高中理科数学-计数问题(排列组合)

理科数学复习专题统计与概率

排列组合

一．基本计数原理

１.加法原理：做一件事有n类办法，完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2.乘法原理：做一件事分n步完成,完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注:要求做一件事有多少种方法,一般先分类,再分步。

例:用ＡBCD四个字母和1-９九个数字中各取一个给教室的座位编号,可以编出几种号码？

练：从3名老师,8名男生,5名女生中选人参加活动。

（１）活动只需一人参加，有几种选法?

（2)活动需一名老师,一名男生，一名女生参加，有几种选法?

（3)活动需一名老师,一名学生参加，有几种选法？

题型总结

※重排问题（元素可以重复选取）

例：（1)将５本书分给3个不同的学生，有几种分法？

(2）将3个人分到５个不同的车间工作，有几种分法？

练：甲、乙、丙、丁争夺数、物、化三门学科的冠军,每门学科一名冠军,可能出现几种结果?

※组数问题(特殊位置、特殊元素优先考虑）

例：(1）用1、2、３、4、5可以组成多少个四位偶数?

（２）用1、2、３、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数？

（3)用0、１、2、3、４、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?

C B A

D ※选取问题（优先安排“全能者”）

例:艺术小组共有9人,每人至少会钢琴和小号一种乐器，其中会钢琴的有7人，会小号的有3人。从中选一人参加钢琴比赛,一人参加小号比赛。总共有几种选取方案?

练:艺术小组共有9人,只会钢琴有５人，只会小号有２人，全能的有２人，从中选一个参加钢琴比赛，一个参加小号比赛。总共有几种选取方案？

※涂色问题

例：将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图的五个区域内，要求相

邻的两个区域颜色都不相同，则有几种不同的涂色方法

练:如图，一环形花坛分成Ａ,B,Ｃ,D 四块,现有4种不同的花供选种，要求在每块里种１种花，且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数是___＿___

二、排列：

例:从甲、乙、丙3个人中选2个人打扫卫生,１个上午,1个下午,几种选法?

总结:从n 个元素中选出m 个进行排列,总共有几种选法?

1． 排列的概念:从n 个不同元素中,任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．

排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．

【说明】排列的定义包括两个方面：①取出元素,②按一定的顺序排列;

2．排列数的定义:从n 个不同元素中，任取m (m n ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示

注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中,任取m 个

元素按照一定的顺序．．．．．

排成一列，不是数;“排列数”是指从n 个不同元素中,任取m （m n ≤)个元素的所有排列的个数,是一个数所以符号m n A 只表示排列数,而不

表示具体的排列

3.排列数公式及其推导:

(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）

全排列数:(1)(2)21!n n

A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘) 题型总结

※ 计算排列数

计算：42128642A A A A -++

※ 用排列解决的计数问题

(１)特殊优先原则(２)相邻元素捆绑法

（3）不相邻元素插空法(4)定序问题倍缩法

例：①用１、2、３、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?

②用0、1、２、３、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?

例：用0,１,2,3，4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1)0不在个位;（2）1与2相邻；(3)1与2不相邻; (4)偶数数字从左向右从小到大排列．

练：3个男生4个女生站成一排

（1） 甲只能排在中间或排在两端（２）甲和乙只能站在两端

(3) 甲不站最左端，乙不站最右端 ( ４) 所有男生站一起

(5) 所有男生站一起，所有女生站一起 (6)男生不能相邻

(７) 甲乙中间有两人 (８）甲在乙的右边

排列问题 综合练习

1、摄影师要为5名学生和2位老师拍照,要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有 ( ）

A ．1440种

B ．９６０种 C.72０种 Ｄ．4８０种

2、有6个座位连成一排,现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 ( ） Ａ.36种 B.4８种 C ．７2种 D.９6种

3、一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起的不同坐法种数为（ )

Ａ、333A ⨯ B 、333)(3A ⨯ C ． 433)(A Ｄ. 99A

4、三个学校分别有１名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任两名学生不能相邻,那么不同的排法有（ )

A 、36种

B 、72种 Ｃ、108种 D 、１２0种

5、张、王两家夫妇各带1个小孩一起去动物园游玩，购票后需要排队依次入园，为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,两个小孩一定要排在一起,则这6个人的入园顺序的排法数共有 （ )

A 、1２

B 、24 Ｃ、3６ D 、48

６、公共汽车上有４位乘客，其中任何两人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠６个站，那么这4位乘客不同的下车方式共有( ）

Ａ、1５种 Ｂ、２４种 Ｃ、36０种 D 、480种

7、在学校的一次演讲比赛中，高一，高二,高三分别有1名,2名，3名同学获奖，将这６名同学排成一排合影,要求同年级的同学相邻,那么不同的排法共有（ ）

Ａ、6种 B 、36种 Ｃ、72种 D 、1２０种

8、由1,2,3,４，5,6组成没有重复数字且1,３都不与５相邻的六位偶数的个数是_＿___

A ．7２ B.9６ Ｃ．1０8 Ｄ.144

９、电视台某段时间连续播放5个广告，其中有３个不同的商业广告和２个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告,且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )

Ａ．120种 B.48种 C.３6种 Ｄ.18种

1０、甲、乙、丙、丁四种不同的种子,在三块不同土地上试种,其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（ )

A.12种

B.18种

C.２4种

D.96种

11、某中学一天的课表有6节课， 其中上午４节, 下午2节， 要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理６节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午,则不同排法共有（ ）

Ａ．6０0种 B ．4８０种 Ｃ．4０8种 D ．3８4种