线性空间与欧洲空间.doc
浅谈线性空间与欧式空间.
2014年三会一课会议记录示例1月10日支部委员会内容：1、传达镇党委工作会议精神。
2、临近春节，讨论摸排村内不稳定因素，及时解决村民反映的突出问题。
3、总结2012年各项工作……..，讨论2013年重点工作，制定2013年初步工作计划………，下一步及时召开党员大会进行讨论。
4、讨论村内环境卫生整治工作，杜绝垃圾乱倒现象，积极营造优美居住环境。
2月3日支部委员会内容：1、讨论如何进一步优化村内环境，清扫大街，欢度春节。
2、传达镇党委政府春节安全工作会议精神，进一步强调社会平安稳定工作。
3、安排发放计生明白纸。
4、春节前走访困难群众，座谈了解群众的实际困难和问题，及时加以解决。
3月1日党员大会内容：商议村内重大建设项目及工作计划一、（支书姓名）介绍我村今年的工作计划。
二、（支部书记）介绍当前重点惠民项目情况今天我们商议的事是：（修路、修大街、挖沟渠、打机井、整平生产路、修建办公室、购置器械、整理农田、修理自来水等。
再详细介绍一下项目内容、投资情况）。
如修村内大街，长米，宽米，需建设资金万元，经村两委讨论决定，建设资金为村集体收入资金（或群众共同出资，每人元）。
三、党员讨论结果经村党员大会讨论举手表决：同意通过。
参加会议人，同意人，不同意人，弃权人。
党员纷纷表示，会积极向群众宣传本次会议精神，配合村里的工作。
四、（支书姓名）总结。
同志们考虑的很全面，提出的意见很中肯，我们村两委成员，一定会按照同志们的想法，认真修改初步制定的计划，制定最终方案，做好惠民项目的建设。
3月1日上党课内容:（一般召开一次党员大会，就跟着上一次党课，这样符合实际情况，检查的时候也可信）一、（支书姓名）主持会议今天，镇领导…（填写联系本村的副科级领导）到我村来为大家上党课，让我们用热烈的掌声欢迎领导讲话。
二、镇领导讲话一是传达今年以来，市委抓基层党建工作的重要精神，强调加强村两委班子和党员队伍建设的重要性和紧迫性。
二是根据市委的要求，通报今年以来我镇在加强基层党组织建设方面出台的一系列措施及有关要求。
欧式空间的定义
欧式空间的定义----9af74e36-7160-11ec-a302-7cb59b590d7d简介编辑编辑欧式空间一般指欧几里德空间欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
大约公元前300年，古希腊数学家欧几里德建立了空间中角度和距离之间关系的定律，现在称为欧几里德几何。
欧几里德首先发展了“平面几何”，以处理平面上的二维物体。
然后他分析了三维物体的“三维几何”。
所有欧几里德公理都被安排到一个抽象的数学空间，称为二维或三维欧几里德空间。
这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n 维欧几里得空间（甚至简称 n维空间）或有限维实内积空间。
这些数学空间也可以推广到任意维的情况，称为实内积空间（不一定完全），希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里德空间。
为了发展高维欧几里德空间，空间的性质必须严格表达并扩展到任意维。
虽然这样做的结果是数学非常抽象，但它抓住了欧几里德空间的基本本质，即平面性。
还有其他类型的空间，比如球面非欧几里德空间，相对论中描述的四维时空在重力出现时不是欧几里德空间。
有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。
其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。
其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。
欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形（也就是子集）应被认为是等价的（全等）。
（参见欧几里得群）。
欧几里德空间的最后一个问题是，从技术上讲，它不是一个向量空间，而是一个向量空间作用的仿射空间。
直觉上，区别在于，对于原点应该在这个空间中的什么位置，没有标准的选择，因为它可以移动到任何地方。
这项技术在本文中基本上被忽略了。
欧几里德空间(euclideanspace)，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。
线性空间与欧氏空间
a,b V ,a b abV , k R,k a ak V .
运算封闭.
运算规律：
(1) a b ab ba b a (2) (a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a (b c)
非齐次线性方程组Ax=b(b 0)的解向量集合 不构成线性空间.(对向量的加法与数乘不封闭； 没有零向量) 例4 定义在闭区间[a, b]上的全体实连续函数, 按照普通函数的加法及数与函数的乘法构成一 个实线性空间. 记为C[a, b].
例5 全体正实数的集合记为V，在其中定义 加法及数乘运算为：
定理 设V是线性空间, V的非空子集L成为V的 子空间的充分必要条件是L对于V中定义的加法 与数乘两种运算都是封闭的.
例3中齐次线性方程组Ax=0的解向量空间Sn 是n维向量空间的子空间.
定义 设L是数域K上的线性空间V的非空子集, 且L对于V中定义的加法与数乘运算也构成一个 线性空间, 则称L是V的一个子空间.
例 若V是线性空间, 则V本身也是子空间. 只含 有单个零元素的集合也是子空间, 称为V的零 (故 V 对于所定义的运算构成线性空间. 线性空间的性质
1. V中零元素是唯一的; 2. V中任意元素的负元素唯一; 3. 0·a=0; ( 1)·a= a; k ·0=0; 4. k·a=0 k=0或a=0.
在学习特殊矩阵时, 所有数域K上的n n阶 上三角矩阵是全体n阶矩阵的子集. 而上三角矩 阵对矩阵的加法与数乘是封闭的, 可以验证满 足运算规律, 这样所有数域K上的n n阶上三 角矩阵构成一个线性空间, 称为线性空间Mnn 的子空间.
2. 加法与数乘运算是一种符号运算, 不是通常 意义下的加法与数乘.
欧式空间(全部)
α ⋅β 夹角 < α , β > ： cos < α , β > = α β
α = α ⋅α
3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质. 、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质
§9.1 定义与基本性质
一、欧氏空间的定义
1. 定义 上的线性空间， 设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量 是实数域 上的线性空间 中任意两个向量
所成线性空间， 所成线性空间，对于函数 f ( x ), g ( x ) ，定义
( f , g ) = ∫ f ( x ) g ( x ) dx
a
b
（2） ）
对于（ ）作成一个欧氏空间. 则 C (a , b ) 对于（2）作成一个欧氏空间
∀ 证： f ( x ), g ( x ), h( x ) ∈ C (a , b ), ∀ k ∈ R
2 2 2 2
证：若 (α i ,α j ) = 0, i ≠ j 则 α1 + α 2 + L + α m = ( ∑ α i , ∑ α j )
（6） ）
(α , β ) 代入（ ） 取 t=− 代入（6）式，得 (β , β )
(α , β ) (α , β )2 (α ,α ) − 2(α , β ) + (β , β ) ≥0 2 (β , β ) (β , β )
即
(α , β )2 ≤ (α ,α )( β , β )
两边开方， 两边开方，即得
推广： 推广： (α , ∑ β i ) = ∑ (α , β i )
i =1 i =1 s s
3) (0, β ) = 0
§9.1 定义与基本性质
第五章 线性空间与欧式空间
有
k1 k 2 , k1 E11 k 2 E12 k 3 E 21 k 4 E 22 k3 k 4
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
有 A a11 E11 a12 E12 a 21 E 21 a 22 E 22
因此
E11 , E12 , E 21 , E 22 为V的一组基.
（ 3 ） V1 , k F ,恒有f ( k ) kf ( ).
如果两个线性空间V1与V2之间能够建立一个同构映 射，那么就称V1与V2同构.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
例10： n维线性空间 Vn x11 x2 2 xn n x1 , x2 ,, xn R
( 2)设
( x1 , x2 ,, xn )T ( y1 , y2 ,, yn )T
( x1 , x 2 ,, x n ) ( y1 , y2 ,, yn )
T T
则有
( x1 , x2 ,, xn )
同构具有下列简单的性质：
T
(1) 自反性：V1与V1同构；
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
例8：在线性空间 R [ x ]n中, 取一组基
1 1, 2 ( x a ), 3 ( x a ) ,, n ( x a )
则由泰勒公式知
2
n 1
f ' ' (a ) 2 f ( x ) f (a ) f ' (a )( x a ) ( x a) 2! ( n 1) (a ) f n 1 ( x a) ( n 1)! 因此 f ( x )在基 1 , 2 , 3 , , n 下的坐标是 (a ) f ''(a ) f ( f (a ), f '(a ), , , ) . 2! ( n 1)!
欧式空间
1. 定义
= 3 . ( f + g, h )
= = ( f , h) + ( g , h) 4 . ( f , f ) = ∫ f 2 ( x ) dx
a b
∫a ( f ( x ) + g( x ) ) h( x ) dx b b ∫a f ( x )h( x ) dx + ∫a g( x )h( x ) dx
(α , β )′ 满足定义中的性质 1 ～4 . 易证 所以(α , β )′ 也为内积. 从而 R n 对于内积 (α , β )′ 也构成一个欧氏空间. 注意：由于对 ∀α ⋅ β ∈ V , 未必有 (α , β ) = (α , β )′ 所以1），2）是两种不同的内积.
从而 R 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.
反之，若等号成立，由以上证明过程知 或者 β
即
(α , β )2 ≤ (α ,α )( β , β )
2. 内积的性质 当α、β 线性相关时，不妨设 α = k β
(α , β ) (= (β , β ) k β . kβ , β ) k = = 于是， = α β k = β β k β
2 2
∴ (α , β ) = α β. 等号成立.
n
1. 定义
例2．C (a , b) 为闭区间 [a , b] 上的所有实连续函数 所成线性空间，对于函数 f ( x ), g( x ) ，定义 则 C (a , b) ∀ f ( x ), g ( x ), h( x ) ∈ C (a , b ), ∀ k ∈ R 证：
1 . ( f , g) 2 . ( k f , g )
= α
α ⋅α
(α ⋅ β )
夹角 ： cos < α , β > =
第八讲 欧式空间
2、内积的性质 、 α V 是欧氏空间， , β , γ , α i , βi ∈ V , k , ki , li ∈ R ，则 是欧氏空间， （1） α , k β = k α , β ; ） （2） α , β + γ = α , β + α , γ ; ） （3） α , o = o, β = 0; ） （4） ）
1 1 2 2 n n
－－对于实矩阵 （2） R m×n －－对于实矩阵 A = ( aij )m×n , B = ( bij )m×n ） 内积为
A, B = ∑∑ aij bij
i =1 j =1
m
n
－－对于 （3）C [ 0,1] －－对于[ 0,1] 上实连续函数 f ( x ) , g ( x ) ， ） 内积为 b f ( x ) , g ( x ) = ∫ f ( t )g ( t ) dt
一、内积的构造、判定与证明 内积的构造、 1、欧氏空间的概念 、 是实数域R上的线性空间 上的线性空间。 设V 是实数域 上的线性空间。如果对V 中任意两个 与它们对应， 向量 α , β 有一个确定的实数 α , β 与它们对应，且满足 （1） α , β = β , α ; ） （2） kα , β = k α , β , k ∈ R; ） （3） α + β , γ = α , γ + β , γ , γ ∈ V ; ） （4） α , α ≥ 0, 当且仅当 α = o 时 α , α = 0. ） 的内积， 则称 α , β 为 α 与 β 的内积，定义了内积的线性空间V 称为欧氏空间。 称为欧氏空间。 一些常见的欧氏空间 （1） R n －－对于实向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) , β = ( b1 , b2 ,L , bn ) ） －－对于实向量 内积为 α , β = a b + a b + L + a b = αβ T
欧式空间的定义
欧式空间的定义欧几里德空间编辑欧式空间一般指欧几里德空间欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
简介编辑约在公元前300年，古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的法则，现称为欧几里得几何。
欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中。
这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n 维欧几里得空间(甚至简称 n维空间)或有限维实内积空间。
这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间(不一定完备)，希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。
为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须严密地表达并被扩展到任意维度。
尽管这样做的结果导致数学非常抽象，但却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，即平面性。
还另存在其他种类的空间，例如球面则非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。
有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。
其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。
其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。
欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形(也就是子集)应被认为是等价的(全等)。
(参见欧几里得群)。
欧几里得空间的最后问题是它在技术上不是向量空间，而是向量空间作用于其上仿射空间。
直觉上，区别在于对于原点应当位于这个空间的什么地方没有标准选择，因为它可以到处移动。
这种技术本文中很大程度上被忽略了。
欧几里德空间(Euclidean Space)，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。
欧式空间
欧式空间————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：1249第八章 欧氏空间向量空间可以看成是通常几何空间概念的推广，然而几何空间里有向量的长度和夹角的概念，而一般的向量空间里却没有得到反映。
这一章我们将在实数域上的向量空间里引入欧氏内积的概念，从而可以合理的定义有向量的长度和夹角，这样的向量空间称为欧氏空间，在许多领域里有广泛的应用。
学习中还要注意学习具体到抽象，再从抽象到具体的辩证的思想方法。
§1 定义和性质几何空间3V 里向量的内积是通过向量的长度和夹角来定义的，即||||cos ξηξηθ⋅=⋅，||ξ表示ξ的长度，θ表示ξ与η的夹角。
我们不能直接按上面方式定义内积，因为还没有定义长度和夹角。
我们要根据几何内积所满足的性质来定义，回想到在第四章第8节在n R 定义内积就是根据几何内积所满足的性质来定义的。
所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本的概念。
定义1 设V 是实数域R 上的一个向量空间，有一个V V ⨯到R 的二元实函数，记作(,)αβ，具有以卡性质：,,V αβγ∀∈,k R ∀∈1) (,)(,)αββα=;2) (,)(,)(,)αβγαβαγ+=+; 3) (,)(,)k k αβαβ=;4) (,)0αα≥, 等号成立当且仅当0α=(,)αβ叫做向量α与β的内积，V 叫做对这个内积来说的欧氏空间。
在需要和其它的内积区别的时候，我们也把满足这4条性质的内积叫做欧氏内积。
在欧氏空间的定义中，对向量空间的维数并无要求，可以是有限维的，也可以是无限维的。
几何空闻中向量的内积显然适合定义中列举的性质，所以几何空间中向置的全体构成一个欧氏空间。
249 例1 1212(,,,)',(,,,)'n n n a a a b b b R αβ∀==∈，规定α与β的内积为1122(,)'n n a b a b a b αβαβ=+++=，则n R 作成一个欧氏空间。
第九章 欧式空间(第一讲)
2
( , )
2
( , )
2
2
,
即
( , )
2
2
2
.
开方便得
( , )
.
综合ⅰ，ⅱ便知定理成立. 基于定理1.1的结果，又可以给出欧氏空间中两向量夹 角的定义.
定义1.3 对于欧氏空间中两个非零向量α, β ，定义α与 β的夹角为
累次应用以上两条及欧氏空间定义中的条件2）3）即可得 到3）式.
性质2 对于欧氏空间中任意向量α ，总有（α ，0）= （0，α）=0. 证明 由
( , 0) ( , 0 0) ( , 0) ( , 0)
即得（α ，0）=0.再由内积的交换律又知（0，α）= （α ，0）=0 . 特别，有（0，0）=0 .再结合欧氏空间定义中的第4） 条规定，便得如下结论：内积空间中向量α为零向量的充 分必要条件是（α ，α ）=0 ，也就是说，零向量是内积空 间中与自身的内积为0的唯一向量.
即对欧氏空间中任一组向量我们看到殴氏空间在向量的长度夹角正交等方面与我们已熟知的普通几何空间确有许多相像之处
线性代数
机动
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结束
第九章
欧氏空间*
通过上两章的学习，我们对线性空间有了比较深入的 了解.线性空间是涉及一个集合、一个数域、两种运算、 八个条件的一个整体概念.它包含着丰富的内容，有着广 泛的应用.在这一章里将讨论一类特殊发线性空间—欧氏 空间.我们还将发现，欧氏空间与人们熟悉的几何空间有 许多相似的结果.通常的实向量内积、长度、夹角、距离 等概念都可以平行地在欧氏空间上建立起来，并得到类似 的相应结果.
线性代数第三章 线性空间和线性变换3.3 欧几里得空间简介
向量个数不会超过n个。（因为线性无关的非零
向量个数不会超过n个） 其几何意义就是：在平
面上找不到3个两两垂直的非零向量，在空间中找
不到4个两两垂直的非零向量。
定义3.17 在n维欧氏空间V中，由n个向量组成的正交向量 组称为V的一个正交基；由单位向量组成的正交基称为标 准正交基。
注1：对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基
2：若1，2，L ，n是欧氏空间V的一组标准正交基，则有
1 当i j
(i , j ) 0 当i j
定理3.11 设1， 2，L ， n是n维欧氏空间V的一组标准正交基，对于
V，设在基1， 2，L
， n下的坐标维X＝（x1，x2，L
定义3.18 设 是n维欧氏空间V的一个线性变换，如果 在一组标准 正交基下的矩阵是正交矩阵，则称 是正交变换。
正交变换的性质：
设 是欧氏空间V的一个正交变换，则 1、 保持向量的内积不变，即对， V，( ( ), ( )) (, ); 2、 保持向量的长度不变，即对 V， ( ) 3、如果1，2，L ，n是V的一组标准正交基，则 (1)， (2 )，L ， ( n
任意向量，，有 （，）
当且仅当与 线性相关时等号成立。
由定理3.9，对任意非零向量，，总有 －1 (, ) 1
这样就可以对欧氏空间中的向量引入夹角的概念了
定义3.14 在欧氏空间V中，对任意非零向量，， 规定与的夹角由下式确定：
cos (, ) , 0
，x n
)
,
则
xi ( ,i ), (i 1, 2,L , n)
设，
第二节 欧式空间的基本概念
|| 2 =
1 (1,0,1)T= ( 1 ,0,
2
2
1 | 3
||3=
1 (1,2,1)T = ( 1 ,
6
6
2, 6
1 )T . 6
2、 正交向量组的性质
定理2 正交向量组必是线性无关向量组.
证明
设 α1,…, αm 是一个正交向量组 , 则
i ,
j
=
|| i
||2
α=<α, α1>α1+…+ <α, αn>αn ; (2) <α,β> = x1y1+…+xn yn ; (3) ||α|| = x12 L xn2 ; (4) d (α,β) = ( x1 y1)2 L ( xn yn )2
证明 (1) 用 αi 与 α=x1α1+…+xnαn 两端作内积, 得 <α, αi >= <x1α1+…+xnαn ,αi > = xi<αi,αi > = xi ,
( i=1,2, …,n ) 所以 α=<α ,α1>α1+…+<α ,αn>αn .
α=x1α1+…+xnαn , β=y1α1+…+ynαn , (1) xi =<α, αi > (i=1,2, …,n) , α=<α, αi >α1+…+<α, αn>αn ,
n
n
nn
(2) <α,β>= xii , y j j =
两个向量 α 和 β 都指定了一个实数与之对应, 这个 实数记作 <α,β>， 且满足以下条件： (1)对称性： <α,β>=<β,α>; (2)齐次性： <kα,β>=k<α,β>; (3) 加性： <α+β,γ>=<α,γ>+<β,γ>; (4)非负性： <α,α> 0, 等号成立的充分必要条件是
3.6 欧氏空间
§3.6 欧氏(Euclidean)空间 第 二、正交向量组 三 章 定义 一组两两正交的向量称为正交向量组。 由单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组。 n 维 向 说明 (1) a 1 , a 2 , , a s 是正交向量组 (a i , a j ) 0 ( i j ) . 量 (2) a 1 , a 2 , , a s 是标准正交向量组 空 间 1, i j , (a i , a j ) i j 0 , i j .
(a , b )2 (a , a ) ( b , b ) 即 | (a , b ) | | a | | b | .
证明 仅证 Cauchy-Schwarz 不等式。
7
§3.6 欧氏(Euclidean)空间 第 证明 仅证 Cauchy-Schwarz 不等式。 三 对于任何实数 x， 由内积的性质有 章 ( xa b , xa b 0 , n 2 维 即 (a , a x 2(a , b x ( b , b 0 , ( x ) 向 因此其判别式满足 量 空 2 4 ( a , b 4 (a , a b , b , 间
a (a , 1 ) 1 (a , 2 ) 2 (a , r ) r .
表明 向量在标准正交基下的坐标可以由内积直接求出来。 18
§3.6 欧氏(Euclidean)空间 第 三 章 n 维 向 量 空 间
▲
证 显然一定存在非零向量 a r , 使 a1 , a 2 , , a r 线性无关。 设 b k1a1 k2a 2 kr 1a r 1 a r , 令 ( b , a i ) 0 , ( i 1, 2, , r 1) ,
1.3 线性空间
及 ()， 定义加法和数乘为：
x y (a1 b1 , a2 b2 , , an bn ) ，
T
x ( a1 , a2 , , an ) ；
T
n n n n 显然， ， x y ( ) x ( ) .
( f )( x ) f ( x ) （ x [ a, b] ），
则由连续函数的性质及实数的运算规律可知：
1）f g C[ a, b], f C[ a, b]；
2）“ + ”满足加法公理，其中零函数 O （即 对任意 x [ a, b], O ( x ) 0 ）是 C[ a, b] 的零元；
( x ) ( ) x ；
,及x, y X , (6)关于 X 的加法的分配律：
有
( x y) x y
；
(7)关于数的加法的分配律： , 及x X , 有
( ) x x x ；
(8) x X ，有 1 x x ；
m n
(
m n
)）,于是
m n
(
m n
)
是实（复）线性空间。
) 是由 n 阶实（复）方阵构成的线性
例1.10 连续函数空间 C[ a, b] .
f , g C[ a, b], , 定义 f g , f 为 ( f g )( x ) f ( x ) g ( x )（ x [a, b] ），
(1) a b ab ba b a (2)
;
( a b) c ( ab)c a (bc ) a (b c );
(3)存在 中元素1,使得 a ,有a 1 a 1 a,
线性空间及欧式空间.doc
第六章线性空间和欧式空间§ 1线性空间及其同构一线性空间的定义设 V 是一个非空集合，K 是一个数域，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V 中任意两个元素和，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，成为与的和，记为。
在数域K 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K 中任一数k 与 V 中任一元素，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，称为k 与的数量乘积，记为k，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域K 上的线性空间。
加法满足下面四条规则：1 ）；交换律2 ）()() ；结合律3 ）在 V 中有一个元素0 ，对于 V 中任一元素都有0（具有这个性质的元素 0 称为 V 的零元素）；存在零元4 ）对于 V 中每一个元素，都有V中的元素，使得0（称为的负元素）.存在负元数量乘法满足下面两条规则：5 ）1；存在1元6 ）k (l) (kl ).数的结合律数量乘法与加法满足下面两条规则：7 ）( k l )k l；数的分配律8 ）k () k k. 元的分配律在以上规则中，k,l 表示数域中的任意数；, ,等表示集合V 中任意元素。
例 1 ．元素属于数域K 的m n 矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成数域 K 上的一个线性空间，记为M m,n (K ) 。
例 2 ．全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。
例 3 ．n 维向量空间K n是线性空间。
例 4 ．向量空间的线性映射的集合Hom K (K m , K n ) 是线性空间。
二．简单性质1 ．零元素是唯一的。
2 ．负元素唯一。
3 ．0 0 ， k0 0 ，( 1) 。
4 ．若 k 0 ，则 k 0 或者0 。
三 .同构映射定义：设 V ,V 是数域K上的线性空间. A Hom K (V ,V ) 是一个线性映射.如果A是一一映射，则称 A 是线性空间的同构映射，简称同构。
一、欧式空间的定义及性质课件
1.欧氏空间V的内积具有以下基本性质.
(1)a V , , 0 0, 0
证 ,0 0, 0 , 0
(2) , , V , , , ,
证
, , , ,
, ,
, 2 , k 2 k2 , 2 , k ,k , , .
如果 与 线性无关, 那么, 对任意实数 k 都有
k 0. 于是
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即 k2 , 2k , , 0
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(3) , V ,k R, ,k k ,
证 ,k k , k , k ,
(4)i , j V ,ai ,bj R, i 1, 2, , m, j 1, 2, , n
m
n
mn
aii , bj j
2
三 向量的正交
定义 4 欧氏空间的两个向量 与 说是正交的, 如果 , 0. 记作:
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定理 7.1.2 在一个欧氏空间 V 里，如果向量 与 1, 2 , ,m中每一个正交， 那么 与 1, 2 , ,m 的任意一个线性组合也正
aibj i , j
i 1
j1
i1 j1
例 设 1,2 , ,n 是欧氏空间的n个向量，行列式
1 ,1
G 1, ,n 2 ,1
1 , 2 2 , 2
1 , n 2 ,n
n,1 n,2
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n ,n
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叫做 1,2 , ,n 的格兰姆（Gram）行列式.
5-2欧式空间的基本概念
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
定理5.2.1(Cauchy-Schwarz(柯西-施瓦兹)不等式) 设V是欧氏空间,则对任意 , V 有
, , ,
其中，等号成立的充要条件是 与 线性相关. 证明：如果与 线性无关,则对于任意的实数t , t + 0, 由内积的非负性可得
是内积， V 是一个欧氏空间.
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
n n 例3: n阶实方阵的全体构成的线性空间 R 中,
A (aij )nn , B (bij )nn ,
定义
A, B aij bij
i 1 j 1 n n
标准内积
可以验证满足内积公理，
因此R nn 构成一个欧氏空间.
d ( , ) d ( , )
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
三、标准正交基及其基本性质
定义5.2.5（正交向量组与正交单位向量组） 对于欧氏空间V中的一个向量组， 如果其中不含零向量，且其中的向量两两正交， 则称它为一个正交向量组. 如果一个正交向量组中的每个向量都是单位向量， 则称它为一个正交单位向量组.
1 1 , 1
0 1 , 1
2 1 1
正交基
1 3 1 , 3 1 3 0 1 , 2 1 2 2 6 1 6 1 6
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
定理 5.2.2 ：正交向量组必是线性无关的向量组. 证明: 设1 , 2 ,, m 是一组正交的向量组 , 则
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线性空间与欧洲空间
第六章线性空间和欧氏空间的定义(1线性空间及其同构-线性空间)设V为非空集，K为数域。
集合V的元素之间定义了一个代数运算，称为加法；也就是说，给定一个规则，对于V中任何两个元素的和，V中只有一个元素对应于它们，并且成为和的和，它被记录为。
在数字域k和集合v的元素之间还定义了一个运算，称为数字乘法。
也就是说，对于任何数字k和数字域k中的任何元素v，在v 中只有一个元素对应于它们，这被称为k和的数乘积。
注意，如果加法和数乘法满足以下规则，则v被称为数域k上的线性空间。
加法满足以下四个规则:
1)；
交换法2)；
束缚定律3)在V中有一个元素0，在V中有一个元素(具有这个性质的元素0称为V的零元素)；
有零元素4)对于V中的每个元素，都有V中的元素，构成(称为的负元素)。
存在满足以下两个规则的负元素数乘法:
5)；
有一张1元的。
数的乘法和加法的结合律满足以下两条规则:
7)；
数字8)的分布规律。
上述规则中元素的分布规律是指数字字段
中的任何数字；
和类似物代表集合中的任何元素。
这些元素属于数字域K的矩阵。
根据矩阵的加法和矩阵的和数的乘法，在数字域K上形成线性空间，其被记录为。
例2。
所有实函数(连续实函数)通过将函数相加并将数乘以函数的个数而在实数域中形成一个线性空间。
例3。
维度向量空间是线性空间。
例4。
向量空间中的线性映射集是线性空间。
2.简单自然1。
零元素是唯一的。
2.消极因素是独特的。
3.
4.如果是，那么或者。
三.同构映射的定义:
让它成为数域上的线性空间。
这是一个线性映射。
如果它是一对一的映射，它被称为线性空间的同构映射，简称同构。
线性空间和线性空间称为同构。
定理数域p上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们具有相同的维数。
同构映射的逆映射和两个同构映射的乘积是同构映射。
2线性子空间之和和和直和子空间之和:
如果它是线性空间的子空间，那么集合也是线性子空间，称为和，表示为。
两个线性子空间的和是包含两个线性子空间的最小子空间。
如果它满足交换律、结合律和两个向量组是V，那么线性子空间中的线性独立向量组可以扩展到这个子空间的基。
定理:
(维数公式)如果它是线性空间的两个子空间，那么=因此，和的维数小于维数和的维数。
有限线性子空间的和空间维数的推导：如果一维线性空间中两个子空间的维数之和大于，那么一定有一个非零公共向量。
直接总和:
让它成为线性空间的子空间。
如果空间中的每个向量都可以唯一地表示为。
那么它被称为直接和，并被记录为。
如果它是线性空间的子空间，下面的结论是相互等价的:
如果它是线性空间的一个子空间，那么一定有一个线性子空间，所以满足上述条件的线性子空间称为互补子空间。
如果它被扩展到有限数量的线性子空间，它也可以定义它们的直和(3)欧几里德空间被定义为实数域上的有限维线性空间，并且在其上定义了一个称为内积的二进制实函数，它被记录为满足以下四个公理对称；2)标量乘法的线性性质；3)向量加法的线性性质；4)正，当且仅当，这里有任何向量和任何实数，这样的线性空间被称为欧几里德空间。
例1在线性空间中，如果内积(1)是为向量定义的，内积(1)适用于定义中的条件，因此成为欧氏空间。
当(1)在几何空间中时——也就是说，给定一个规则，对于V中任何两个元素的和，在V中只有一个元素对应于它们，并且和的和被记录为。
在数字域k和集合v的元素之间还定义了一个运算，称为数字乘法。
也就是说，对于任何数字k和数字域k中的任何元素v，在v 中只有一个元素对应于它们，这被称为k和的数乘积。
注意，如果加法和数乘法满足以下规则，则v被称为数域k上的线性空间。
加法满足以下四个规则:
1)；
交换法2)；
束缚定律3)在V中有一个元素0，在V中有一个元素(具有这
个性质的元素0称为V的零元素)；
有零元素4)对于V中的每个元素，都有V中的元素，构成(称为的负元素)。
存在满足以下两个规则的负元素数乘法:
5)；
有一张1元的。
数的乘法和加法的结合律满足以下两条规则:
7)；
数字8)的分布规律。
上述规则中元素的分布规律是指数字字段中的任何数字；
和类似物代表集合中的任何元素。
这些元素属于数字域K的矩阵。
根据矩阵的加法和矩阵的和数的乘法，在数字域K上形成线性空间，其被记录为。
例2。
所有实函数(连续实函数)通过将函数相加并将数乘以函数的个数而在实数域中形成一个线性空间。
例3。
维度向量空间是线性空间。
例4。
向量空间中的线性映射集是线性空间。
2.简单自然1。
零元素是唯一的。
2.消极因素是独特的。
3.
4.如果是，那么或者。
三.同构映射的定义:
让它成为数域上的线性空间。
这是一个线性映射。
如果它是一对一的映射，它被称为线性空间的同构映射，简称同构。
线性空间和线性空间称为同构。
定理数域p上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们具有相同的维数。
同构映射的逆映射和两个同构映射的乘积是同构映射。
2线性子空间之和和和直和子空间之和:
如果它是线性空间的子空间，那么集合也是线性子空间，称为和，表示为。
两个线性子空间的和是包含两个线性子空间的最小子空
间。
如果它满足交换律、结合律和两个向量组是V，那么线性子空间中的线性独立向量组可以扩展到这个子空间的基。
定理:
(维数公式)如果它是线性空间的两个子空间，那么=因此，和的维数小于维数和的维数。
有限线性子空间的和空间维数的推导：如果一维线性空间中两个子空间的维数之和大于，那么一定有一个非零公共向量。
直接总和:
让它成为线性空间的子空间。
如果空间中的每个向量都可以唯一地表示为。
那么它被称为直接和，并被记录为。
如果它是线性空间的子空间，下面的结论是相互等价的:
如果它是线性空间的一个子空间，那么一定有一个线性子空间，所以满足上述条件的线性子空间称为互补子空间。
如果它被扩展到有限数量的线性子空间，它也可以定义它们的直和(3)欧几里德空间被定义为实数域上的有限维线性空间，并且在其上定义了一个称为内积的二进制实函数，它被记录为满足以下四个公理对称；2)标量乘法的线性性质；3)向量加法的线性性质；4)正，当且仅当，这里有任何向量并且是任何实数，这样的线性空间被称为欧几里德空间。
例1在线性空间中，如果内积(1)被定义为向量，内积(1)适用于定义中的条件，从而成为欧氏空间。
(1)公式在几何空间:线性方程可能没有解。
也就是说，任何一组数字都可以使(1)不等于零。
我们试图找到(1)的最小二乘解，它被称为方程的最小二乘解。
这种问题叫做最小二乘问题。
下面用欧几里德空间的概念来表示最小二乘法，并给出最小二乘
法解满足的代数条件。
(2)利用距离的概念，(1)最小二乘法是寻找最短距离的方法。
但从(2)可知，向量是要分别记录每一列向量的。
它们生成的子空间是。
是吗
寻找和最小化(1)是在中寻找一个向量，使得到它的距离比到子空间中其他向量的距离短。
应用上述结论，如果向量是期望的向量，它必须垂直于子空间。
为此，只需要调用矩阵乘法规则。
上述方程组可以写成矩阵乘法公式，即矩阵按行排列，上述方程组合在一起就是或这就是最小二乘解所满足的代数方程。
它是一个线性方程组，系数矩阵是，常数项是。
这个线性方程组总是有解的。
第五节正交变换和正交矩阵将欧氏空间中的线性变换定义为正交变换。
如果它保持向量的内积不变，也就是说，它有(A，A)=。
正交变换可以在几个不同的方面得到很好的表征。
正交群A是N维欧氏空间中的正交变换，得到以下结论:
(1)如果它是正规正交基，那么α，α，A也是正规正交基；
(2) A保持向量的长度不变，即，(A，A)=，(3)任何正规正交基下的矩阵都是正交矩阵。
(4)正交变换的乘积和正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。
如果它是一个正交矩阵，那么它可以从或中得知。
因此，正交变换的行列式等于1或-1。
行列式等于1的正交矩阵通常称为旋转矩阵，或第一类特殊正交群；
行列式等于-1的正交变换称为第二类。
word数据。