学校选址问题 论文

针对问题二，用两种方法求解，分别建立模型二和模型三。 模型二：首先，对建校成本参数表进行分析可知，建校固定成本和规模成本可以分 为高、中、低三种类型，要使建校总成本最低，优先选择建校成本低的校址；其次，对 所选校址覆盖小区多少进行分析，对未覆盖的小区考虑中成本和高成本的校址进行覆 盖，直到所有小区全部覆盖。由于校址 14 覆盖的小区恰好在校址 10 覆盖的小区范围内， 对校址 14 的选择与否进行讨论，得到，当选择校址为 10，11，13，14，15，16 时，建 立学校所需的成本最低，为 1650 万元。 模型三：对学校建设成本参数表进行分析，可知固定成本少的校址总成本必定会最 少，由模型一结论知校址最低选择 4 个才能满足覆盖所有的小区，结合各小区 1 到 6 年 级学龄儿童数平均值和建设成本参数表，可得选择校址为 8 个时完全可以覆盖所有小区。 通过 Matlab 编程求解出所选校址为 4~8 个时，固定成本最低的选择方案及其总成本。选 择出最低总成本所对应的建校方案为：选择校址为 10，11，13，14，15，16 时，建立 学校所需的成本最低，为 1650 万元。 最后，对模型进行灵敏度分析，并对模型进行评价及推广。
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第 13 种方案
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第 14 种方案
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第 15 种方案
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第 16 种方案
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第 17 种方案
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第 18 种方案
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第 19 种方案
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第 20 种方案
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第 21 种方案
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第 22 种方案
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4.3 模型二的建立与求解 针对问题二，考虑到每一个小区的学龄儿童数会随住户的迁移和时间发生变化，当
4 模型建立与求解
4.1 数学软件说明 Matlab 矩阵实验室 最初主要用于矩阵运算，现在其功能十分强大，可以求解数学
中所遇到的大多数问题。本文主要用到的命令有 for，if，fprintf 等。 Lingo 可以解决规划问题，但主要解决最优化问题，通过建立规划模型来实现现实
生活中最优选择。本文主要用到的命令有@bin()。 4.2 模型一的建立与求解
第 1 种方案
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第 2 种方案
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第 3 种方案
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第 4 种方案
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第 5 种方案
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第 6 种方案
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第 7 种方案
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第 8 种方案
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第 9 种方案
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第 10 种方案
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第 11 种方案
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第 12 种方案
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所选校址
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+x10 +x10
+x13 ≥1
≥1
⎪x ⎪
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+x
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+x
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+x
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+x12
+x15
≥1
⎪⎩x1~x16 =0或1
以上线性约束通过 Lingo 编程（见附录 B ）求解线性约束方程，得到最少的校址个 数为 4 个，但得到的方案只有一种，而方案可能有多种，所以通过 Matlab 编程（见附录 C ）求解出所有的建校方案为
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学龄儿 童
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为使总成本最低，从建校成本最低的校址开始考虑，由题目所给定的学校建设成本 参数表（附录 D ）可知不同校址建校固定成本和规模成本分为三种，所以
首先，先选择建校成本最低的校址：13，14，15，16 校址； 其次，选择选择建校成本较高的校址：8，9，10，11，12 校址； 最后，选择选择建校成本最高的校址：1，2，3，4，5，6，7 校址。 又由备选校址表可知各校址覆盖的小区情况如下， 13 校址所覆盖的有 12，13，14，17，18 小区； 14 校址所覆盖的有 9，10，14，15 小区； 15 校址所覆盖的有 2，3，5，11，20 小区； 16 校址所覆盖的有 2，3，4，5，8 小区。 除去 13，14，15，16 校址覆盖的小区外，未覆盖的有 1，6，7，19 小区。结合备 选校址方案表可知 10 校址覆盖的有 9，10，14，15，16，18，19 小区； 11 校址覆盖的有 1，2，4，6，7 小区； 10 和 11 校址恰好覆盖的有 1，6，7，19 小区。 由于 14 校址覆盖的小区恰好在 10 校址覆盖的小区范围内，可以选择建（或不建） 14 校址。由此分为两种情况考虑 情况 1 选择校址 14 建校 情况 2 不选校址 14 建校
址可供选择，每个校址所覆盖的小区不只一个，现要从 16 个校址中选择若干个校址进 行建设，要求所选方案中的校址可以覆盖每个小区，并且使学校个数最少。
其次，对题目所给定的备选校址表（附录 A ）进行分析可知，每个备选校址所覆盖 的小区都不相同，要使所选校址覆盖每个小区，则每个小区至少有一次在所选校址的覆 盖范围内。一个小区有没有被覆盖，可以通过 0-1 规划方法建立 0-1 规划表（用 0 表示 未被覆盖，1 表示被覆盖）以此建立线性约束条件，运用 Lingo 软件求解出最少需要选 择校址的个数。
学校选址问题
摘要
本文针对学校选址问题建立了三个数学模型，解决了建校数量最少和总成本最低的 建校方案问题。
模型一：首先，根据给定的 16 个校址及其覆盖的小区情况，运用 0-1 规划做出备 选校址 0-1 规划表；然后，根据 0-1 规划表建立线性约束条件，并运用 Lingo 软件求解 出最少需要选择校址的个数为 4 个；最后，利用 Matlab 编程求解出所有可行的方案共有 22 种。
+x11 ≥ 1 7 +x15 ≥ 1
⎪⎪x4 +x8 +x13 ≥ 1
⎪x ⎪⎪x
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+x +x
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+x9 +x13 ≥ 1 +x10 +x13 +x14
≥1
⎪x ⎪
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+x
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+x10
+x14
≥1
⎪x6 +x7 +x10 +x12 ≥ 1
⎪⎪x8 +x9 +x13 ≥ 1
⎪x ⎪⎪x
8 7
+x9 +x9
关键词 建校个数最少 总成本最低 0-1 规划 Lingo 软件 Matlab 编程
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1 问题重述
1.1 问题背景 改革开放以来，城市化迅速发展。中小城市逐步崛起，人口也渐渐向城市迁移，各
行各业也随着发展的需求慢慢出现。教育业是其中必不可缺的，在条件有限的情况下， 建立适当数量的学校，以此来保障学生的受教育问题，校址的合理选择具有决定性的作 用。选择校址时要考虑尽可能建最少的学校覆盖更多小区，方便学生上学，保证每个学 生有学校上，同时也要考虑建校成本的多少。 1.2 基本条件
1 建校成本计算方法； 2 每个学校建设成本参数表； 3 已知各个校址所覆盖的小区； 4 建一所学校的成本由固定成本和规模成本两部分组成； 5 新开发的 20 个小区需要建设配套的小学，共有 16 个校址可供选择； 6 根据小区规模大小用统计方法得出每个小区的学龄儿童的估计值(样本均值)。 1.3 问题提出 一 建立数学模型求学校个数最少的建校方案，用数学软件求解并说明所使用的软 件及输入指令； 二 设计总成本最低的建校方案。
首先，先选择建校成本最低的校址； 其次，对所选校址未覆盖的小区进行分析，然后选择建校成本较高的校址对其进行 覆盖； 最后，对还未覆盖的小区，选择建校成本最高的校址进行覆盖。 由此求解得到总成本最低的建校方案，据此建立模型二。 3.2.2 方法二的分析 首先，对学校建设成本参数表进行分析可知，建立学校的成本由固定成本和规模成 本两部分构成，固定成本少的校址所对应的决定规模成本多少的相关系数小，故可以通 过确定固定成本最少来决定总成本最少。 其次，由问题一的分析可知，校址的选择最少为 4 个，再由题目中给定每个小区的 人数及每个校址建立学校不考虑规模成本时最多的人数，可以确定 8 个校址为最多的选 择方案，完全可以覆盖每个小区。 由建设成本参数表可知，固定成本分为三类，在每个小区都必须覆盖的前提下，不 妨先考虑固定成本最低时的选址方案，通过 Matlab 编程求解出在校址个数（4~8 个范围 内）相同的情况下，最少固定费用的选址方案。 再次，对所选校址中重复的小区学生人数进行处理，先把小区学生放在固定成本最 高的校址内，若有覆盖小区重复则在满足达到 600 人的条件下，学生可以去低成本的学 校进行受教育。如若出现重复小区学生都到低成本学校受教育后，高成本的学校人数超 过 600 人，对其进行规模成本的计算。 最后，计算出所有方案所对应的总成本，选择最小的成本即为所求的解。由此建立 模型三。
由学校所在地域以及基本规模学校基础设施构成；规模成本指学校规模超过基本规模时 额外的建设成本，它与该校学生数有关。每个学校至少可容纳 600 个学生，当学校学生 数在 600 以内，建校成本只计算固定成本；当学校学生超过 600 人时，要计算固定成本 和规模成本。
为使总成本最低，从建校成本最低的校址开始考虑，由题目所给定的学校建设成本 参数表可知不同校址建校成本分为三种，所以
⎪⎪x2 +x3 +x6 +x12 +x15 +x16 ≥ 1
⎪x1+x4 +x8 +x11 ≥ 1 ⎪⎪x4 +x5 +x8 +x9 +x11 ≥ 1
⎪x ⎪
2
+x
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+x
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+x16
≥1
⎪x5 +x6 +x9 +x10 +x12 +x14 ≥ 1
约束条件s.t.
⎪⎪⎪⎨xx
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+x7 +x10 +x12 x3 +x5 +x6 +x
2 问题假设与符号说明
2.1 问题假设 1 每个学校教学质量都一样，被多个校址覆盖的小区的学生都愿意去其中任何一所
学校； 2.2 符号说明
αi ：建校的固定成本； ci ：第 i 个备选校址的建设成本； βi ：学校建设成本参数； c ：建校的总成本。
3 问题分析
3.1 问题一的分析 首先，由题目可知，要对新开发的 20 个小区进行建校方案的确定，已知有 16 个校
由问题一可知，要从备选的 16 个校址中选择最少的校址进行建设，并且要求覆盖 所有的小区，则每个小区至少有一次在所选校址的覆盖范围内。
对题目中给定的备选校址表，通过 0-1 规划建立备选校址 0-1 规划表(校址如果覆盖 小区用 1 表示，未覆盖标用 0 表示)
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备选校址 0-1 规划表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11001100000100000 21100000000100011 31110000000000011 41001100000100001 50110010000010011 61001000100100000 70001100110100000 80100110000000001 90000110011010100 10 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 11 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 12 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 13 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 14 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 15 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 16 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 17 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 18 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 19 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 20 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0
因为每个小区至少有一次在所选校址的覆盖范围内，所以由备选校址 0-1 规划表可 以建立规划模型 1 为
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目标函数
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min Z=∑ x j j=1
⎧x1+x4 +x5 +x11 ≥ 1 ⎪⎪x1 +x2 +x11 +x15 +x16 ≥ 1
⎪⎪x1 +x2 +x3 +x15 +x16 ≥ 1 ⎪x1 +x4 +x5 +x11+x16 ≥ 1
前的数据不能作为确定学校规模的唯一标准，于是根据小区规模大小用统计的方法得到 每个小区得到学龄儿童数的估计值，如表 3
表 3 各小区 1 到 6 年级学龄儿童数平均值（样本均值）
小区
1
2
3
4
5
6Hale Waihona Puke Baidu
7
8
9
10
学龄儿 童
120
180
230
120
150
180
180
150
100
160
小区 11
12
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再次，对求解所得的校址进行分析可知，所得校址个数为最少的校址个数，但通过 Lingo 求解最少校址个数的同时，只能得出一种可行的方案，所以利用 Matlab 编程求解 出在满足最少校址个数情况下的所有的方案。
最后，对所有的方案进行统计并说明。
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3.2 问题二的分析 3.2.1 方法一的分析 由题目可知，建立一所学校的成本是由固定成本和规模成本两部分组成，固定成本