中考专题：构造辅助圆巧解题

⑷在抛物线上是否存在点 M ，使得∠ AMB= ∠ CBD ？若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。
3 3
2 2
1
1
AO
1
2
4
B
A
O6
1
2
4
6
B
2
C3
4
D
5
2
C3
4
D
5
备用图
。 BE
D G
C
A
F 变式 1：如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90 °，∠ A=30 °， AC= 4 3 ， BC 的中点为 D，将△ ABC 绕点 C 顺时针旋转
任意一个角度得到△ FEC，G 为线段 EF 上的一个动点，连接 DG ，
在旋转过程中， DG 的最小值为
，最大值为
。
BE
与抛物线相交于点 E、 F（点 E、 F 均不与点 D 重合）。 (1)试求该抛物线的函数解析式和顶点 D 的坐标； (2)若点 E 与点 A 重合， 试判断△ EDF 是什么三角形？请说明理由； 并猜想 k 变化时△ EDF 是否还是此类三角形， 直接 回答不说明理由； (3)试探究在抛物线上是否存在点 P，满足∠ APB= ∠ ACD ，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。
(1)试求该抛物线顶点 P 的坐标；
(2)过点 D 作直线 l ，将四边形 AODB 的面积平分，试求直线 l 的函数表达式；
(3)在坐标轴上是否存在点 M ，使得∠ AMB=45 °？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，试说明理由。
6
4
B
2
A
O
D5
10
2
4
6
变式追问： (4) 在抛物线的对称轴上是否存在点 N，使得∠ ANB=45 °？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，试说明
⑵若平行于 x 轴的直线 y=m 与△ BCD 的外接圆有公共点，求 m 的取值范围； ⑶点 P 是线段 BC 上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交折线 C— D— B 于点 E，将△ BCD 沿直线 PE 向右翻折，设点 P 的横坐标为 x，翻折后的图形与△ BCD 重叠部分的面积为 S，求 S 关于 x 的函数关系式；
D G
C
A
F
变式 2：在△ ABC 中， AB=AC=5 ，BC=6 ，将△ ABC 绕点 C 顺时针旋转，得到△ A 1B1C，点 E 是 BC 上的中点，点 F
为线段 AB 上的动点，在△ ABC 绕点 C 顺时针旋转过程中，点 F 的对应点是 F1，求线段 EF1 长度的最大值与最小值的
差。
B1 A
理由。
(5)在抛物线上是否存在点 Q，使得∠ AQB=45 °？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，
6
试说明理由。
4
B
2
A
O
D5
10
2
变式 4：（自编题）
4
24、如图， 抛物线 y
ax 2
6
bx c 经过点 A（-3，0），B（1，0）和点 C（ 0， - 3 ），顶点为 D，直线 y
kx k
3
3
F1
F
A1
B
E
Cห้องสมุดไป่ตู้
例 3、在平面直角坐标系中，已知点 A(4 ， 0)，点 B(-6 ， 0) ，点 C 是 y 轴上的一个动点，当 ∠ BCA=45 °时，求点 C 的坐标。
12
10
8
6
4
2
5
B
5
10
A
2
4
变式 1：在平面直角坐标系中，已知点 则点 C 的坐标是
A( 3 3 ， 0)，点 B( - 3 ， 0)，点 C 是 y 轴上的一个动点，当∠ BCA=30 °时，
。
变式 2：在平面直角坐标系中，已知点 则点 C 的坐标是
A( 3 3 ， 0)，点 B( - 3 ， 0)，点 C 是 y 轴上的一个动点，当∠ BCA=120 °时，
。
8
6
4
2
B
2
A5
10
4
6
变式 3：（ 2016 毕业生水平考试第 24 题）
24．抛物线 y
1 x2 bx c 过点 A(0 ， 1)， B(4 ，3)，过点 B 作 BD ⊥x 轴于点 D 。 2
3
2 2
1
变式 5：（提前批试题） 13、如图，直线 y=x-3 与 x 轴、 y 轴分别相交于点 A ，顶点为 D ，且对称轴是直线 x=1。 ⑴求抛物线的解析式；
A
4
E
1
B
2
2
1
F
C 2
D 3
4
B、点 C，经过 B 、C 两点的抛物线
A
4
4
B
2
2
1
C 2 D
3
备用图4
y=ax 2+bx+c 与 x 轴的另一交点为
构造辅助圆巧解题
例 1、如图，已知 O 是四边形 ABCD 内一点， OA=OB=OC ，∠ ABC= ∠ ADC=70 °，则∠ DAO+ ∠ DCO= °
B
O
A
C
变式 1：如图所示， 在四边形 ABCD 中，AB=AC=AD ，∠ BAC=26 °，∠ CAD=74 °，则∠ BDC=____ °，D ∠ DBC=____ °
A B
C
D
变式 2：如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC， AB=AC=AD=2.5 ， CD=3 ，求 BD 的长。
A
D
B
C
例 2、如图，在 Rt△ABC 中，∠ ACB=90 °，∠ A=30 °， AC= 4 3 ，BC 的中点为 D，将△ ABC 绕点 C 顺时针旋转任
意一个角度得到△ FEC， EF 的中点为 G，连接 DG，在旋转过程中， DG 的最大值为