极限与连续基础练习题含解答

第二章 极限与连续 基础练习题（作业）

§2.1 数列的极限

一、观察并写出下列数列的极限：

1．468

2,

,,357

极限为1 2．1111

1,,,,,2345

--极限为0

3．21

2212⎧-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩n n

n n

n

n a n 为奇数为偶数极限为1

§2.2 函数的极限

一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞

x

x e

极限为零 2．2

lim tan x x π

→

无极限

3．lim arctan →-∞

x x

极限为2

π-

4．0

lim ln x x +

→ 无极限，趋于-∞

二、设2

221,

1()3,121,2x x f x x x x x x +⎧⎪=-+<⎨⎪->⎩

，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？

2

1

1

lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=；11

lim ()lim(21)3x x f x x --

→→=+= 22

2

lim ()lim(1)3x x f x x ++

→→=-=；222

lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2

lim ()x f x →∴不存在。

三、设()1

11x

f x e

=

+，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在．

lim ()x f x →∴不存在。

四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在

§2.3 无穷小量与无穷大量

一、判断对错并说明理由： 1．1

sin

x x

是无穷小量． 错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当

0x →时，1sin

0x x →；当1x →时，1

sin sin1x x

→不是无穷小量。 2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量．

对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。

3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量．

对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。

二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量：

1．

22

1

x x +-， 2x →-时，或x →∞时，为无穷小量； 1x →时，或1x →-时，为无穷大量。

2．1ln tan x

, k Z ∈

()2x k ππ-→+时，tan x →+∞，则ln tan x →+∞，从而+1

0ln tan x

→为无穷小量；

x k π+→时，tan 0x +→，则ln tan x →-∞，从而1

0ln tan x

-→为无穷小量；

4x k ππ→+时，tan 1x →，则ln tan 0x →，从而1

ln tan x

→∞为无穷大量；

三、当0+

→x 时，2

x ，阶的无穷小量分别是谁？

2

00lim lim 01x x x ++→→==，所以当0+→x 时，2x

22

300lim lim 0

1

x x x x ++→→==，所以当0+→x 时，2x 的高阶无穷小量。

3

0lim lim 0x x x x

+

+

→→==，所以当0+

→x 时，

通过比较可知，当0+

→x 时，2

x 其中2

x 的高阶无穷小量，因此2

x

是三者中最高阶的无穷小量。2

x

四、利用无穷小量与极限的关系证明：0

lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→=．

证明：设0

lim ()x x f x A →=，0

lim ()x x g x B →=，则由无穷小量与极限的关系，()f x A α=+，()g x B β=+，其中,αβ

为0x x →时的无穷小量。

则0

lim ()()x x f x g x →=0

lim()()lim()x x x x A B AB B A αβαβαβ→→++=+++AB =

§2.4 极限的性质与运算法则

一、如果0

lim ()0→=>x x f x A ，则存在0x 的空心邻域，使得（1）（2）（4）成立．

（1）()f x 有界；（2）()f x 非负；（3）()f x 落入其中；（4）|()|ε-0ε∀． 二、求下列函数的极限

1．113(2)lim 3(2)n n

n n n ++→∞+-+- 2．()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++⋯+⋅+⋅∞→11321211lim n n n 3．2134lim 1x x x x →+-- 4．3113lim 11x x x →-⎛⎫- ⎪++⎝⎭

5．)lim 2x x

x →+∞

6．(lim x x →∞

原式

lim x →∞

= 原式x =三、求,a b ，使得21lim 0.1x x ax b x →∞

⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭

必有1()a =→∞否则原式；同时有0(0)a b +=→否则原式；

四、若3214

lim

1

x x ax x b x →---+=+为有限值，求,.a b

§2.5 极限存在性定理与两个重要极限

一、判断题：