【八年级】八年级数学上册42一次函数与正比例函数教案新版北师大版
八年级数学上册 4.2 一次函数与正比例函数教案 (新版)北师大版
课题：4.2一次函数与正比例函数教学目标：1．理解一次函数和正比例函数的概念；能根据所给条件写出简单的一次函数关系式；2．经历一般规律的探索过程，在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心；经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，发展学生的数学应用能力；3．体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣.教学重点与难点：重点：理解一次函数和正比例函数的概念.难点：能根据所给条件写出简单的一次函数关系式，发展学生的抽象思维能力.课前准备：多媒体课件．教学过程：一、创设情境，引入新课身边的数学：选择哪类收费方式？枣庄移动通信公司推出两种收费标准：A类收费标准：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计.B类收费标准：没有月租费，但通话费按0.25元/min计.1．写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式.2．如果每月平均通话时间为300min，你会选择哪类收费方式？处理方式：提示学生应分别写出A、B两类应缴费用与通话时间之间的关系式.对于问题2学生完成现在还有些难度，教师可只提出问题不做解释，从而引出本节课内容.设计意图：为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,这里采用了学生熟悉的情景即复习旧知识，又为学习新知识作好铺垫.【板书课题：4.2一次函数与正比例函数】二、自主探究，合作学习活动1：根据所给条件写出简单的一次函数关系式.（多媒体展示）1．某弹簧的自然长度为3cm,在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y 增加0.5cm.(1)计算所挂物体的质量分别为1kg 、2kg 、3kg 、4kg 、5kg 时的弹簧的长度,并填入下表:(2)你能写出y 与x 之间的关系式吗?处理方式：学生理解题意，填写表格，写出函数关系式，并进行展示答案。
教师巡视，指导学生解决问题，并对个别学生辅导.2．某辆汽车油箱中原有汽油60L,汽车每行驶50km 耗油6L. （1）完成下表:（2）你能写出耗油量y （L ）与汽车行驶路程x （km ）之间的关系式吗? （3）你能写出油箱剩余油量z （L ）与汽车行驶路程x （km ）之间的关系式吗? 处理方式：让学生独立思考理解题意，填写表格，并写出函数关系式，小组交流后选代表分享收获.教师巡视学生解决问题情况，并对个别学生指导.设计意图：从弹簧的长度、汽车油箱中的耗油量这些实际问题情景出发,使学生亲身参与探索发现，主动的获取知识和技能，并通过对一般规律的探索过程,从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.活动2：一次函数的概念.（多媒体展示）请同学们仔细观察这几个关系式：30.5y x =+、325y x =，36025z x =-，它们都有什么共同点？处理方式：积极观察，小组交流，寻找共同点，并在教师的点拨下归纳一次函数的概念. 2．一次函数与正比例函数之间有什么关系？ 处理方式：积极讨论，明晰联系与区别，代表发言.设计意图：从具体问题的函数关系式出发，恰当地设疑立障, 引导学生互相讨论,大胆猜想,勇于探索,鼓励学生积极思维,总结出一次函数的定义，从而提高学生的分析问题、解决问题、总结归纳的能力.一般地,若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y ＝kx ＋b (k ,b 为常数,k ≠0)的形式,则称y 是x 的一次函数(x 是自变量). 特别地，当b =0时，称y 是x 的正比例函数，即表示为 y =kx (k 为常数，k ≠0)的形式.活动3：小试身手（多媒体展示）1.在函数(1)3y x=，(2)5y x =-，(3)4y x =-，(4)223y x x =-，(5)y =(6)12y x =-中是一次函数的是_______,是正比例函数的是_______. 2.若函数(63)44y m x n =++-是关于x 一次函数,则m ，n 应满足的条件是_______；若是正比例函数，则m ，n 应满足的条件是_______.3．当k =_______时，函数28(3)5ky k x-=+-是关于x 的一次函数.处理方式：学生积极主动的解题，完成后进行代表讲解，校正答案.教师巡视学生的做题情况，对个别学习辅导；并对学生的讲解及时点评、鼓励，强调一次函数与正比例函数的概念的理解.尤其强调第（3）题的讲评,学生易忘记k +3≠0的条件,而错误的将答案写成±3.设计意图：通过此环节，了解学生对知识的掌握情况和对知识的应用能力，以便查缺补漏，也使以后师生互动具有针对性.三、范例解析，深化提高例1 写出下列各题中y 与x 之间的关系式,并判断:y 是否为x 的一次函数?是否为正比例函数? （多媒体展示）(1)汽车以60km /h 的速度匀速行驶,行驶路程y (km)与行驶时间x (h)之间的关系； (2)圆的面积y (cm²)与它的半径x ( cm)之间的关系；(3)某水池有水15m³,现打开进水管进水，进水速度为5m³ /h，x h 后这个水池内有水为y m³.处理方式：认真分析题意，列出函数表达式，通过小组交流讨论，学生口答，师生共同评析.例2：我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人某月收入3860元，他应缴个人工资、薪金所得税为（3860-3500）×3%=10.8（元）.（1）当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴纳个人工资、薪金所得税y （元）与月收入x （元）之间的关系式；（2）某人月收入为4160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？（3）如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金收入是多少元？处理方式：学生认真分析题意，列出函数表达式，解答问题，然后小组交流讨论，学生展示答案，进行讲评.教师巡视学生的做题情况，对个别学习辅导；并对学生的讲解及时点评、鼓励. 在例2中的(1)中,易错解为y=3%x.让学生应仔细审题，找准等量关系；(2)、(3)两问是给定自变量的值，求函数数值，这类问题的实质就是解方程.设计意图：通过丰富的现实背景的例题,进一步理解一次函数和正比例函数的概念,根据所给的条件写出简单的一次函数的表达式,让学生体会数学的广泛应用,发展学生的抽象思维能力.四、学以致用，我能我行1．某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米时，花费为y元.y是x的一次函数吗?是正比例函数吗？2．甲、乙两地相距100千米，现有一列火车从乙地出发，以80千米/时的速度向丙地行驶.设x（时）表示火车行驶的时间，y（千米）表示火车与甲地的距离，`试写出y与x 之间的关系式子.处理方式：两名学生板演完成，其余同学自主完成.教师巡视学生的答题情况，然后对学生的讲解及时点评、鼓励.设计意图：培养学生运用数学知识解决问题的能力，并从中体验到成功的欣慰与快乐.五、归纳总结，知识沉淀师：这节课大家通过自己的努力和小组的合作，相信每个同学都有所收获．整理一下本节课的所学，写下来。
八年级数学上册4.3一次函数的图象第1课时正比例函数的图象和性质教学设计 (新版北师大版)
八年级数学上册4.3一次函数的图象第1课时正比例函数的图象和性质教学设计（新版北师大版）一. 教材分析《八年级数学上册4.3一次函数的图象》这一节，主要介绍了一次函数的图象和性质。
其中，正比例函数是特殊的一次函数，它的图象是一条通过原点的直线。
本节内容是学生学习一次函数的基础，对于学生理解和掌握一次函数的图象和性质，以及后续学习其他类型的函数具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了代数基础知识，对于函数的概念有一定的理解。
但是，对于函数的图象和性质，特别是正比例函数的图象和性质，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作，观察和分析正比例函数的图象和性质，从而加深对一次函数的理解。
三. 教学目标1.理解正比例函数的图象是一条通过原点的直线。
2.掌握正比例函数的性质，即当x增大或减小时，y的值也按比例增大或减小。
3.能够通过观察图象，分析正比例函数的性质。
四. 教学重难点1.重难点：正比例函数的图象和性质。
2.难点：如何引导学生通过观察图象，分析正比例函数的性质。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察和操作，发现正比例函数的图象和性质。
同时，结合小组合作学习，让学生在讨论中加深对一次函数的理解。
六. 教学准备1.准备正比例函数的图象和性质的相关教学材料。
2.准备计算机和投影仪，用于展示图象和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出正比例函数的概念，并提出问题：“正比例函数的图象是什么样的？”2.呈现（10分钟）利用计算机和投影仪，展示正比例函数的图象，并引导学生观察和分析。
3.操练（10分钟）让学生分组进行实际操作，通过改变x的值，观察y的变化，从而深入理解正比例函数的性质。
4.巩固（5分钟）通过一些练习题，让学生巩固对正比例函数图象和性质的理解。
5.拓展（5分钟）引导学生思考：除了正比例函数，还有其他类型的函数图象和性质是什么？6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，强调正比例函数的图象是一条通过原点的直线，性质是当x增大或减小时，y的值也按比例增大或减小。
八年级数学上册 4.2 一次函数与正比例函数教案 (新版)北师大版
课题：一次函数与正比例函数●教学目标：知识与技能目标：1、经历一次函数概念的抽象过程，体会模型思想，发展符合意义2、理解正比例函数和一次函数的概念，能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式过程与方法目标1、经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。
2、通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。
情感与态度目标1、通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。
2、经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力●重点：将实际问题用一次函数表示●难点：能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力.●教学流程：一、课前回顾1.函数一般的，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应的就确定一个y值，那么我们称y是x的函数.2、函数的表示法：①图象法、②列表法、③解析式法（关系式法）二、情境引入探究1：某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.(1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度,并填入下表:(2)你能写出x 与y 之间的关系式吗? 答案 (1) 3、3.5、4、4.5、5、5.5 ； (2) 30.5y x =+.探究2：某辆汽车油箱有汽油100L,汽车每行驶50km 耗油9L. (1)完成下表:(2)你能写出x 与y 之间的关系式吗?(3)汽车行驶的路程x 可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量y 呢? 答案 (1) 100、91、82、73、64、46；(2) x 与y 之间的关系式为 1000.18y x =-；(3) 汽车行驶路程x 不可能无限增大,因为汽油只有100L,每行驶50km 耗油9L,行驶560km 后,油箱就没有油了,所以x 不会超过560km.y 代表油箱剩余油量,所以y 应该小于100但不能小于零.思考：这些函数的形式都是自变量x 的k 倍与一个常数的和.归纳：一次函数的定义一般地,若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y kx b =+(,k b 为常数,k ≠0)的形式,则称y 是x 的一次函数(x 是自变量,y 为因变量).特别地,当0b =时,则y 是x 的正比例函数.注意：1. k≠02.x的次数为13．常数k可以取任意实数当b=0时，y=kx+b就变成了y=kx，则称y是x的正比例函数，正比例函数是一种特殊的一次函数练习1：1、下列语句中,具有正比例函数关系的是( C ).A.长方形花坛的面积不变, 长y与宽x之间的关系;B.正方形的周长不变, 边长x与面积S之间的关系;C.三角形的一条边不变, 这条边上的高h与S之间的关系;D.圆的面积为S , 半径为r , S 与r之间的关系.2、下列说法正确的是（ D）A.一次函数是正比例函数.B.正比例函数不是一次函数.C.不是正比例函数就不是一次函数.D.正比例函数是一次函数.3、当m= _1或0__ 时，函数y=x m+4x-5（x≠0）是一个一次函数。
最新北师大版八年级数学上册《一次函数与正比例函数》教学设计(精品教案)
最新北师大版八年级数学上册《一次函数与正比例函数》教学设计(精品教案)1.探究：引导学生观察生活中的实例，探究变量之间的关系，初步感受函数的概念。
2.归纳：通过多个实例，引导学生总结一次函数和正比例函数的概念和特点。
3.巩固和反馈：通过练和讨论，巩固学生的知识点，及时反馈学生的问题和疑惑。
2.研究方法：学生需要积极参与探究和讨论，注重归纳总结，勤于练和思考，及时反馈自己的问题和困惑。
五、教学内容分析本节课的主要内容是一次函数和正比例函数的概念和特点，以及如何根据已知条件写出简单的一次函数表达式。
教学重点是理解一次函数和正比例函数的概念，教学难点是能根据所给条件写出简单的一次函数表达式，需要发展学生的抽象思维能力。
六、教学过程设计1.引入新知识：通过一些实例引导学生思考变量之间的关系，初步感受函数的概念。
2.讲解一次函数和正比例函数的概念和特点，引导学生总结归纳。
3.演示如何根据已知条件写出简单的一次函数表达式，让学生进行练。
4.讨论和解决学生的问题和疑惑，及时给予反馈。
5.巩固练：让学生通过实例练，巩固所学知识。
6.总结归纳：让学生总结一次函数和正比例函数的概念和特点，及如何根据已知条件写出简单的一次函数表达式。
七、教学资源准备教师需要准备课件、实例、练题等教学资源，以及黑板、白板、笔等教学工具。
八、教学评估方法教师可以通过学生的课堂表现、练成绩、小组讨论等方式进行评估，及时发现学生的问题和困惑，做好及时反馈和指导。
同时，教师可以通过课后作业和考试等方式进行综合评估。
教学过程设计本节课设计了七个环节：复引入、新课讲述、巩固练、知识提高、反馈练、课堂小结和布置作业。
复引入在这个环节，教师提出了三个问题，分别是什么是函数、函数有哪些表示方式和在现实生活中有哪些问题可以归结为函数问题。
这个环节的意图是为了激发学生的求知欲望，吸引同学们的注意力，采用了“复旧知识，诱导新内容”的引入方法。
问题(1)(2)复上节课的内容，问题(3)是让学生把所学知识运用于实际生活，提高学生的运用意识。
北师大版八年级上册数学 4.2 一次函数与正比例函数 优秀教案
4．2一次函数与正比例函数1．掌握一次函数的概念，能根据条件写出一次函数的关系式；(重点)2．掌握正比例函数的概念．(重点)一、情境导入生活中，我们常常见到各式各样的钟表．时钟的秒针每旋转一圈，表示时间过了1min；旋转两圈，表示时间过了2min……那么，秒针走过的圈数与经过的时间之间的关系如何表示呢？二、合作探究探究点一：一次函数与正比例函数【类型一】一次函数与正比例函数的识别下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？(1)y＝－x－4; (2)y＝5x2－6；(3)y＝2πx; (4)y＝－x2；(5)y＝1x；(6)y＝8x2＋x(1－8x)．解析：首先看每个函数的表达式能否变形转化为y＝kx＋b(k≠0，k、b是常数)的形式，如果x的次数是1，则是一次函数，否则不是一次函数；在一次函数中，如果常数项b＝0，那么它是正比例函数．解：(1)是一次函数，(2)不是一次函数，(3)是一次函数，也是正比例函数；(4)是一次函数，也是正比例函数；(5)不是一次函数，也不是正比例函数；(6)是一次函数，也是正比例函数．方法总结：一个函数是一次函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零；判断一个函数是正比例函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．【类型二】根据一次函数与正比例函数的定义求字母的值已知函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1.(1)若它是一次函数，求m的值；(2)若它是正比例函数，求m的值．解析：(1)要使函数是一次函数，根据一次函数的定义x的指数m2－24＝1，且一次项系数m－5≠0；(2)要使函数是正比例函数，除了满足上述条件外，还需加上m＋1＝0这个条件．解：(1)因为y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，所以m2－24＝1且m－5≠0，所以m＝±5且m≠5，所以m＝－5.所以当m＝－5时，函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数．(2)因为y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，所以m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0.所以m＝±5且m≠5且m＝－1，则这样的m不存在，所以函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1不可能为正比例函数．方法总结：函数是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1.当b＝0时，一次函数为正比例函数．探究点二：一次函数关系式的确定某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用以生产甲、乙两种产品，生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：煤的价格为400元/吨，生产1吨甲产品除需原料费用外，还需其他费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，乙产品每吨售价5500元．现将该矿石原料全部用完，设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元．(1)写出m与x的关系式；(2)写出y与x的函数关系式．(不要求写自变量的取值范围)解析：(1)因为矿石的总量一定，当生产的甲产品的数量x变化时，那么乙产品的产量m将随之变化，m和x是动态变化的两个量；(2)题目中的等量关系为总利润y＝甲产品的利润＋乙产品的利润．解：(1)因为4m＋10x＝300，所以m＝150－5x2.(2)生产1吨甲产品获利为4600－10×200－4×400－400＝600(元)；生产1吨乙产品获利为5500－4×200－8×400－500＝1000(元)．所以y＝600x＋1000m.将m＝150－5x2代入，得y＝600x＋1000×150－5x2，即y＝－1900x＋75000.方法总结：根据条件求一次函数的关系式时，要找准题中所给的等量关系，然后求解．三、板书设计一次函数⎩⎪⎨⎪⎧一次函数的概念正比例函数的概念函数关系式的确定经历一般规律的探索过程，培养学生的抽象思维能力，经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，提升学生的数学应用能力．体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣．使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心．。
最新北师大版八年级数学上册《一次函数与正比例函数》教学设计(精品教案)
一次函数第四章一次函数与正比例函数2．4 一、学生起点分析在七年级下期学生已经探索了变量之间关系，在此基础上，本章前一节继续通过对变量关系的考察，让学生初步体会函数的概念，能判断两变量之间的关系是否可看作函数。
本节课进一步研究其中最简单的一种函数——一次函数。
由于有前面内容的铺垫，学生已经会建立变量之间的关系，可能有部分学生表述上还不太规范，在教学中，教师要注意纠正学生的一些错误习惯，如将解析式写成等，培养学生良好的书写习惯。
二、教学任务分析八年级《一次函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书个课时：让学生1第六章《一次函数》的第二节。
本节内容安排了)上(理解一次函数和正比例函数的概念，能根据已知信息写出简单的一次并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。
函数表达式，与原传统教材相比，新教材更注重借助生活中的实际背景，让学生经历一般规律的探究过程来理解一次函数和正比例函数的概念；同时，新教材调整了知识的安排顺序，原来教材正比例函数在一次函数前面，而新教材是将正比例函数作为一次函数特殊情况给出来的。
三、教学目标分析）结合具体情境体会一次函1依据新课程标准中一次函数中关于（制定。
）58（参见例能根据已知条件确定一次函数的表达式数的意义，教学目标：．教学目标：1理解一次函数和正比例函数的概念；(1) 能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。
(2) 知识目标：2. 经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；(1)经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，发展学生的数学(2) 应用能力。
能力目标3. (1)体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣。
在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心。
(2) 。
依据新课程标准制定教学重点2 理解一次函数和正比例函数的概念。
依据学情制定教学难点3发展学生的抽象思,能根据所给条件写出简单的一次函数表达式维能力。
八年级数学北师大版上册 第4章《4.2 一次函数与正比例函数》教学设计 教案
《一次函数与正比例函数》教案一、教材分析（一）教材的地位和作用《一次函数与正比例函数》八年级上册第四章第二节的内容，一次函数是初中阶段研究的较为简单、应用较为广泛的函数，它的研究方法具有一般性和代表性，为后面的二次函数、反比例函数的学习都奠定了基础。
同时，在整个初中阶段，一元一次方程、一元一次不等式都存在于一次函数中。
三者相互依存，紧密联系，也为方程、不等式、函数解法的补充提供了新的途径。
（二）教学目标知识与技能目标：(1)理解一次函数和正比例函数的概念；(2)能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.过程与方法目标：（1）经历一次函数概念的抽象过程，体会模型思想，从实际问题中得到函数关系式，并感受它们之间的一种依存关系。
（2）能根据所给的实际生活背景，列出简单的一次函数关系式。
情感态度与价值观目标：通过具体问题的解决，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣.在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心.教学重点、难点：重点：从具体情境中列出相应的一次函数表达式，从而抽象出一次函数的概念。
难点：根据具体情境所给的信息确定一次函数的表达式二、教法与学法：在本节课的教学中我准备采用的教学方法主要是引导——自学交流的方式。
根据学生的理解能力和生理特征，一方面运用现实生活实例，引发学生的兴趣，使他们的注意力集中到解决现实生活问题上，另一方面通过学生小组合作交流、展示，尽可能充分发挥学生的主动性。
通过本节课的学习，使学生学会在独立思考的基础上与同伴进行交流、讨论，培养学生的合作意识，感受数学源于生活有应用于生活。
三、教学过程设计下面是我说课的重点，也就是教学过程的设计，整节课我共设为六个环节：第一个环节是复习回顾：1、什么叫函数：在某个变化过程中,有两个 x和y,如果给定一个x值,相应地就确定一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是 ,y是 .2、函数的三种表达方式有：、、。
3、已知一个长方形的面积为y,长为5，宽为x,则长方形的面积表示为y= . 设计意图：复习函数的概念及其表达方式。
《一次函数与正比例函数》示范课教学设计【数学八年级上册北师大】
第四章一次函数2 一次函数与正比例函数一、教学目标1.经历一次函数概念的抽象过程，理解正比例函数和一次函数的概念，体会模型思想，发展符号意识.2.能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系.3.能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式.4.能利用一次函数解决简单的实际问题.通过实例让学生经历思考，分析问题中量与量之间的关系，提高学生的归纳概括能力和辨别能力.二、教学重难点重点：掌握正比例函数和一次函数的概念.难点：能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计问题1：什么是函数？预设答案：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.追问：表示函数的方法一般有哪些呢？预设答案：表示函数的一般方法有：图象法、列表法和关系式法.教师活动：三种函数表示法可以互相转化.问题2：购买一些签字笔，单价3元，总价为y元，签字笔为x支，根据题意填表：(1)y随x变化的关系y= ，是自变量，是的函数；【探究】情景一：某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5 cm.(1) 计算所挂物体的质量分别为1 kg，2 kg，3 kg，4 kg，5 kg时弹簧的长度，并填入下表：预设答案：3；3.5；4；4.5；5；5.5(2)你能写出y与x之间的关系吗？当x=0时，y=3；当x=1时，y=3+1×0.5=3.5；当x=2时，y=3+2×0.5=4；当x=3时，y=3+3×0.5=4.5；...它们之间的数量关系是：弹簧长度=原长+增加的长度，因此，x与y之间的关系式为：y=3+0.5x 情景二：某辆汽车油箱中原有油60 L，汽车每行驶50 km耗油6 L.(1)填写下表：预设答案：0；6；12；18；24；36(2) 你能写出耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？预设答案：y=0.12x(3) 你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？预设答案：z=60–0.12x教师活动：上面的三个函数关系式，有什么共同点？y=3+0.5x y=0.12x z=60–0.12x共同特点：(1)都是含有两个变量x，y的等式；(2)x和y的指数都是一次；(3)自变量x的系数都不为0.【归纳】若两个变量x、y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数.特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.一次函数的结构特征：(1)k≠0；(2)x的次数是1；(3)常数项b可以为一切实数.一次函数与正比函数的关系：正比例函数是一种特殊的一次函数.(即当常数b=0时)【做一做】下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？(1)y=3πx；(2)y=8x–6；(3)y=1；x(4)y=2–8x；(5)y=5x2–4x+1；(6)y=8x2+x(1–8x).解：(1)是一次函数，也是正比例函数；(2)是一次函数，不是正比例函数；(3)不是一次函数，也不是正比例函数；(4)是一次函数，不是正比例函数；(5)不是一次函数，也不是正比例函数；(6)是一次函数，也是正比例函数；已知y–2与x成正比例，且当x=1时，y=7，求y与x之间的函数关系式，并求出当x=–2时，y的值.解：由y–2与x成正比例，设y–2=kx(k≠0)，因为当x=1时，y=7，所以7–2=k，得k=5，所以y与x之间的函数关系式为y=5x+2.当x=–2时，y=5×(–2)+2=–8，所以当x=–2时，y的值是–8.。
初中数学北师大八年级上册(2023年修订) 一次函数一次函数与正比例函数教案
一次函数与正比例函数一、教材分析《一次函数与正比例函数》是北师大版八年级上册第四章第二节的内容，在学生掌握了变量之间的关系、函数概念的基础上继续学习本节内容。
一次函数的研究方法具有一般性和代表性，为学习后面的反比例函数、二次函数奠定了基础，起着承上启下的作用。
二、学情分析认知基础：学生刚刚学习了函数的概念，在应用与理解时并不是很熟练、透彻，需要通过本节内容进一步加深巩固，对于规律性的问题，需进一步加强训练。
活动经验基础：在第一节函数的学习中，学生已经接触了较为丰富的生活实例，他们的参与意识和活动能力都很强，有一定的生活经验，因此在教学时，教师应结合学生的生活实际和认知状况，选择丰富的生活素材，启发学生从实例中归纳出一次函数的概念，加深理解，体会数学的广泛应用。
三、教学任务分析知识与技能目标(1)掌握一次函数和正比例函数的概念。
(2)能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式。
过程与方法目标(1)经历一次函数概念的抽象过程。
(2)体会模型思想，发展符号意识与数学应用能力。
情感与态度价值观目标（1）感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣。
（2）在探索过程中体验成功的喜悦，树立学生学习的自信心。
教学重点：掌握一次函数、正比例函数的概念；教学难点：能根据条件求出一次函数的关系式。
四、教法与学法分析说教学方法：针对八年级学生的年龄特点和本班的实际情况，遵循学生的认知规律，采用分组讨论法、引导发现法、讲练结合法为主的教法，让学生充分经历抽象一次函数模型的过程。
同时借助多媒体为辅进行演示、以增加课堂容量和教学的直观性。
学法指导：结合本节课的内容以及学生的心理特点，在学法上，引导学生采用自主探究与合作交流相结合的方法，让学生经历观察思考，交流讨论，归纳总结，以及将结论推广应用的过程。
五、教学过程分析（一）测1、下列关系式中，哪个不是表示y是x的函数（）A. y=2xB. y=x2C. y2 =xD. y=-2x+11、什么是函数？2、函数有哪些表达方式？（二）探情景1、某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x 每增加1kg,弹簧长度y 增加.(1)计算所挂物体的质量分别为1kg 、2kg 、3kg 、4kg 、5kg 时的弹簧长度,并填入下表:(2)你能写出x 与y 之间的关系式吗?(2)你能写出x 与y 之间的关系式吗?(3)你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗?（三）得学生观察三个函数关系式30.5y x ，y = ，z=60 的共同特征？①等式左右两边为整式②自变量前的系数k 是常数且不为0③x 的次数为1④常数项b 可以为一切实数总结：一般地,若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y=kx+b (k,b 为常数, k ≠0)的形式,则称y 是x 的一次函数(x 是自变量,y 为因变量).特别地,当b=0时,则y 是x 的正比例函数. 思考：一次函数与正比例函数的关系是什么?（四）辨练习：判断下列函数关系式中，一次函数是 ，正比例函数是 。
北师大版八年级上册第四章2一次函数与正比例函数教学设计
（三）学生小组讨论，500字
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组针对一个实际问题展开讨论。例如，小组讨论题目可以是：“某商店举行打折活动，原价为100元，打8折后的价格为多少？试用一次函数表示这个关系。”通过小组合作，让学生在实践中掌握一次函数的应用。
3.合作交流（15分钟）：
学生分组讨论，交流各自发现的一次函数与正比例函数的性质，教师点评，总结归纳。
4.知识讲解（15分钟）：
针对重点和难点，教师进行详细讲解，结合图像和实例，帮助学生深入理解一次函数与正比例函数的关系。
5.实践应用（20分钟）：
设计ห้องสมุดไป่ตู้际问题时，让学生独立解决，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
6.拓展延伸（10分钟）：
针对学有余力的学生，设计拓展性问题，培养学生的创新意识和解决问题的能力。
7.总结反思（5分钟）：
教师与学生共同总结本节课的学习内容，学生反思自己的学习过程，教师给予评价和反馈。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
在导入新课时，我将采用生活实例的方式，激发学生的兴趣和思考。首先，我会向学生提出一个简单的问题：“同学们，你们在生活中遇到过这样的问题吗？比如，坐出租车时，费用是如何计算的？在商店购物时，打折后的价格是如何得出的？”通过这个问题，让学生感受到数学与生活的紧密联系，引导他们思考这些实际问题背后的数学原理。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.知识重点：一次函数与正比例函数的概念、表达式、图像特点及其在实际问题中的应用。
北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教学设计
北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教学设计一. 教材分析《一次函数与正比例函数》是北师大版八年级数学上册第4章的内容，主要介绍了正比例函数和一次函数的定义、性质和应用。
本节课的内容是学生进一步学习函数的基础，对于学生理解函数的概念、掌握函数的性质、提高解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了比例和方程，对比例的概念和方程的解法有一定的了解。
但他们对函数的概念和性质还不够清晰，特别是对于函数图像的理解和应用。
因此，在教学过程中，需要引导学生将已有的知识与函数内容相结合，通过实例和练习让学生感受函数的意义和应用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解正比例函数和一次函数的定义，掌握它们的性质和图象特征，能运用一次函数和正比例函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例和问题，培养学生的观察、分析和解决问题的能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神，使学生感受数学与生活的密切联系。
四. 教学重难点1.重点：正比例函数和一次函数的定义、性质和图象特征。
2.难点：一次函数和正比例函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题情境，引导学生观察、分析和解决问题；通过案例教学，让学生感受数学与生活的联系；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关案例和问题，以便在教学中进行案例分析和问题讨论。
2.准备一次函数和正比例函数的图象和性质的PPT，以便进行讲解和展示。
3.准备一些练习题，以便进行课堂练习和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出函数的概念，例如：某商品的原价是100元，打8折后的价格是多少？让学生思考和讨论，引导学生认识到函数是数学建模的基础。
2.呈现（10分钟）介绍正比例函数和一次函数的定义、性质和图象特征，通过PPT展示相关图象，让学生直观地感受函数的性质。
北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》说课稿
北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》说课稿一. 教材分析《一次函数与正比例函数》这一节的内容，主要出现在北师大版八年级数学上册第4章第2节。
本节课的主要内容是让学生了解一次函数与正比例函数的定义、性质及其应用。
在教材中，通过丰富的实例，引导学生从实际问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系，进而探究其性质。
教材还提供了大量的练习题，以便学生巩固所学知识。
二. 学情分析在八年级的学生中，他们已经具备了一定的代数基础，对于图形的认识也有一定的了解。
但是，对于一次函数与正比例函数的定义、性质及其应用，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，引导他们从具体的问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系，并通过大量的练习，使学生能够熟练地运用所学知识解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生了解一次函数与正比例函数的定义、性质，能够运用一次函数与正比例函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例，引导学生从实际问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系，培养学生的抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极向上的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：一次函数与正比例函数的定义、性质。
2.教学难点：一次函数与正比例函数的图像特征，以及如何从实际问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的实例，如商品价格与数量的关系，引导学生思考如何用数学模型来描述这种关系。
2.新课导入：介绍一次函数与正比例函数的定义，并通过实例使学生理解一次函数与正比例函数的关系。
3.性质探究：引导学生通过观察、实验、总结等方法，探究一次函数与正比例函数的性质。
4.应用拓展：提供一些实际问题，让学生运用一次函数与正比例函数的知识解决问题。
八年级数学北师大版上册 第4章《4.2 一次函数与正比例函数》教学设计 教案
八年级的学生好奇、好动、好表现，应尽量让学生发表自己的想法。
因此本节课既要考虑学生的认知思维特点，也要积极关注学生的已有知识储备。
就现阶段的学生而言，已经掌握了两个变量的关系，能列出变量间的关系表达式，但是借助生活情境，正确将实际问题抽象为函数模型是有一定困难的，因此需要积极引导学生学习好的数学方法，进一步体会变量和函数之间的关系更多说课稿因此在教学过程中教师要充分借助具体情境来激发学生学习兴趣的同时设置问题来引发学生思考，类比观察、探究规律，巧妙地建立概念。
四、教学过程一、情境导入复习上节课学习的函数,教师提出问题:(1)什么是函数?(2)函数有哪些表示方式?(3)在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子呢? 意图：为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,这里采用了“复习旧知识,诱导新内容”的引入方法.问题(1)(2)复习上节课的内容,问题(3)是让学生把所学知识运用于实际生活,提高学生的运用意识。
二、探索过程（一）活动一某辆汽车油箱有汽油100L,汽车每行驶50km耗油9L.(1)完成下表:0 50 100 150 200 300汽车行驶路程x/km油箱剩余汽油量y/L(2)你能写出x与y之间的关系式吗?(3)汽车行驶的路程x可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量y呢?答案 (1) 100、91、82、73、64、46；(2) x与y之间的关系式为；kx b (,k b 为常数,当0b 时,则汽车油箱中的余油量从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.效果：从两个具体问题的函数表达式出发，互相讨论,教师在教学上恰当地设疑立障总结出一次函数的定义，3x ,(2)5x ,(3)4x ,(4)223x x , 2x (6)12y x 中是一次函数的是_____,是正比例函数的是意图：对本节知识进行巩固练习。
效果：学生基本能交好的独立完成练习题,收到了较好的教学效果。
北师大版八年级数学上册4.2一次函数与正比例函数(教案)
在小组讨论环节，学生们积极参与，提出了许多有创意的想法。我在这个过程中扮演了一个引导者的角色，适时地提出问题，引导他们进行深入思考。从成果分享来看，学生们对一次函数与正比例函数的理解有了明显提高。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数与正比例函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-举例：展示不同k值的正比例函数图像，说明k值对图像斜率的影响。
（3）一次函数与正比例函数在实际问题中的应用，如线性关系的数据分析、趋势预测等。
-举例：分析某商品销售额与时间的关系，利用一次函数进行趋势预测。
2.教学难点
（1）理解一次函数图像的斜率和截距的物理意义，以及如何从图像中读取这些信息。
-难点解析：学生可能难以将图像的几何特征与函数表达式中的参数联系起来，需要通过图示和实例来强化理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数与正比例函数的基本概念。一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k为斜率，b为截距；而正比例函数是特殊的一次函数，形如y=kx，它通过原点。这两个概念在描述现实世界的线性关系方面具有重要意义。
北师大版八年级上册第4.2一次函数与正比例函数(教案)
最后，课后我会对今天的课堂教学进行总结，找出不足之处，不断优化教学方法，以提高教学效果。同时，我也会关注学生们的反馈，了解他们在学习过程中的需求和困难，以便更好地调整教学内容和进度。
5.情感与价值观：通过数学知识在实际生活中的应用，让学生体会数学的价值，增强学习数学的兴趣和信心，培养积极向上的学习态度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-函数概念的理解：强调一次函数y=kx+b（k≠0）中，k和b的含义及其对图像的影响，确保学生理解函数表达式中每个参数的核心作用。
-图像与性质的关联：通过分析一次函数的图像，让学生掌握斜率k的正负与图像走势的关系，以及截距b在图像上的表现。
-正比例函数的特殊性：明确正比例函数是一次函数的特殊情况，即b=0的情况，理解其图像始终通过原点的特点。
-函数应用能力的培养：通过实际问题的引入，让学生学会将现实问题抽象为一次函数模型，并运用函数性质解决问题。
举例：讲解一次函数的应用时，可以引用实际案例，如“小明骑自行车旅行，速度恒定，时间为t小时，行程为s公里，建立s与t的函数关系”。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，用尺子和直角坐标系，让学生们手动绘制一次函数的图像。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一次函数的斜率k和截距b这两个重点。对于难点部分，我会通过案例和图像来帮助大家理解，比如斜率k如何影响图像的斜率和y值的变化。
北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教案
北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教案一. 教材分析《一次函数与正比例函数》是北师大版八年级数学上册第4章的内容，主要包括一次函数和正比例函数的定义、性质和图象。
这一部分内容是学生学习函数的基础，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了初中数学的一些基本概念和运算，对于图象和方程有一定的认识。
但是一次函数和正比例函数的概念和性质可能对学生来说较为抽象，需要通过具体例子和实际问题来帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.理解一次函数和正比例函数的定义和性质。
2.学会绘制一次函数和正比例函数的图象。
3.能够运用一次函数和正比例函数解决实际问题。
四. 教学重难点1.一次函数和正比例函数的定义和性质。
2.绘制一次函数和正比例函数的图象。
3.运用一次函数和正比例函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过实际问题和具体例子引导学生理解和掌握一次函数和正比例函数的概念和性质，通过绘制图象和解决实际问题来巩固知识。
六. 教学准备1.教学PPT或者黑板。
2.教学案例和实际问题。
3.绘图工具，如直尺、圆规等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一次函数和正比例函数的概念，例如：某商品的原价是100元，打8折后的价格是多少？引导学生思考如何用数学模型来解决这个问题。
2.呈现（15分钟）通过PPT或者黑板，呈现一次函数和正比例函数的定义和性质，结合实际例子进行解释和说明。
引导学生积极参与，提出问题和困惑。
3.操练（15分钟）让学生分组合作，通过绘制一次函数和正比例函数的图象来加深对概念和性质的理解。
可以给出一些具体的函数表达式，让学生根据性质来判断图象的形状和位置。
4.巩固（10分钟）通过解决一些实际问题，让学生运用一次函数和正比例函数的知识。
可以设置一些选择题、填空题或者解答题，检查学生对知识的掌握情况。
5.拓展（10分钟）引导学生思考一次函数和正比例函数的应用场景，例如：经济学中的成本和收益模型、物理学中的速度和时间模型等。
2019年秋北师大版八年级上册数学教案：4.2一次函数与正比例函数
一、教学内容
2019年秋北师大版八年级上册数学教案：4.2一次函数与正比例函数。本节内容主要包括以下两个方面：
1.一次函数的定义、图像及性质，以及其在实际问题中的应用。
-一次函数的一般形式：y =Fra bibliotekkx + b（k、b为常数，k≠0）；
此外，课后我也收到了一些学生的提问，这说明他们在课堂上可能没有完全消化所学知识。为了更好地解决这一问题，我计划在今后的教学中增加课堂小结和课后辅导环节，及时帮助学生巩固知识点，确保他们对一次函数与正比例函数的理解更加深入。
举例：通过实际例子，让学生理解正比例函数在实际问题中的应用。
（3）一次函数与正比例函数的应用：学会运用一次函数与正比例函数解决实际问题。
举例：设计一些实际应用题目，让学生动手操作，提高数学建模与数学应用能力。
2.教学难点
（1）一次函数图像的画法：对于一些学生来说，如何准确画出一次函数的图像可能会存在困难。
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的热情较高，这让我感到很欣慰。但同时，我也注意到有些小组在讨论过程中出现了偏离主题的现象。为了提高讨论的效率，我应该在活动前给出更明确的讨论要求和指导，确保学生们能够紧扣主题，深入探讨一次函数与正比例函数在实际生活中的应用。
在学生小组讨论环节，我发现学生们在分享成果时，表达能力和逻辑思维方面还有待提高。作为教师，我应该在日常教学中更多地给予学生锻炼的机会，如组织课堂辩论、讨论等活动，帮助他们提高表达和逻辑思维能力。
突破方法：引导学生通过观察斜率k和截距b的变化，理解图像的平移和斜率变化，从而掌握画图方法。
（2）斜率k和截距b的几何意义：理解斜率k和截距b在图像上的具体表现。
北师大版八年级上册数学 《一次函数与正比例函数》教案
课题：一次函数与正比例函数教学目标：1.在现实情景中体会和理解一次函数与正比例函数的概念，以及它们之间的关系.2. 根据实际问题写出正比例函数和一次函数的解析式.重点：理解一次函数与正比例函数的概念难点：能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力.教学流程：一、回顾复习1.函数一般的，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应的就确定一个y值，那么我们称y是x的函数.2、函数的表示法：①图象法、②列表法、③ 解析式法（关系式法）二、课堂研讨助学活动一：1.某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.(1)计算所挂物体的质量分别为0kg、1kg、2kg 3kg、4kg、5kg时的弹簧长度,并填入下表: x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm(2)你能写出x 与y 之间的关系式吗?答案 (1) 3、3.5、4、4.5、5、5.5 ；(2) 30.5y x .2.某辆汽车油箱有汽油60L,汽车每行驶50km 耗油6L.(1)完成下表:汽车行驶路程x/km0 50 100 150 200 300 油箱剩余汽油量y/L(2)你能写出x 与y 之间的关系式吗?答案 (1) 60、54、48、42、36、24；(2) x 与y 之间的关系式为 ； 思考：这些函数的形式都有怎样的共同特征？归纳：一次函数的定义一般地,若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y kx b (,k b 为常x 253-60y 剩余油量数,k ≠0)的形式,则称y 是x 的一次函数(x 是自变量,y 为因变量).特别地,当0b 时,则y 是x 的正比例函数.注意：1. k ≠02.x 的次数为1当b=0时，y=kx+b 就变成了y=kx ，则称y 是x 的正比例函数，正比例函数是一种特殊的一次函数练一练：1、在函数① y=-8x ② ③y=5x 2+6 ④y=5x-6 ⑤y=kx+b 中是一次函数的是 ,是正比例函数的是 .（填序号）活动二：写出下列各题中x 与y 之间的关系式,并判断:y 是否为x 的一次函数?是否为正比例函数?(1) 汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y (千米)与行驶时间x (时)之间的关系；由路程=速度×时间,得60y x ,y 是x 的一次函数,也是x 的正比例函数；(2) 圆的面积y (厘米2)与它的半径x (厘米)之间的关系； 由圆的面积公式,得2y x ,y 不是x 的一次函数,也不是x 的正比例函数；(3)某水池里有水15m 3 ，先打开进水管进水，进水水速为5m 3 /h ，x y 8x小时后，水池内有水ym3 .y = 5x+15，形如y=kx+b，所以y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.三、练习巩固1．一次函数 y=-x-4 中，k= ,b= .一次函数54+=xy中， k= ,b= .2.一次函数xy52-=中， k= ,b= .它也是函数。
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【关键字】八年级
第四章一次函数
4.2一次函数与正比率函数
教学目标
1.知识目标
1、理解一次函数和正比率函数的概念，以及它们之间的关系。
2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。
2.能力目标
1、经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。
2、通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。
教学重点
1、一次函数、正比率函数的概念及关系。
2、会根据已知信息写出一次函数的表达式。
教学过程
1、新课导入
有关函数问题在我们日常生活中随处可见，如弹簧秤有自然长度，在弹性限度内，随着所挂物体的重量的增加，弹簧的长度相应的会拉长，那么所挂物体的重量与弹簧的长度之间就存在某种关系，究竟是什么样的关系，请看：
某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克、弹簧长度y 增加0.5厘米。
（1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，
（2
分析：当不挂物体时，弹簧长度为3厘米，当挂1千克物体时，增加0.5厘米，总长度为3.5厘米，当增加1千克物体，即所挂物体为2千克时，弹簧又增加0.5厘米，总共增加1厘米，由此可见，所挂物体每增加1千克，弹簧就伸长0.5厘米，所挂物体为x千克，弹簧就伸长0.5x厘米，则弹簧总长为原长加伸长的长度，即y=3+0.5x。
2、做一做
某辆汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50千克耗油9升。
（1
你能写出x与y之间的关系吗？（y=100-0.18x或y=100-x）
3、一次函数，正比率函数的概念
上面的两个函数关系式为y=0.5x+3，y=100-0.18x，都是左边是因变量y，右边是含自变量x 的代数式。
并且自变量和因变量的指数都是一次。
若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
特别地，当b=0时，称y是x的正比率函数。
4、例题讲解
例1：下列函数中，y是x的一次函数的是（）
①y=x-6；②y=；③y=；④y=7-x
A、①②③
B、①③④
C、①②③④
D、②③④
例2：写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断，y是否为x的一次函数？是否为正比率函数？
①汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程中y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系式；
②圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；
③一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）
[（1）y=60x，y是x的一次函数，也是x的正比率函数；（2）y=πx2，y不是x的正比率函数，也不是x的一次函数；（3）y=50+2x，y是x的一次函数，但不是x的正比率函数]。
例3：我国现行个人工资薪金税征收办法规定：月收入低于800元但低于1300元的部分征收5%的所得税……如某人某月收入1160元，他应缴个人工资薪金所得税为（1160-800）×5%=18（元）
①当月收入大于800元而又小于1300元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式。
②某人某月收入为960元，他应缴所得税多少元？
③如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资薪金是多少元？
分析：（1）当月收入大于800元而小于1300元时，
y=0.05×(x-800)；
（2）当x=960时，y=0.05×(960-800)=8(元)；
（3）当x=1300时，y=0.05×(1300-800)=25（元），25>19.2，因此本月工资少于1300元，设此人本月工资是x元，则0.05×(x-800)=19.2，x=1184。
5、课堂练习
随堂练习
（1）解：y=2.2x，y是x的一次函数，也是x的正比率函数。
（2）解：y=100+8x，y是x有一次函数。
补充练习
1
根据上表写出y与x之间的关系式是：________________，y是否为x一的次函数？y是否为x有正比率函数？
2、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6米3时，水费按0.6元/米3收费；每户每月用水量超过6米3时，超过部分按1元/米3收费。
设每户每月用水量为x米3，应缴水费y元。
（1）写出每月用水量不超过6米3和超过6米3时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数。
（2）已知某户5月份的用水量为8米3，求该用户5月份的水费。
[①y=0.6x，y=x-2.4，y是x的一次函数。
②y=8-2.4=5.6（元）]
六、课后小节
1、一次函数、正比率函数的概念及关系。
2、能根据已知简单信息，写出一次函数的表达式。
七、课后作业
P 161习题6.2
教后感：经历利用一次函数探索一般规律解决实际问题, 通过由已知信息写一次函数表达式的过程，理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。
发展学生的数学应用能力及数学思维。
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