2016矩阵论复习题

矩阵理论(16-17)试卷

2016——2017学年第一学期《矩阵理论》考试试卷试卷审核人：考试时间： 2016.12.4注意事项：１.本试卷适用于16级研究生学生考试使用。

２.本试卷共8页，满分100分。

答题时间150分钟。

学院：姓名:_________________学号：一.(本题满分12分) 设3[]P x 是次数不超过3的实系数多项式空间，{}2301233()(1)0;()[]W f x f a x a x a x f x a P x ==+++∈=,1. 证明W 按照多项式的加法与数乘运算构成3[]P x 的线性子空间；2. 求W 的维数及其一组基．二. (本题满8分)求矩阵524212425A⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=---的LU分解和LDU分解．三．(本题满分12分) 设T 为线性空间22R ⨯的一个线性变换，对任意的22a b R c d ⨯⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 232a b a b b T c d c d d ⎛⎫+⎡⎤⎡⎤= ⎪⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ； 1. 求T 在22R⨯的标准基 111221100100,,,000010E E E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦220001E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦下的矩阵； 2. 求T 在22R ⨯的另一基 123110100,,,111111G G G ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦40001G ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦下的矩阵．四．（本题满分８分）设A()λ为6阶λ矩阵，其秩为4，初等因子为3212111,,,,,,,()λλλλλλλλ--+++,试求A()λ的不变因子与Smith 标准型．五．(本题满分15分) 已知微分方程组112321233123++3+dx =3x x x dt dx =x x x dt dx =3x 3x x dt ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩－－－可简记为d x Ax dt =, 写出A 并求满足初始条件1(0)11x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=的解.六．（本题满分10分）设1011131,11Ai⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=---作出A的盖尔圆, 并判断哪些盖尔圆相交, 应用圆盘定理隔离A的特征值．七．（本题满分10分）设矩阵0311A-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试计算矩阵多项式32()2272g A A A A E=-++并求1A.八. （本题满分10分）已知010001230A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵A的Jordan标准形J，并求10A.九.(本题满分15分) 设10010112,10012111A b⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==-,1.求A的满秩分解；2.求A+；3.判断线性方程组Ax b=是否有解；4.求线性方程组Ax b=的极小范数解或极小范数最小二乘解（并指出所求的是哪种解）.。

矩阵论试题及答案

一．（10分）已知n n C ⨯中的两种范数a ⋅和b ⋅，对于n n C A ⨯∈，证明b a A A A +=是n n C ⨯中的范数. 解：⑴非负性：由于b a ⋅⋅,是两种范数，故当A=0时，0,0==b a A A ，所以000=+=+=b a A A A ；当A ≠0时，0,0>>b a A A ，所以0>+=b a A A A⑵齐性：()A A A A A A A A b a b a b a ααααααα=+=+=+= ⑶三角不等式：B A B A B A B A B A B A b b a a b a +=+++≤+++=+二．(每小题10分,共20分)已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101121103A ,()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=002t e t b , 1. 求At e2. 用矩阵函数方法求微分方程()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=T x t b t Ax t x dt d1,0,10的解.解：1. ()1112113det ----=-λλλλA I ()()3211132-=----=λλλλ显然, )det(A I -λ的一阶子式的公因子为1, 容易知道)det(A I -λ 的二阶子式的公因子为2-λ,所以A的最小多项式为()()()23222-=--=λλλλm ,即()()022=-=I A A m ,设()()()b a g m e f t ++==λλλλλ,则()a te f t =='λλ 对于特征值2=λ有()()⎩⎨⎧=='+==a te f b a e f t t 22222,()⎩⎨⎧+-==ttet b te a 2212 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+=+=t t t t t t e bI aA e t At1010122. ()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰--ds e s s s ss s e e ds s b e x e t x s t s At t As At 001010110102020 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t t e t e t At 1001012三．(15分)用Givens 变换求⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2100421132403100A 的QR 分解. 解：()T01001=β,构造()s c T ,13=,1101sin ,0100cos 22232132223211=+=+===+=+==xx x s x x x c θθ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=210031002340421121421132403100100000010010010013A T⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21312A , 构造),(12s c T , ()21sin ,21111cos 222122222211=+==-=+--=+==x x x s x x x c θθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=1052212131111121212A T⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/1002/12/1002/10010010013122T T I T ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==2/12/100000100102/12/100TT Q ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/522344211R四．(10分)用Gerschgorin 定理证明⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=8110260110410100A 至少有两个实特征值. 解：A 的4个盖尔圆为:{}1|1≤=z z G ,{}2114|2=+≤-=z z G , {}3216|3=+≤-=z z G , {}2118|4=+≤-=z z G ,它们构成的两个连通部分为11G S =,4322G G G S =.易见,1S ,2S 都关于实轴对称且各含有1个和3个特征值,因为实矩阵的复特征值必成对出现, 故1S ,2S 必各含有一个实特征值,从而A 至少含有2个实特征值.五．(20分)已知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=221221*********A ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=44111b 1. 求A 的满秩分解.2. 求+A3. 用广义逆矩阵的方法判别方程组b Ax =是否相容.4. 求方程组b Ax =的极小范数解或极小范数最小二乘解并指出所求解的类型.解 1。

矩阵论试题

一、设线性空间2R 按照某种内积运算构成欧氏空间，记为2V ,已知2V 的两个基为()()()()121211,11,02,612,TTTTααββ==-==①②且i α与jβ的内积为()()()()111221221,15,1,3αβαβαβαβ===-=（1）求基①的度量矩阵A ；（2）求基②的度量矩阵B ；（3）求2V 的标准正交基。

一、设T 是n 维线性空间V 上的线性变换，V α∈，且满足()()10,0n n T T αα-≠=（1）证明：()()1,,,n T T ααα- 是V 的一组基；（2）求T 在基()()1,,,n T T ααα- 下的矩阵。

（3）证明：T 不是可逆变换。

二、分别计算向量112,3234i x y i -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的1—范数、2—范数和无穷范数。

二、计算矩阵2234A -⎛⎫=⎪⎝⎭的1—范数、2—范数、无穷范数和Frobenius 范数。

三、设311121210A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，求sin A . 三、设2864106484A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，求t e λ. 四、设201120A ⎛⎫=⎪⎝⎭，求A 的奇异值分解。

四、求矩阵101011000A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭和11001B ⎛⎫= ⎪⎝⎭的奇异值分解。

五、求矩阵101102221453A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的M P -逆A +。

六、证明：设n n A F ⨯∈，则方阵A 的特征多项式就是A 的化零多项式，即若()1110,nn n f I A a a a λλλλλ--=-=++++则有()0f A =.六、证明：0λ是矩阵A 的特征值⇔0λ是A 的最小多项式()A m λ的零点。

七、求矩阵311202113A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的Jordan 标准形及所需的变换矩阵P 。

七、求下列矩阵的Jordan 标准形A J 和矩阵P ，使1A P AP J -=.(1)110430102A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭(2)2615115126A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭八、设实线性空间V 中的两个线性变换1T 和2T 满足1221T T T T =，给定0R λ∈，证明：1．集合{}10|,W x T x x x V λ==∈是V 的子空间. 2. W 是2T 的不变子空间.八、设A 为m n ⨯矩阵,B 为n k ⨯矩阵,()R A 和()R AB 分别表示A 和A B 的值域，证明：()()R AB R A =的充要条件是,存在k n ⨯矩阵C 使得A B C A =.。

矩阵论复习题

第二章内积空间一、基本要求1、掌握欧氏空间和酉空间的定义与性质，掌握Hermite 矩阵的定义，理解欧氏(酉)空间中度量的概念．2、掌握线性无关组的Schmidt 正交化与对角化方法，理解标准正交基的性质．3、理解Hermite 二次型的定义．4、掌握在一组基下的度量矩阵的概念，标准正交基下度量矩阵的性质及两组标准正交基下的度量矩阵的关系．5、了解欧氏子空间的定义．6、掌握正交矩阵与酉矩阵的定义与性质，理解正交(酉)变换与正交(酉)矩阵的关系．7、掌握对称矩阵与Hermite 矩阵的定义与性质，理解对称(Hermite)变换与对称(Hermite)矩阵的关系．8、掌握矩阵可对角化的条件，会求一个正交(酉)矩阵把实对称(Hermite)矩阵化为对角形矩阵，会求一组标准正交基使线性变换在该基下对应的矩阵是对角形矩阵．二、基本内容1、内积空间设数域F 上的线性空间)(F V n ，若)(F V n 中任意两个向量βα,都有一个确定的数与之对应，记为),(βα，且满足下列三个条件(1) 对称性：),(),(αββα=，其中),(αβ表示对数),(αβ取共轭； (2) 线性性：),(),(),(22112211βαβαβααk k k k +=+； (3) 正定性：0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα，则称),(βα为向量α与β的内积．当R F =时，称)(R V n 为欧氏空间；当C F =时，称)(C V n 为酉空间．注意：在n R 中，),(),(βαβαk k =；在n C 中，),(),(βαβαk k =．通常的几个内积：(1) nR 中，αββαβαT T ni i i y x ===∑=1),(nC 中，βαβαH i ni i y x ==∑=1),(．其中T n T n y y y x x x ),,,(,),,,(2121 ==βα．(2) nm R⨯中，n m ij n m ij b B a A ⨯⨯==)(,)(，ij m i nj ij Hb a B A tr B A ∑∑====11)(),(．(3) 在实多项式空间][x P n 及],[b a 上连续函数空间],[b a C 中，函数)(),(x g x f 的内积为⎰=ba dx x g x f x g x f )()())(),((2、向量的长度、夹角、正交性定义 ),(ααα=，称为α的长度，长度为1的向量称为单位向量，ααα=0是α的单位向量．长度有三个性质：(1) 非负性：0≥α，且00),(=⇔=ααα； (2) 齐次性：k k k ,αα=表示数k 的绝对值； (3) 三角不等式：βαβα+≤+．定理(Cauchy-Schwarz 不等式)βαβα≤),(．α与β的夹角θ定义为βαβαθ),(arccos=．当0),(=βα时，称α与β正交，记βα⊥．若非零向量组s ααα,,,21 两两正交，即0),(ji j i ≠=αα，称s ααα,,,21 是一个正交组；又若s i i ,,2,1,1 ==α，则称s ααα,,,21 为标准正交组，即⎩⎨⎧≠==.,0,,1),(j i j i j i αα 定理(勾股定理) 0),(222=⇔+=+βαβαβα，即βα⊥．3、标准正交基标准正交基指欧氏(酉)空间中由两两正交的单位向量构成的基．构造方法：对欧氏(酉)空间的一个基进行Schmidt 正交化可得正交基，再对正交基进行单位化可得标准正交基．把线性无关向量s ααα,,,21 正交化为s βββ,,,21 正交向量组：设.,,3,2,),(),(,1111s k i k i i i i k k k=-==∑-=ββββααβαβ再把i β单位化：s i i ii ,,2,1,1==ββε，则s εεε,,,21 为标准正交组．在标准正交组n εεε,,,21 下，向量可表为：=+++=n n x x x εεεα 2211n n εεαεεαεεα),(),(),(2211+++ ，坐标),(i i x εα=表示α在i ε上的投影长度． 4、基的度量矩阵度量矩阵是以欧氏(酉)空间的基中第i 个元素与第j 个元素的内积为i 行j 列元素构成的方阵．设欧氏(酉)空间V 的一个基为n x x x ,,,21 ，令),,2,1,)(,(n j i x x a j i ij ==，则该基的度量矩阵为n n ij a A ⨯=)(．基的度量矩阵是实对称(Hermite)正定矩阵，它的阶数等于欧氏(酉)空间的维数，正交基的度量矩阵是对角矩阵，标准正交基的度量矩阵是单位矩阵．设酉空间V 的一个基为n x x x ,,,21 ，该基的度量矩阵为A ，V y x ∈,在该基下的坐标(列向量)分别为α与β，那么x 与y 的内积βαA y x T =),(．当V 为欧氏空间时，βαA y x T =),(．当此基为标准正交基，酉空间V 的x 与y 的内积βαT y x =),(，欧氏空间V 的x 与y 的内积βαT y x =),(．设欧氏空间n V 的两个基分别为(Ⅰ)n x x x ,,,21 和(Ⅱ)n y y y ,,,21 ，且由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵为C ，基(Ⅰ)的度量矩阵为A ，基(Ⅱ)的度量矩阵为B ，则有：(1) AC C B T =．(2) 基(Ⅰ)是标准正交基的充要条件是I A =．(3) 若基(Ⅰ)与基(Ⅱ)都是标准正交基，则C 是正交矩阵．(4) 若基(Ⅰ)(或(Ⅱ))是标准正交基，C 是正交矩阵，则基(Ⅱ)(或基(Ⅰ))是标准正交基．5、正交变换与对称变换(ⅰ) 关于正交变换，下面四种说法等价：1) T 是欧氏空间n V 的正交变换，即对于任意的n V x ∈，有),(),(x x Tx Tx =；2) 对于任意的n V y x ∈,，有),(),(y x Ty Tx =； 3) T 在n V 的标准正交基下的矩阵为正交矩阵； 4) T 将n V 的标准正交基变换为标准正交基． (ⅱ) 关于对称变换，下面两种说法等价：1) T 是欧氏空间n V 的对称变换，即对于任意的n V y x ∈,，有),(),(Ty x y Tx =； 2) T 在n V 的标准正交基下的矩阵为对称矩阵．(ⅲ) 若T 是欧氏空间n V 的对称变换，则T 在n V 的某个标准正交基下的矩阵为对角矩阵．(ⅳ) 在欧氏空间n V 中，若正交变换T 的特征值都是实数，则T 是对称变换． 6、相似矩阵(1) n n C A ⨯∈相似于上(下)三角矩阵． (2) n n C A ⨯∈相似于Jordan 标准形矩阵． (3) n n C A ⨯∈酉相似于上三角矩阵．(4) 设n n C A ⨯∈，则H H AA A A =的充要条件是存在酉矩阵P ，使得Λ=AP P H (对角矩阵)．(5) 设n n C A ⨯∈的特征值都是实数，则T T AA A A =的充要条件是存在正交矩阵Q ，使得Λ=AQ Q T ．(6) 实对称矩阵正交相似于对角矩阵．三、典型例题例1、在n R 中，设),,,(),,,,(2121n n ηηηβζζζα ==，分别定义实数),(βα如下：(1) 21212)(),(i ni i ηζβα∑==；(2) ))((),(11∑∑===nj j n i i ηζβα；判断它们是否为n R 中α与β的内积．解 (1) 设R k ∈，由==∑=21122))((),(ni i i k k ηζβα),()(21212βαηζk k ini i=∑=知，当0<k 且0),(≠βα时，),(),(βαβαk k ≠．故该实数不是n R 中α与β的内积．(2) 取0)0,,0,1,1(≠-= α，有0),(,01==∑=ααζni i故该实数不是n R 中α与β的内积．例2、n R 中，向量组n ααα ,,21线性无关的充要条件是0),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111≠n n n n n n αααααααααααααααααα ．证方法一设),,(21n A ααα =，则⇔≠====⨯⨯0),(2A A A A A T T nn jT i nn j i ααααn A ααα,,,021 ⇔≠线性无关．方法二设02211=+++n n x x x ααα ，则n i x x x i n n ,,2,1,0),(2211 ==+++αααα，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++,0),(),(,0),(),(,0),(),(1121211111n n n n nn n n x x x x x x αααααααααααα 齐次方程组仅有零解的充要条件是系数矩阵的行列式0),(≠j i αα，即n ααα,,,21 线性无关．例3、设欧氏空间3][t P 中的内积为⎰-=11)()(),(dt t g t f g f(1) 求基2,,1t t 的度量矩阵．(2) 采用矩阵乘法形式计算21)(t t t f +-=与2541)(t t t g --=的内积．解 (1) 设基2,,1t t 的度量矩阵为33)(⨯=ij a A ，根据内积定义计算)(j i a ij ≤2)1,1(1111===⎰-dt a ，0),1(1112===⎰-tdt t a ，32),1(112213===⎰-dt t t a ，32),(11222===⎰-dt t t t a ，0),(113223===⎰-dt t t t a ，52),(1142233===⎰-dt t t t a ．由度量矩阵的对称性可得)(j i a a ji ij >=，于是有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=520203203202A ． (2) )(t f 和)(t g 在基2,,1t t 下的坐标分别为T T )5,4,1(,)1,1,1(--=-=βα，那么054120320320202)1,1,1(),(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==βαA g f T ．例4、欧氏空间3][t P 中的多项式)(t f 和)(t g 的内积为⎰-=11)()(),(dt t g t f g f ，取t t f =)(1，记子空间))((1t f L W =．(1) 求T W 的一个正交基；(2) 将T W 分解为两个正交的非零子空间的和．解 (1) 设T W t k t k k t g ∈++=2210)(，则有0),(1=g f ，即0)()()(112210111=++=⎰⎰--dt t k t k k t dt t g t f ，也就是01=k ．于是可得},,)()({20220R k k t k k t g t g W T ∈+==．取T W 的一个基为2,1t ，并进行正交化可得,31),(),()(,1)(211112221-=-==t g g g g t t t g t g那么，)(),(21t g t g 是T W 的正交基．(2) 令))(()),((2211t g L V t g L V ==，则1V 与2V 正交，且21V V W T +=．例5、已知欧氏空间2V 的基21,x x 的度量矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5445A ，采用合同变换方法求2V 的一个标准正交基(用已知基表示)．解因为A 对称正定，所以存在正交矩阵Q ，使得Λ=AQ Q T (对角矩阵)，计算得,111121,9001⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ΛQ ,131323121⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Λ=-Q C 则有E AC C T =．于是，由C x x y y ),(),(2121=可得2V 的一个标准正交基为)(231),(21212211x x y x x y +=-=．例6、在欧氏空间中，定义α与β的距离为：βαβα-=),(d ，试问：保持距离不变的变换是否为正交变换？答不一定，例如2R 中向量的平移变换：)1,1(),(,),(2++=∈=∀y x y x T R y x α，)1,1()(),1,1()(,),(),,(2221112222111++=++=∈==y x T y x T R y x y x αααα， ),()()()()())(),((21212212212121ααααααααd y y x x T T T T d =-=-+-=-=．虽然保持距离不变，但平移变换不是线性变换，更不是正交变换．例7、设n ααα,,,21 与n βββ,,,21 是n 维欧氏空间两个线性无关的向量组，证明存在正交变换T ，使n i T i i ,,2,1,)( ==βα的充要条件是n j i j i j i ,,2,1,),,(),( ==ββαα．证必要性因为T 是正交变换：),())(),((j i j i T T αααα=，又已知i i T βα=)(，故有),(),(j i j i ββαα=．充分性定义变换T ，使得n i T i i ,,2,1,)( ==βα，则T 是线性变换，且是唯一的．下证T 是正交变换．已知),(),(j i j i ββαα=，则有),(),(j i j i T T αααα=，设n V ∈∀βα,，∑∑====nj j j ni i i y x 11,αβαα，则),(),(),(1111j i j ni nj i nj j j ni i i y x y x ααααβα∑∑∑∑======，))(),(())(,)(())(),((1111j i j n i nj i n j j j n i i i T T y x T y T x T T ααααβα∑∑∑∑======),(11j i j n i nj i y x αα∑∑===．即n V ∈∀βα,，),())(),((βαβα=T T ，故T 是正交变换．例8、设321,,ααα是欧氏空间3V 的一组标准正交基，求出3V 的一个正交变换T ，使得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=).22(31)(),22(31)(32123211ααααααααT T 解设3322113)(ααααx x x T ++=，使得)(),(),(321αααT T T 是标准正交的，因)(),(21ααT T 已标准正交，则只要满足1)(,0))(),((,0))(),((32313===αααααT T T T T ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+.1,022,022232221321321x x x x x x x x x 解得32,32,1321==-=x x x ，即)22(31)(3213αααα++-=T ，得)(),(),(321αααT T T 是标准正交基．因T 把标准正交基变为标准正交基，故T 是正交变换．另法设)(3αT 的坐标为T x x x ),,(321，由A x x x T T T ),,(2313132232),,())(),(),((321321321321ααααααααα=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=． T 是正交变换⇔A 为正交阵．由E A A T =，解得32,31321==-=x x x ，则)22(31)(3213αααα++-=T ．例9、设0x 是欧氏空间V 中的单位元素，定义变换00),(2)(x x x x x T -= )(V x ∈(1) 验证T 是线性变换；(2) 验证T 既是正交变换，又是对称变换；(3) 验证0x 是T 的一个特征向量，并求其对应的特征值．证 (1) 设V y x ∈,，R l k ∈,，则有00),(2)()(x x ly kx ly kx ly kx T +-+=+=]),(2[]),(2[0000x x y y l x x x x k -+-=))(())((y T l x T k +，故T 是线性变换．(2) 因为),(),(),(4),)(,(4),())(),((002000x x x x x x x x x x x x x T x T =+-=所以T 是正交变换．设V y ∈，则00),(2)(x x y y y T -=，于是有).),((),)(,(2),())(,(),,)(,(2),()),((0000y x T x x x y y x y T x y x x x y x y x T =-=-=故T 也是对称变换．(3) 直接计算可得.)1(2),(2)(00000000x x x x x x x x T -=-=-=故0x 是T 的对应于特征值1-=λ的特征向量．例10、证明欧氏空间n V 的线性变换T 为反对称变换，即),()),(,()),((n V y x y T x y x T ∈-=的充要条件是T 在n V 的标准正交基下的矩阵为反对称矩阵．证设n V 的一个标准正交基为n x x x ,,,21 ，线性变换T 在该基下的矩阵为n n ij a A ⨯=)(，即A x x x x x x T n n ),,(),,,(2121 =．则有.))(,(,)(,)),((,)(22112211ij j i n nj j j j ji j i n ni i i i a x T x x a x a x a x T a x x T x a x a x a x T =+++==+++=必要性设T 是反对称变换，则有))(,()),((j i j i x T x x x T -=，即ij ji a a -=，),,2,1,(n j i =，故A A T -=．充分性设A A T -=，则对任意的n V y x ∈,有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n A x x x T x x x ξξξξ 1111),,()(,),,(，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n A x x y T x x y ηηηη 1111),,()(,),,(．因为n x x x ,,,21 是标准正交基，所以=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅=n T n A y x T ηηξξ 11),,()),(()).(,(),,(11y T x A n n -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅-ηηξξ 故T 是反对称变换．例11、设欧氏空间n V 的正交变换T 的特征值都是实数，证明存在n V 的标准正交基，使得T 在该基下的矩阵为对角矩阵．分析正交矩阵是实的正规矩阵，当它的特征值都是实数时，它能够正交相似于对角矩阵．证设n V 的一个标准正交基为n x x x ,,,21 ，正交变换T 在该基下的矩阵为A ，那么A 是正交矩阵，也是实的正规矩阵．因为T 的特征值都是实数，所以A 的特征值都是实数．于是存在正交矩阵Q ，使得Λ==defn Tdiag AQ Q ),,,(21λλλ ，其中),,2,1(n i i =λ是A 的特征值．令Q x x x y y y n n ),,,(),,,(2121 =，则n y y y ,,,21 是n V 的标准正交基，且T 在该基下的矩阵为Λ==-AQ Q AQ Q T 1【评注】本例结果表明，特征值都是实数的正交变换是对称变换．例12、设T 是欧氏空间V 的正交变换，构造子空间},),({},,)({21V x x T x y y V V x x x T x V ∈-==∈==证明⊥=21V V ．证先证⊥⊂21V V ．任取10V x ∈，则有00)(x x T =．对于任意的2V y ∈，有))(,(),())(,(),(0000x T x x x x T x x y x -=-=0),(),())(),((),(0000=-=-=x x x x x T x T x x 所以,20⊥∈V x 故.21⊥⊂V V再证12V V ⊂⊥，任取⊥∈20V x ，那么200))((V x T x ∈-，从而有0))(,(000=-x T x x ，.0))(,(2),())(,(2),())(),(())(,(2),())(),((0000000000000000000=-=+-=+-=--x T x x x x x T x x x x T x T x T x x x x T x x T x所以0)(00=-x T x ，即00)(x x T =，也就是10V x ∈，故12V V ⊂⊥．例13、设n m C A ⨯∈，酉空间m C 中的向量内积为通常的，证明)()]([H A N A R =⊥．分析设m C 中的向量T m ),,,(21ξξξα =与向量T m ),,,(21ηηηβ =的内积为βαηξηξηξβαT m m =+++= 2211),(，则0=βαT 的充要条件是0=βαH ，或者0=αβH ．证划分),,,(21n a a a A =，则有),,,()(21n a a a L A R =，},),({)]([11m j n n C C k a k a k A R ∈∈++⊥=⊥βββ},,,2,1,{m j C n j a ∈=⊥=βββ},,,2,1,0{mH jC n j a ∈===βββ )(},0{H m H A N C A =∈==βββ．例14、设n m C B A ⨯∈,，酉空间m C 中的内积为通常的，证明：)(A R 与)(B R 正交的充要条件是0=B A H ．证划分),,,(21n a a a A =，),,,(21n b b b B =，则有),,,()(21n a a a L A R =，),,,()(21n b b b L B R =根据例15结果可得，)(A R 与)(B R 正交的充要条件是)()]([)(H A N A R B R =⊂⊥，即)()(H j A N B R b ⊂∈ ),,2,1(n j =，或者0=j H b A ),,2,1(n j =，也就是0=B A H ．例15、在4R 中，求一单位向量与)1,1,1,1(),1,1,1,1(---及)3,1,1,2(均正交．解设),,,(4321ξξξξ=x 和已知向量正交，即⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+--=+-+.032,0,0432143214321ξξξξξξξξξξξξ 该齐次线性方程组的一个非零解为)3,1,0,4(-=x ，单位化可得)263,261,0,264(1-==x x y ，即y 为所求的单位向量．例16、设A 为n 维欧氏空间V 的一个线性变换，试证：A 为正交变换的充分必要条件是βαβα-=-)()(A A ．证必要性))()(),()(()()(βαβαβαA A A A A A --=-),(),(),(),(βββααβαα+--= βαβαβα-=--=),(．充分性取0=β，于是有αα=)(A ，即A 保持V 中的向量长度不变，所以A 为正交变换．例17、对于矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=542452222A ，求正交(酉)矩阵P ，使AP P AP P T =-1为对角矩阵．解可求得)10()1()det(2--=-λλλA I ，于是A 的特征值为10,1321===λλλ．对应121==λλ的特征向量为T T x x )1,0,2(,)0,1,2(21=-=．正交化可得T T y y )1,54,52(,)0,1,2(21=-=；再单位化可得T T p p )535,534,532(,)0,51,52(21=-=．对应103=λ的特征向量为T x )1,1,21(3--=，单位化可得T p )32,32,31(3--=，故正交矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=32535032534513153252P 使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1011AP P T ．例18、设A 是n 阶实对称矩阵，且A A =2(即A 是幂等矩阵)，证明存在正交矩阵Q 使得)0,,0,1,,1(1 diag AQ Q =-．证设A 的属于特征值λ的特征向量为x ，即x Ax λ=，则有x x A 22λ=．因为A A =2且0≠x ，所以02=-λλ，即0=λ或1．再由A 实对称知，存在正交矩阵Q 使得)0,,0,1,,1(1 diag AQ Q =-．例19、设21,V V 是欧氏空间V 的两个子空间，证明.)(,)(21212121⊥⊥⊥⊥⊥⊥+==+V V V V V V V V证先证第一式．设⊥+∈)(21V V x ，即)(21V V x +⊥．于是1V x ⊥且2V x ⊥，或者⊥∈1V x 且⊥∈2V x ，即⊥⊥∈21V V x ．故)()(2121⊥⊥⊥⊂+V V V V ．又设⊥⊥∈21V V x ，即⊥∈1V x 且⊥∈2V x ．于是1V x ⊥且2V x ⊥，或者)(21V V x +⊥，即⊥+∈)(21V V x ．故⊥⊥⊥+⊂)()(2121V V V V ．因此第一式成立．对⊥1V 与⊥2V 应用第一式，有212121)()()(V V V V V V ==+⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥，故⊥⊥⊥+=2121)(V V V V ，即第二式成立．例20、(1) 设A 为酉矩阵且是Hermite 矩阵，则A 的特征值为1或1-． (2) 若A 是正规矩阵，且A 的特征值1=λ，则A 是酉矩阵．证 (1) 因A 为酉矩阵，则A 的所有特征值λ具有1=λ；又A 是Hermite 矩阵，则A 的特征值皆为实数，故A 的特征值为1或1-．(2) 因A 是正规矩阵，且A 的特征值1=λ，则有酉矩阵U ，使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n H H n H U A U AU U λλλλ 11,， .11221E AU A U n H H =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= λλ故有E A A H =，即A 是酉矩阵．例21、A 为n 阶正规矩阵，),,2,1(n i i =λ是A 的特征值，证明A A H 与HAA 的特征值为n i i ,,2,1,2=λ．证由A 正规，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n H H n H U A U AU U λλλλ 11,，U AA U AU A U HH n H H =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=221λλ ，故A A H 与H AA 的特征值皆为22221,,,n λλλ ．例22、设A 为n 阶正规矩阵，证明 (1) 若对于正数m ，有0=m A ，则0=A ． (2) 若A A =2，则A A H =． (3) 若23A A =，则A A =2．证 (1) 若0=m A ，则A 的特征值皆为零，又A 是正规矩阵，A 可酉对角化，即有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000 AU U H ，故有0=A ．(2) A A =2，则A 的特征值为1或0，假定r A r =)(；A 可酉对角化为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000,000)(,000r HH Hr H H rH E U A U E AU U E AU U ，可得A A H =．(3) 23A A =，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22121)(,n H n H AU U AU U λλλλ ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=33132212,n H n H U A U U A U λλλλ ，由23A A =，得0,23==i i i λλλ或1=i λ，不妨设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000rH E AU U ，也有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0002r H E U A U ，故有A A =2．例23、A 为n 阶Hermite 矩阵，设A 的n 个特征值为n λλλ≤≤≤ 21，证明1m in ,m ax λλ==∈∈XX AXX XX AX X H H C X n H H C X n n ．证对于Hermite 二次型AX X f H =，必有酉变换UY X =，使化为标准形2222211n n UYX Hy y y AX X λλλ+++== ，又2222122n H y y y Y X X X+++=== ，则n nn n H H y y y y y y X X AX X λλ=++++++≤2222122221)( ．设n X 为A 对应于n λ的特征向量，即n n n X AX λ=，则n nHn nH n n n H n n H n X X X X X X AX X λλ==，故有n H H C X XX AX X n λ=∈max ．同理有1min λ=∈XX AX X H H C X n ．例24、A 是正规矩阵，证明(1) A 的特征向量也是H A 的特征向量． (2) n C X ∈∀，AX 与X A H 的长度相等．证 (1) A 为正规矩阵，则有酉矩阵，使得⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n H H n HU A U AU U λλλλλλ2121,，其中],,,[21n U ααα =，n ααα,,,21 为A 的特征向量，由上两式可见i i i A αλα=，i i i H A αλα=，故A 与H A 有相同的特征向量．(2) 由H H AA A A =，X AA X X A X A XA H H H H H H ==)()(22)()(AX AX AX AX A X H H H ===．证得AX X A H =．例25、B A ,为n 阶实对称矩阵，B 为正定矩阵，证明存在同一可逆矩阵P ，使Λ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==n T H u u AP P I BP P 1,．证 B 为正定矩阵，必有可逆矩阵Q ，使.E BQ Q T =因A 为对称矩阵，则AQ Q T 也是对称矩阵，所以存在正交矩阵C ，使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n T T u u AQC Q C 1，令QC P =，就有Λ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n T u u AP P 1．又E C C EC C BQC Q C T T T T ===，即有E BP P T =，故存在同一可逆矩阵P ，使Λ==AP P E BP P T T ,．例26、(1) 设n n C A ⨯∈，则n n U A ⨯∈的充要条件是A 的n 个列(或者行)向量是标准的正交向量组．(2) r n r U U ⨯∈1的充要条件是E U U H =11．证 (1) 必要性设⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==H n H H Hn A A αααααα 2121],,,[．由于E A A H =，所以有E n H n H n H n n H H H n H H H nH n H H =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡αααααααααααααααααααααααα 2122212121112121],,,[，于是可得⎪⎩⎪⎨⎧==≠=ji ji j Hi j Hi ,1,0αααα 这表明矩阵A 的n 个列向量是一个标准的正交向量组．同样可以证明A 的n 个行向量是一个标准的正交向量组．充分性设矩阵A 的n 个列向量n ααα,,,21 是一个标准的正交向量组，那么有⎪⎩⎪⎨⎧==≠=ji ji j Hi j H i ,1,0αααα 从而可知E n H n H n H n n H H H n H H H nH n H H =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡αααααααααααααααααααααααα 2122212121112121],,,[，此即E A A H =，进一步也有E AA H =，这表明A 为一个酉矩阵．类似地可以证明行的情况．(2) 必要性设矩阵1U 的r 个列向量r ααα,,,21 是一个标准的正交向量组，那么有⎪⎩⎪⎨⎧==≠=j i ji jHi j Hi ,1,0αααα 由此可得r r H r H r H r r H H H r H H H r H r H H H E U U =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=αααααααααααααααααααααααα 212221************],,,[．充分性设.],,,,[211211⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==H r H H Hr U U αααααα 由于r H E U U =11，所以有rr H r H r H r r H H H r H H H r H r H H E =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡αααααααααααααααααααααααα 2122212121112121],,,[．于是可得⎪⎩⎪⎨⎧==≠=j i ji jHi j Hi ,1,0αααα 这表明矩阵1U 的r 个列向量r ααα,,,21 是一个标准的正交向量组．例27、已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=502613803A ，试求酉矩阵U ，使得AU U H 是上三角矩阵．解首先求出其特征多项式3)1(+=-λλA E ．当1-=λ时，求出属于特征值1--1的一个单位特征向量T ]61,61,62[1-=η．解与1η内积为零的方程02321=++-x x x ，求得一个单位解向量T]33,33,33[2=η．解与21,ηη内积为零的方程⎩⎨⎧=++=++-002321321x x x x x x 又求得一个单位解向量T]22,22,0[3-=η．于是取⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=223361223361033621U ，经过计算可得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=6265036540337227111AU U H ．记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=626536541A ，可得21)1(+=-λλA E ．对于1-=λ时，求得一个单位特征向量T]515,510[1-=γ，再求得一个与1γ正交的向量2γT]510,515[2=γ．令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=5105155155101V ，经计算可得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=1066251111V A V H．令⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=510515051551000012U ，记⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==5523030610630615515306221U U U ，则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=1006625102015715301AU U H ．例28、设B A ,均为n 阶正规矩阵，试证A 与B 相似的充要条件是A 与B 酉相似．证必要性由于A 与B 均为正规矩阵，所以分别存在正规矩阵21,U U ，使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n HAU U λλλ2111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n H BU U μμμ2122 其中),,2,1(0n i i =>λ为A 的特征值，),,2,1(0n i i =>μ为B 的特征值．又A 与B 相似，于是有2211,BU U AU U H H i i ==μλ，此时B U AU U U H =--121121)(，这表明A 与B 相似．充分性显然．例29、已知A 为实矩阵，且有T T AA A A =，证明A 必为对称矩阵．证由T T AA A A =可知，A 为正规矩阵，那么存在酉矩阵U ，使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n H H n H U A U AU U λλλλ 11,，从而有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=221n TH AU A U λλ ．又A A T 为实矩阵，由上式可知其特征值也是实数，从而矩阵U 是一个正交矩阵，即1-==U U U T H ，从而有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n AU U λλ 11，其中n λλ,,1 一定为实数．同样也有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n T U A U λλ 11．由此可得A A T =，即A 为实对称矩阵．例30、设B A ,均为正规矩阵，且有BA AB =，证明： (1)B A ,至少有一个公共的特征向量；(2)B A ,可同时酉相似于上三角矩阵，即存在酉矩阵W ，使得AW W H 以及BW W H 均为上三角矩阵；(3)B A ,可同时酉相似于对角矩阵； (4)AB 与BA 均为正规矩阵．证 (1) 设λV 是矩阵A 的属于特征值λ的特征子空间，若λαV ∈，即λαα=A ，则αλαB BA =，由于BA AB =，所以有)()(αλαB B A =，这表明λαV B ∈，从而λV 是B 的不变子空间，故在λV 中存在B 的特征向量β，它也是A的特征向量．(2) 对B A ,的阶数用归纳法证明．当B A ,的阶数均为1时，结论显然成立．设单位向量1α是B A ,的一个公共特征向量，再适当选取1-n 个单位向量n αα,,2 ，使得},,,{21n ααα 为标准正交基，于是],,,[21n U ααα =为酉矩阵，且有],,,[,2111n B B b BU b B ααααα ==．进一步可得,01B B b BU U H=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=β这里β是)1(1-⨯n 矩阵，1B 是一个1-n 阶矩阵，另外也有A A aAU U H =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10η，这里η是)1(1-⨯n 矩阵，1A 是一个1-n 阶矩阵．由BA AB =又有)()()()(H H H H UAU UBU UBU UAU ⋅=⋅，于是可得BA AB =，由此可推得1111A B B A =．故由归纳法假设，存在1-n 阶酉矩阵1V ，使得∆=111V B V H ，这里∆为一个上三角矩阵，记.,0011UV W V V =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=于是有V BU U V BW W H H H )(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000100011111V b V B b V H ββ，显然BW W H 是一个上三角矩阵．容易验证W 是酉矩阵．同样可得，AW W H 也是一个上三角矩阵．(3) 由(2)可设R AW W H =，这里R 是一个上三角矩阵，那么H H H R W A W =，从而可得H H H H HH W RR W W WR WRWAA )(=⋅=，H H H H H H W R R W WRW W WR A A )(=⋅=．又A A AA H H =，所以可得R R RR H H =，从而知R 为一个对角矩阵．同样可证BW W H 也是一个对角矩阵．(4) 由(3)可设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n H n H u u BW W AW W 11,λλ，于是有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n H ABW W μλμλ 11．由正规矩阵结构定理可知AB 为正规矩阵，那么BA 也为正规矩阵．【评注】教材中已给出一种证明方法，但是与这里的证明方法完全不同，这里主要运用Schur 引理的证明思想．例31、已知下列正规矩阵，求酉矩阵U ，使得AU U H 为对角矩阵．(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0000110i i A (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+------+=062266234426434i i i i i i i iA (3)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1111A 解 (1) 首先求出矩阵A 的特征多项式为)2(2+=-λλλA E ，所以A 的特征值为0,2,2321=-==λλλi i ．对于特征值i 2，求得一个特征向量T i X ]1,,2[1-=．对于特征值i 2-，求得一个特征向量T i X ]1,,2[2--=．对于特征值0，求得一个特征向量T i X ]1,,0[3=．由于A 为正规矩阵，所以321,,X X X 是彼此正交的，只需分别将321,,X X X 单位化即可TTTi i i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=22,22,0,21,2,22,21,2,22321ααα，于是取⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==222121222202222],,[321i i iU ααα，而且有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=000020002i i AU U H ．(2) 首先求出矩阵A 的特征多项式为)9)(81(2-+=-λλλA E ，所以A 的特征值为9,9,9321==-=λλλi i ．对于特征值i 9-，求得一个特征向量T iX ]1,1,2[1-=．对于特征值i 9，求得一个特征向量T i X ]1,21,[2-=．对于特征值9，求得一个特征向量T i X ]21,1,[3-=．由于A 为正规矩阵，所以321,,X X X 是彼此正交的，只需分别将321,,X X X 单位化即可TT T i i i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=31,32,32,32,31,32,32,32,3321ααα．于是取⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==31323232313232323],,[321i ii U ααα，从而有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=900090009i i AU U H ． (3) 首先求出矩阵A 的特征多项式为222+-=-λλλA E ，所以A 的特征值为i i -=+=1,121λλ．对于特征值i +1，求得一个特征向量T i X ]1,[1=．对于特征值i -1，求得一个特征向量T i X ]1,[2-=．由于A 为正规矩阵，所以21,X X 是彼此正交的，只需分别将21,X X 单位化即可TTi i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22,22,22,2221αα．于是取⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==22222222],[21i i U αα，从而有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=i i AU U H1001．【评注】这三个题目只需按照教材介绍的正规矩阵可对角化具体过程进行即可．例32、试举例说明：可对角化矩阵不一定可酉对角化．解设Y X ,是两个线性无关但不正交的向量，记],[Y X P =，取b a b a D ≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡=,00 那么1-=PDP A ，就是一个可对角化矩阵，但不是可酉对角化矩阵．例33、证明(1) Hermite 矩阵的特征值为实数；(2) 反Hermite 矩阵的特征值为零或纯虚数； (3) 酉矩阵特征值的模长为1．证 (1) 设A 为一个Hermite 矩阵，λ是A 的一个特征值，X 为对应于特征值为λ的一个特征向量，即有X AX λ=，在此式两端取共轭转置可得.,HHH H H X A X X A X λλ==用X 从右端乘上式两端有X X AX X H H λ=，于是有X X X X H H λλ=．由于0≠X ，所以0≠X X H ，从而有λλ=，这表明λ是实数．(2) 设A 为一个反Hermite 矩阵，λ是A 的一个特征值，X 为对应于特征值λ的一个特征向量，即有X AX λ=，在此式两端取共轭转置可得.,HHH H H X A X X A X λλ=-=用X 从右端乘上式两端有X X AX X H H λ=-，于是有X X X X H H λλ=-．由于0≠X ，所以0≠X X H ，从而有λλ=-，这表明λ为零或纯虚数． (3) 设A 为一个酉矩阵，λ是A 的一个特征值，X 为对应于特征值λ的一个特征向量，即有X AX λ=，在此式两端取共轭转置可得H H H X A X λ=．用AX 从右端乘上式两端有X X EX X H H λλ=，于是有0)1(=-X X H λλ．由于0≠X ，所以0≠X X H ，从而有1=λλ，这表明λ的模长为1．例34、设A 与B 均为Hermite 矩阵，试证A 与B 酉相似的充要条件是A 与B 的特征值相同．证必要性由于相似矩阵有相同的特征值，所以A 与B 的特征值相同．充分性 A 与B 均为Hermite 矩阵，所以分别存在酉矩阵21,U U ，使得.,2122211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n H n H BU U AU U ηηηδδδ其中),,2,1(n i i =δ为A 的特征值，),,2,1(2n i =η为B 的特征值．又i i ηδ=，从而2211BU U AU U H H =，此即B U U A U U H H H =)()(2121，这表明A 与B 酉相似．例35、设A 是Hermite 矩阵，且A A =2，则存在酉矩阵U ，使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000rH EAU U ．证由于A 是Hermite 矩阵，所以存在酉矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n H AU U λλλ21，其中),,2,1(n i i =λ为A 的特征值，又A 为幂等矩阵，于是0=i λ或1．不妨设A 的秩为r ，那么i λ中有r 个1，r n -个0．记0,12121========-++r n r r r λλλλλλ ．即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000rH EAU U ．例36、设3R 中的向量为),,(321ξξξα=，线性变换为)32,32,22()(32132132ξξξξξξξξα+---+---=T ，求3R 的一个基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵．解取3R 的简单基321,,e e e ，计算得),3,1,2()(),1,3,2()(),2,2,0()(321--=--=--=e T e T e T那么，T 在基321,,e e e 下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=312132220A ． A 的特征值为2,4321-===λλλ，与之对应的线性无关的特征向量依次为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-112,201,021．令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=Λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=244,120102211P ，则有Λ=-AP P 1，由P e e e ),,(),,(321321=ααα求得3R 的另一个基为).1,1,2(2),2,0,1(2),0,2,1(23213312211=++=-=+-=-=+-=e e e e e e e ααα T 在该基下的矩阵为Λ．四、教材习题同步解析1、设V 是实数域R 上的n 维线性空间，12,,,n εεε是V 的一组基，对于V 中向量n n x x x εεεα+++= 2211，n n y y y εεεβ+++= 2211，定义内积为n n y nx y x y x +++= 22112),(βα，证明V 在此内积下构成一个内积空间．证设R k V z z z n n ∈∈+++=,2211εεεγ ，则有n n x ny x y x y +++== 22112),(),(αββα；111222(,)()2()()n n n x y z x y z nx y z αβγ+=++++++11221122(2)(2)n n n n x y x y nx y x z x z nx z =+++++++(,)(,)αβαγ=+；1122(,)2(,)n n k kx y kx y nkx y k αβαβ=+++=．当0=α时，0),(=αα；当0≠α时，至少有一个00≠i x ，从而0),(200>=i x i αα，因此，该实数是V 上的内积，V 构成一个内积空间．2、设V 是实数域R 上的n 维线性空间，n εεε,,21 是V 的一组基，A 是一个n 阶正定实对称矩阵．定义V 的内积如下：对于V 中向量βα,，如果它们在基12,,,n εεε下的坐标分别为y x ,，则Ay x T =),(βα，证明V 是一个内积空间．证设V ∈γ，在基12,,,n εεε下的坐标为z ，R k ∈，则有),()(),(αββα=====Ax y x A y Ay x Ay x T T T T T T ； ),(),()(),(γαβαγβα+=+=+=+Az x Ay x z y A x T T T ； ),()(),(βαβαk Ay kx Ay kx k T T ===；因为A 为n 阶正定实对称矩阵，所以Ax x T =),(αα为正定二次型．0≠α时，0),(>αα；0=α时，0),(=αα，所以V 是一个内积空间．3、在实内积空间4R (内积为实向量的普通内积)中，已知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111,1111,0011321βββ，试求出与321,,βββ都正交的单位向量．解设T x x x x ),,,(4321=α满足,3,2,1,0),(==i i βα有⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=--+=+0004321432121x x x x x x x x x x ，可取T)1,1,1,1(--=α，故单位向量为 T ⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21,21,21或T⎪⎭⎫⎝⎛--21,21,21,21． 4、设内积空间3C 中向量βα,的内积为αββαH =),(判断下述向量βα,是否正交：1)T T i i i i )2,1,1(,),,1(-+=--=βα； 2)T T i i i i i )3,1,,1(,)2,,1(-=+-=βα．解 1)01)2,1,1(),(=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-=i i i i βα，故正交．2)04721)3,,1(),(≠+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=i i i i i i βα，故不正交．5、设12,,,n ααα是n 维内积空间V 的一组基，如果V 中向量β使.,2,1,0),(n i i ==αβ证明 0=β．证令n n x x x αααβ+++= 2211，有0),(),(),(11===∑∑==ni i i ni i i x x αβαβββ，由内积定义，有0=β．6、设V 是实数域R 上的内积空间，321,,εεε是V 的一组标准正交基．证明)22(31),22(31),22(31321332123211εεεηεεεηεεεη--=+-=-+=也是V 的一组标准正交基．证 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=323231323132313232),,(),,(321321εεεηηη，记矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=323231323132313232A ，因为,E A A T =所以A 为正交矩阵，又因为321,,εεε为标准正交基，所以321,,ηηη也是标准正交基．7、设54321,,,,εεεεε是5维内积空间V 的一组标准正交基．32132125112,,εεεαεεαεεα++=-=+=．求子空间),,(321αααL 的一组标准正交基．解设0332211=++αααk k k ，则0)()2(51332321321=+++-+++εεεεk k k k k k k ，因为5321,,,εεεε线性无关，则0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关，所以他们是),,(321αααL 的一组基．将321,,ααα正交化，单位化，即得),,(321αααL 的一组标准正交基．记)0,0,1,1,2(),0,0,0,1,1(),1,0,0,0,1(321=-==x x x ，则正交化，11x y =； ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=21,0,0,1,21),(),(1111222y y y y x x y ；()1,0,1,1,1),(),(),(),(13222231111333-=-=--=y x y y y y x y y y y x x y ；单位化)1,0,0,0,1(222211==y z ；)1,0,0,2,1(663622--==y z ； )1,0,1,1,1(213-=z 所以标准正交基)(21),2(66),(22532135212511εεεεγεεεγεεγ-++=--=+=． 8、已知线性空间4][x R 对于内积⎰-=11)()())(),((dx x g x f x g x f构成一个内积空间．从基32,,,1x x x 出发，经正交单位化求一组标准正交基．解因为32),(,0)1,(,211)1,1(1121111=====⋅=⎰⎰⎰---dx x x x xdx x dx ， 52),(,32)1,(,0),(2222===x x x x x ，…… 正交化，令11=β；x x x =⋅-=1)1,1()1,(2β； 31),(),(1)1,1()1,(22223-=⋅-⋅-=x x x x x x x x β；x x 5334-=β；再单位化x x x x x x 41434145;4104103;26),(;22)1,1(34232211-=-=====ηηβηβη9、对于实数域R 上的线性空间n m R ⨯，规定内积如下：对于n m R ⨯中任意元素][],[ij ij b B a A ==，则=),(B A 迹∑∑===n i mj ji ji Tb a A B 11)(．证明n m R ⨯对此内积构成欧氏空间．证 ∑∑∑∑=======n i m j m j ni ji ji ji ji A B a b b a B A 1111),(),(；对任意的R k ∈，n m ij R a C ⨯∈=][，有=+),(C B A 迹=+))((A C B T 迹()T T B A C A +=迹)(A B T +迹()T C A =(,)A B (,)A C +；=),(B kA 迹=))((kA B T 迹)(A kB T =k 迹)(A B T =),(B A k ；0),(112≥=∑∑==n i mj ji a A A ，当且仅当0=ji a (即0=A )时，0),(=A A ，所以nm R ⨯对此内积构成欧氏空间．10、设欧氏空间4R (内积为普通实数组向量的点积)的一组基为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111,0111,0011,00014321αααα，求在这组基下的度量矩阵A ．解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==4321332122211111)),((j i A αα．11、在线性空间4R 上定义一种内积成为欧氏空间．已知在基T T T T e e e e )1,0,0,0(,)0,1,0,0(,)0,0,1,0(,)0,0,0,1(4321====下的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=3101121001211012A ． 1) 求在基T T T T )1,1,0,1(,)1,2,1,0(,)0,0,2,1(,)0,0,1,1(4321==-=-=αααα下的度量矩阵B ．2) 求实数a ，使向量T a )1,2,,1(-=α与向量T )0,2,1,1(-=β正交．解 1) 因为由基4321,,,e e e e 到基4321,,,αααα的过渡矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-2100110010113112;11001200012110111P P ，设向量α在4321,,,e e e e 下的坐标为x ，则α在4321,,,αααα下的坐标为x P 1-，如果在基4321,,,αααα下的度量矩阵为B ，则Ax x x BP x P T T ==--11)(),(αα，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----===--79119130010631032,)(11AP P B A BP P T T2)βα,在4321,,,e e e e 下的坐标分别为T a )1,2,,1(-和T )0,2,1,1(-，所以0)0,2,1,1()1,2,,1(),(=--=T A a βα时，有310=a ． 12、设321,,εεε是欧氏空间V 的一组基，内积在这组基下的度量矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=612121211A已知V 的子空间1V 的一组基为112αεε=+，2123αεεε=+-．1) 证明21,αα是1V 的一组正交基； 2) 求1V 的正交补⊥1V 的一组基．证 1) 因为12111213212223(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)ααεεεεεεεεεεεε=+-++-112(1)2(1)0=--+-+--=，故21,αα正交，所以21,αα是1V 的一组正交基．2) 只需再找到V 中向量3α使321,,ααα为V 的一组正交基，则3α即为⊥1V 的一组基．方法一：设3322113εεεαx x x ++=，利用正交条件⎩⎨⎧==0),(0),(3231αααα 即 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0)1,1,1(0)0,1,1(321321x x x A x x x A 可得一解为2,2,7321-===x x x ，即得3213227εεεα-+=．方法二：先将21,αα扩充为V 的一组基123,,ααξ，为此只需123,,αατ的坐标线性无关．例如取31ξε=即可．再将123,,ααξ正交化．因21,αα已是正交组，正交化过程只需从第三个向量做起．令(3)(3)311223k k αααξ=++，算出(3)(3)3132121122(,)(,)20,(,)(,)5k k ξαξααααα=-==-=，即得3213525257εεεα-+=．13、设4维欧氏空间V 在基4321,,,εεεε下的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1100162102100101A ，已知V 中向量323312211,,εεαεεαεεα-=+=+=，V 的子空间1123(,,)V L ααα=．1) 试求1V 的一组标准正交基； 2) 设有1V 的线性变换σ，使112()(1σαα=+，212()(1(2σααα=-++-，313()2σαα=+请判明σ是不是1V 的正交变换或对称变换？解 1) 显然321,,ααα线性相关，其极大无关组21,αα即为1V 的一组基，将。

矩阵论练习题

练习一一﹑选择题1、对于()212,x x R ∀∈，下列变换是2R 上的线性变换的是 ( D )．(A) ()()21212,,T x x x x =； (B) ()()21212,,T x x x x =；(C) ()()1212,,0T x x x x =； (D) ()()1212,,T x x x x =-. 2、设()(),A B λλ为两个n 阶λ-矩阵，则 ( D ).(A) 若()A λ满秩，则()A λ必可逆； (B) ()A λ可逆当且仅当()0A λ≠；(C) 若()A λ与()B λ秩相等，则()A λ与()B λ等价；(D) 若()A λ与()B λ等价，则()A λ与()B λ具有相同的不变因子. 3、设()n n ij A a C ⨯=∈，则下列不能构成矩阵范数的是( A )．(A) ,max ij i ja ； (B) ,max ij i jn a ⋅； (C) 1max nij ij a =∑； (D) 1max nij j i a =∑.4、设n n A C ⨯∈，H A 为A 的共轭转置矩阵，()A ρ为A 的谱半径，A 为A 的范数，则下列说法不正确的是( C )．(A)()[]()kk A A ρρ=； (B) ()()H H A A AA ρρ=；(C) 若()1A ρ<，必有E A -可逆； (D) 若A 为收敛矩阵，必有()1A ρ<. 5、设V 为酉空间，C λ∈，,V αβ∈且(),αβ为α与β的內积，则下列说法不正确的是( B )．(A) ()(),,λαβλαβ=； (B) ()(),,αλβλαβ=； (C) ()()(),,,αβγαβαγ+=+； (D) ()()(),,,βγαβαγα+=+.二﹑填空题1、已知100231120012233002A -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则A 的LDU 分解为 .2、设sin ()2cost t t te A t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则0()x A t dt ⎰=21cos 1sin x x x xe e xx ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.3、设矩阵2242t tt At tt t e te te e te e te ⎡⎤-=⎢⎥-+⎣⎦ ，则矩阵A =1143-⎛⎫⎪-⎝⎭.4、矩阵100110111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 相对于矩阵范数∞ 的条件数为 6 .5、设11122122⎛⎫=⎪⎝⎭x x X x x ，(),A a b =，则()d AX dX =0000a a b b ⎛⎫⎪⎝⎭. 6、已知101112003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则543258884A A A A A E -+-+- =001102002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.7、已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=987654321A ，则A 的正奇异值的个数为 2 .三、计算题已知 1(1,3,2,1)T α=-，2(1,0,0,2)T α=，1(0,1,1,3)T β=，2(3,2,1,6)T β=--，且112{,}V span αα=，212{,}V span ββ=，求12V V +与12V V 的基和维数. 解：因为1212{,}V V span αα+=+12{,}span ββ=1212{,,,}span ααββ而12121103100130120102(,,,)2011001112360000ααββ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换由于121,,ααβ是向量组1212,,,ααββ的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为121,,ααβ且21212βααβ=--. 由行最简形知12dim()2,dim()2,V V ==又121212dim()dim dim dim()V V V V V V +=+- 故12dim()1V V =311100222110201236001212A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由21212βααβ=--得()12121223,3,2,3TV V ξααββ=-=+=--∈所以()3,3,2,3T--为12V V 的一组基。

矩阵理论试卷集锦

2. 设 n阶方阵 A的最小多项式为 λ λ 2, λ , λ , … , λ 3. 设A 4. 矩阵 A 1 0 0
全不为 0, 则 dim R A
= ; . LL ，下三角矩阵
1 0 0 1 0 1 1 1 1 2 1 2
∞ ∑ n=1
).
).
B n , 则 eCt 的 Jordan 标准形
1
三 . 计算题与证明题 (11-14 题每题 15 分 , 15 题 10 分, 共 70 分 ) 11. 设 U = {(x, y, z, w)T ∈ R4 | x + y + z + w = 0}, W = {(x, y, z, w)T ∈ R4 | x − y + z − w = 0} 是通常欧氏空间 R4 的两个子空间 . 设 I 是 R4 上的恒等变换. ∩ ∩ (1) 求 U 与 U W 的正交补 (U W )⊥ 的各一组标准正交基; (2) 试求出 R4 上的所有正交变换 σ 使得线性变换 I − σ 的核 Ker(I − σ ) = U .
(3)设b
(4) 设 σ 是线性空间 R 上的正交投影变换 , 且满足 σ 的像空间 Im σ 五. 设矩阵A 1 1 1 2 2 1 2 1 . 2 R A ,试求σ在标准基e , e , e , e 下的矩阵.
(1)求矩阵A的 Jordan 标准形J; (2) 试求一个可对角化矩阵 D和一个幂零矩阵 N ,且DN A D N. ND, 使得
随矩阵列空间的维数为( ) A. 0 B. 1 C. n D. 不能确定
2. 设是 n 维线性空间上的线性变换,适合下列条件的与其它三个不同的是( A. σ是单映射 C. σ是一一对应 ) B. dim Im σ D. σ适合条件σ n 0

矩阵理论期末复习题

1、非齐次微分方程组()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=T x t F AX dt dx1,0)0(的解：其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3553A ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0t e t F2、设nn CA ⨯∈，则对任何矩阵范数∙，都有A A ≤)(ρ。

3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100012A ，求Ate 。

4、设nn CA ⨯∈，且1)(<A ρ，求级数∑∞=0m mA的和。

5、求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=502613803A 的约当标准形。

6、求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=031251233A 的最小多项式)(λm 。

7、讨论kk kk⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∞=128160的敛散性。

8、线性变换的秩与零度的定义，秩与零度之间的关系 9、已知m nm R b R A ∈∈⨯,，对于矛盾线性方程组b Ax =，使得22)(b Ax x f -=为最小的向量)0(x 称为最小二乘解，试导出最小二乘解所满足的方程组。

1.设实数域上的多项式空间3[]P t 中的多项式230123()f t a a t a t a t =+++在线性变换T 下的像为2301122330()()()()()Tf t a a a a t a a t a a t =-+-+-+-，求线性变换T 的值域和核空间的基与维数。

2.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=032100010A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2010A ，求A e 。

3.求矩阵1141⎛⎫= ⎪⎝⎭A 的谱分解。

4.求微分方程组112212313214221tdx x x dt dx x x dt dx x x e dt ⎧=-++⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=++-⎪⎩和1132123313383625dx x x dt dxx x x dt dx x x dt ⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=--⎪⎩满足初始条件123(0)1,(0)1,(0)1x x x ===-的解。

5.证明矩阵nn CA ⨯∈的幂序列}{)(m A 收敛于0的充分必要条件是()1A ρ<。

矩阵论复习题综合

1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ⋅=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为k x x k =⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为),(112211y x y x y x y x +++=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为)2)1(,(2121x k k kx kx x k -+=⊗ 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim .4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,)}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='=证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有j i i T +=)( j i j T -=2)(1)确定T 在基},{j i 下的矩阵;2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵; 2)求T 的零空间和像空间的维数.7.设线性空间3R 的两个基为(I):321,,x x x , (II):321,,y y y , 由基(I)到基(II)的过度矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=101010101C , 3R 上的线性变换T 满足21321)32(y y x x x T +=++ 12323(24)T x x x y y ++=+31321)43(y y x x x T +=++ 1)求T 在基(II)下的矩阵; 2)求)(1y T 在基(I)下的坐标. 8.在线性空间)(3R P 中321)(x x x a x f +++= 3221)(x x ax x f +++= 32321)(x x x x f +++=讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性.9.在22R ⨯中求由基(I) 12101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 20122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 32112A -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41312A ⎛⎫= ⎪⎝⎭到基(II) 11210B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 21111B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 32211B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41101B --⎛⎫= ⎪⎝⎭的过渡矩阵.10.已知 1(1,2,1,0)α= 2(2,1,0,1)α=- 1(1,1,1,1)β=- 2(1,1,3,7)β=- 设1212(,)(,)V L L ααββ=⋂, 求线性空间V 的维数和基. 11.在)(2R P 中, 对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为⎰=1)()())(),((dx x g x f x g x f若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram -正交化方法,求)(2R P 的一组正交基.12.（1）设x 和y 是Eucild 空间V 的非零元,它们的夹角是θ,试证明θcos ||||||||2||||||||||||222y x y x y x ⋅-+=-12.（2）求矩阵10002i A i +⎛⎫= ⎪⎝⎭的奇异值分解.13.设A 为n 阶实矩阵,证明A 可表示为一对称矩阵和一反对称矩阵之和. (提示:若A A T =,称A 为对称矩阵。

矩阵论复习题带答案1

矩阵论复习题1设A 、B 均为n 阶正规矩阵，试证A 与B 酉相似的充分必要条件是A 与B 的特征值相同。

证明: 充分性：A 与B 的特征值相同，A 、B 均为n 阶正规矩阵，则有11,A P IP B Q IQ --== 故11111,,A P QIQ P R Q P R P Q -----==令= A 与B 酉相似必要性:A,B 为n 阶正规矩阵，存在初等变换R,1A RBR -=11,,,I E PQ A P IP B Q EQ --==为对角矩阵，存在初等变换111,I PAP E QRAR Q ---== ，因为I,E 为对角矩阵，故I=E 。

因此A 与B 的特征值相同。

#2 作出下列矩阵的奇异值分解10(1)A 0111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦011(2)A 200-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (1)632- 6 3 2101263011,130 2 6 311206333T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 2221 2 2,131222 2 2TC A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应故263 2 6 32210263 2 203 2 6 3220063 2 20 33HA ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2) 2010,240401T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应， 0040012201-1,2-400- 2 20-11022- 2 2T C A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 0101022200A 001 2202022022H⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.求下列矩阵A 的满秩分解123002111021A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭112211001230010,021110102111001230010,021101100001001230=010021-11-11L L A L L L A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦故4 设A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，证明：若B A ≥且BA AB =，则33B A ≥.证明：由于A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，且BA AB =，则AB 与BA 均为n 阶Hermite 正定矩阵。

南航双语矩阵论第四章习题答案2016年版.pdf

Exercise 14
Prove that there do not exist n n matrices A and B such that AB BA I . Proof Let A (aij ) and B (bij ) . tr ( AB) aij b ji , tr ( BA) bij a ji .
T AT (c1u1u1 c2u2uT 2
, cn and that u i is an
cnunuT n)
T T c ( u nu ) n n
T T T T c1 (u 1u (u 2 u ) 1) c 2 2
T c1u1u1 c2u2uT 2
cnunuT n A
Exercise 6
Let Q be a unitary or orthogonal matrix. (a) Show that if is an eigenvalue of Q, then 1 (b) Show that |det(Q)|=1. Proof (a) Let x be an eigenvector of Q corresponding to
Hence, u i is an eigenvector belonging to ci for each i.
Exercise 13
Let A and B be n n matrices. Show that (a) If is a nonzero eigenvalue of AB, then it is also an eigenvalue of BA. (b) If 0 is an eigenvalue of AB, then 0 is also an eigenvalue of BA. Proof (a) If is a nonzero eigenvalue of AB, then there is a nonzero vector x such that ABx x . From ABx x , we see that Bx 0 . Since BA( Bx) Bx , we obtain that Bx 0 is an eigenvector of BA corresponding to the eigenvalue . Hence, is also an eigenvalue of BA. (b) If 0 is an eigenvalue of AB, then det( AB) 0 . Hence, det( BA) det( AB) 0 . Thus, 0 is an eigenvalue of BA.

第二章-矩阵(历年真题+答案)

A (a1 , a2 , a3 ) ，若矩阵 B (a1 a2 ,2a2 , a3 ) ，则 B
A.0 B. a
C. 2a D. 3a
【解析】答案：C 【选择】【201604】【2 分】4.若向量 a1 , a2 ,, as 可由向量组 1 , 2 , , t 线性表出，则
【计算】【201610】【9 分】
A11 【解析】 A A12 A13
*
A21 A22 A23
A31 A32 ;A11=0, A12=0, A13=-1, A21=0, A22=-1, A23=-2, A31= A33
-1, A32=2, A33=-1.
AC CB ，其中
【解析】
（提示：A3=CB（C-1C）B（C-1C）BC-1=CBEBEBC-1=CB3C-1；计算的 B3=B）【计算】【201604】【9 分】18.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 1 列与第 2 列互换得到矩阵
B ，再将 B 的第 2 列加到第 3 列得到单位矩阵 E ，求矩阵 A . 【解析】
0 0 1 0 0 1 A* 1 -1 所以 A 0 1 2 , A 1 0, 所以 A 存在且 A = 0 1 -2 。 A 1 2 1 1 -2 1
*
【计算】【201610】【9 分】 18.设 A 为三阶矩阵，将 A 第一行的 2 倍加到第 3 行得到矩阵 B，再将 B 第 2 列与第 3 列互换得到单位矩阵 E，求矩阵 A. 【解析】：由题设可知，存在初等矩阵
1 1 1 【计算】【201410】【9 分】18.设矩阵 A 1 1 0 ,且矩阵 X 满足 AX E A3 X , 0 1 1

矩阵论试题(整理)(完整版)实用资料

矩阵论试题(整理)（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）矩阵论试题（06，12）一.(18分填空：设1.A-B的Jordan标准形为J=2.是否可将A看作线性空间V2中某两个基之间的过渡矩阵（）。

3.是否可将B看作欧式空间V2中某个基的度量矩阵。

（）4.（），其中。

5.若常数k使得kA为收敛矩阵，则k应满足的条件是（）。

6.AB的全体特征值是（）。

7.（）。

8.B的两个不同秩的{1}-逆为。

二.(10分设,对于矩阵的2-范数和F-范数，定义实数，（任意）验证是中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。

三.(15分已知。

1.求；2.用矩阵函数方法求微分方程满足初始条件x(0的解。

四.(10分用Householder变换求矩阵的QR分解。

五.（10分）用Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值。

（要求画图表示）六.(15分已知。

1.求A的满秩分解；2.求A+；3.用广义逆矩阵方法判断线性方程组Ax=b是否有解；4.求线性方程组Ax=b的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x0。

（要求指出所求的是哪种解）七.(15分已知欧式空间R22的子空间R22中的内积为V中的线性变换为T(X=XP+XT, 任意XV，1.给出子空间V的一个标准正交基；2.验证T是V中的对称变换；3.求V的一个标准正交基，使T在该基下的矩阵为对角矩阵.八.(7分设线性空间V n的线性变换T在基下的矩阵为A，T e表示V n的单位变换，证明：存在x00，使得T(x0=(T e-T(x0的充要条件是为A的特征值.矩阵论试题（07，12）一.(18分填空：1.矩阵的Jordan标准形为J=2.设则3.若A是正交矩阵，则cos(A=4.设，A+是A的Moore-Penrose逆，则(-2A, A+=5.设，则AB+I2I3的全体特征值是（）。

6.设向量空间R2按照某种内积构成欧式空间，它的两组基为和且与的内积为则基的度量矩阵为（）。

矩阵论深刻复知识题第二章

第二章内积空间一、基本要求1、掌握欧氏空间和酉空间的定义与性质，掌握Hermite 矩阵的定义，理解欧氏(酉)空间中度量的概念．2、掌握线性无关组的Schmidt 正交化与对角化方法，理解标准正交基的性质．3、理解Hermite 二次型的定义．4、掌握在一组基下的度量矩阵的概念，标准正交基下度量矩阵的性质及两组标准正交基下的度量矩阵的关系．5、了解欧氏子空间的定义．6、掌握正交矩阵与酉矩阵的定义与性质，理解正交(酉)变换与正交(酉)矩阵的关系．7、掌握对称矩阵与Hermite 矩阵的定义与性质，理解对称(Hermite) 变换与对称(Hermite) 矩阵的关系．8 、掌握矩阵可对角化的条件，会求一个正交( 酉)矩阵把实对称(Hermite) 矩阵化为对角形矩阵，会求一组标准正交基使线性变换在该基下对应的矩阵是对角形矩阵．二、基本内容1、内积空间设数域F上的线性空间V n(F)，若V n(F)中任意两个向量，都有一个确定的数与之对应，记为( , ) ，且满足下列三个条件⑴对称性：(，)(，)，其中(，)表示对数(，)取共轭;称V n (C)为酉空间.H A (a ”)m n ? B (b ij )m n , (A, B) tr(A B)i 1在实多项式空间P n ［x ］及［a,b ］上连续函数空间C ［a,b ］中，函数f(x),g(x) 的内积为b(f(x),g(x)) a f(x)g(x)dx2、向量的长度、夹角、正交性定义| | V (-)，称为的长度，长度为 1的向量称为单位向量,/I 是的单位向量.长度有三个性质：(1) 非负性：I I 0，且(，)00 ；(2) 齐次性：|k | k|| ,k 表示数k 的绝对值； (3) 三角不等式:线性性:k 2 2, )k 1 ( 1?) k 2(2?)；正定性: (,)0,当且仅当0 时，(,)则称(， )为向量与的内积.当FR 时，称V n (R)为欧氏空间；当F C 时,其中注意：在R 中, 通常的几个内积:(1) R n中，(，c n中,(X 1,X 2,,X n )T,,k ) k(,); nX i Y ii 1n ____X i y ii 1(力”2, 在C n 中，(,k)k(,,y n )T.R mn 中,n ___a ijb ij .定理（Cauchy-Schwarz 不等式）（,）与的夹角定义为arccos(,)当（，）0时，称与正交，记若非零向量组s两两正交，即（i jj) 0，称s是一个正交组；又若1,i 1,2,,s，则称s为标准正交组，即(i, j)1,i0,ij,j.定理（勾股定理）)0,即3、标准正交基标准正交基指欧氏（酉）空间中由两两正交的单位向量构成的基.构造方法：对欧氏（酉）空间的一个基进行Schmidt正交化可得正交基，再对正交基进行单位化可得标准正交基.把线性无关向量s正交化为s正交向量组:2,3,,s.再把i单位化：i i,i 1,2,,s，则,s为标准正交组.在标准正交组1, 2, ,n下，向量可表为:X1 1 X2 2 X n n (,1)1 2)2 坐标X i （ , i ）表示在i上的投影长度.4、基的度量矩阵度量矩阵是以欧氏(酉)空间的基中第i个元素与第j个元素的内积为i行j列元素构成的方阵.设欧氏(酉)空间V的一个基为x「X2, , X n，令a j (x「X j)(i,j 1,2, ,n),则该基的度量矩阵为A (a ij)nn •基的度量矩阵是实对称(Hermite)正定矩阵，它的阶数等于欧氏(酉)空间的维数，正交基的度量矩阵是对角矩阵，标准正交基的度量矩阵是单位矩阵.设酉空间V的一个基为x1,x2, , x n，该基的度量矩阵为A , x, y V在该基下的坐标(列向量)分别为与，那么x与y的内积(x, y) T A •当V为欧氏空间时，(x,y) T A•当此基为标准正交基，酉空间V的x与y的内积(x, y) T，欧氏空间V的x与y 的内积(x, y) T•设欧氏空间V n的两个基分别为(I )X i,X2, ,X n和(n ) y i , y2, , y n，且由基(i )改变为基(n )的过渡矩阵为c,基(I)的度量矩阵为A，基(n)的度量矩阵为B，则有：(1)B C T AC •(2)基(I )是标准正交基的充要条件是 A I •(3)若基(i)与基(n)都是标准正交基，则C是正交矩阵.(4)若基(i)(或(n))是标准正交基，C是正交矩阵，则基(n)(或基(i))是标准正交基.5、正交变换与对称变换(i )关于正交变换，下面四种说法等价：1)T是欧氏空间V n的正交变换，即对于任意的x V n，有(Tx,Tx) (x,x) ；2)对于任意的x, y V n，有(Tx,Ty) (x, y)；3)T在V n的标准正交基下的矩阵为正交矩阵；4)T将V n的标准正交基变换为标准正交基.(ii )关于对称变换，下面两种说法等价：1)T是欧氏空间V n的对称变换，即对于任意的x, y V n，有(Tx, y) (x,Ty);2)T在V n的标准正交基下的矩阵为对称矩阵.(iii)若T是欧氏空间V n的对称变换，则T在V n的某个标准正交基下的矩阵为对角矩阵.(i v )在欧氏空间V n中，若正交变换T的特征值都是实数，则T是对称变换.6、相似矩阵(1)A C nn相似于上(下)三角矩阵.(2)A C n n相似于Jordan 标准形矩阵.(3)A C n n酉相似于上三角矩阵.(4)设 A C n n，则A H A AA H的充要条件是存在酉矩阵P ，使得P H AP (对角矩阵).(5)设A C n n的特征值都是实数，则A T A AA T的充要条件是存在正交矩阵Q ，使得Q T AQ .(6)实对称矩阵正交相似于对角矩阵.三、典型例题例1、在R n中,设(1, 2, , n), ( 1, 2, , n)，分别定义实数(，)如下:')2；ni)( j)；j 1判断它们是否为R n中与的内积.(k ,n((ki 1i)2i2)12知，当k 0且（，0 时，（k 积.(2)取(1, ,0) 0 ,故该实数不是R n中与的内积.例2、R n中，向量组nk(i 1i2) k（,）0,k( ）.故该实数不是R n中n线性无关的充要条件是与的内l) l) 2)2)n)n)l) 2)n) 证方法一设An），则(i，j) A TA A T A A2 0n线性无关.(x1 1 X2 2 X n n , i )0,i 1,2, ,n , 即X1( 1, 1)Xn (1,n) 0,X1( 2, 1) X n( 2 ,n) 0,X1( n, 1) X n( n ,n) 0,齐次方程组仅有零解的充要条件是系数矩阵的行列式(i, j) 0,即1, 2, , n线性无关.例3、设欧氏空间P[t]3中的内积为1(f,g) 1 f (t)g(t)dt(1)求基i,t,t2的度量矩阵.⑵ 采用矩阵乘法形式计算f(t) 1 t t2与g(t) 1 4t 5t2的内积.解(1)设基1,t,t2的度量矩阵为A @訂3 3，根据内积定义计算a0(i j)an (1,1) 1dt12 ,a12 (1,t)1tdt 01一2、12 .2 1 2 2a13 (1,t ) t2dt13，a22 (t,t) t2dt13，21 a23 (t,t ) t3dt1 0 ,a33 (t2,t 2) 1t4dt125 .由度量矩阵的对称性可得a j a ji (i j) ，于是有2 0 2 3A 0 2 3 0 .2 3 0 2 5(2) f(t)和g(t)在基1,t,t 2下的坐标分别为(1,1,1)T, (1, 4, 5)T，那么2 02 31(f,g) T A(1, 1,1) 0 2 3 0 4 0 .2 3 0 2 5 5例4、欧氏空间P[t]3中的多项式f (t)和g(t)的内积为1(f, g) 1 f(t)g(t)dt ,取f i(t) t，记子空间W L(f i(t))・(1)求W T的一个正交基；(2)将W T分解为两个正交的非零子空间的和.解⑴设g(t) k o k i t kf W T，则有(f i,g) 0,即1 12，1 f i (t)g (t)dt 1 t(k o k1t k2t )dt 0也就是k1 0 .于是可得W T{g(t)g(t) k o k2t2,k o,k2 R}.取W T的一个基为1,t2，并进行正交化可得g1(t) 1,2 (t2,gj~t2g2(t) t- g1那么，g1（t）,g2（t）是W T的正交基.⑵令V1 L(g1(t))M L(g2(t))，则« 与5 正交，且W T« J .例5、已知欧氏空间V2的基治,X2的度量矩阵为采用合同变换方法求V2的一个标准正交基（用已知基表示）.解因为A对称正定，所以存在正交矩阵Q，使得Q T AQ（对角矩阵），计算得1 0 1 1 10 9 , Q 2 1 1 ,113 1C Q—,3^2 3 1则有C T AC E .于是，由（y1,y2）（X1,X2）C可得V2的一个标准正交基为设,V nn nX i i ,y j j ，i 1j 1则(nn,)(X i i , y jj)i 1 j 1(T( ),T( nn))(XT( i ),y j T(i 1j 1n nn nX i y j ( i , j )，i 1 j 1n nj))約」仃(i ),T( j ))i 1 j 1例6、在欧氏空间中，定义与的距离为：d(,) ，试问：保持距离不变的变换是否为正交变换？答不一定，例如R 2中向量的平移变换：(x,y) R 2,T(x,y) (x 1, y 1)，i(X i , y i ),2区皿)R 2,T( i )(X i 1,y i1),T( 2) (X 2 ly 1)，d(T( i ),T( 2)) T( 1) T( 2) J(x i X 2)2 (y i y ?)2| 1 2d( 1, 2).虽然保持距离不变，但平移变换不是线性变换，更不是正交变换.例7、设i , 2,, n 与1, 2, , n 是门维欧氏空间两个线性无关的向量组,证明存在正交变换T ，使T( i ) i ,i 1,2, ,n 的充要条件是(i, j) (i, j ), i, jh 2, , n-证必要性因为T 是正交变换：(T( i ),T( j )) ( i , j )，又已知T( i ) iy i,2(XiX 2), y 2312(XX 2) •故有(i , j ) ( i , j ) •充分性定义变换T ，使得T( i ) i一的•下证T 是正交变换•已知(i , j )1,2, ,n ，则T 是线性变换，且是唯 (i , j )，则有仃 i ,T j )( i , j )，w( i , j )-例8、设1, 2, 3是欧氏空间V3的一组标准正交基，求出V3的一个正交变换T ,使得1T( 1)—(2 1 2 2 3),31T( 2) -(2 1 2 2 3).3解设T( 3) X1 1 X2 2 X3 3，使得T( 1),T( 2),T( 3)是标准正交的，因T( 1),T( 2)已标准正交，则只要满足(T( 3),T( 1)) 0,(T( 3),T( 2)) 0,T( 3) 1，即2x1 2x2 x30,2X1 X2 2x3 0,x； x；x； 1.1解得X1 1.3,X2 2 3,X3 2 3 ，即T( 3) -( 1 2 2 2 3)，得3T( J,T( 2),T( 3)是标准正交基.因T把标准正交基变为标准正交基，故T是正交变换.另法设T( 3)的坐标为(X1,X2,X3)T，由2 3 X12 3(T( 1),T( 2),T( 3)) ( 1, 2, 3) 2 3 1 3 X2 ( 1, 2, 3)A1 323 X3T是正交变换A为正交阵•由A T A E，解得1x1 1 3 , x2 x3 2 3，则T(3) 3 ( 1 2 2 23)-—例9、设x o是欧氏空间V中的单位元素，定义变换T (x) x 2(x,X o)X o (x V)(1)验证T是线性变换；(2)验证T既是正交变换，又是对称变换;(3)验证x o是T的一个特征向量，并求其对应的特征值.证(1) 设x,y V ，k,l R，则有T(kx ly) (kx ly) 2(kx ly,x0)x0=k[x 2(x,x0)x0] l[y 2(y,x0)x0]= k(T(x)) l(T(y))，故T是线性变换.(2) 因为2(T(x),T(x)) (x,x) 4(x,x0)(x,x0) 4(x,x0) (x0,x0) (x,x)所以T是正交变换.设y V，则T(y) y 2(y,X o)x。

矩阵论复习题

矩阵论复习题矩阵论是数学的一个重要分支，在许多领域都有着广泛的应用，如工程、物理、计算机科学等。

以下是一些矩阵论的复习题，希望能帮助大家巩固所学知识。

一、矩阵的基本运算1、已知矩阵 A ＝ 1 2; 3 4，B ＝ 5 6; 7 8，求 A ＋ B，A B，A B。

2、计算矩阵 C ＝ 2 －1; 3 0 的逆矩阵。

3、设矩阵 D ＝ 1 0 0; 0 2 0; 0 0 3，求 D 的行列式。

二、矩阵的秩1、求矩阵 E ＝ 1 2 3; 2 4 6; 3 6 9 的秩。

2、已知矩阵 F 的秩为 2，且 F ＝ a b c; d e f; g h i，其中 a ＝ 1，b＝ 2，c ＝ 3，d ＝ 2，e ＝ 4，f ＝ 6，求 g，h，i 满足的条件。

三、线性方程组1、求解线性方程组：x ＋ 2y z ＝ 1，2x y ＋ 3z ＝ 2，3x ＋ y 2z＝ 3。

2、讨论线性方程组：x ＋ y ＋ z ＝ 1，2x ＋ 2y ＋ 2z ＝ 2，3x ＋3y ＋ 3z ＝ 3 的解的情况。

四、向量空间1、证明向量组 a1 ＝ 1 2 3，a2 ＝ 2 4 6，a3 ＝ 3 6 9 线性相关。

2、已知向量空间 V ＝｛（x, y, z) ｜ x ＋ y ＋ z ＝ 0}，求 V 的一组基和维数。

五、特征值与特征向量1、求矩阵 G ＝ 2 1; 1 2 的特征值和特征向量。

2、已知矩阵 H 的特征值为 1，2，3，对应的特征向量分别为 p1 ＝1 0，p2 ＝ 0 1，p3 ＝ 1 1，求矩阵 H。

六、相似矩阵1、判定矩阵 I ＝ 1 2; 0 3 和矩阵 J ＝ 3 0; 0 1 是否相似。

2、若矩阵 K 和矩阵 L 相似，且矩阵 K 的特征值为 2，3，矩阵 L 的特征值为 4，5，求矩阵 K 和矩阵 L 之间的相似变换矩阵。

七、矩阵的分解1、对矩阵 M ＝ 4 2; 2 1 进行 LU 分解。

2、把矩阵 N ＝ 1 2 3; 2 4 6; 3 6 9 分解为 QR 分解。

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