第09讲 静电场

V球 Kq / r 2 a 2
⑤
（3）导体球的电势为V0时，再以球心点考虑：
V球心 V球 V0
⑥
而另一方面，球心的电势是球面上电荷和圆环上电荷 分别产生的电势的迭加： ⑦ V球心 Kq面 / R Kq / r 2 a 2 导体球的总电荷就是球面上的电荷总量，由⑥、⑦两 式解得 ⑧ q总 q面 RV0 / K Rq / r 2 a 2
③
Q1、Q2由负变正且固定，环沿x方向偏x
F k
r1 x
Q1Q
2
k
r2 x
Q2Q
2
x 2x x 2x 因 1 1 ， 1 1 r1 r1 r2 r2 Q1 Q2 r1 2 ， r2 ， Q1 Q 2 1 r1 r2
E max 4 3Kq 9d
2。如图，b、d、v0已知，一电子从x=2.5d 处飞出，（ v0 平行于y轴）求： 1）电子在x方向上运动周期（场强水平，向右为 正） 2）电子与y轴二相邻交点的距离。
解： 2S 3m eE ebd 1）在x〉d区域 a ， t1 a eb ， m m
以O点为原点，OA为x轴，m点的坐标为（x，y) 为了简化计算，不妨将圆环接地，使其电势为零。则有
-q y (l x)
2 2

q y 2 ( x d )2
2 q 2 ) y 2 (q2 q 2 ) x 2 (2dq2 2lq 2 ) x q 2l 2 q 2 d 2 (q



3/ 2
qd R d qd R 2 d 2 23 23 qd 2Rd qd 2Rd cos 0
23 2 2 23
要上式对任意θ值均成立，要有
qd
23
qd
代入 即

R d qd
1 1 Q Q Q S 2 R sin R sin 2 2 2 4 R 4 Q Q sin 电荷线密度 R 4R ② 要使环、Q1、Q2均不动，Q1、Q2只能放在环外， 环的电荷看成集中在环心，三个电荷平衡：（Q1、Q2 必为负）
k Q1Q r12 k Q2Q r2
2
k
r1 r2
Q1Q2
2
将 Q1 Q 代入上式： 可解得 r2
Q2
Q
r12

Q2 r2
2

r1
r1 r2
Q2
2
1

，

1

2
Q
2
r1 由于 r2 R 故 r 1 , 1 R
分析：P、C之间受到A、B的引力，C、D之间只受B的 引力，D、E间受到A、B的反向引力，在D、E间有一s 点，在s点处受两边引力相等，如P能冲过s将再加速， 有可能越过B点。 解：设s点到的距离A、B分别为r1和r2，有
4Q Q k 2 k 2 r1 r2 r1 r2 d
4Q q k
解Ⅰ：用场强的方法。建立如图坐标，设圆环上P点坐标 为（x，y），OA‘=d’，q、q‘在P点的场强分别为E和E' q在P点产生的场强之切向分量为
E cos k
故 E cos 故 E cos
q AP
2
cos ， 而
d cos sin sin AP
k qd AP
② ③
式中q感就是要求的感应电荷总量。由①、②两式即得
q感 Rq / r 2 a 2
1.导体球不接地时，其电势可通过对球心的电势计算而 求得： ④ V球 V球心 Kq面 / R Kq / r 2 a 2
式中q面表示分布在球面上所有电荷的代数和，而导体 球体内是不会有电荷分布的．由于题给导体球为电中性， 即q面=0，所以由④式得
2
∵d - d '≠0
R ∴ d' d
R 因此得 q ' q d
解Ⅱ：用电势的方法。要小珠在圆环上匀速滑动，圆 环必须是一个等势环。在OA的延长线上的A‘点放一个 点电荷q’，OA = l 。
m
r q' A' r' A O q R
q q 研究环上的任意点m点，其电势为： U k k r r
解： 因为导线联通

大小球等势，即
Q q Q k k k q R r L
7。在一个半径为R的导体球外，有一个半径为r的细 圆环，圆环的圆心与导体球心的连线长为a(a>R)，且 与环面垂直，如图所示．已知环上均匀带电，总电量 为q，试问：（1）当导体球接地时，球上感应电荷总 电量是多少?（2）当导体球不接地而所带总电量为零 时，它的电势如何?（3）当导体球的电势为V0时，球 上总电荷又是多少?（4）情况3与情况1相比，圆环受 导体球的作用力改变量的大小和方向如何?（5）情况2 与情况1相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和 方向如何?
可解得
2 r1 d 3 1 r2 d 3
质点自点释放后，刚好能到达s的条件是电势能不变。
x xd 4 1 4 1 即 x x d r1 r2
即 k
Q q
k
4Q q r1
k
Q q r2
代入结果得： 4 1 9 x 2 10 1 d x xd d 9 为了判断P能否过B点，须比较s、B两点电势能的大小
因为m在圆心在原点、半径为R的圆上，所以应该有
2dq 2lq 0 2 2 q l q 2 d 2 R2 q 2 q 2 q l q R
5.
解：①将一个均匀带电球面剖开折 成一个圆环，（电荷不移动）即可。
（4）对比⑧式和③式可知，情况3比情况1只是在导体 球上多了电荷RV0/K，而导体球的电势相应地由零变为 V0.可以设想从情况1出发，把导体球与地断开而维持原 来的q感大小及分布不变，再把电荷RV0/K均匀地加到 球面上，正是它使球的电势变为V0，即成为情况3.对于 球外的圆环来说，这些加上的电荷对它的作用力相当于 集中在球心处的等量点电荷对它的作用力，这也就是圆 环多受到的作用力.
电容电路

节点电量守恒
Q 0
（12，13，14）
1。 两个相同的点电荷q相距2d，在他们 的连线的垂直平分线上何处场强最大？
2 Kq E sin 2 (d / cos )
y cos2 sin 求max,设
y 2 cos4 sin 2
1 1 2 4( cos )( cos 2 ) sin 2 2 2 1 1 2 cos cos2 sin 2 4 3 2 2 4[ ] 3 27
Rd ER cos cos Rg sin sin


m1gRd cos q1ERd sin
q2 ERd sin m2 gRd cos 0
2 2

23

2 0 R d
2
23
2 Rd qd 2 Rd 0
23


q' d' 由上式得 （取负号是因为q，q'异号） q d
d (R2+d '2) - d '(R2 + d 2 ) = 0 (d - d ') (R2 - dd ') = 0 ∴R2 - dd ' = 0
.
在x<-d区域，
t3=t1
2 m T 2(t1 t2 t3 ) (4 3 ) 3 eb T m 2） y v0 (2 3 ) 2 3 eb
3.
解：因柱面完全光滑，所以平衡位置处总势能应最 小，当物体沿顺时针偏过小角dθ时，电势能的减小量 应等于重力势能的增加量。可用虚功原理
( RV0 / K )q RaqV0 a FK 2 2 2 2 2 r a (r a 2 )3/ 2 r a
（因原来静电平衡内部E=0，再加上去应均匀分）
8．两个固定的均匀带电球面A、B的球心间距d远大于 A、B的半径，A的带电量为4Q (Q＞0)， B的带电量为Q 。 将两球心确定的直线记为MN， 在MN与球面相交处均开 出一个足够小的孔，随小孔挖去的电量可忽略不计。如 图5所示，将一个带负电的质点P静止地放在MN上位于A 球面左侧某处，假设该质点释放后能够穿经三个小孔越 过B球球心，试确定开始时此质点与A球球心的距离x 。
第九讲
静电场
电场强度 E F q 电势
q1 q2 库仑定律 F k 2 r
（1，2，3，4，5）
U W q （6，7，8，9）
电通量 B垂直 S 高斯定律：
4 k q
Q Q 点电荷的场强和电势： E k U k 2 r r S 储能：w 1 QU（10，11） 平行板电容器： C 2 d 电压回路定律 U 0
3
sin
cos
kq AD
2
d cos sin sin 2 AP
要P电荷场强的切向分量为0

qd q 'd ' sin sin 0 即 3 3 AP A' P qd q 'd ' 3/ 2 R 2 d 2 2 Rd cos R 2 d '2 2 Rd 'cos
解： 1．导体是一个等势体，所以导体球接地(V球=0)时， 对于球心点有： V球心=V球=0 ① 另一方面，可以直接计算球心点的电势．因为所有感 应电荷都分布在球面上，它们到球心的距离都是R， 而圆环上电荷到球心的距离都是 r 2 a 2 ，所以