数学物理方法第十一章

1
复习：拉普拉斯方程 u 0 分离变数结果
球坐标系
柱坐标系
(
)
cos m sin m
rl
R(r
)
1/
r
l
1
(x) l-阶连带 勒让德方程
(
)
cos sin
m m
0
2 0
Z
(z)
e
z
e z
R() m-阶
贝赛尔方程
Z(z
)
cos sin
z
z
R() m-阶虚 宗量贝赛尔方程
第一种和第二种汉克尔函数
H(1) H( 2 )
( (
x) x)
J J
( (
x) x)
iN iN
( (
x) x)
贝塞耳方程的通解 y( x) C1H(1) ( x) C2 H(2) ( x)
第一类柱函数：贝塞耳函数
Jm (x)
(1)k
x 2km
k0 k !(k m 1) 2
第二类柱函数：诺依曼函数 第三类柱函数：汉克尔函数
1
1
2
3
4
5
I0 I6
对于圆柱内部问题，如果柱侧有齐次边界条件，则<0应排除11
拉普拉斯方程
11.2 贝塞耳方程
u 0 柱坐标系下的解
0
2 0
0
(
)
cos sin
m m
(
)
cos sin
m m
(
(1)k
km
1 k!(m k
1)
(
x 2
)m
2k
(1)l m
l 0
(l
1 m)!(l
( x )m2l 1) 2
(1)m
(1)l
l 0
l !(l
1
( x )m2l
m)! 2
(1)m Jm ( x)
Jm (x) 与 Jm (x) 相互不独立。y(x) c1Jm (x) c2Jm (x) 不再是通解4
2 x
cos( x
1 2
m
147
)
诺伊曼函数的图象
x 0
N0(x)
2
ln
x 2
Nm0
(
x)
( m 1)!
(
2 x
)m
x
Nm(x)
2 x
sin( x
1 2
m
1
48
)
（三） 递推公式
d
dx
(
J ( x x
)
)
d
(1)k
dx k 0
1
( 1 ) 2k x2k
k !( k 1) 2
(1)k
k 1
2k
( 1 ) 2k
k !( k 1) 2
x2k 1
k l 1 (1)l1
l 1
( 1 ) 2l 1 x2l 1
l 0
(l 1)!( l 2) 2
1
x
(1)l
l 0
1
( 1 ) 12l x 12l
l !( 1 l 1) 2
J
1 ( x
x)
d dx
[ x
J
( x)]
x
J
1( x)
诺依曼函数、汉克尔函数满足同样关系。 写作 Z ( x)
Nm (x)
Jm (x)cos mx sin mx
Jm (x)
Hm (x) Jm (x) i Nm (x)
5
（二）渐进行为 J0 J5
1 0.8
图
x 0
0.6
0.4
J0 1, J 0
0.2
N0 ,
N .( 0) -0.2
J .
-0.4
2
4
6
8
10
内解问题：只要零阶和正阶贝塞尔函数
dx2 dx
ix
2 d 2 R dR ( 2 2 )R 0 d 2 d
J
( )
(1)k
k 0
i 2k
k !( k
( x ) 2k 1) 2
i
k 0
1
( x ) 2k
k !( k 1) 2
定义：
I ( x) i J (ix)
k 0
1
( x ) 2k
k!( k 1) 2
J ( ) i
0
1
R0
(
)
1
ln
Z
(z)
z
Rm (
m0
)
m
m
2
11.1 三类柱函数
贝塞耳方程：
d 2 R 1 dR
m2
(1 )R 0
dx2 x dx
x2
虚宗量贝塞耳方程：
d2R dx2
1 x
dR dx
(1
m2 x2
)R
0
x
球贝塞耳方程：
d (r2 dR) [k2r2 l(l 1)]R 0 dr dr
3
其中 Γ-函数定义为 (x) ett x1dt 0 它有递推关系： (x 1) x(x)
当 x 为 正整数 (x 1) x!
(0) (m)
(2) m 阶贝塞耳方程
Jm (x)
(1)k
k 0
1
( x )m2k
k!(m k)! 2
Jm (x) 求和只能从 k 开m 始。
k lm
Jm (x)
（一）三类柱函数 (1) 阶贝塞耳方程
x2 d 2 R x dR (x2 ห้องสมุดไป่ตู้2 )R 0
dx2 dx
整数 阶贝塞耳函数
J
(x)
(1)k
k 0
1
k!( k
1)
( x ) 2k 2
另一个解
阶贝塞耳函数
J
(x)
(1)k
k 0
1
( x ) 2k
k!( k 1) 2
通解： y(x) c1J (x) c2J (x)
d dx
[
Z ( x x
)
]
Z
1 ( x
x
)
d dx
[ x
Z
( x)]
x
Z 1( x)
基本递推公式
Z ' Z / x Z 1
Z ' Z / x Z 1
推论一
Z 1 Z 1 2Z '
Z 1 2 Z / x Z 1 0
推论二
9
虚宗量贝塞耳方程 阶虚宗量贝塞耳方程
x2 d 2 R x dR ( x2 2 )R 0
诺依曼函数
N
( x)
J
(x) cos sin
J
(x)
为整数时0/0型
2x
Nm (x)
lim
vm
Nm (x)
(ln
2
C) J m ( x)
....
阶贝塞耳方程的通解又可以写作 y(x) c1J (x) c2 N (x)
m 阶贝塞耳方程的通解只能写作 y(x) c1Jm (x) c2Nm (x)
x
H(1)
2 ei( x / 4)
x
H(2)
2 ei( x / 4) x
0
J
2 cos( x / 4) x
N
2 sin( x / 4) x
研究圆柱外部问题：两个线性独立特解都要保留
6
贝塞尔函数的图象
x 0
J0( x) 1,
Jm0 ( x)
1 m!
(
x 2
)m
x
Jm(x)
k 0
1
( x ) 2k
k !( k 1) 2
I ( x) i J (ix)
k 0
1
( x ) 2k
k !( k 1) 2
通解： y( x) C1Iv ( x) C2Iv ( x)
10
m 阶虚宗量贝塞耳方程
2 d 2 R dR ( 2 m2 )R 0 d 2 d
Im ( x) im Jm (ix)
k 0
1
( x )m2k
k!( k 1) 2
Im (x) imJm (ix) im (1)m Jm (ix) im (1)m im Im (x) Im (x)
另一个独立解需要另外研究（含有对数项）
x0
x
I0 1, Im 0. I0 , Im .
5
图
4
3
2
x a 0 I0, Im 0.