习题四 欧拉图与汉密尔顿图 - 烟台大学计算机与控制工程学院
7-4欧拉图与汉密尔顿图
证明（略）。
定理4. 5 设G是具有n个结点的简单图，如果G中每一对结点度数之和大 于等于n，则在G中存在一条汉密尔顿回路。 证明（略）。
（3）充要条件
定义4. 4 设给定图G=<V，E>有n个结点，若将图G中度数之和至少是n的 非邻接结点连接起来得图G’，对图G’重复上述步骤，直到不再有这样的结 点对存在为止，所得到的图，称为原图G的闭包，记作C(G)。 定理4. 6 当且仅当一个简单图的闭包是汉密尔顿图时，这个简单图是汉密尔顿图。 证明:略。
证明: 设C是G的一条汉密尔顿回路，则对于V的任何一个非空子集S在C中 删去S中任一结点a1，则C－a1是连通的非回路，若再删去S中另一结点a2， 则W(C- a1- a2)≤ 2，由归纳法可得： W(C-S)≤ |S| 同时C-S是G-S的一个生成子图（包含G的每个结点的子图），因而 W(G-S)≤ W（C-S） 所以 W(G-S)≤ |S|。 证毕。
证明：
推论 无向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G是连通的，并 且所有结点度数全为偶数。
定理4. 1 证明
必要性 设G具有欧拉路，即有点边序列v0e1v1e2…eiviei+1…ekvk，其中
结点可能重复出现，但边不重复，因为欧拉路经过图G的所有结点， 故图G必是连通的。 对任意一个不是端点的结点vi，在欧拉路中每当vi出现一次，必 关联两边，故vi虽可重复出现，但deg(vi)必是偶数。对于端点，若 v0=vk，则d(v0)为偶数，即G中无奇数度结点；若端点v0与vk不同， 则d(v0)为奇数，d(vk)为奇数，G中就有两个奇数结点。 充分性 若图G连通,有零个或两个奇数结点,我们构造一条欧拉路如下：
二、汉密尔顿图
1、正十二面体问题 2、汉密尔顿图的定义 3、汉密尔顿图的判别条件
Euler图和Hamilton图
欧拉是历史上最多产的数学家.
他生前发表的著作与论文有560
余种,死后留下了大量手稿.欧
拉自己说他未发表的论文足够
彼得堡科学院用上20 年,结果
是直到1862 年即他去世80 年
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ， 1707年4月5日～1783年9月18日）
• 这个问题似乎不难，谁都想试着解决，但没有 人成功。人们的失败使欧拉猜想：也许这样的 解是不存在的，1936年他证明了自己的猜想。
• 为了证明这个问题无解，欧拉用A，B，C，D四 个顶点代表陆地，用连接两个顶点的一条弧线 代表相应的桥，从而得到一个由四个顶点、七 条边组成的图，七桥问题便归结成：在所示的 图中，从任何一点出发每条边走一次且仅走一 次的通路是否存在。
后,彼得堡科学院院报上还在刊登欧拉的遗作.1911 年瑞士
自然科学协会开始出版欧拉全集,现已出版70 多卷,计划出
齐84 卷,都是大四开本.欧拉从18 岁开始创作,到76 岁逝
世,因此单是收进全集的这些文稿,欧拉平均每天就要写约
1.5 页大四开纸的东西,而欧拉还有不少手稿在1771 年的
彼得堡大火中化为灰烬.欧拉28 岁左眼失明,56 岁双目失
定理4.1.1 设G是连通图，G是欧拉图当且 仅当G的所有顶点均是偶度数点。
证明: 先证必要性。
设G中有欧拉回路： v0e1v1e2v2…eiviei+1…ekv0 ， 其 中 顶 点 可
重复出现，边不可重复出现。在序列中
，每出现一个顶点vi，它关联两条边， 而vi可以重复出现，所以d（vi）为偶数
5
e10
0
e9
e1
1
e3 e4
欧拉图和哈密而顿图
17
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.2 哈密顿图
证明： 证明： 是图的一条哈密尔顿回路， 设 C是图的一条哈密尔顿回路， 则对于 的任一 是图的一条哈密尔顿回路 则对于V的任一 非空真子集S可知 可知： 非空真子集 可知： w(C-S) ≤|S| w(C-S)表示 删去 顶点集后得到的图的连通分 表示C删去 表示 删去S顶点集后得到的图的连通分 图的个数。由于G是由 和一些不在C中的边构 是由C和一些不在 图的个数。由于 是由 和一些不在 中的边构 成的， 的生成子图， 成的，C-S是G-S的生成子图，所以 是 的生成子图 w(G-S) ≤ w(C-S) ≤|S|
11
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.1 欧拉图
定理15.5 G是非平凡的欧拉图当且仅当 是连通 是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通 定理 是非平凡的欧拉图当且仅当 的且为若干个边不重的圈的并。 的且为若干个边不重的圈的并。
12
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.1 欧拉图
Fleury算法： 算法： 算法 1) 任取 0∈V(G)，令P0=v0; 任取v ， 2) 设 Pi=v0e1v1e2…eivi 已经行遍 ， 按下面方法 来从E(G)-{e1,e2…ei}中选取 i+1： 中选取e 来从 中选取
4
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.1 欧拉图 现从G’中取二个顶点 中取二个顶点v 现从 中取二个顶点 i和vj，且vi和vj没有直接联 之间加一根联线变为图G， 现在v 线，现在 i和vj之间加一根联线变为图 ，则变 为奇数点，则从v 一定存在一条欧拉通路 通路。 为奇数点，则从 i到vj一定存在一条欧拉通路。
欧拉图和汉密尔顿图
（5） （6） 图2 易知，图 2 中， （1） 、 （4）为欧拉图， （2） ， （5）为半欧拉图， （3） ， （6） 既不是欧拉图，也不是半欧拉图. 在（3） ， （6）中各至少加几条边才能 成为欧拉图？
（4）
练习:
(1) 判定下图中的图形是否能一笔画。
(2) 确定n取怎样的值，完全图Kn有一 条欧拉回路。
在一条汉密尔顿路。
例2 某地有5个风景点，若每个景点均有两条道路与 其他景点相通，问是否可经过每个景点一次而游完 这5处。
解 将景点作为结点，道路作为边，则得到一个有5
个结点的无向图。
由题意，对每个结点vi(i=1,2,3,4,5)有
deg(vi)=2。 则对任两点和均有 deg(vi) + deg(vj)=2 + 2 =4 = 5 – 1 所以此图有一条汉密尔顿路。即经过每个景点
——新华网 2006.1.10
2、汉密尔顿图
（1）定义4.2.1 给定图G，若存在一条路经过 图中的每个结点恰好一次，这条路称作汉密尔 顿路。若存在一条回路，经过图中的每个结点 恰好一次，这条回路称作汉密尔顿回路。 具有汉密尔顿回路的图称作汉密尔顿图。
下图存在一条汉密尔顿回路，它是汉密尔顿图
（2）定理4.2.1 若图G＝<V，E>具有汉密尔顿 回路，则对于结点集V的每个非空子集S均有W(GS)≤|S|，其中W(G-S)是G-S的连通分支数。
解： 完全图Kn每个结点的度数为n-1，要使 n-1为偶数，必须n为奇数。故当n为奇数时， 完全图Kn有欧拉回路。
可以将欧拉路和欧拉回路的概念推广到有向图中。
（5）定义4.1.2 给定有向图G，通过图中每边一次
且仅一次的一条单向路（回路），称作单向欧拉路
欧拉图和哈密尔顿图
走过所有的点，并且最后还能回到起点的回 路
哈密尔顿图
定义：通过图G的每个结点一次且仅一次的环称为哈密尔顿环。具 有哈密尔顿环的图称为哈密尔顿图。通过图G的每个结点一次且仅 一次的开路称为哈密尔顿路。具有哈密尔顿路的图称为半哈密尔 顿图。
f：说法语、日语和俄语；
g：说法语和德语.
c f
g
解 设7个人为7个结点, 将两个懂同一语言的人之间连一条边
(即他们能直接交谈), 这样就得到一个简单图G, 问题就转化为
G是否连通. 如图所示, 因为G的任意两个结点是连通的, 所以
G是连通图. 因此, 上述7个人中任意两个人能交谈.
解二
c
英
意
e
a
例
半哈密尔顿图
哈密尔顿图 哈密尔顿图
N
周游世界的游戏——的解
哈密顿图
哈密顿图
无哈密顿 通路
哈密顿图
存在哈密 顿通路
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图;
实例
已知有关人员a, b, c, d, e, f, g 的有关信息
a：说英语；
b：说英语或西班牙语；
c；说英语，意大利语和俄语；
a：说英语； b：说英语或西班牙语；
英
德
c；说英语，意大利 语和俄语；
b
g
d：说日语和西班牙语 e：说德语和意大利语； f：说法语、日语和俄语； g：说法语和德语.
西
d
日
法
f
如果题目改为：试问这7个人应如何安排座位, 才能使每个人都能与
他身边的人交谈？
解：用结点表示人，用边表示连接的两个人能说讲一种语言，够造
习题四 欧拉图与汉密尔顿图 - 烟台大学计算机与控制工程学院
习题四: 欧拉图与汉密尔顿图1．判定图7-4.15的图形是否能一笔画。
2．构造一个欧拉图，其结点数v 和边数e 满足下述条件 a ）v ，e 的奇偶性一样。
b ）v ，e 的奇偶性相反。
如果不可能，说明原因。
3．确定n 取怎样的值，完全图n K 有一条欧拉回路。
4．a ）图7-4.16中的边能剖分为两条路（边不相重），试给出这样的剖分。
b ）设G 是一个具有k 个奇数度结点（k >0）的连通图，证明在G 中的边能剖分为2k 条路（边不相重）。
c ）设G 是一个具有k 个奇数度结点的图，问最少加几条边到G 中，而使所得的图有一条欧拉回路，说明对于图7-4.16如何能做到这一点。
d ）在c ）中如果只允许加平行于G 中已存在的边，问最少加几条边到G 中，使所得的图有一条欧拉回路，这事总能做到吗？叙述能做到这事的充分必要条件。
5．找一种9个a ，9个b ，9个 c 的圆形排列，使由字母｛c b a ,,｝组成的长度为3的27个字的每个字仅出现一次。
6．a ）画一个有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图。
图7-4.15(a)(b)图7-4.16图7-4.17b ）画一个有一条欧拉回路，但没有一条汉密尔顿回路的图。
c ）画一个没有一条欧拉回路，但有一条汉密尔顿回路的图。
7．判断图7-4.17所示的图中是否有汉密尔顿回路。
8．设G 是一个具有n 个结点的简单无向图，3≥n ，设G 的结点表示n 个人，G 的边表示他们间的友好关系，若两个结点被一条边连结，当且仅当对应的人是朋友。
a ）结点的度数能作怎样的解释。
b ）G 是连通图能作怎样的解释。
c ）假定任意两人合起来认识所留下的n -2个人，证明n 个人能站成一排，使得中间每个人两旁站着自己的朋友，而两端的两个人，他们每个人旁边只站着他的一个朋友。
d ）证明对于n 4≥，c ）中条件保证n 个人能站成一圈，使每一个人的两旁站着自己的朋友。
9．证明如G 具有汉密尔顿路，则对于V 的每一个真子集S 有 1)(+≤-S S G W10．一个简单图是汉密尔顿图的充要条件是其闭包是汉密尔顿图。
欧拉图及哈密顿
哈密顿图的性质
哈密顿图具有连通性，即任意两 个顶点之间都存在一条路径。
哈密顿图的顶点数必须大于等于 3，因为至少需要3个顶点才能 形成一条遍历所有顶点的路径。
哈密顿图的边数必须为奇数，因 为只有奇数条边才能形成一条闭
欧拉图及哈密顿
• 欧拉图 • 哈密顿图 • 欧拉图与哈密顿图的应用 • 欧拉回路与哈密顿回路 • 欧拉路径与哈密顿路径
目录
01
欧拉图
欧拉图的定义
总结词
欧拉图是指一个图中存在一条路径，这条路径可以遍历图中的每条边且每条边 只遍历一次。
详细描述
欧拉图是由数学家欧拉提出的一种特殊的图，它满足特定的连通性质。在欧拉 图中，存在一条路径，这条路径从图的一个顶点出发，经过每条边一次且仅一 次，最后回到起始顶点。
互作用网络的研究。
04
欧拉回路与哈密顿回路
欧拉回路的概念与性质
概念
欧拉回路是指一个图形中，从一点出 发，沿着一条路径，可以回到起始点 的路径。
性质
欧拉回路必须是连续的，不能中断， 也不能重复经过同一条边。此外，欧 拉回路必须是闭合的，起始点和终点 必须是同一点。
哈密顿回路的概念与性质
概念
哈密顿回路是指一个图形中，存在一 条路径，该路径经过了图中的每一条 边且每条边只经过一次。
随机构造法
通过随机选择边和顶点，不断扩展图，直到满足哈密顿图的条件。这种方法需要大量的计 算和随机性，但可以用于构造大规模的哈密顿图。
03
欧拉图与哈密顿图的应用
欧拉图在计算机科学中的应用
算法设计
欧拉图理论是算法设计的重要基础，特别是在图算法和动态规划 中，用于解决诸如最短路径、最小生成树等问题。
数学建模——Euler图和Hamilton图
第四讲 Euler图和Hamilton图
1. Euler图和中国邮递员问题 2. Fleury算法
3. Hamilton图和旅行售货商问题 回
4. 改良圈算法
停 下
一、Euler图和中国邮递员问题
1973年瑞典数学家欧拉解决的柯尼斯堡问题， 实质就是在图中寻找一条经过每条边一次且仅一 次的闭迹，推广这个问题进行Euler图的研究。 经过图的每条边至少一次的闭迹称为图的环 游；经过每条边仅一次的环游称为图的Euler环 游。包含Euler环游的图称为Euler图。
【算法的Matlab程序】见word文档
例：给定四个点 (0,0),(100,1000),(0,2),(1000,0),用改良圈算 法计算经过这四个点的Hamilton圈。
V=[ 0 0 ;100 1000; 0 2; 1000 0]
For i=1：4
for j=1:4
W(i,j)=sqrt((V(i,1)-V(j,1))^2+(V(i,2)-V(j,2))^2);
{e1,e2,….ei}的桥
3. 直到步骤2不能进行为止。
二、【Fleury算法：见word文档】
三、Hamilton圈和旅行售货商问题
1859年，数学家Hamilton发明了一种周游世界 的游戏。把一个12面体的20个顶点分别标上北京、 东京、华盛顿等20个大都市的名字，要求玩的人 从某城市出发，沿着12面体的棱通过每一个城市 恰好一次，再回到出发的城市。这种游戏在欧洲 曾经风靡一时，Hamilton以25个金币的高价把该 项专利卖给了一个玩具商。 用图论的语言来讲，此游戏本质就是在一个12 面体上寻找经过每一个顶点一次且恰好一次的特殊 的圈，即Hamilton回路。
欧拉图与汉密尔顿图
构造欧拉回路
思想：在画欧拉回路时，已经经过的边不能再用。因此， 在构造欧拉回路过程中的任何时刻，假设将已经经过的边 删除，剩下的边必须仍在同一连通分支当中。
构造欧拉回路-Fleury算法
算法：
输入：欧拉图G
输出：简单通路P = v0e1v1e2,…,eiviei+1,…,emvm, 其中包含了 EG中所有的元素。
若图中有n个顶点, 则Hamilton回路恰有n条边.
注：Hamilton回路问题主要针对简单图。
Hamilton回路的存在性问题
21
K3
K4
Kn(n3)有Hamilton回路 b a c a b c a b c
e
d
e
d
e
d
哈密尔顿图的必要条件
22
如果图G=(V, E)是Hamilton图，则对V的任一非空子 集S，都有
Fleury算法的证明
(2) (证明含所有边)假设Pm没有包括G中所有的边，令Gm中所有 非零度顶点集合为S（非空）, 令S' =VG-S, 则vmS'。
考察序列e1,e2,…ej,ej+1,…,em 。假设 j 是满足 vjS, 而vj+1S’的最大下标。 如果没有这样的 j，G就不连通，矛盾。因为Pm的终点在S’中，因此ej+1 一定是Gj中的割边。 令 e 是在 Gj 中与 vj 相关联的异于 ej+1 的边 ( 非零度点一定有 ), 根据算法选择 ej+1( 割边)的原则，e也一定是割边。但是， Gm中任意顶点的度数必是偶 数，e在Gm中的连通分支是欧拉图，e在Gm的某个
G中的欧拉回路构造如下：从Ck+1上任一点(设为v0)出发遍历 Ck+1上的边，每当遇到一个尚未遍历的Ci'与Ck+1的交点(设为 vi'), 则转而遍历Ci'上的边，回到vi'继续沿Ck+1进行。
大学离散数学欧拉图和哈密尔顿图
(a)
(b)
推论1:哈密尔顿图无割点.
2020/9/28
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计算机科学学院 刘芳
15.2.3 Hamilton图的判定方法
例3：
▪ 证明下述各图不是哈密顿图。
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计算机科学学院 刘芳
15.2.3 Hamilton图的判定方法
推论2：
▪ 对二部图G＝＜ V1,V2,E＞
若| V1 |≠| V2 |，则一定不是H图。 证明：
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计算机科学学院 刘芳
15.1.4 中国邮路问题
例如：
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计算机科学学院 刘芳
15.1.4 中国邮路问题
判断条件
▪ 定理：
▪ 设L是图G的包含所有边的回路，则L具有最小长 度的充分必要条件是： ▪ 每条边最多重复一次； ▪ G的每个回路上，所有重复边的长度之和，不 超过该回路长度的一半。
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计算机科学学院 刘芳
15.2 Hamilton 图
15.2.1 问题引入 15.2.2 Hamilton图的定义 15.2.3 Hamilton图的判定方法 15.2.4 应用举例
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计算机科学学院 刘芳
15.2.1 问题引入
周游世界问题(W.Hamilton, 1859年)
▪ 可以用结点表示城市，城市间的交通路线用边表示，而 城市间的交通线路距离可用附加于边的权表示。
▪ 这样，上述问题可以归结为寻找一条权的总和为最短的 哈密尔顿回路的问题。
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计算机科学学院 刘芳
分析
▪ 穷举法 ▪ 近似算法 ▪ …………
欧拉图和哈密尔顿图-精
哈密尔顿 图
定义：若图G中有经过所有顶点的基本回路， 称为哈密尔顿回路，若G中含哈密尔顿回路， 则称G为H_图。
定义：经过图G中所有顶点的
○ 基本通路称为哈密尔顿通路， ○ 若G中含哈密尔顿通路， ○ 但不含哈密尔顿回路，则称 ○ G为半哈密尔顿图。
周游世界的游戏—— 的解
哈密顿图
存在哈密顿通路
则G称为以v为始点的随机欧拉图。
随机欧拉 图
注，若G是以v为始点的随机欧拉图，则任何一个以 02 v为始点的不包含G中所有边的回路都应该能扩充成
欧拉回路。反之，若G不是以v为始点的随机欧拉图，
则一定存在已经包含了v所关联的所有边，却未包
含G中所有边的简单回路。
随机欧拉图的判定
[定理] 欧拉图G是以v为始点的随机欧拉图当且仅当G中任一回 路均包含v。
定义：如果图G中仅有欧拉通路，但没有欧拉回路，则图G称为半欧拉 图。
定义：如果图G中含欧拉回路，则图G称为欧拉图。
图G的一个回路/通路,它经过G中每条边恰好一次，则回路/通路称为欧 拉回路/通路。
例 “一笔划”问题——G 中有欧拉通路
实例
上图中，(1) ,(4) 为 欧拉图
例 多米诺骨牌，28块
能否排成一圈使两两相邻的半边的点数相
C 牌 同数 ，问是否可能2？728种 7
将0-6看作7个结点，任2 点的边看作一块骨牌
这样,该问题转化为G有无 欧拉回路的问题
[定理]对连通图，下列命题等价
一．G是欧拉图 二．G的每个结点为
k
边 集 C 1 ,C 2 , ,C k 不 重 叠 之 基 本 回 路 ， 且 偶i U 度= 1 C 数 i E G
短的一条 eg：含20个顶点的完全图中不同的哈密尔顿回路有约6000万亿条-(1.21645 1017)/2，
5欧拉图与汉密尔顿图
用邻接矩阵求通路数(例)
v1
v4
v1 v2 v3 v4
v1 A(G ) v2
0
1
1 0
0 1
1
1
v3 v4
0
1
1 1
0 0
0
0
v2
v3
2 1 1 1
A2
1
3
0
1
1 0 1 1
1
1
1
2
2 4 1 3
A3
4
2
3
4
30
欧拉图的几点说明
规定平凡图为欧拉图. 欧拉通路是生成的简单通路，欧拉回路是生成的
简单回路. 环不影响图的欧拉性.
31
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（1）、（4）为欧拉图，（2），（5）为半欧拉图，（3），（6）既不是欧拉图，
也不是半欧拉图. 在（3），（6）中各至少加几条边才能成为欧拉图？ N
1 3 0 1
2
4
1
2
7 6 4 6
A4
6
11
2
6
4 2 3 4
6
6
4
7
11
邻接矩阵与通路数
设Ar=Ar-1A,(r2), Ar=[aij(r)]nn, 推论1: aii (2) =d(vi). # 推论2: G连通距离d(vi,vj)=min{r|aij(r)0，ij}.
M(G1)
欧拉图和汉密尔顿图30页PPT
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
4.4-欧拉图与汉密尔顿图
G1=<V1,E1>,G2=<V2,E2>，则有|V1|+ |V2|≤n，在V1中 任取一结点v1，在V2中任取一结点v2，则 d(v1) ≤ |V1|-1，d(v2)≤|V2|-1， 所以d(v1) + d(v2)= |V1|+ |V2|-2<n-1，与题设矛盾。
所以两条邻接边中的第一条边的后3位与第二条边的
前三位相同。如图所示
由于16条边被标记成 不同的四位二进制， 因此转动鼓轮得到16 个不同位置触点上的 二进制数，即对应图 的一条欧拉回路。因 为图中每个结点的入 度和出度都等于2，所 以必然存在一条欧拉 回路,如e0e1e2e4e9e3e6 e13e10e5e11e7e15e14e12e8
一次到达另一结点。——欧拉路 (2) 从图G中某一结点出发，经过图G的每一边一次仅
一次再回到该结点。——欧拉回路
实例
例 下图可以一笔画吗？请找出一种画法。
有向图中的欧拉路与欧拉回路
定义7-4.2 给定有向图G，通过图中每边一次且仅一次 的一条单向路（回路），称作单向欧拉路（回路）。
定理7-4.2 有向图G具有一条单向欧拉回路，当且仅当 是连通的，且每个结点入度等于出度。
问题2：把每个结点看成一个城市，联结两个结点的 边看成是交通线，能否找到旅行路线，沿着交通线 经过每个城市恰好一次，再回到原来的出发地？
汉密尔顿图的定义
定义7-4.3 给定图G， 哈密顿路: 经过图中所有顶点一次且仅一次的路. 哈密顿回路: 经过图中所有顶点一次且仅一次的回路. 哈密顿图: 具有汉密尔顿回路的图. 半哈密顿图: 具有汉密尔顿路而无汉密尔顿回路的图. 几点说明： 1.平凡图是汉密尔顿图. 2.汉密尔顿路是通路，汉密尔顿回路是圈. 3.环与平行边不影响图的哈密顿性.
图论讲义第4章-欧拉图与hamilton图
§4.1 Euler 图
一、基本概念
通常认为，图论见诸于文献的起始研究之一是瑞士数学家欧拉关于七桥问题的研究。在 18 世纪普鲁士的哥尼斯堡城（Königsberg），普雷格尔（Pregel）河穿城流过，河中有两个河 心岛，有七座桥将小岛与河岸连接起来（如下图）。有市民尝试从河岸或岛屿的任一陆地点 出发，经过每座桥一次且仅一次回到出发点，但一直未能获得成功。人们怀疑，这样的走法 是否存在？这便是七桥问题。
⇒
哥尼斯堡七桥
图1
1741 年，欧拉经过对七桥问题的研究，发表了第一篇有关图论的论文，从而使七桥问 题闻名于世。欧拉将四块陆地用平面上四个点来表示，两块陆地间有一座桥相连，就在两个 相应的点间连一条边，最终获得如图 1 所示的一个图 G。于是七桥问题转化为一个图论问题： 图 G 中从任一顶点出发，经过每条边恰好一次回到出发点，是否可能？
若Wn 不是 G 的 Euler 闭迹，设 S = { Gn 中度>0 的所有顶点}。则 S ≠ φ （因Wn 不是 G 的 Euler 闭迹，有边不在Wn 上），且Wn 上有 S 中的点（否则 Gn 中Wn 上的点都是 Gn 的孤立 点，这与 G 是 Euler 图（从而连通）矛盾），但 vn ∈ S = V (G) \ S 。设 m 是Wn 上使得 vm ∈ S 而 vm+1 ∈ S 的最大整数。因Wn 终止于 S = V (G) \ S ，故 em+1 = vmvm+1 是 Gm 中 [S, S ] 的仅 有的一条边，因而是 Gm 的一条割边。
充分性：设 G 的每条边含在奇数个圈上，希望证明 G 的每个顶点都是偶数度的。任取
顶点 v， 设 v 关联的边共有 k 条，分别为 e1, e2 , , ek 。与这些边相应，构造一个有重边的 图 H 如下：顶点集 H = {u1, u2 , , uk } ，对于每个 ui ，相应于每个既含有 ei 也含有某个 e j 的 圈，在 ui 和 u j 之间连一条边。
8.欧拉图与哈密顿图
8.欧拉图与哈密顿图1.设G为n (n≥2)阶欧拉图，证明G是2-边连通图证明：存在一条欧拉回路，所以去掉其中任何一边e，该图G-e仍然是连通得，去掉两条边，该图可能是不连通的，所以λ(G)≥2,所以该图是2-边连通图2.设G为无向连通图，证明：G为欧拉图当且仅当G的每个块都是欧拉图证明：根据理题G为欧拉图当且仅当G可表示为若干个边不重的圈之并，易证若干个边不重的边，不一定是块。
块是指没有割点的极大连通子图证明：必要性如果G是欧拉图，根据定理8.1及其推论：G是若干边不相交的圈的并，G是欧拉图当且仅当G时连通的且G中无奇度顶点，所以我们在G中找块时，无非就是找割点两侧的圈，割点在每个圈中出现的所得的度数都是偶数，割点为V(V v11,v12,...,v1n,V,v21,v22,...v2nV,v3.....,V)其实很容易证明，割点两侧的圈都是连通的，且度数都为偶数,必要性得证充分性每个块都是欧拉图, 都是圈其中得割点是V1,V2...,Vn，那么V1,v11,v12,...,V2,v21,v22,...,v2n,V3,v31,v32,...v3n,..,V3....,V1得证我觉得思路是正确的，不过证明过程不是很严格（图这部分我还没有认真思考如何写出严格的步骤，以后我会继续研究证明过程！！·！）3.设G恰有2k(k≥1)个奇度顶点的连通图，证明G中存在K条边不重的简单通路P1,P2,…Pk，使得E(G)=U(I=1,k)E(Pi)证明：方法二对k做归纳法（1）k=1时，G为半欧拉图，因而存在欧拉通路P，则P为所求，所以结论为真。
（2）设k=r时，结论为真。
要证：k=r+1时结论为真。
设G的2k=2r+2个奇度顶点分别为V1,V2,…,Vr,Vr+1V1',V2',…,Vr',Vr+1'在Vr+1与Vr+1'之间加一条新边er+1=(Vr+1,Vr+1')，得图G'，则G'连通且有2r个奇度顶点。
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习题四: 欧拉图与汉密尔顿图
1．判定图7-4.15的图形是否能一笔画。
2．构造一个欧拉图，其结点数v 和边数e 满足下述条件 a ）v ，e 的奇偶性一样。
b ）v ，e 的奇偶性相反。
如果不可能，说明原因。
3．确定n 取怎样的值，完全图n K 有一条欧拉回路。
4．a ）图7-4.16中的边能剖分为两条路（边不相重），试给出这样的剖分。
b ）设G 是一个具有k 个奇数度结点（k >0）的连通图，证明在G 中的边能剖分为2k 条路（边不相重）。
c ）设G 是一个具有k 个奇数度结点的图，问最少加几条边到G 中，而使所得的图有一条欧拉回路，说明对于图7-4.16如何能做到这一点。
d ）在c ）中如果只允许加平行于G 中已存在的边，问最少加几条边到G 中，使所得的图有一条欧拉回路，这事总能做到吗？叙述能做到这事的充分必要条件。
5．找一种9个a ，9个b ，9个 c 的圆形排列，使由字母｛c b a ,,｝组成的长度为3的27个字的每个字仅出现一次。
6．a ）画一个有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图。
图7-4.15
(a)
(b)
图7-4.16
图
7-4.17
b ）画一个有一条欧拉回路，但没有一条汉密尔顿回路的图。
c ）画一个没有一条欧拉回路，但有一条汉密尔顿回路的图。
7．判断图7-4.17所示的图中是否有汉密尔顿回路。
8．设G 是一个具有n 个结点的简单无向图，3≥n ，设G 的结点表示n 个人，G 的边表示他们间的友好关系，若两个结点被一条边连结，当且仅当对应的人是朋友。
a ）结点的度数能作怎样的解释。
b ）G 是连通图能作怎样的解释。
c ）假定任意两人合起来认识所留下的n -2个人，证明n 个人能站成一排，使得中间每个人两旁站着自己的朋友，而两端的两个人，他们每个人旁边只站着他的一个朋友。
d ）证明对于n 4≥，c ）中条件保证n 个人能站成一圈，使每一个人的两旁站着自己的朋友。
9．证明如G 具有汉密尔顿路，则对于V 的每一个真子集S 有 1)(+≤-S S G W
10．一个简单图是汉密尔顿图的充要条件是其闭包是汉密尔顿图。
11．设简单图〉〈=E V G ,且e E v V ==,，若有22
,2+≥-v C e ，则G 是汉密尔顿图。
12．将无向完全图6K 的边随意地涂上红色或绿色，证明：无论如何涂法，总存在红色的3K 或绿色的3K 。
13．证明如果G 是二部图，它有n 个顶点，m 条边，则4
2
n m ≤。
14．设G 为有n 个结点的简单图，且()()221--n n E ，则G 是连通图。
15．无向图G 的各个结点的度数都是3，且结点数n 与边数m 有关系32-=n m 。
在同构 的意义下G 是唯一的吗？为什么？
16．（1）n 为何值时，无向完全图n K 是欧拉图？n 为何值时n K 为半欧拉图？ （2）什么样的完全二部图是欧拉图？ （3）n 为何值时，轮图n W 为欧拉图？
17．求图6-20中的两个图各需要几笔画出（笔不离纸，每条边均不能重复画）？
（1）
（2）
图6-20
a b
d
e f
l
g j c h
j
i
k b
a d
e
f
g。