材料力学题目及答案
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材料力学题目及答案Revised on November 25, 2020
习题3-1图
(a)
习题3-2图
(a)
习题3-3图 习题3-4图 第3章 弹性杆件横截面上的正应力分析
3-1 桁架结构受力如图示,其上所有杆的横截面均为20mm ×50mm 的矩形。试求杆CE 和杆DE 横截面上的正应力。 解:图(a )中,5
4
cos =θ (1)
截面法受力图(a )
0=∑D M ,03)515(4=⨯+-⨯CE F (2) F CE = 15 kN
0=∑x F ,40cos =θDE F (3) (1)代入(3),得F DE = 50 kN
∴ 1505.002.010153
=⨯⨯==A F CE CE σMPa 50==A
F
DE DE σMPa
3-2 图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷,其集度p = 10kN/m ,在自由端D 处
作用有集中呼F P = 20 kN 。已知杆的横截面面积A = ×10-4m 2,l = 4m 。试求:
1.A 、B 、E 截面上的正应力;
2.杆内横截面上的最大正应力,并指明其作用位置。 解:由已知,用截面法求得 F N A = 40 kN F N B = 20 kN F N E = 30 kN
(1)200100.2104043
N =⨯⨯==-A F A A σMPa 100N ==A F
B B σMPa
150N ==A
F
E E σMPa
(2)200max ==A σσMPa (A 截面)
3-3 图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆,轴向拉伸载荷F P 通过两端的刚性板加在杆上。试: 1.写出杆横截面上的正应力与F P 、d 、D 、E c 、E a 的关系式;
2.若已知d = 25mm ,D = 60mm ;铜和铝的单性模量分别为E c = 105GPa 和E a = 70GPa ,F P = 171 kN 。试求铜芯与铝壳横截面上的正应力。 解:1.变形谐调:
a a Na c c Nc A E F A E F = (1)
P Na Nc F F F =+
(2)
∴ ⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧-+==-⋅+⋅=+==4)(π4π)(4π4π22a 2
c P a a Na a 22a 2c P a a c c P c c Nc c
d D E d E F E A F d D E d E F E A E A E F E A F c σσ
2. 5.83)025.006.0(π1070025.0π1010510171101054229293
9c =-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
σMPa
6.5510570
5.83c a c a =⨯
==E E σσMPa 3-4 图示由铝板钢板组成的复合材料柱,纵向截荷F P 通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。试:
1.导出复合材料柱横截面上正应力与F P 、b 0、b 1、h 和E a 、E s 之间的关系式;
2.已知F P = 385kN ;E a = 70GPa ,E s = 200GPa ;b 0 = 30mm ,b 1 = 20mm ,h = 50mm 。求铝板与钢板横截面上的最大正应力。 解:变形谐调:
a
a Na s s Ns A E F A E F = (1)
习题3-5图 习题3-6图
习题3-7图
习题3-8图 (a)
P Na Ns F F F =+ (2)
1. a
1s 0P
s 1a 0s P s s Ns s 22hE b hE b F E h b E h b E F E A F +=⋅+=-=σ 2. 175107005.002.021020005.003.0103850200993
9s -=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=
σMPa (压)
25.61200
70
175175s a a -=-=-=
E E σMPa (压) 3-5 从圆木中锯成的矩形截面梁,受力及尺寸如图所示。试求下列两种情形下h 与b 的比值:
1.横截面上的最大正应力尽可能小; 2.曲率半径尽可能大。
解:1.)
(66
222b d b M bh M W M z
z z z -=
==σ ∴
2=b
h
(正应力尽可能小) 2.
z
z z EI M =ρ1
0d d =h I z ,得2243
d h = ∴ 3=b
h
(曲率半径尽可能大)
3-6 梁的截面形状为正方形去掉上、下角,如图所示。梁在两端力偶M z 作用下发生弯曲。设正方形截面时,梁内最大正应力为0σ;去掉上、下角后,最大正应力变为0max σσk =,试求:
1.k 值与h 值之间的关系;
2.max σ为尽可能小的h 值,以及这种情形下的k 值。 解:3400
h I zh =,3
300h W z = )34()
3
4(3)34(3023
00230023
0max h h h h h h h h h h h h k -=-=-==σσ (1)
0)338(0=-h h h ,h = 0(舍去),09
8
h h =
代入(1):9492.0)
812(643
81)3
84()98(1
)9834()98(200203
=-⨯⨯=
-=
⨯-=
h h h h k
3-7 工字形截面钢梁,已知梁横截面上只承受M z = 20 kN ·m 一个内力分量,I z = ×106mm 4,其他尺寸如图所示。试求横截面中性轴以上部分分布力系沿x 方向的合力。
解:⎰
⎰⎰-+-==21 2
N d d d A z z A z z A x x A y I M
A y I M A F σ 143101433-=⨯-=kN
即上半部分布力系合力大小为143 kN (压力),作用位置离中心轴y = 70mm 处,即位于腹板与翼缘交界处。
3-8 图示矩形截面(b ·h )直梁,在弯矩M z 作用的Oxy 平面内发生平面弯曲,且不超出弹性范围,假定在梁的纵截面上有y 方向正应力y σ存在,且沿梁长均匀分布。试: 1.导出)(y y y σσ=的表达式; 2.证明:max max 4x y h
σρ
σ-
≈,ρ为中性面的曲率半径。 解:1.先求)(y y σ表达式:
⎰
⎰
--
=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=
∑y
h x y y y y F 2
2
2
0d 12
sin
2
cos d 1θ
σϕϕρσθ
θ