高中数学竞赛讲座抽屉原理

抽屉原理

抽屉原理又叫重叠原则或鸽原则，抽屉原则有如下几种情形。

抽屉原则I 把1+n 件东西任意放入n 只抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两件东西。 抽屉原则II 把m 件东西放入n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里至少有⎥⎦

⎤⎢⎣⎡n m 件东西。 抽屉原则III 如果有无穷件东西，把它们放在有限多个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含无穷件东西。

利用抽屉原则解题时，其关键是如何利用题中已知条件构造出与题设密切相关的“抽屉”，下面通过例子说明抽屉原则的应用。

例1．在边长为1的正方形内任意放置5个点，试证：其中必有两个点，它们之间的距离不大于2

2。 证明：将边长为1的正方形划分成如图所示的四个边长为

21的小

正方形，则每个小正方形中任意两点间的距离不大于2

2，据抽屉原理：5个点放入四个正方形中，其中至少有一个正方形中至少有2个点，则这两个点间的距离不大于2

2。 例2．证明：边长为1的的正三角形内任意放置5个点，其中必有两点，其距离不超过21。 证明：将边长为1的正三角形的各边中点连结起来，得到四个小正三角形，则每个小正三角形中任意两点间的距离不大于

2

1，据抽屉原理：5个点放入4个小正三角形中，其中至少有一个小正三角形中至少有2个点，则这两个点间的距离不超过21。 例3．在边长为1的正方形中有任意九个点。试证：在以这些为顶点的各个三角形中，至少有一个三角形，其面积不大于8

1。

证明：将边长为1的正方形划分为如图所示的4个44

1⨯的小长方形，9个点放入4个小长方形中，则必有一个长方形中放入了至少3个点，设为C B A ,,,则三角形ABC 的面积不大于过

81，证明如下：A 作边的平行线交BC 于A '，则：

C A A B A A ABC S S S '∆'∆∆+=8

141121=⨯⨯≤。 例4．求证：任给五个整数，必能从中选出三个，使得它们的和能被3整除。 证明：因为任意一个整数被3除的余数只能是0，1，2，若任给的5个整数被3除的余数

中0，1，2都出现，则余数为0，1，2的三个整数之和能被3整除；若5个数被3除的余数只出现0，1，2中的两个，则据抽屉原理知：必有3个整数的余数相同，而余数相同的3个数之和能被3整除。故任给五个整数，必能从中选出三个，使得它们的和能被3整除。 例5．求证：在100,97,,10,7,4,1Λ中任选20个不同的整数，其中必有二整数之和为104。 证明：将100,97,,10,7,4,1Λ这34个自然数分成如下18个集合：

{}{}{}{}{}52,55,49,,97,7,100,4,1Λ，从100,97,,10,7,4,1Λ中任选20个数，即从上述18个集合中选20个数，则必有一个集合中选了2个数，而这两个数的和为104。

例6．设n a a a ,,,21Λ是自然数n ,,3,2,1Λ随意打乱次序重新排列而成的一串数，

n 是奇数。证明：)()1)(1(21n a a a n ---Λ总是偶数。

证明：因n 为奇数，设12+=k n ，则n ,,3,2,1Λ中共有1+k 个奇数，从而n ,,3,2,1Λ，n a a a ,,,21Λ中共2（1+k ）=122+=+n k 个奇数，这1+n 个奇数放入n 个括号中，则必有一个括号中的两个数均为奇数，从而这两个数之差为偶数，所以)()1)(1(21n a a a n ---Λ总是偶数。

例7．求证：对于任给的1987个自然数198721,,,a a a Λ，从中总可以找到若干个数，使它们的和能被1987整除。

证明：构造如下1987个和：198721321211,,,,a a a a a a a a ++++++ΛΛ ，若其中有一个和能被1987整除，则结论成立。否则上述1987个和除以1987的余数只能为1986,,2,1Λ，则其中必有两个和的余数相同，设为i a a a +++Λ21，j a a a +++Λ21 （)j i <， 则)()()(212121j i i i j a a a a a a a a a +++=+++-+++++ΛΛΛ能被1987整除。 例8．在任意一次集会中，其中必有两个人，他们认识的人一样多，试证明之。 证明：设参加集会的共有n 个人，制造如下抽屉：

认识的人的人数为0的人属于集合0A ；认识的人的人数为1的人属于集合1A ； 认识的人的人数为2的人属于集合2A ，…；认识的人的人数为1-n 的人属于集合1-n A 这里得到n 个集合，可以证明0A ，1-n A 中至少有一个集合为空集。若0A 中有一个元素，则其余1-n 个人最多认识2-n 个人，所以1-n A 为空集；同理可证：若1-n A 中有一个元素，则0A 为空集。所以上述n 个集合，其实至多只有1-n 个集合。n 个人放入1-n 个集合中，其中必有一个集合中有两个人，结论得证。

例9．证明：在全世界所有人中任选六个人，其中一定有三个人，他们之间或者互相认识，或者互相不认识。

证明：从6个人中任一个人记为A ，则其余5个同A 或者认识，或者不认识，据抽屉原理：其中必有三个人同A 认识，或者不认识；

若有三个人同A 认识，则这三个人或者互不认识，则结论成立。或者有两个人相互认识，则这两个人同A 三人互相认识。

若有三个人同A 不认识，则这三个人或者互相认识，则结论成立，或者有两个人互不认识，则这两个人同A 三人互不认识。结论成立。

例10．平面上有1987个点，任取三个点都有两点的距离小于1。求证：存在半径为1的圆，它至少盖住994个点。

证明：在所给的1987个点中任选一点，记为A ，以A 为圆心作一个半径为1的圆，若其余的1986个点都在圆A 内，则结论成立；否则，在圆A 外的点中任一点，记为B ，以B

为圆心作一个半径为1的圆，则除去B A ,之外的其余1985个点必在圆A 或圆B 内，否则，至少存在一点C 在圆A 或圆B 的外部，则C B A ,,三点任两点间的距离均大于1，与条件矛盾，所以除去B A ,之外的其余1985个点必在圆A 或圆B 内。据抽屉原理：必有一个圆内至少有9931211985=+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-个点，加上圆心共994个点。知结论成立。 例11．十七个科学家，其中每一个和其他所有的人都通信。在他们的通信中，只讨论三个题目，而且每两个科学家之间只讨论一个题目。求证：至少有三个科学家相互之间在讨论同一个题目。

证明：在17位科学家中任选一位，记为A ，则A 至少与其余16位科学家中的613116=+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-位科学家讨论同一题目，记为题目1，若这6位科学家中有两位科学家在讨论题目1，则结论成立；若这6位科学家都不讨论题目1，则他们只能讨论另外两题目，据抽屉原理：他们中至少有3位科学家在讨论同一题目。从而知：结论成立。

例12．一个国际社团的成员来自六个国家，共有1978人，用1978,,2,1Λ来编号。试证明：该社团至少有一个成员的编号与他的两个同胞的编号之和相等，或是其一个同胞编号的二倍。

证明：证明：用反证法，即设每个国家成员编号m k k k Λ,,21中不存在k j i k k k +=我们将用抽屉原理引出矛盾。

六个国家共有成员1978人，而1978=64329+⨯，所以总有一个国家1A 的成员至少有330人，设他们编号数为,,,33021a a a Λ且33021a a a <<<Λ作329个差

,12a a -133013,,a a a a --Λ （1）

由反证法假定，它们不能是1A 国成员的编号数（若a a a i =-1是1A 国成员的编号，则a a a i +=1，与反证法假定矛盾），所以这329个差数是另外五国成员的编号，由于 329=5465+⨯，因此有一个国家（记为2A ）至少有66个成员的编号数落在差数（1）的范围，记这66个编号当选为66216621,,,b b b b b b <<<ΛΛ由反证法假设又知道5个差为数 1661312,,,b b b b b b ---Λ （2）

不可能是2A 国成员的编号数，也不可能是1A 国的，因为若某11(A a b b i =-国成员编号），则,)()(11a a a a a n m =---故a a a n m +=，与反证假定型矛盾。于是（2）的数只能是另四国成员编号，由于 116465+⨯=