广西壮族自治区贵港市港北区2020-2021学年八年级上学期期中数学试题

广西壮族自治区贵港市港北区2020-2021学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若分式21x -有意义，则（ ） A ．1x ≠ B ．1x = C ．0x ≠ D ．0x = 2．用小数表示45.610-⨯为（ ）A ．5.6000B ．0.00056C ．0.0056D ．0.056 3．计算33x y x y x y ---的结果是（ ） A ．1 B ．0 C ．3 D ．64．下列运算，正确的是（ ）A ．20.20.04-=B ．()32822--=C ．2(2)4--=D ．2142-⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 5．分式方程1532x x =-的解是（ ） A ．2x = B ．3x = C ．4x = D ．5x = 6．一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行81km 所需的时间与逆水航行69km 所需的时间相同.已知水流速度是2km /h ，则轮船在静水中航行的速度是（ ） A ．25km /h B ．24km /h C ．23km /h D ．22km /h 7．已知等腰三角形的一边为5，另一边为6，那么这个三角形的周长为（ ） A ．16 B ．17 C ．18 D ．16或17 8．有长度为1，2，3，4的四条线段，任选其中三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．下列命题中，是假命题的是（ ）A ．三个角都是60︒的三角形是等边三角形B ．两个锐角的和是钝角C ．若||3a =，则3a =±D ．在同一平面内，若直线a l ⊥，b l ⊥，则a b ∥10．如图，已知ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 分别在BC 、AC 上，AD AE =，20BAD CAD ∠=∠=︒，则EDC ∠等于（ ）A ．30B ．20︒C ．10︒D ．5︒11．如图，ABC ∆中，AD 是BAC ∠的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，则（ ）A ．PB PC AB AC ++B ．PB PC AB AC ++ C ．PB PC AB AC +<+D ．PB PC AB AC +>+12．如图，已知BD 、CE 是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，5AP =.则下列结论：①ABP ACQ ∠=∠；②5AQ =；③ABP ECA ∆∆≌；④90PAQ ∠=︒.正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 13．（3分）用科学记数法表示：0.00000036=14．计算：53x x ⋅=______.15．约分：2124a bc ab=______. 16．如图，已知ABC ADE ∆∆≌，D 是BAC ∠平分线上一点，76.6BAC ∠=︒，则CAE ∠=______°.17．如图，ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，AB BD DC +=，则C ∠等于______.18．已知210a a --=，且423223215211a xa a xa a -+=-+-，则x =______.三、解答题19．计算：（1）011|1|20192-⎛⎫---- ⎪⎝⎭（2）22111x x x --- 20．解方程：（1）7311x x x +=-- （2）21424x x =-- 21．如图，在Rt ABC ∆中，60B ∠=︒，30C ∠=︒.（1）尺规作图：在线段BC 上求作一点P ，使PA PB =.（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求CAP ∠的度数.22．先化简，再求值：22262443x x x x x x+-⋅-++，其中3x =. 23．如图，在四边形ABCD 中，105ADB ABC ∠=∠=︒，45A C ∠=∠=︒.求证：CD AB =.24．某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．25．观察下列各式：111122=-⨯；1112323=-⨯；1113434=-⨯；1114545=-⨯；… （1）请你观察上面各式的规律，将下列式子写成类似的形式： ①167=⨯______②120182020=⨯______ （2）请利用上述规律计算：（用含有n 的式子表示） 1111122334(1)n n +++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯+______ （3）请利用上述规律解方程：11111(10)(9)(9)(8)(7)(6)(1)1x x x x x x x x x ++++=------++ 26．如图，在四边形ABCD 中，BC DC =，AC 平分BAD ∠.（1）当AB AD >时，求证：180B D ∠+∠=︒.（2）当AB AD =时，D ∠应满足什么条件时，等式180B D ∠+∠=︒才成立？参考答案1．A【解析】【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零求解即可．【详解】解：∵要使分式21x -有意义 ∴10x -≠ 1x ∴≠故选A.【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 2．B【分析】把数据45.610-⨯中5.6的小数点向左移动4位就可以得到．【详解】 解：441=5.6=5.60.0001=0.0005615.6100-⨯⨯⨯． 故选B.【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．（1）科学记数法a ×10n 表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a 的小数点向右移动n 位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a ×10-n ，还原为原来的数，需要把a 的小数点向左移动n 位得到原数．（2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．3．C【分析】根据同分母的分式加减的法则进行计算即可．【详解】解：()333=3x y x y x y x y x y--=--- 故选C.【点睛】本题考查了分式的加减法，掌握分式运算的法则是解题的关键．4．D【分析】根据幂的乘方计算，然后判断即可.【详解】解：A. 220.2250.20.04--≠=∴，故错误；B. ()()3326282222----∴≠=，，故错误； C. 22=-0.25(2)(2)4----∴≠，，故错误； D. 2142-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故正确. 故选D.【点睛】本题主要考查了有理数的乘方与负指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. 5．D【分析】分式方程两边同时乘以()23x x - 去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：()253x x =⨯-315x ∴=解得：x=5，经检验x=5是分式方程的解，故选：D ．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．6．A【分析】顺水速度=水流速度+静水速度，逆水速度=静水速度-水流速度．根据“轮船顺水航行81千米所需要的时间和逆水航行69千米所用的时间相同”可列出方程．【详解】解：设船在静水中的速度是x千米/时．由题意得：816922 x x=+-解得：x=25．经检验：x=25是原方程的解．答：船在静水中的速度是25千米/时．故选A．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题需注意顺流速度与逆流速度的求法．7．D【分析】由已知条件根据等腰三角形的性质三角形三边关系求解，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.【详解】解：（1）当三角形的三边是5，5，6时，∵5+5>6，则能组成三角形，则周长是16；（2）当三角形的三边是5，6，6时，∵5+6>6，则能组成三角形，则三角形的周长是17．故它的周长是：16或17．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，也是解题的关键．8．A【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．【详解】解：首先任意的三个数组合可以是1，2，3或1，2，4或2，3，4或1，3，4．根据三角形的三边关系：其中2+3=5>4，能组成三角形，其他均不能组成三角形 ∴只能组成1个三角形．故选A ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 9．B【分析】根据锐角与钝角的定义，等边三角形的定义，绝对值的定义以及平行线的判定定理逐项分析即可.【详解】解：A. 三个角都是60︒的三角形是等边三角形，是真命题；B. 两个锐角的和是钝角，是假命题，两个锐角的和有可能是钝角或者直角；C. 若||3a =，则3a =±，是真命题；D. 在同一平面内，若直线a l ⊥，b l ⊥，则a b ∥，是真命题.故选B.【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，涉及了锐角与钝角的定义，等边三角形的定义，绝对值的定义以及平行线的判定定理等知识点，熟练掌握各知识点的相关概念是解题的关键. 10．C【分析】根据等腰三角形的性质可得到两组相等的角，再根据三角形外角的性质可表示出∠AED 和∠ADC，再根据角之间的关系即可得到∠1与∠2之间的关系．【详解】解：如图∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠AED=∠ADE，∵∠AED=∠C+∠1，∠ADE+∠1=∠2+∠B，∴∠C+2∠1=∠2+∠B，∴2∠1=∠2．即∠1=112=10 22BAD∠∠=︒故选：C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质的综合运用．11．D【分析】可在CA的延长线上取一点E，使AE=AB，得出△ABP≌△AEP，从而将四条不同的线段转化到一个三角形中进行求解，即可得出结论．【详解】解：如图，在CA的延长线上取一点E，使AE=AB，连接EP．由AD是∠BAC的外角平分线，可知∠BAP=∠EAP，又AP是公共边，AE=AB，故△ABP ≌△AEP从而有BP=PE ，∵在△CPE 中，CB+PE ＞CE∴CB+PB ＞CE而CE=AC+AE=AC+AB∴CB+PB ＞AB+AC ，故选D.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形三边关系的问题，应熟练掌握． 12．C【分析】先由条件可以求出∠1=∠2，就可以得出△ABP ≌△QCA ，就可以得出AP=AQ ，∠BAP=∠CQA ，由∠QAD+∠DAP=90°就可以得出90PAQ ∠=︒．【详解】解:如图∵BD 、CE 都是△ABC 的高，∴∠AEC=∠ADB=∠ADP=90°．∴∠BAC+∠1=90°，∠BAC+∠2=90°，∴∠1=∠2，故①正确；在△ABP 和△QCA 中12AB QC BP CA ⎧⎪⎪⎩∠∠⎨＝＝＝∴△ABP ≌△QCA （ASA ），故③错误；∴∠3=∠P ，AQ=AP=5，故②正确；∴∠P+∠4=90°∴∠3+∠4=90°即∠PAQ=90°，故④正确.故选C.【点睛】本题考查了垂直的性质与判定的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．13．3.6×10﹣7．【解析】试题分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．0.00000036=3.6×10﹣7，考点：科学记数法—表示较小的数14．8x【分析】根据利用同底数幂的乘法法则计算即可.【详解】解：538x x x⋅=故答案为：8x.【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键.15．3ac【分析】利用同类项的性质与分数的基本性质解答即可．【详解】解：原式=2124a bcab=3ac.故答案为：3ac.【点睛】本题主要考查了同类项的性质与分数的基本性质，熟练掌握性质然后进行计算是解题的关键.【分析】根据ABC ADE ∆∆≌推出∠BAC=∠DAE ，再根据D 是BAC ∠平分线上一点推出∠DAC=12 ∠BAC ，即可求出∠CAE.【详解】解：∵ABC ADE ∆∆≌∴∠BAC=∠DAE=76.6°∵D 是BAC ∠平分线上一点∴∠DAC=12∠BAC=38.3° ∴∠CAE=∠DAE-∠DAC=38.3°.故答案为：38.3°.【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质与角平分线的性质，求出∠DAC=12∠BAC 是解题的关键. 17．20°【分析】延长DB 到E ，使BE=AB ，则∠E=∠E AB ，求出DE=DC ，然后根据AD BC ⊥，推出∠E=∠C ，根据外角的性质表示出∠ABD ，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：如图，延长DB 到E ，使BE=AB ，∴∠E=∠EAB∵AB BD DC +=，∴BE+BD=AB+BD=DC ，∴DE=DC∴∠ABD=∠E+∠EAB=2∠C ，在△ABC 中，∠ABD+∠C+∠BAC=180°，∴2∠C+∠C+120°=180°，解得∠C=20°．故答案为：20°【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，利用“补长”法作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．18．27【分析】先根据a 2-a-1=0，得出a 2，a 3，a 4的值，然后将等式化简求解．【详解】解：由题意可得a 2−a−1=0∴a 2=a+1∴a 4=(a 2)2=(a+1)2=a 2+2a+1=a+1+2a+1=3a+2，a 3=a ⋅a 2=a(a+1)=a 2+a=a+1+a=2a+1， ∵423223215211a xa a xa a -+=-+- ∴2264321521211a a a a x x a +-+=-++- 22663151211a a x x a a +-∴=-++ ()()22116631512a a x a a x ⨯+-=-⨯++整理得()2-38110ax a +⨯+=∴381x = 27x ∴=故答案为：27.【点睛】本题主要考查了分解分式方程，通知所学知识对a 2，a 3，a 4进行变形是解题的关键.19．（1）2；（2）11x + 【分析】 （1）先计算零指数幂，负指数幂与去绝对值，然后进行加减运算即可；（2）先通分，然后进行加减运算即可.【详解】解：（1）原式=11+2=2-；（2）原式=()()()()()()211111111x x x x x x x x x +--==-+-+-+11x +. 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算与分式的加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键. 20．（1）2；（2）无解【分析】（1）（2）先去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：：（1）去分母得：7+3（x-1）=x ，去括号得：7+3x-3=x ，移项合并得：2x=-4，解得：x=-2，经检验x=-2是分式方程的解；（2）去分母得：x+2=4，移项合并得：x=2，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．21．（1）见详解；（2）30°【分析】（1）作AB 的垂直平分线交BC 于P ，则点P 满足条件；（2）由PA=PB ，∠B=60°，得到∆BAP 是等边三角形，即可求出CAP ∠的度数．【详解】解：（1）如图，点P 为所作；（2）如图∵PA=PB ，60B ∠=︒，∴∆BAP 是等边三角形∴∠BAP=60°∵90BAC ∠=︒∴CAP ∠=30°.【点睛】本题主要考查就简单尺规作图与等边三角形的性质，熟练掌握尺规作图与等边三角形的三个角为60°是解题的关键.22．()22x x -，23【分析】原式进行整理为完全平方公式，然后利用乘法法则计算，约分得到最简结果，将3x =代入计算即可求出值．【详解】解：原式=()()()22323-2x x x x x +-⋅=+()22x x -当3x =时，原式=()2=332⨯-23. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．见详解【分析】过点B 作BE ⊥AB 交BC 的延长线于点E ，则AB=BE ，∠E=∠C ，由已知可得∠ABD=30°，∠ADB+∠BDE=180°，可推出∠BDE=75°，∠DBC=75°，可证得△BCD ≌△DEB ，得CD=BE=AB ．【详解】解：B 作BE ⊥AB 交BC 的延长线于点E ，则AB=BE ，∠E=∠A ，∵105ADB ABC ∠=∠=︒，45A C ∠=∠=︒，∴∠E=∠C ，∠ABD=30°，∠ADB+∠BDE=180°，∴∠BDE=75°，∠DBC=75°，在△BCD 与△DEB 中，75C E DBC EDB BC CB ∠∠∠∠⎪︒⎧⎨⎪⎩＝＝＝＝∴△BCD ≌△DEB （AAS ），∴CD=BE=AB ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，全等三角形的对应边相等，对应角相等．24．（1）2400个， 10天；（2）480人．【分析】（1）设原计划每天生产零件x 个，根据相等关系“原计划生产24000个零件所用时间=实际生产（24000+300）个零件所用的时间”可列方程240002400030030x x +=+，解出x 即为原计划每天生产的零件个数，再代入24000x即可求得规定天数；（2）设原计划安排的工人人数为y 人，根据“（5组机器人生产流水线每天生产的零件个数+原计划每天生产的零件个数）×（规定天数-2）=零件总数24000个”可列方程[5×20×（1+20%）×2400y+2400] ×（10-2）=24000，解得y 的值即为原计划安排的工人人数．【详解】解：（1）解：设原计划每天生产零件x 个，由题意得， 240002400030030x x +=+， 解得x=2400，经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意．∴规定的天数为24000÷2400=10（天）．答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天．（2）设原计划安排的工人人数为y 人，由题意得，[5×20×（1+20%）×2400y +2400] ×（10-2）=24000, 解得，y=480．经检验，y=480是原方程的根，且符合题意．答：原计划安排的工人人数为480人．【点睛】本题考查分式方程的应用，找准等量关系是本题的解题关键，注意分式方程结果要检验． 25．（1）①142，②111-420092010⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；（2）1n n +；（3）21x = 【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）两式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；（3）利用（2）得出的规律化简，计算即可得到结果．【详解】解：（1）①167=⨯11-=67142； ②原式1120202018=-=220182*********-2010182020201820820⎛⎫=⨯⨯ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭111-420092010⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭； （2）原式=1111111-+-++122311n n n -=-=++1n n +； （3）根据已知可以看出()10x -与()9x -相差了1∴由（2）的规律以得出方程的左边=11101x x --+ ∴111=1011x x x --++ 12101x x ∴=-+ 1220x x ∴+=-21x ∴=【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．26．（1）见详解；（2）90°【分析】（1）过C 作CE ⊥AB 于点E ，作CF ⊥AD 于点E ，根据AC 平分BAD ∠推出CE=CF ，即可证明Rt ∆CDF≅Rt ∆CBE ，即可有∠B=∠CDF ，根据∠ADC+∠CDF=180°，即可证明180B ADC ∠+∠=︒；（2）根据已知证明∆ADC≅ ∆ABC ，即可有∠D=∠B ，然后根据∠D=90°，即可证明180B D ∠+∠=︒.【详解】解：（1）过C 作CE ⊥AB 于点E ，作CF ⊥AD 于点E∵AC 平分BAD ∠∴CE=CF又∵BC DC =∴Rt ∆CDF≅Rt ∆CBE∴∠B=∠CDF∵∠ADC+∠CDF=180°∴180B ADC ∠+∠=︒；（2）当D ∠=90°时，等式180B D ∠+∠=︒成立，理由如下：∵AC 平分BAD ∠∴DAC BAC ∠=∠在∆ADC 和 ∆ABC 中AB AD DAC BAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∆ADC≅ ∆ABC∴∠D=∠B∵要使等式180B D ∠+∠=︒成立∴∠D=90°.【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过作辅助线证明Rt ∆CDF≅Rt ∆CBE 是解（1）题的关键，证明∆ADC≅ ∆ABC 是解答（2）题的关键.。