广东省深圳市罗湖区望桐路七年级数学第13讲平行线的性质及其应用培优讲义(无答案)新人教版.doc

第13 讲平行线的性质及其应用
考点·方法·破译
1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；
2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；
3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受
转化思想在解决数学问题中的灵活应用.
经典·考题·赏析
【例１】如图，四边形ABCD中，AB∥C D，B C∥AD，∠A＝38°，求∠C的度数.
【解法指导】 D
C 两条直线平行，同位角相等；
两条直线平行，内错角相等；
两条直线平行，同旁内角互补. A
B 平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识
别角的关系式关键.
【解】：∵AB∥CD B C∥AD
∴∠A＋∠B＝180°∠B＋∠C＝180°( 两条直线平行，同旁内角互补)
∴∠A＝∠C ∵∠A＝38°∴∠C＝38°
【变式题组】
01．如图，已知AD∥BC，点E在B D的延长线上，若∠ADE＝155°，则∠DBC的度数为（）A．155°B．50°C．45°D．25°
E
A 3
D 2
l1
F
2
C
α
1 l2
A B
B 1
D E
C
（第 1 题图）（第2 题图）（第 3 题图）
02．（安徽）如图，直线l 1 ∥l 2, ∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3 为（）
A．50 °B．55 °C．60 °D．65°
03．如图，已知FC∥AB∥D E，∠α：∠D：∠B＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D、∠B的度数.
【例２】如图，已知AB∥C D∥EF，GC⊥C F，∠B＝60°，∠EFC＝45°，求∠BCG的度数.
【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相 A
B 结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.
G 【解】∵AB∥C D∥EF ∴∠B＝∠BCD ∠F＝∠FCD( 两条直线平
行，内错角相等) 又∵∠B＝60°∠EFC＝45°∴∠BCD＝60°∠
FCD＝45°又∵GC⊥CF ∴∠GCF＝90°（垂直定理）∴∠GCD＝
C D 90°－45°＝45°∴∠BCG＝60°－45°＝15°
【变式题组】
E F 01．如图，已知AF∥BC, 且AF平分∠EAB，∠B＝48°，则∠C的的度数＝_______________
E
A
M
A
B
C
F
D
O
E
B
C
B
C
（第 1 题图）
（第 2 题图）
A
N
P
（第 3 题图）
D 02. 如图, 已知∠ ABC ＋∠ACB ＝120° ，BO 、CO 分别∠ ABC 、∠ACB ，D
E 过点 O 与 B C 平行，则
∠BOC ＝___________
03．如图，已知 AB ∥ MP ∥C D , M N 平分∠ AMD ，∠A ＝40° ，∠ D ＝50° ，求∠ NMP 的度数 .
【例３】如图，已知∠ 1＝∠2，∠ C ＝∠D ． 求证：∠ A ＝∠F .
E
F
【解法指导】
D
2
因果转化，综合运用 .
逆向思维：要证明∠ A ＝∠F ，即要证明 DF ∥AC ．
3
要证明 D F ∥AC , 即要证明∠ D ＋∠ DBC ＝180° ，
即：∠ C ＋∠DBC ＝180° ；要证明∠ C ＋∠DBC ＝180° 即要证明 D B ∥EC ． 要证明 D B ∥E C 即要 证明∠ ＝∠
1
3.
A
1 B
C
证明：∵∠ 1＝∠2，∠ 2＝∠3（对顶角相等）所以∠ 1＝∠ 3 ∴D B ∥EC （同位角相等? 两直线平行）∴∠ DBC ＋∠C ＝180° （两直线平行，同旁内角互补）∵∠ C ＝∠D ∴∠DBC
＋∠D ＝180° ∴D F ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠ A ＝∠F （两直线平行，内错角
相等）
【变式题组】
C
01．如图，已知 AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证： D E ∥FG F
A
1
D
2 3
B
E （第 1 题图）
G A
02．如图，已知∠ 1＋∠2＝ 180° ，∠ 3＝∠B ． 求证：∠ AED ＝∠ACB
D 1
F 3 E
2 C
B
03．如图，两平面镜 α、β 的夹角 θ，入射光线 AO 平行
（第 2 题图）
于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B平行
α B
于α，则角θ等于_________.
O
2
θβ
/
O
【例４】如图，已知EG⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠3.
E 求证：AD平分∠BAC．
【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析
A 条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论
的条件，要准确把握住这些条件的意图. （题目中的： 1
3 ∠1＝∠3）
证明：∵EG⊥BC，AD⊥BC ∴∠EGC＝∠ADC＝90°
（垂直定义）∴EG∥AD（同位角相等，两条直线平行）B G D C ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD（两条直线平行，内错角相等）
∴A D平分∠BAC（角平分线定义）
【变式题组】
D 01．如图，若AE⊥BC于E，∠1＝∠2，求证：D C⊥BC．
A
1
2
B C
E
02．如图，在△ABC中，C E⊥AB于E, D F⊥AB于F, AC∥ED，CE平分∠ACB．求证：∠EDF ＝∠BDF.
A
E
F
B
D C
3．已知如图，AB∥C D，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线. C M⊥C N，求：∠BCM的度数.
【例５】已知，如图，AB∥E F，求证：∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°
【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比，
联想周角. 构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.
过点C作C D∥AB即把已知条件AB∥EF联系起来，这是关
A B
D 1
2
3 C
F E
键.
【证明】：过点C作C D∥AB ∵C D∥AB ∴∠1＋∠ABC＝180°
( 两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB∥E F，∴C D∥EF（平行
于同一条直线的两直线平行）∴∠2＋∠CFE＝180°( 两直线平行，
同旁内角互补) ∴∠ABC＋∠1＋∠2＋∠CFE＝180°＋180°＝360°
即∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°
【变式题组】
01．如图，已知，AB∥C D，分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.
结论：⑴____________________________ ⑵____________________________
⑶____________________________ ⑷____________________________
P
A B
B
A
A B
B
A
P
P
P
D
C D C D C
C D
⑴⑵⑶⑷
【例６】如图，已知，AB∥C D，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是
∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180°
【解法指导】基本图形
A B A
α
B
P α
∠P＝α＋β
β
E
1
2
β
3
γ
4
H
F
C D
ψ
C D
善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路.
【解】过点E作EH∥AB．过点F作FG∥AB．∵AB∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，
内错角相等）又∵FG∥AB ∴EH∥FG（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵
AB∥CD ∴FG∥C D（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，
同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝
180°
【变式题组】
01．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（）
A
B
αA．∠β＝∠α＋∠γB．∠β＋∠α＋∠γ＝180°
C．∠α＋∠β－∠γ＝90°D．∠β＋∠γ－∠α＝90°
C
γ D 02．如图，已知，AB∥C D，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝140°，求∠BFD的度
β数. E
A F
B。