大学物理机械工业出版社上册课后练习答案

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第一章 质点的运动

1-1 已知质点的运动方程为：

23010t t x +-=，22015t t y -=。式中x 、y

的单位为m ，t 的单位为ｓ。试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向。

分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．

解 (1) 速度的分量式为t t

x x 6010d d +-==v

当t ＝0 时, v o x ＝-10 m·ｓ-1 , v o y ＝15 m·ｓ-1 ,则初速度大小为

设v o 与x 轴的夹角为α,则

2

3tan 00-==

x

y αv v

α＝123°41′

(2) 加速度的分量式为

2s m 60d d -⋅==t

a x x v

,

2s m 40d d -⋅-==

t

a y y v

则加速度的大小为

22

2

s m 1.72-⋅=+=y x a a a

设a 与x 轴的夹角为β,则

3

2tan -==

x y

a a β β＝-33°41′(或326°19′) 1-2 一石子从空中由静止下落，由于空

气阻力，石子并非作自由落体运动。现测得其加速度a ＝A-B v ，式中A 、B 为正恒量，求石子下落的速度和运动方程。

分析 本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v 的函数,因此,需将式d v ＝a (v )d t 分离变量为

t a d )

(d =v v

后再两边积分． 解选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点．

(1) 由题 v v

B A t

a -==d d

(1)

用分离变量法把式(1)改写为t B A d d =-v

v

(2) 将式(2)两边积分并考虑初始条件,有

得石子速度 )1(Bt e B A

--=v

由此可知当,t →∞时,B

A

→v 为一常量,通

常称为极限速度或收尾速度．

(2) 再由)1(d d Bt e B

A

t y --==

v 并考虑初始条件有

得石子运动方程)1(2-+=-Bt e B

A

t B A y

1-3 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即a = - kv 2，k 为常数。在关闭发动机后，试证：

（1）船在t 时刻的速度大小为 1

00

+=

t kv v v ； （2）在时间t 内，船行驶的距离为 01

ln(1)x v kt k

=+；

（3）船在行驶距离x 时的速率为v=v 0e kx 。

[证明]（1）分离变数得2d d v

k t v

=-，

故 020

d d v t v v

k t v =-⎰⎰，

可得： 0

11

kt v v =+．

（2）公式可化为0

01v v v kt

=+，

由于v = d x/d t ， 所以：00001

d d d(1)1(1)

v x t v kt v kt k v kt ==+++

积分

0000

1

d d(1)(1)x t

x v kt k v kt =++⎰⎰． 因此 01

ln(1)x v kt k

=+．

(3 ) 要求 v ( x )，可由

dx dv v dt dx dx dv dt dv a ===，有

积分得 kx

x v v e v v kx v v dx k v dv -=-=⇒-=⎰⎰000

,ln 0证毕．

1－4行人身高为h ，若人以匀速v 0用绳拉一

小车行走，而小车放在距地面高

为H 的光滑平台

上，求小车移动的速度和加速度。

解：人前进的速度v 0，则绳子前进的速度大小等于车移动的速度大小，

所以小车移动的速度

2

20220)(t v h H t

v v --=

小车移动的加速度

[]

2

/322022

2)()(t

v h H v h H a +--=

1-5 质点沿x 轴运动，其加速度和位

置的关系为 262x a +=，a 的单位为

m/s 2，x 的单位为 m 。质点在x =0处，速度为10m/s ，试求质点在任何坐标处的速

度值。

解： ∵ x v

v

t x x v t v a d d d d d d d d === 分离变量： x x adx d )62(d 2+==υυ 两边积分得 c

x x v ++=322221 由题知，0=x 时，100=v ,∴50=c

∴ 13s m 252-⋅++=x x v

1-6 如图所示，一弹性球由静止开始自由下落高度 h 后落在一倾角 30=θ的斜面上，与斜面发生完全弹性碰撞后作抛射体运动，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远。

解：小球落地时速度为gh v 20=

建立直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图

00060cos v v x =

200060cos 2

1

60cos t g t v x += （1）

00060sin v v y =

200060sin 2

1

60sin t g t v y -= （2）

第二次落地时 0=y g

v t 0

2= 所以

m g

v t g t v x 8.0260cos 2160cos 202

00

0==+=

1－7一人扔石头的最大出手速率为v

＝25m/s ，他能击中一个与他的手水平距离L=50m ，高h=13m 的目标吗在此距离上他能击中的最大高度是多少

解：由运动方程

2

1cos ,sin 2

x vt y vt gt θθ==-,消去t 得轨迹方程

以x ＝ ，v ＝25ms －1代入后得 取g ＝，则当 1.25tg θ=时，

max 11.25y =〈13 所以他不能射中，能射中得最大高度

为max 11.25y = 1-8 一质点沿半径为R 的圆周按规律

202

1

bt t s -=v 运动，v 0 、b 都是常量。(1)

求t 时刻质点的总加速度；(2) t 为何值

H

h v 0

图1-18 习题1-4