大学物理第三章资料

ac
i
m
对质点系中各个质点运用牛顿第二定律
F int ij
表示系统内的质点j对
质点i的相互作用力
......
且
Fi miai
i
i
miai mac
i
质心运动定理
Fi mac m mi
i
i
例题 三名质量相等的运动员手拉手脱离飞机作花样
跳伞.由于作了某种动作，运动员D
质心加速度为
4 5
1 (11 3 5
3)g
aB
a
2 Bx
a
2 B
y
1.31g
arctan aBx 2720
aBy
y
A
D
aA
O W
B
W
x
aD
W aB
3.2.1 质点系的动量
质心的速度
υc
drc dt
1 m
i
miБайду номын сангаас
dri dt
miυi
υc
i
m
质点系的动量
P miυi mυc
i
零动量参照系 质心作为参照系 其中质心的速度始终为零
内力的作用对质点系动量无贡献
注意
内力不改变质点系的动量
初始速度 vg0 vb0 0 mb 2mg 则
推开后速度 vg 2vb 且方向相反 则
C
m
n
y
m yi i i1
C
m
n
z
m zi i i1
C
m
对质量连续分布的物体：
x C
1 m
xdm
y C
1 m
ydm
z C
1 m
zdm
说明：
n
r
m ri i i1
C
m
(1)质心不是质点位矢的平均值，而是加权平均值，与m有关.
推论：质量均匀分布的物体，其质心就在物体的几何中心.
(2)质心的位矢与坐标原点的选取有关，但质心与体系各质 点的相对位置与坐标原点的选取无关. (3) 质心与重心的区别
质心的位置：以质量为 权重的加权平均。
y m3
r zC
yC
r3
m2
r2
O
C
c r1
m1 xC
x
z
n
r
个质点组成的质点系，其质心的位矢：
mr 11
mr 12
mr ii
n
m i
r i
i 1
C m m m
m
1
2
i
n
r
m ri i i1
C
m
对质量离散分布的体系：
n
x
m xi i i1
3W
3m
d
2
rc
dt 2
d2 3m dt 2
mrA
mrB
3m
mrD
aA aB aD 3g
aA , aB , aD 表示各运动员质心的加速度.将上式投影
y
aBx
6 5
g sin30
0
A
D
aBy
4 5
g
6 5
g cos 30
3g
aA
O W
B
W x
aD
W aB
得
aBx
3 5
g
aBy
点，另一端放在x=L处．杆的质量线密度为，求质
心的位置．
dx
解 杆质点系中建立如图坐标系 O x
Lx
取任一质元（线元dx） 线元dx坐标位置为x
dm dx
质点系质心的位置
xc
xdm dm
L
xdx
0 L
dx
L2 / L
2
L 2
进一步思考
0
杆的质量分布 ax 或 = a
x
杆的质心位置？
求半径为 R ,质量面密度为σ的匀质半薄球壳的质心.
y
Rsin θ
Rdθ
R θ dθ Rcos θ
O
x
解 选如图所示的坐标系． 在半球壳上取一如图圆环
➢ 圆环的面积 ds 2πRsin Rd
y
Rsinθ Rdθ
R θ dθ Rcosθ
O
x
圆环的质量 dm 2πR2 sin d
由于球壳关于y 轴对称，故xc= 0
y C
1 m
ydm
y
2πR2 sind 2πR2
（质心系） 质心系看来：υc 0 质点系的总动量始终为零
P ' mυc ' miυ 'i 0
i
3.2.2 质点系的动量定理 动量守恒
质点系的动量定理
t2
t1
t2
t1
( F1
( F2
F12 )dt
F21 )dt
m1v1
m2 v 2
m1v10 m2 v 20
因为内力 F12 F21 0
§1 质心 质心运动定理 §2 质点系的动量定理及动量守恒 §3 质点系的动能定理和机械能守恒 §4 质点系的角动量定理和角动量守恒 §5* 有心力作用下的运动
一. 质心
质点系：具有相互作用的若干质点组成的系统。
质心：特殊的几何点C,运动与
质点间的相互作用力无关，其 运动代表了质点系的整体运动。
质心可看作整个质点系的代表 点，系统的全部质量 m，动量 P都集中在它上面。
质心是质点系全部质量和动量的集中点； 重心是重力的合力的作用点.
质心的意义比重心的意义更广泛更基本.
水分子 H2O 的结构如图. 每
yH
个氢原子和氧原子之间距离均
d
为 d = 1.0×10 -10 m, 氢原子 和氧原子 两条连线间的夹角
C
o Od
为θ= 104.6°.求水分子质心．
H
52.3o
x
i
(Fi )dt dP
i
t
i
miυi
i
miυi0
(
t i
Fi )dt
分
量
I P P0
式
t
miix miix0 ( Fix )dt
i
i
ti
t
miiy miiy0 ( Fiy )dt
i
i
ti
t
miiz miiz0 ( Fiz )dt
i
i
ti
合外力的冲量=质点系动量变量
质点系
F1
F12
m1
F2
F21
m2
t2
t1
(F1
F2
)dt
(m1v1
m2 v 2
)
(m1v10
m2v20 )
t2
F
ex dt
t1
n i1
mi vi
n mi vi0
i1
I
p
p0
质点系的动量定理
由质心运动定理
m 常数
i
Fi
mac
m
dυc dt
i
Fi
d(mυc ) dt
( Fi )dt d(mυc )
g
铅直向下；运动员
A
质心加速度为
6 5
g ，与铅直方向
成 30 ，加速度均以地球为参考系.求运动员B 的
质心加速度. 运动员所在高度的重力加速度为g. 不计空
气阻力.
A
aA
B
D
aB
aD
[解] 将三运动员简化为质点系，受外力只有重力，W表
示各运动员所受重力. 建立直角坐标系，m表示各运动
员质量，根据质心运动定理，
52.3o
解: 由于氢原子对 x 轴对称，故 yC = 0 .
n
mi xi xC i1 m
i
代入数据 xC
mH d sin
= 6.8×10-12
37.7 mH
m
mO 0 mH d sin 37.7
mO mH rC 6.8
10
12
mi
均匀直杆的质心 一根长为L的匀质直杆一端放在原
y R cosθ
y
Rsin θ
Rdθ
R θ dθ Rcos θ
π
O
x
所以 yC R
其质心位矢：
2 cos sin
0
rC R 2 j
d
R
2
3.1.2 质心运动定理
质心的速度 质心的加速度
υc
drc dt
1 m
i
mi
dri dt
miυi
υc
i
m
ac
dυc dt
1 m
i
mi
dυi dt
miai