三角形中的五种常见证明类型

专训一：三角形中的五种常见证明类型名师点金：学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后，与此相关的几何证明题的类型非常丰富，常见的类型有：证明数量关系、位置关系，线段的和差关系、倍分关系、不等关系等．

证明数量关系

题型1证明线段相等

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC 上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF.

(第1题)

题型2证明角相等

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD 于F交BC于E.

求证：∠ADB＝∠CDE.

(第2题)

证明位置关系

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，点G是EF的中点，求证：DG⊥EF.

(第3题)

证明倍分关系

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，且AE＝BE，求证：AH＝2BD.

(第4题)

证明和、差关系

5．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.求证：AB＋BD＝AC.

(第5题)

证明不等关系

6．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB ＞AC，求证：AB－AC＞PB－PC.

(第6题)

专训二：构造全等三角形的六种常用方法

名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题得以较轻松地解决．常见的辅助线作法有：构造法、平移法、旋转法、翻折法、加倍折半法和截长补短法，目的都是构造全等三角形．

构造基本图形法

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.

求证：∠ADC＝∠BDF.

(第1题)

翻折法

2．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.

(第2题)

旋转法

3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE ＋DF＝EF，求∠EAF的度数．

(第3题)

平移法

4．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.

求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.

(第4题)

加倍折半法

5．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．

(第5题)

截长补短法

6．如图所示，AB∥CD，BE、CE分别为∠ABC、∠BCD的平分线，点E 在AD上．

求证：BC＝AB＋CD.

(第6题)

专训三：分类讨论思想在等腰三角形中的应用名师点金：分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论．通过正确地分类讨论，可

以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．其解题策略为：先分类，再画图，后计算．

当顶角和底角不确定时，分类讨论

1．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为()

A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°

2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝1

2BC，则等腰三角形

ABC的底角的度数为()

A．45°B．75°C．45°或75°D．65°

3．若等腰三角形的一个外角为64°，则底角的度数为________．

当底和腰不确定时，分类讨论

4．(2015·荆门)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为()

A．8或10B．8C．10D．6或12

5．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．

6．若实数x，y满足|x－5|＋(10－y)2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．

当高的位置关系不确定时，分类讨论

7．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．

由腰的垂直平分线引起的分类讨论

8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求∠B的度数．

由腰上的中线引起的分类讨论

9．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分．求腰长．

点的位置不确定引起的分类讨论

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有()

(第10题)

A．7个B．6个C．5个D．4个

11．如图，已知△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直线AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．

(第11题)

专训四：三角形中常见的热门考点

名师点金：本章主要学习了互逆命题与互逆定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形，线段垂直平分线与角平分线等常见的轴对称图形的性质与判定．本章的考点较多，也是中考的重点考查内容．

互逆命题、基本事实、互逆定理

1．下列命题是真命题的是()

A．无限小数是无理数

B．相反数等于它本身的数是0和1

C．对顶角相等

D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

2．下列命题及其逆命题是互逆定理的是()

A．全等三角形的对应角相等

B．若两个角都是直角，则它们相等

C．同位角相等，两直线平行

D．若a＝b，则|a|＝|b|

全等三角形的性质与判定

3．如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，AB＝DC，那么图中的全等三角形有()

A．3对B．2对C．1对D．0对

(第3题)

(第4题)

4．如图，在△ABC中，AC＝5，F是高AD和BE的交点，AD＝BD，则