有关假设检验的习题及详解

n1 n2
u xy
2 1
2 2
n1 n2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
N (0,1) .
【例 8.4】设总体 X N (u, 2 ) ， u 未知， x1, x2 , , xn 是来自该总体的样本，样本方
差为 S 2 ，对 H0 : 2 16 H1 : 2 16 ，其检验统计量为
，拒绝域为
.
有关假设检验的习题及详解包括典型考研真题
线中取样品 9 根，测得 S 0.007 （欧姆），设总体为正态分布，问在水平 0.05下，能
否认为这批导线的标准差显著性地偏大？ 【解】本题属于总体均值未知，正态总体方差的单边检验问题
H0 : 0 0.005 H1 : 0 0.005
选取统计量
2
(n
1)S 2 2
2 (n 1)
30 当 n 64 ， u 68.5 时， x N (68.5, 0.452 ) ，则
(68.5) P{67 x 69 | u 68.5}
(69 68.5) (67 68.5) (1.11) (3.33)
0.45
0.45
0.8665 [1 0.9995] 0.8660 .
t x u0 n (x u0 ) n(n 1) t(n 1)
S
Q
对双边检验 H0 : u u0 H1 : u u0 ，其拒绝域为 w {| t | t (n 1)}.
2
【 例 8.3 】 设 总 体 X
N
(u1
,
2 1
)
，总体
Y
N
(u2
,
2 2
)
，
其
中
2 1
,
2 2
未知，设
x1, x2 , , xn1 是来自总体 X 的样本， y1, y2 , , yn2 是来自总体 Y 的样本，两样本独立，则
【分析】一般地，选取问题的对立事件为原假设.在本题中，需考察青工的技术水平是否
有了显著性的提高，故选取原假设为 H0 : p 0.6 ，相应的，对立假设为 H1 : p 0.6 ，故
选 (B) .
【例 8.6】某厂生产一种螺钉，标准要求长度是 68mm，实际生产的产品，其长度服从
N (u, 3.62 ) ，考察假设检验问题 H0 : u 68 H1 : u 68 .设 x 为样本均值，按下列方式
只电池，测得寿命的样本方差 S 2 9200(小时)2 ，问根据这一数据能否推断这批电池寿命
有关假设检验的习题及详解包括典型考研真题
的波动性较以往有显著性的变化（取 0.02 ）. 【解】 检验假设 H0 : 2 5000 H1 : 2 5000 ，
选取统计量 2 (n 1)S 2 2 (n 1) ， 2
0.6
2[1 (1.67)] 2[1 0.99575] 0.095 .
（2）当 n 64 时， x N (u, 3.62 ) N (u, 0.452 ) 64
P{| x 68 | 1| H0成立} P{x 67 | H0成立} P{x 69 | H0成立}
(67 68) [1 (69 68)]
| t | | x u0 | S
n | 499 500 | 16.03
9 0.187 t 0.025(8) 2.306
即接受原假设 H 01 ，认为机器包装食盐的均值为 500 克，没产生系统误差.
【例 8.2】设总体 X N (u, 2 ) ， u, 2 未知， x1, x2 , , xn 是来自该总体的样本，记
x
1 n
n i 1
xi
，Q
n i 1
( xi
x)2
，则对假设检验 H0
:u
u0
H1 : u
u0 使用的 t 统计量
t
（用 x,Q 表示）；其拒绝域 w
.
【分析】 2 未知，对 u 的检验使用 t 检验，检验统计量为
0.45
0.45
2[1 (2.22)] 2[1 0.9868] 0.0264 .
有关假设检验的习题及详解包括典型考研真题
（3）当 n 64 ，又 u 70 时， x N (70, 0.452 ) ，这时犯第二类错误的概率
(70) P{| x 68 |1| u 70} P{67 x 69 | u 70}
由 0.02 ， n 26 ，查 2 分布表可得
2
(n
1)
2 0.01
(25)
44.314
，
2 1
(n
1)
2 0.09
(25)
11.524
，
2
2
又统计量 2
(n 1)S 2 2
46
2 0.01
(25)
44.314 ，故拒绝原假设 H0 ，即认为这批电池
寿命的波动性较以往有显著性的变化. 【例 8.11】 某种导线，要求其电阻的标准不得超过 0.005（欧姆），今在生产的一批导
由于 2 未知，故构造统计量 t x u0 n t(n 1) S
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由 于 0.05 ， 查 t 分 布 表 可 得 t (n 1) t 0.025 (8) 2.306 ， 又 由 题 设 计 算 可 得
2
X 499, S 16.03 ，故统计量取值
【例 8.8】某天开工时，需检验自动包装机工作是否正常，根据以往的经验，其包装的
质量在正常情况下服从正态分布 N (100,1.52 ) （单位：kg），先抽测了 9 包，其质量为：
99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.0，100.5 问这天包装机工作是否正常？
有关假设检验的习题及详解包括典型考研真题
§假设检验
基本题型Ⅰ 有关检验统计量和两类错误的题型
【例 8.1】u 检验、t 检验都是关于
的假设检验.当
已
知时，用 u 检验；当
未知时，用 t 检验.
【分析】 由 u 检验、 t 检验的概念可知， u 检验、 t 检验都是关于均值的假设检验，当
方差 2 为已知时，用 u 检验；当方差 2 为未知时，用 t 检验.
的技术水平有了显著性的提高（取 0.05）？对此问题，假设检验问题应设为 【 】
( A) H0 : p 0.6 H1 : p 0.6 .
(B) H0 : p 0.6 H1 : p 0.6 .
(C) H0 : p 0.6 H1 : p 0.6 .
(D) H0 : p 0.6 H1 : p 0.6 .
又| t | | x u0 | S
n | 980 1000 | 65
25 1.538 t 0.05(24) 1.7109 .
即接受原假设 H0 ，认为这批元件是合格的.
【例 8.10】某厂生产的一中电池，其寿命长期以来服从方差 2 5000(小时)2 的正态
分布，现有一批这种电池，从生产的情况来看，寿命的波动性有所改变，现随机地抽取 26
【分析】 关键是将这一问题转化为假设检验问题.因检验包装机工作是否正常，化为数
学问题应为双边检验 H0 : u 100 H1 : u 100 .
【解】由题意，提出假设检验问题： H0 : u 100 H1 : u 100 ，
选取检验统计量 u x u0 n N (0,1)
当
0.05时， u
（2）当 H0 不成立时，求犯第二类错误的概率 (u) .
【解】（1）当 H0 成立时， u 0 ，则
(u) P{u u | u 0} P{ nx u | u 0}
P{ n(x u) u nu | u 0} 1 (u nu)
(u 0)
因 u 0 ，故 (u nu) (u ) 1 ，从而 (u) 1 (u ) 1 (1 ) ，即 犯第一类错误的概率不大于 . （2） (u) P{u u | u 0} P{ n(x u) u nu | u 0}
对于假设检验 H0 : u1 u2 H1 : u1 u2 ，使用的统计量为
，它服从的分布为
.
【分析】记 x
1
n1
n1
xi ， y
i 1
1 n2
n2 i 1
yi ,因两样本独立，故 x, y 相互独立，从而在 H0
成立下，
E(x
y)
0
，
D(x
y)
D( x )
D( y)
12
2 2
，故构造检验统计量
497，507，510，475，484，488，524，491，515
问这天自动包装机工作是否正常（显著性水平 0.05）？
【解】 设每袋盐重量为随机变量 X ，则 X N (u, 2 ) ，为了检查机器是否工作正常，
需检验假设： H01 : u 500 及 H02 : 2 100 . 下面现检验假设 H01 : u 500 H11 : u 500
(u nu)
(u 0)
因 u 0 ，故当 u 时， (u) 0 ，即 u 与假设 H0 偏离越大，犯第二类错误的概率越
有关假设检验的习题及详解包括典型考研真题
小；而当 u 0 时， (u) 1 ，即当 u 为正值且接近 0 时，犯第二类错误的概率接近 1 .
基本题型Ⅱ 单个正态总体的假设检验
这表明：当原假设 H0 不成立时，参数真值越接近于原假设下的值时， 的值就越大.
【 例 8.7 】 设 总 体 X N (u, 2 ) ， x1, x2 , , xn 是 来 自 该 总 体 的 样 本 ， 对 于 检 验
H0 : u 0 H1 : u 0 ，取显著性水平 ，拒绝域为：w {u u }，其中 u nx ，求： （1）当 H0 成立时，求犯第一类错误的概率 (u) ；
【分析】u 未知，对 2 的检验使用 2 检验，又由题设知，假设为单边检验，故统计量
为 2 (n 1)S 2 16
2 (n
1)
，从而拒绝域为{
2
2 1
(n
1)} .
【例 8.5】某青工以往的记录是：平均每加工 100 个零件，由 60 个是一等品，今年考 核他，在他加工零件中随机抽取 100 件，发现有 70 个是一等品，这个成绩是否说明该青工
进行假设检验：当| x 68 | 1时，拒绝原假设 H0 ；当| x 68 | 1时，接受原假设 H0 .
（1）当样本容量 n 36 时，求犯第一类错误的概率 ； （2）当样本容量 n 64 时，求犯第一类错误的概率 ；
（3）当 H0 不成立时（设 u 70 ），又 n 64 时，按上述检验法，求犯第二类错误的概率 .
【解】由题意， 2 未知，在水平 0.05下检验假设
H0 : u u0 1000 H1 : u u0 1000
属于单边（左边） t 检验. 构造检验统计量 t x u0 n t(n 1) ，其中 n 25, S 65, X 980h ，查 t 分布 S
表可得： t (n 1) t 0.05(25 1) 1.7109 ，
(69 70) (67 70) (2.22) (6.67)
0.45
0.45
(6.67) (2.22) 1 0.9868 0.0132 .
【评注】10 （1）（2）的计算结果表明：当 n 增大时，可减小犯第一类错误的概率 ； 20 当 n 64 ， u 66 时，同样可计算得到 (66) 0.0132 .
当
0.05 ，
n
9
时，查
2
分布表可得：
2
(n
1)
2 0.05
(8)
15.507
，又题设
S
0.007 ，则统计量 2
(n 1)S 2 2
8 0.0072 0.0052
15.68
2 0.05
(8)
15.507 .
故拒绝原假设 H0 ，认为这批导线的标准差显著性地偏大.
【例 8.12】 机器自动包装食盐，设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋盐的标准重 量为 500 克，标准差不超过 10 克.某天开工以后，为了检查机器工作是否正常，从已包装好 的食盐中随机抽取 9 袋，测得其重量（克）为：
【解】（1）当 n 36 时， x N (u, 3.62 ) N (u, 0.62 ) ， 36
P{| x 68 | 1| H0成立} P{x 67 | H0成立} P{x 69 | H0成立}
(67 68) [1 (69 68)] (1.67) [1 (1.67)]
0.6
2
u0.025
1.96 ，又 u
99.98 100 1.5
9 0.04 u 1.96 ，即接受原
2
假设 H0 ，认为包装机工作正常. 【例 8.9】已知某种元件的寿命服从正态分布，要求该元件的平均寿命不低于1000h ，现
从这批元件中随机抽取 25 知，测得平均寿命 X 980h ，标准差 S 65h ，试在水平 0.05下，确定这批元件是否合格.