九年级 数学 第六讲 二次函数与面积问题

第六讲 二次函数与面积问题

一、【知识梳理】

1、二次函数与面积问题的分析中研究思路为：

（1）分析图形的成因 （2）识别图形的形状 （3）找出图形的计算方法 注意：

（1）取三角形的底边时一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边. （2）三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解.（即采用 割或补 的方法把它分解成易于求出面积的图形） （3）在求图形的面积时常常使用到以下公式：

抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x 1–x 2︱=a

∆

抛物线顶点坐标（-a

b 2, a

b a

c 442

-）

抛物线与y 轴交点（0，c ） 二、【二次函数常见图形】

【例1】 若抛物线y=-x 2–x+6与x 轴交于A 、B 两点，则AB= ，此抛物

线 与y 轴交于点C ，则C 点的坐标为 △ABC 的面积为 .

【例2】 已知抛物线y=x 2–4x+1, 与x 轴交于A 、B 两点，在抛物线上有一点N,使△ABN 的面积为43，求点N 的坐标.

【例

3

】

已知二次函数y=-2

1x 2+x+4的图象与x 轴的交点从右向左为A 、B 两点，与 y

轴交点为C ，顶点为D ，求四边形ABCD 的面积.

图2

【例4】 已知直线3y kx =-与x 轴交于点()40A ，，与y 轴交于点C ，抛物线

23

4

y x mx n =-++经过点A 和点C ，

动点P 在x 轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x 轴的另一个交点B 向点A 运动，点Q 由点C 沿线段CA 向点A 运动且速度是点P 运动速度的2倍．

（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；

（2）如果点P 和点Q 同时出发，运动时间为t （秒），试问当t 为何值时，PQA △是直角三角形；

（3）在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D ，使得ACD △的面积最大，若存在，求出点D 坐标；若不存在，请说明理由．

【例5】 已知抛物线2y x bx c =++交x 轴于A (1,0)、B (3,0)两点，交y 轴于点C ，其顶点为D ．

（1）求b 、c 的值并写出抛物线的对称轴；

（2）连接BC ，过点O 作直线OE ⊥BC 交抛物线的对称轴于点E ． 求证：四边形ODBE 是等腰梯形；

（3）抛物线上是否存在点Q ，使得△OBQ 的面积等于四边形ODBE

的面积的1

3

？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

1、已知抛物线y=2x2+3mx+2m与y轴交于点N,顶点为C,且△OCN的面积为16/27,求此

抛物线的解析式.

2、已知一次函数y=kx+m的图象与二次函数y=a x

2 +bx+c相交于A(-2，-1)，B(6，

3)两点，且二次函数图象与y轴的负半轴交于C点，若△ABC的面积为12，求一次函

数及二次函数解析式.

3、如图，过A（8，0）、B（0，x

y3

交于点C．平行于y

轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；

l分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重

叠部分的面积为S（平方单位），直线l的运动时间为t（秒）．

（1）直接写出C点坐标和t的取值范围；

（2）求S与t的函数关系式；

（3）设直线l与x轴交于点P，是否存在这样的点P，

使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存

在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

与y轴交于点N．其顶点为D．

（1）抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E

作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若

能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积

的最大值．