射：
f-1:F(V)F(U), B|f-1 (B) 隶属函数f-1(B)(u)=B(v), v=f(u)
模糊数学 10
1
题4-1
2
题4-4
3
题4-5
4
题4-11
设T是从U到V的模糊变换，A是U 上的普通子集，证明
T (A)(v) T (u,v),v V uA
5
题4-11 证明
设T是从U到V的模糊变换，A是U 上的普通子集，证明
T (A)(v) T (u,v),v V uA
T (A)(v) (A(u) T (u, v)) ( (A(u) T (u, v))) ( (A(u) T (u, v)))
uU
uA
uA
对于u A, A(u) 0,故 (A(u) T (u, v)) 0 uA
对于u A, A(u) 1,故 (A(u) T (u, v)) T (u,v)
uA
uA
6
第五章 扩张原理
7
映射
设有映射f:UV，由它可以诱导出 一个新映射，仍记做f,
f: P(U)P(V), 即A|B=f(A)，其中 f(A) ={v|存在u∈A, 使得f(u)=v,v∈V} 这个映射把一个普通集合映射为另
f=(0A∨)(91)==1∨f(u)=9A(u)=A(-3) ∨A(3)
第五节 扩张原理和模糊数
模糊数的运算
设R为实数域，映射＊：R×R →R是一个实数 域上的二元运算，由这个映射诱导出的新映射 ＊： ℱ (R)× ℱ (R) → ℱ (R) 是实数域R上的二元F集的代数运算 定理2 设＊是实数域R上的二元运算，A,B ∈ ，则
或
两个模糊数作某种运算，是它们的元素作某种运算，相应的隶属度则取小运算
f-1 ({3}), f-1 ({1,3}), f-1 ({3,4}), f-1 ({1,3,4})在f下没有原像。 因此，在B={3},{1,3},{3,4},{1,3,4}时， f-1均不是B到f-1(B)的映射
例题7.2
设U={-3,-2,-1,1,2,3}, V={1,2,3,…,9},且 f: U →V u ↦ u2=v 由f诱导出的一个新的映射 f: ℘(U) → ℘(V) 是 {1} ↦ {1}，{1,2} ↦ {1,4} {2} ↦ {4}, {1,3} ↦ {1,9},…… 记A={1,3},则f(A)={1,9} f(A)的特征函数是 f(A)(1)= f(A)(9)=
例题
设论域为整数集，F数 2=0.4/1+1/2+0.7/3 3=0.5/2+1/3+0.6/4， 求2-3
练习
设2=0.4/1+1/2+0.7/3， 3=0.5/2+1/3+0.6/4， 求2+3，3×2
A(x)和B(z-x)等均为x的函数（z为参数）
例题
设
，求2+2
t z-x-1
导出。
扩张原理的其他表现及性质
扩张原理可由截集的形式表现
定理1：设f: U →V，A ∈ ℱ(U), B ∈ ℱ(V)，则
模糊决策与分析方法
例如：• L(x) max 0，1 x p ，( p 0)，
当p 1时，图形如下：
• L(x) exp( x p )( p 0)
（2）L－R型模糊数
设L和R为模糊数的参照函数，若模糊数I的隶属函数为
为模糊数。
（2）区间数 任意闭区间[a，b]是模糊数，称区间数。 区间数也可记[a, a],其中a和a分别为下限和上限； 还可记A= m(A), w( A) ,其中m和w分别为中点和半宽。 区间数的运算：设[a，b]，[c，d ]为二区间数。则 •[a，b] [c，d ] [a c，b d ] •[a，b] [c，d ] [a d，b c] •[a，b][c，d ] [min(ac，ad，bc，bd )，max(ac，ad，bc，bd )]
2、模糊数 (1)模糊数
R1中的正则模糊集I，若其任意截集I是一个闭区间， 则称I是一个模糊数。 [0，1]
几何表示：（模糊数与凸模糊集的区别）
是开区间
1
1
比较：
模糊数
正则，即的最大值为1 左（右）连续
凸模糊集
的最大值可以小于1
A
可以开，故
可以左（右）侧不连续
A
故模糊数必然为凸模糊集，但凸模糊集不一定
优化
应用：模糊决策与分析
评价 预测
控制
一、模糊集及其隶属函数
1、论域X（研究对象的全体、全集）
普通集A：边界清晰 模糊集A：边界模糊 2、特征函数与隶属函数
A A X
A的特征函数
A
(
x)
1 0
x A x A
模糊集合论
集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集， 记为(A). 并集A∪B = { x | xA或xB }； 交集A∩B = { x | xA且xB }； 余集Ac = { x | xA }. 集合的运算规律 幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A；
c
扩张：点集映射 集合变换
如2∧3 = 2
二元关系
X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二元关系， 特别地，当 X = Y 时，称之为 X 上的二元关系.二 元关系简称为关系. 若(x , y )R，则称 x 与 y 有关系，记为 R (x , y ) = 1； 若(x , y )R，则称 x 与 y 没有关系，记为 R (x , y ) = 0. 映射 R : X Y {0,1} 实际上是 X Y 的子集R上的特征函数.
若在具有最小元0与最大元1的分配格 (L,∨,∧)中规定一种余运算c，满足： 还原律：(ac)c=a； 互余律：a∨ac=1， a∧ac=0， 则称(L,∨,∧,c )为一个Boole代数.
若在具有最小元0与最大元1的分配格 (L,∨,∧)中规定一种余运算c，满足： 还原律：(ac)c = a ； 对偶律：(a∨b)c = ac∧bc， (a∧b)c = ac∨bc， 则称(L,∨,∧,c ) 为一个软代数.
设(L,∨,∧)是一个格，如果它还满足下 列运算性质：
分配律：( a∨b )∧c = ( a∧c )∨( b∧c ) , ( a∧b )∨c = ( a∨c )∧( b∨c ) .
模糊数学原理及其应用
绪言任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。
模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。
经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。
这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。
而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。
清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。
模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。
实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。
传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。
精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。
但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。
如判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业”表达，否则，便是经济效益不好的企业。
根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少1元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。
这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。
类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。
它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。
模糊数的运算法则
模糊数的运算法则模糊数学是一种现代数学理论，是一种模糊逻辑与相关技术的应用，其基础是模糊集合论和模糊逻辑，其目的是对不清楚的现实问题进行建模和分析。
模糊数学的关键思想是将大量复杂的客观事物分割为不同的类别，并用模糊运算法则进行模糊处理，以满足实际应用的需要。
模糊数的运算法则，也称作模糊计算法则，是模糊数学中最基础的概念，它涉及到模糊数学中运算使用的许多基本规则。
模糊计算法则包括：最大化原则、最小化原则、综合原则、增量原则、优势原则、相等原则、隶属函数原则、传递原则和模糊耦合原则等。
最大化原则是模糊数学中最重要的原则之一，它指的是在把握模糊事物时，根据运算要求，应尽可能将结果推得最大。
对于给定的模糊事物，根据模糊数学理论，计算结果是最大值。
最小化原则是模糊数学中另一个重要的原则，它指的是在把握模糊事物时，应尽可能将结果推得最小。
并且，在使用模糊数学运算时，计算结果也是最小值。
综合原则是模糊数学中的另一个重要原则，它指的是，对于一个模糊问题的多个情况，应综合所有情况，最后得出最佳答案。
增量原则指的是在把握模糊事物时，应尽可能通过将结果增量增加或减少，以发现或重现一个模糊事物。
优势原则是模糊数学中又一个重要原则，它指的是在把握模糊事物时，应选择有最大优势的模糊事物，以及将结果推得最大优势。
相等原则是模糊数学的核心原则，它指的是在把握模糊事物时，要尽可能保持模糊事物的相等性，即模糊事物的增减必须保持一定的平衡。
隶属函数原则是模糊数学中最重要的原则，它指的是在把握模糊事物时，要充分利用隶属函数，以已知类别中的概率变化，并用隶属函数来表达模糊问题。
传递原则是模糊数学中一个重要的原则，它指的是在把握模糊事物时，应保持模糊事物的传递性，确保其计算结果不会发生跳变，而是可以唯一确定。
模糊耦合原则是模糊数学中最为重要的原则之一，它指的是在把握模糊事物时，应尽可能地考虑模糊事物之间的耦合关系，并综合评估各个模糊事物之间的联系，以得出最终的结果。
模糊数——精选推荐
1模糊数和模糊算术定义4.6设N 是定义在实数域R 上的模糊集，如果：(1)∃x 0∈R ，使得N (x 0 ) = 1；(2) ∀α∈(0，1] ，N α={ x ∣x ∈R ，N (x )≥α}为有限闭区间，则称N 为( R 上的) 模糊数。
根据上述定义和分解定理，模糊数N 可以表示为].,[]1,0[ααααr l N ∈=∪2定理设N 为R 上的模糊集，则N 为模糊数⇔存在实数m ，n (m ≤n ) 使得式中L (x ) 是右连续的单调不减函数，0 ≤L (x ) < 1，且lim x →-∞L (x ) = 0；R (x ) 是左连续的单调不增函数，0 ≤R (x ) < 1 ，且lim x →∞R (x ) = 0。
⎪⎩⎪⎨⎧><∈=.),(,),(],,[,1)(n x x R m x x L n m x x N如果L(x) 和R(x)均为线性函数，且m ≠n，则称N 为梯形模糊数，简记为N = ( l, m, n, r )。
如果L(x) 和R(x)均为线性函数，且m = n，则称N 为三角模糊数，简记为N = ( l, m, r )。
3定义4.7 模糊数N 被称为模糊正数(或模糊负数)，如果N(x)=0，∀x <0 (或∀x >0)。
设M，N 为两个模糊数，对R 上任意的二元运算∗，∗：R ×R →R ，(x,y)︱→x ∗y ，89根据二元扩张原理，∗可以扩张成F (R )×F (R ) 到F (R )的模糊数运算M ∗N ，其隶属函数为( M ∗N )(z ) = ∨x ∗y = z [ M (x ) ∧N (y )]。
上式称为模糊数运算∗的max -min 卷积形式。
由二元扩张原理的截集形式我们还有，.]),[],[(]1,0[∪∈∗=∗ααααααn n m m r l r lN M定义4. 8设∗是R 上的二元运算，即∗：R ×R →R ，(x,y)︱→x ∗y 。
分解定理及扩张原理
要证明两个模糊集相等，可证它们的任意截集相等.
A( x)
xA xA
X {x1, x2 , x3 , x4 , x5} X 0 0.2 {x , x , x , x } 0.2 0.5 1 2 3 5 A {x1 , x3 , x5} 0.5 0.6 求A. {x , x } 0.6 0.7 1 3 {x3} 0.7 1 A( x1 ) 0.7 A( x2 ) 0.5 A( x3 ) 1
性质： (i) 1 2 1 A 2 A;
(ii) A1 A2 A1 A2
A( x) A( x)
A
A
事实上， 1 2 (1 A)( x) 1 A( x) 2 A( x) ( 2 A)( x)
分解定理I
求B f ( A), f ( B).
1
扩张原理提供了将普通映射和运算模糊化的
一般方法。通过普通映射的扩张，可将普通集合
论中的一些非模糊概念扩张为模糊概念，这就为
经典数学的各领域结构的模糊化提供了可能的途
径。
对任意X上的模糊集A
A A
[ 0 ,1]
A
A
A
A
X
( A )( x) (A )( x) 证明：
[ 0 ,1]
[ 0 ,1]
( A ( x))
[ 0 ,1]
xA
A( x)
A( x )
A 所以， A [ 0 ,1]
普通集？
定义
设X是论域，A F ( X ), [0,1],
CH1-5 模糊集的扩张原理
1
一、一元扩张原理
定理1 定理1 设映射 f ：X →Y， A∈P(X),则任意 y∈Y，有 ， ∈ 则任意 ∈ ，
∨ A(x) , f ( y) ≠ φ f (x)=y f ( A)( y) = 0 , f −1( y) = φ
−1
∨ A(x) , f ( y) ≠ φ x∈f −1( y) = −1 0, f ( y) = φ
x 1+ 3 , − 3 < x ≤ 0 A∈F( X ), 且A(x) = 1− x, 0 < x ≤1 , 0, 其他
求 (A)( y). f
7
二、多元扩张原理
定义 令 X = X1 × X2 ×L× Xn = ∏ Xi , Ai ∈F( Xi ), i =1,2,L, n.
[ λ∈ 0,1]
推论
f ( Aλ ) ⊆[ f ( A)]λ .
11
作业
P54 : 15
12
i=1
n
则由 f 可以诱导出如下映射，
f : ∏F( Xi ) → F(Y), ( A ,LAn A ,L, An )( y) 1
−1 ∨ [∧ Ai (xi )] , f ( y) ≠ φ = f ( x1,L,xn )=y i=1 −1 0, f ( y) = φ
由扩张原理Ⅱ求 f ( A , A2 ) = A + A2. Ⅱ 1 1
∆
10
三、扩张原理与λ截集的相容性
命题1 命题1 设B(λ) ∈P(X),如果A ∈F(X),且
A = U λB(λ), 则有B(λ) ⊆ Aλ .
λ∈ 0,1] [
命题2 命题2 设映射 f ：X →Y， A∈F(X),则
扩张原理与模糊数
扩张原理与模糊数扩张原理 - 什么是？扩张原理是指：人们通过假设“全球环境太大，对其了解有限”，因此需要拥抱其他人的观点和意见。
这种方法可以帮助人们更加全面地考虑问题，并最终做出更为合理的决策。
扩张原理的优势本节将探讨通过使用扩张原理所带来的优势。
在个人生活中使用扩张原理的优势在个人生活中体现得特别明显。
它可以帮助我们更好地与他人沟通，理解他们的观点和看法。
同时，扩张原理也可以促使我们更加包容，并有助于避免冲突。
在组织和公司中在组织和公司中使用扩张原理也很常见。
通过听取并考虑其他人的意见，组织和公司可以促进更好的团队合作和有效决策的制定。
这有利于提高生产力，并帮助实现组织或公司的目标。
在政治中扩张原理在政治方面也非常重要。
它可以帮助政治人物更好地理解和响应不同群体的需求和意见，这样可以加强民主过程并提高政治人物的形象。
模糊数- 什么是？模糊数是一种数学概念，它可以用于处理多义性和不确定性的问题。
在模糊数中，某些数据可以表示为具有不确定度或模糊度的数值。
模糊数的优劣在本节中，将讨论使用模糊数的优势和劣势。
优势•处理模糊和意义不明确的数据——模糊数适用于处理不确定和模糊的数据，这是传统数学方法无法解决的问题。
•提高了信息处理速度——在使用模糊数的情况下，我们不必处理如此精确的数据，因此可以在更短的时间内处理数据。
劣势•相对于传统方法，理解与应用复杂度增加——模糊数不同于传统的数学方法，这意味着我们需要理解和应用新的概念和技能。
•需要对变量的模糊和模糊度进行额外的说明——模糊数的使用需要对变量的模糊和模糊度进行额外的说明，这使得使用起来略微复杂。
，使用模糊数可以带来许多好处，但同时也需要考虑它的优缺点。
模糊数学整理
（4）强烈算子：
四种算子关系：
1.4模糊集的截集
支集
核
1.5分解定理
定理1
1.6模糊集的模糊度
满足条件：
(1)
(2)
(3)
(4)
三种模糊度：
（1）海明模糊度
（2）欧几里得
第二章扩张原理与模糊数
2.1扩张原理
定理1
例2
2.2多元扩张原理
定理1
例1
2.3区间数
例题
2.4凸模糊集
例1
定理1
2.5模糊数
定义1
定理1
例2
例3
第三章模糊模式识别
3.1模糊集的贴近度
满足条件：
①
②
③
海明贴近度
欧几里德
最大最小
格贴近度
模糊模式识别的方法：
直接方法、间接方法
第四章模糊关系与聚类分析
4.2模糊矩阵及截矩阵
转置矩阵、对称矩阵、自反矩阵
模糊转置关系的性质
4.4模糊关系的合成
例1
4.5模糊关系的传递性
定义1
U上的x
定义2
例题
第五章模糊变换与综合评判
模糊变换
例1
模糊综合评判
(1)建立因素集
(2)建立判断集
(3)单因素模糊评判
(4)建立权重集
(5)模糊综合评判
第六章模糊故障诊断
第七章模糊语言与模糊推理
模糊语言与模糊算子
模糊Байду номын сангаас言变量
模糊算子
语言值
模糊推理的方法及算法
问题1：模糊关系的生成规则。设A是X上的模糊集，B是Y上的模糊集。根据模糊推理的大前提条件，确定模糊关系
4模糊集合的扩张原理
定义：设X，Y 是两个论域，若有一规则 f ，使每一个x∈X 唯一确定一个y∈Y 与之对应，则称 f 是从X 到Y 的一个映射，记为f : X→Y，x︱→y∈Y，其中x 称为y 的原象；y 称为x 的象，记作y=f (x)；X 称为映射f 的定义域；记f ( X ) ={ y∣∃x∈X, 使y=f (x)∈Y }，称f ( X ) 为映射f 的值域。
1定义：设f 是从X 到Y 的一个映射。
(1)对任意A ⊂X，记f ( A) ={ y∣∃x∈A, 使y=f (x)∈Y }，这是Y 的一个子集，称为A 在 f 作用下的象( 当A =∅时，规定f ( A) = ∅)。
( 2 ) 对任意B ⊂Y，记f -1(B) ={ x∣x∈X, 使f (x)∈B }，这是X 的一个子集，称为在 f 作用下的原象( 当B =∅时，规定f -1(B) = ∅)。
2第四章模糊集合的扩张原理4.1经典集合的扩张原理定义4.1设X、Y 是经典集合，若给定X 到Y的映射f：X→Y，x|→f (x)= y,则 f 可以诱导出两个映射：一个是P(X) 到P(Y) 的映射，一个是P(Y)到P(X) 的映射，前者仍记为f ，后者记为f －1，它们具体的定义如下：3f 诱导出的第一个映射是一个P(X) 到P(Y)的映射，仍记为f，它的定义如下：f: P(X ) →P (Y ),A︱→f ( A )∈P(Y ),此处 f ( A ) ={ y∈Y ∣∃x∈A, 使y=f (x)}，我们称f (A)为A 的象。
4f 诱导出的第二个映射是一个P (Y)到P(X)的映射，记为f －1，它的定义如下：f －1: P(Y)→P(X)，B︱→f －1(B) ∈P(X )，此处 f －1(B) ={ x∈X ∣使f (x)∈B }，我们称f －1(B)为B 的逆象(原象)。
5由y ＝f (x) 这一个映射诱导出两个集映射f (A)及 f －1(B)，这种情况称为经典扩张原理。
模糊数学扩张原理与模糊数
2．用特征函数表示
3 性质
二、模糊扩张原理
2．扩张原理可以视为换F变换（另一表示）
3 性质
三、二（多）元扩张原理
2．相关定理
小结
• 扩展原理可以将实数的代数运算扩展到实 数域上的F集合的代数运算，是模糊数学计 算分析的重要工具，具有重要的理论价值。
• 但该方法的计算量稍大，实际应用时比较 受限制，只适用于处理比较简单的问题。
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模糊数学扩张原理与模糊数
第12讲 扩张原理与模糊数
•1．普通扩张原理 •2．模糊扩张原理 •3. 二（多）元扩张原理 •4.模糊数 •5 讨论
一、普通扩张原理 1．普通扩张原理定义
四、模糊数
与高等数学中凸函数比较
（3）相关定理
2. 模糊数
（2）有关定理
3. 区间数
五、讨论——模糊数运算的不封闭 性问题
作业6
• 1，2，3，5，6（2）、（4）、（6）， • 8，10，1指正
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Ox1 x2x3x NhomakorabeaO
x1
x2 x3
x
例题
分析模糊集A的凸性。模糊集A的隶属函数为
-
定理1 A为凸模糊集，当且仅当∀λ∈[0,1]，截集
为凸集。
推论 凸模糊集的截集必为区间；截集为区间的模糊集必为 凸集。
模糊数
定义1 设A是实数域R上的正规模糊集，且∀λ∈(0,1]， 均为一闭区间， 即 则称A为一个模糊实数，简称模糊数。 模糊数全体记为 若A∈ 且Al为单点集，即Al={a},则称A为严格F数 若A∈ 且SuppA有界，则称A为有限F数 若A∈ 且 ∀λ∈(0,1]， 有界，则称A为有界F数 例如，A(n)=1/n(n为自然数)， ∀λ∈(0,1]， 无界 若A∈ 且SuppA所含都是正实数，则称A为正F数 若A∈ 且SuppA所含都是负实数，则称A为负F数
3
4 5 6
0.9/3
0/4 0.4/5 0.2/6
V
1/a 0.4/b 0.2/c
0/d
f-1
f-1(B)
B
例题7.4
设R为实数域，映射 f: R → R，且
求f(A)
f
A(x)
例题7.5
设论域X,Y为实数域，映射 f: X →Y x ↦ y=f(x)=1+sinx
求f(A)
2
练习1
设U={a,b,c,d,e,f}, V={x,y,z},
模糊数的运算
设R为实数域，映射＊：R×R →R是一个实数 域上的二元运算，由这个映射诱导出的新映射 ＊： ℱ (R)× ℱ (R) → ℱ (R) 是实数域R上的二元F集的代数运算 定理2 设＊是实数域R上的二元运算，A,B ∈ ，则
或
两个模糊数作某种运算，是它们的元素作某种运算，相应的隶属度则取小运算
问题的关键在于如何确定这些模糊集的隶属函数
扩张原理I的定义与性质
设 f : U →V, 由f可以诱导出两个映射： f: ℱ（U） → ℱ（V）, f -1: ℱ（V） → ℱ（U） f扩张的F变换 A ↦ f(A) B ↦ f -1(B) f扩张的反向F变换 它们的隶属函数分别为
和 称f(A)为A在f下的像，f -1(B)为B的逆像
A=0.1/a+0.4/b+1/c+0.6/d+0.3/e A’=1/a+0.8/b+0.5/c+0.2/f 求f(A),f-1(f(A)),f(Ac),f(AUA’), f({a,b}),f(A)0.6
练习2
设f:R →R, f(x)=x/2,且
求f(A)
扩张原理的另一种推导
扩张原理I是一F变换，这个变换是由映射 f: U →V 确定的普通关系
凸模糊集
什么是凸？（对于普通集合而言） 某个集合A是凸是指，对于任意两点x,y∈A及 ∀λ∈[0,1]，联结x,y的线段上的点 z=λx+(1-λ)y都包含于A中。
x y z x A A y z
凸模糊集
定义1 设R是实数域，A∈F(R)，若∀x1, x2, x3 ∈R， 且 x1< x2< x3，均有 则称A是凸模糊集 。
例题
设论域为整数集，F数 2=0.4/1+1/2+0.7/3 3=0.5/2+1/3+0.6/4， 求2-3
练习
设2=0.4/1+1/2+0.7/3， 3=0.5/2+1/3+0.6/4， 求2+3，3×2
A(x)和B(z-x)等均为x的函数（z为参数）
例题
设
，求2+2
t z-x-1
例题1
设A为三角F集
证明A是严格F数(a,σ为参数)
定理1
设A为有界F数的充分必要条件是存在区间[a,b], 使得
其中L(x)为增函数，右连续，0<=L(x)<1,且 R(x)为减函数，左连续， 0<=R(x)<1,
一个有界F数可由A1=[a,b]及L(x),R(x)唯一确定，记 A=([aA,bA], LA,RA)
例题7.3
设U={1,2,3,4,5,6}, V={a,b,c,d}, 且
A=1/1+0.9/3+0.4/5+0.2/6 求B=f(A)及f -1(B)
1 2
f(U) a b c d f U
1/1 1/2 1/3 0.4/4 0.4/5 0.2/6
1/1 0/2
1/a 0.4/b 0.2/c 0/d f A B
其隶属函数为
例题
设U={0,1,2,…,n}, f:U×U →U
A1=“近似于1”=1=0.1/0+0.9/1+0.1/2 A2=“近似于2”=2=0.2/1+0.8/2+0.2/3 取f为实数运算“+”，则 f(u1,u2)= u1+u2=u, f(A1,A2)=A1 + A2=A 根据扩张原理II, 求A1 + A2？ ( A1 + A2)(u) =
经典扩张原理
定义 设映射f: U →V, u ↦f(u)=v. ∀A∈℘(U),令f(A)={v∈V|v=f(u),u∈A}, 则集合f(A) ∈℘(V)称为集A在f下的像； ∀B∈℘(V),令f -1 (B)={u∈U|f(u)∈B}, 则集合f -1 (B)∈℘(U)称为集B在f下的原像
f f(A) B
区间数加法
区间数减法 区间数乘法
区间数除法
定理2与定理3
定理2 设R为实数域，f: R×R → R, Ai(i=1,2)为有界模糊数，
定理3 设I,J是两个有界模糊数，α＞０，则
有
例题
参见书pp.117-118
小结
扩张原理 凸模糊集 模糊数 区间数及区间数的运算
导出。
扩张原理的其他表现及性质
扩张原理可由截集的形式表现
定理1：设f: U →V，A ∈ ℱ(U), B ∈ ℱ(V)，则
多元扩张原理
设有映射
由f诱导出一个新映射
其中，
二元直积映射
定义1
设Ai ∈ ℱ(Ui),i=1,2,则A1,A2的直积映射
其隶属函数
扩张原理II
定义2 设映射 由f诱导出映射
x-1
3-x
3-z+x
0
1
2
3
4
x
例题
设
求
区间数-区间运算
定义1 设R为实数域， ℘(R)是全体区间的集。 设有映射 ＊: R×R → R (x,y) ↦ z=x ＊ y 扩张到区间之间的映射 ＊: ℘(R) × ℘(R) → ℘(R) (I,J) ↦ k=I ＊ J 其中 中的任一个
定义的意思是：两个区间相加是两个区间任一点对相加，结果为一新区间的数
模糊数学基础
第五节 扩张原理与模糊数
主讲：贺蓉（信息科学与工程学院）
Outline
扩张原理 多元扩张原理 凸模糊集 模糊数 区间数
扩张原理
F变换可以将U上的F集A变换到V上的F集B F变换是由U到V的F关系R确定的 是不是有别的函数也可以实现这种对应呢？ Lotfi A. Zadeh 提出的扩张原理可以实现U上 的F集A与V上的F集B的对应
f
A
f -1 (B)
于是，映射f: U →V, u ↦f(u)=v 诱导出新映射
f: ℘(U) → ℘(V), A ↦ f(A) ∈ ℘(V), 其中，f(A)={v|∃u ∈A, 使f(u)=v, v ∈V} f -1: ℘(V) → ℘(U), B ↦ f -1(B) ∈ ℘(U). 其中， f -1(B) ={u| ∃v ∈B, 使v=f(u), u ∈U} 其特征函数分别为
f-1 ({3}), f-1 ({1,3}), f-1 ({3,4}), f-1 ({1,3,4})在f下没有原像。 因此，在B={3},{1,3},{3,4},{1,3,4}时， f-1均不是B到f-1(B)的映射
例题7.2
设U={-3,-2,-1,1,2,3}, V={1,2,3,…,9},且 f: U →V u ↦ u2=v 由f诱导出的一个新的映射 f: ℘(U) → ℘(V) 是 {1} ↦ {1}，{1,2} ↦ {1,4} {2} ↦ {4}, {1,3} ↦ {1,9},…… 记A={1,3},则f(A)={1,9} f(A)的特征函数是 f(A)(1)= f(A)(9)=
例题7.1
设X={1,2}, Y={1,3,4}, 映射f:X → Y定义为f(x)=x2,则 ℘(X)= ℘(Y)= 在映射f下的扩张原理为 f: ℘(X) → ℘(Y), A ↦ f(A)={y|y=f(x)= x2,x∈A} 例如，{x} ↦f({x})={y|y=f(x)=x2,x ∈{x}}={f(x)}={x2} f(空集 )=空集 , f({1})={1}, f({2})={4}, f({1,2})={1,4} f-1: ℘(Y) → ℘(X), B ↦ f-1 (B)={x|x=f-1 (y)= y1/2 ,y∈B} f-1 (空集)=空集，f-1 ({1})={f-1 (1)}={1}， f-1 ({4})={f-1 (4)}={2}， f-1 ({1,4})={f-1 (1), f-1 (4)}={1,2}，
记B={1,9},则 A*= f-1(B)={-3,-1,1,3}， A={1,3} 逆像集A*与原像A不同