高数 空间曲面

2 2
例13 求面yoz上的双曲线
分别绕z轴、y轴旋转所得到的旋转曲面的方程. z 解 绕z轴旋转所得曲面的方程为：
x
2
y b
2
2

z c
2 2
1
o
x
该曲面称为单叶旋转双曲面. 如图6.11
y
图6.11
绕 y 轴旋转所得曲面的方程为：
y b
2 2

x
2
z c
2
2
1
该曲面称为双叶旋转双曲面. 如图6.12. z
F (x, y, z) = 0 是齐次方程. 另外,还可证明,任何一 个关于x, y, z 的齐次方程,都表示顶点在坐标原点 的锥面. 类似地,关于 x-x0 , y-y0 , z-z0 的齐次方程表示 顶点在(x0 , y0 , z0)的锥面. 如顶点在原点的圆锥面方程 z2 = c2(x2 + y2) 是关于 x, y, z 的齐次方程, 又如二次齐次方程 xy + yz + xz = 0 一定表示一个顶点在原点的锥面. 事实上,设 f (x, y, z) = xy + yz + xz , 令
G(x, y) 0 的柱面,它的一条准线为 0 y
方程 H( y, z) = 0(不含x), 表示母线平行于y轴 的柱面,它的一条准线为
H ( y, z) 0 0 x
例10 说明下列方程在空间直角坐标系中各 表示什么曲面?
1
y b
2 2

2
z c
2
2
1;
z x
2
2
z α o x 图6.10 y
y
2
2
cot
2
即
z
2
a (x
y )
（其中a = cotα）
直线L绕另一条与之相交 的直线旋转一周，所得的旋转 曲面叫做圆锥面，两条直线的
夹角 （0＜α＜

2
） 称为圆锥面的半顶角.
y z 2 2 1 c b x 0
图6.2 z
x
y x
z
z
o
x 图6.4
y
o
x y 图6.6
y
o
x
z
图6.5
三、锥面
过一个定点的直线族形成的曲面叫做锥面. 这些直线叫做它的母线，定点叫做它的顶点.在 锥面上与各条母线都相交的曲线叫做它的一条 准线，准线不是唯一的，通常可取在一个平面 上的截线作为其准线（图6.7）. 如果准线是一个圆， z 顶点在通过圆心且垂直 于此圆所在平面的直线 上，这样的锥面叫圆锥 y o 面. x 图6.7
一、球面
与定点的距离为常数的点的轨迹称为球面.下面 建立球心在点 P0(x0 , y0 , z0 ) , 半径R为的球面方程 . 空间中任一点 P(x, y, z) 在球面上,当且仅当
| P0 P | = R , 所以该球面方程为:
( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) R
设 yoz 面上的一条曲线L ,其方程为
F (y, z) = 0 x =0 L绕轴z旋转一周就得到一个旋转面(如图6.9). z 求该旋转面的方程. 设点P(x, y, z)为旋转 面上任一点,将该点旋转 至yoz面得点P1(0,y1,z1), 则有 2 2
y1 x z1 z y
二次曲面
球面
柱面 锥面
旋转面 二次曲面
小结
在空间直角坐标系中，三元方程 F(x, y, z)=0 表示空间曲面，而
F x ,, yy ,, zz 00 则表示空间曲线. G x
本节主要讨论一些常见的曲面. 研究空间曲面方
程的特点，并利用“截痕法”研究空间曲面的形状.
所谓“截痕法”是指用坐标面和平行于坐标面的平 面去截空间曲面，考察其交线（即截痕）的形状， 然后加以综合，从而了解空间曲面的全貌.
椭球面关于每个坐标面都是对称的，从而关 于每个坐标轴及坐标原点也是对称的.特别地，当 a = b = c 时，方程变为
x y z a
2 2 2 2
这是一个以原点为圆心，半径为α的球面.
如果用三个坐标面去截椭球面，截痕分别为
x y y z 2 2 1 2 2 1 , b , b c a z 0 x 0
2 2
这是平面 z = z1上的椭圆,它的半轴分别为
a c c z
2 2 1
,
b c
c z1
2
2
当z1变动时，这族椭圆的中心都在轴上,当
| z1|由0逐渐增大到c, 椭圆截面由大到小,最后缩
成一点(0, 0 , +c) , 如果用平面 y = y1( |y1|≤b)或 x=x1( |x1|≤α)去截椭球面,也有上面类似的结果. 如果α= b ≠ c , 则椭球面是yoz面上的椭圆
2 2 2
2 2 2 2 其中 a x 0 , b y 0 , c z 0 , d x 0 y 0 z 0 R
这个方程的特点为: (1) 它是三元二次方程;
(2)平方项的系数都相等且不为零(可设为1); (3)不含有交叉项 xy, yz , zx. 一般地 , 满足上述三个条件的方程 , 其图形总 是一个球面 .事实上 , 通过配方法,每一个这样的方 程都可以化为:
下面建立锥面的方程.
已知锥面的顶点为A(x0, y0, z0) , 准线为
F ( x , y , z ) 0 设 P(x, y, z) 为锥面上任一点, , L: 1 F2 ( x , y, z ) 0
母线AP交准线于点P1(x1, y1, z1) , 则由直线的两 点式方程知母线AP的方程为:
2
x 1 z1 y1 z1
2 2
2
再令
x x 1 z1 y y1 z z 1
f x, y, z x y z 0
2 2 2
代入上式得
因而它是一个圆锥面方程.
四、旋转面
圆柱面可以看作由一条直线绕与它平行的另 一条直线旋转一周所成的曲面.一般地，由一条曲 线L绕一条定直线 l 旋转一周所成的曲面叫做旋转 曲面.定直线 l 称为旋转曲面的轴，即旋转轴, 曲线 L称为旋转曲面的母线. 下面考虑母线为平面曲线的情形,把曲线所的 平面取作坐标面,把旋转轴取作坐标轴.
( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) k
2 2 2
当 k ＞0 时,表示球心在P0(x0 , y0 , z0 ),半径为 无图形(通常称为虚球面).
2 2 2 例如，方程 x y z 2 x 2 y 2 0
k
的球面方程; 当 k = 0 时,球面缩为一点;当 k ＜0 时,
2 2 2 2
x z 2 2 1 c a y 0
2 2
这些截痕都是椭圆.
如果用平行于xoy面的平面z = z1, ( |z1|≤c )
去截椭球面,截痕(交线)为:
x y 2 1 2 a b 2 2 c 2 z 12 2 c z 1 2 c c z z1
定曲线C平行移动所得到的曲面，L称为母线，C 称为准线.（图6.1） z 下面建立柱面方程. 设有一柱面, 选取 L 坐标系，使该柱面的母 o y 线平行于z轴, 点P(x, y, z) 为柱面上任一点, 当该点 x C 平行于z轴上下移动时,它 图6.1 仍保持在柱面上,也就是说, 不论z为何值, P(x, y, z)的坐标都满足柱面方程. 因此该柱面方程中不含有z , 可设柱面方程为: F (x , y) = 0
o
x 图6.12
y
五、二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面. 如球面、圆锥面等.下面利用“截痕法”再研究几 种特殊的二次曲面. z 1、椭球面 方程
x a
2 2

y b
2 2

z c
2 2
1
o x 图6.13
y
所表示的曲面称为椭球面. 由方程可以看出： |x| ≤α ，|y|≤b ，|z|≤c
x a
2 2

y b
2
2

z c2Biblioteka 2 0 a b 0 , c 0
表示一个顶点在原点的锥面,用平面 z = c 去截它,
就得到一条准线
y x 2 2 1 b a z c
2 2
这是一个椭圆, |c|由0逐渐增大,椭圆的半轴也 由0逐渐增大.用x = x0 去截,当 | x0 | = 0 时,截线是一 对相交直线,当| x0 | 从0增大到+∞时,截线是半轴单
P1(0,y1,z1) P(x, y, z) o
y
(1)
x
图6.9
又因P1(0, y1, z1)在曲线上L上,故有
F ( y1, z1) = 0
由(1)得
代入(2) 得
y1
x
2
y
2
, z1 z
2
F (
x
2
y , z) 0
这就是所求的旋转面的方程.
同理,如果曲线L绕y轴旋转,所得旋转面的方 程为 2 2
F ( y , x z ) 0
类似的,可推出xoz面上和xoy面上的曲线分别 绕x、z轴和x、y轴旋转所得到的旋转曲面的方程.
例12 求 yoz 面上的直线 z = ycotα绕z轴旋转 一周所得圆锥面的方程（图6.10）. 解 把直线方程中的z不变，y变为 x 2 y 2
就得到所求圆锥面的方程为：
x x0 x1 x 0 y y0 y1 y 0 z z0 z1 z 0