材料力学题目及答案

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材料力学题目及答案Revised on November 25, 2020

习题3-1图

(a)

习题3-2图

(a)

习题3-3图 习题3-4图 第3章 弹性杆件横截面上的正应力分析

3-1 桁架结构受力如图示,其上所有杆的横截面均为20mm ×50mm 的矩形。试求杆CE 和杆DE 横截面上的正应力。 解:图(a )中,5

4

cos =θ (1)

截面法受力图(a )

0=∑D M ,03)515(4=⨯+-⨯CE F (2) F CE = 15 kN

0=∑x F ,40cos =θDE F (3) (1)代入(3),得F DE = 50 kN

∴ 1505.002.010153

=⨯⨯==A F CE CE σMPa 50==A

F

DE DE σMPa

3-2 图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷,其集度p = 10kN/m ,在自由端D 处

作用有集中呼F P = 20 kN 。已知杆的横截面面积A = ×10-4m 2,l = 4m 。试求:

1.A 、B 、E 截面上的正应力;

2.杆内横截面上的最大正应力,并指明其作用位置。 解:由已知,用截面法求得 F N A = 40 kN F N B = 20 kN F N E = 30 kN

(1)200100.2104043

N =⨯⨯==-A F A A σMPa 100N ==A F

B B σMPa

150N ==A

F

E E σMPa

(2)200max ==A σσMPa (A 截面)

3-3 图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆,轴向拉伸载荷F P 通过两端的刚性板加在杆上。试: 1.写出杆横截面上的正应力与F P 、d 、D 、E c 、E a 的关系式;

2.若已知d = 25mm ,D = 60mm ;铜和铝的单性模量分别为E c = 105GPa 和E a = 70GPa ,F P = 171 kN 。试求铜芯与铝壳横截面上的正应力。 解:1.变形谐调:

a a Na c c Nc A E F A E F = (1)

P Na Nc F F F =+

(2)

∴ ⎪

⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧-+==-⋅+⋅=+==4)(π4π)(4π4π22a 2

c P a a Na a 22a 2c P a a c c P c c Nc c

d D E d E F E A F d D E d E F E A E A E F E A F c σσ

2. 5.83)025.006.0(π1070025.0π1010510171101054229293

9c =-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=

σMPa

6.5510570

5.83c a c a =⨯

==E E σσMPa 3-4 图示由铝板钢板组成的复合材料柱,纵向截荷F P 通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。试:

1.导出复合材料柱横截面上正应力与F P 、b 0、b 1、h 和E a 、E s 之间的关系式;

2.已知F P = 385kN ;E a = 70GPa ,E s = 200GPa ;b 0 = 30mm ,b 1 = 20mm ,h = 50mm 。求铝板与钢板横截面上的最大正应力。 解:变形谐调:

a

a Na s s Ns A E F A E F = (1)

习题3-5图 习题3-6图

习题3-7图

习题3-8图 (a)

P Na Ns F F F =+ (2)

1. a

1s 0P

s 1a 0s P s s Ns s 22hE b hE b F E h b E h b E F E A F +=⋅+=-=σ 2. 175107005.002.021020005.003.0103850200993

9s -=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=

σMPa (压)

25.61200

70

175175s a a -=-=-=

E E σMPa (压) 3-5 从圆木中锯成的矩形截面梁,受力及尺寸如图所示。试求下列两种情形下h 与b 的比值:

1.横截面上的最大正应力尽可能小; 2.曲率半径尽可能大。

解:1.)

(66

222b d b M bh M W M z

z z z -=

==σ ∴

2=b

h

(正应力尽可能小) 2.

z

z z EI M =ρ1

0d d =h I z ,得2243

d h = ∴ 3=b

h

(曲率半径尽可能大)

3-6 梁的截面形状为正方形去掉上、下角,如图所示。梁在两端力偶M z 作用下发生弯曲。设正方形截面时,梁内最大正应力为0σ;去掉上、下角后,最大正应力变为0max σσk =,试求:

1.k 值与h 值之间的关系;

2.max σ为尽可能小的h 值,以及这种情形下的k 值。 解:3400

h I zh =,3

300h W z = )34()

3

4(3)34(3023

00230023

0max h h h h h h h h h h h h k -=-=-==σσ (1)

0)338(0=-h h h ,h = 0(舍去),09

8

h h =

代入(1):9492.0)

812(643

81)3

84()98(1

)9834()98(200203

=-⨯⨯=

-=

⨯-=

h h h h k

3-7 工字形截面钢梁,已知梁横截面上只承受M z = 20 kN ·m 一个内力分量,I z = ×106mm 4,其他尺寸如图所示。试求横截面中性轴以上部分分布力系沿x 方向的合力。

解:⎰

⎰⎰-+-==21 2

N d d d A z z A z z A x x A y I M

A y I M A F σ 143101433-=⨯-=kN

即上半部分布力系合力大小为143 kN (压力),作用位置离中心轴y = 70mm 处,即位于腹板与翼缘交界处。

3-8 图示矩形截面(b ·h )直梁,在弯矩M z 作用的Oxy 平面内发生平面弯曲,且不超出弹性范围,假定在梁的纵截面上有y 方向正应力y σ存在,且沿梁长均匀分布。试: 1.导出)(y y y σσ=的表达式; 2.证明:max max 4x y h

σρ

σ-

≈,ρ为中性面的曲率半径。 解:1.先求)(y y σ表达式:

--

=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=

∑y

h x y y y y F 2

2

2

0d 12

sin

2

cos d 1θ

σϕϕρσθ

θ

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