周期函数一般是指三角函数
三角函数的周期性
.
4
正弦函数的周期性
2. y=sin(ωx) 的最小正周期
设ω>0，y =sin(ωx)的最小正周期设为L . 按定义 y = sin ω(x+L) = sin(ωx+ ωL) = sin ωx . 令ωx = x' 则有 sin (x' + ωL) = sin x' 因为sinx最小正周期是2π，所以有
都是
2π
而对复合函数 f (sinx)的周期性，由具体问题确定.
.
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复合函数的周期性
1. 复合函数 f(sinx) 的周期性
【例题】 研究以下函数的周期性：
(1) 2 sinx ； (2) sin x
【解答】 (1)
2 sinx 的定义域为R，值域为
1 2
,
2
，作图可知，
它是最小正周期为2π的周期函数.
如 y sin3x π 的最小周期与 y = sin(3x)相同，都是 2 π
2
3
于是，余弦函数 ycox ssinπxsin xπ的最小正周期与
2 2
sinx的最小正周期相同，都是2π.
.
6
三角函数的单调性
二、复合函数的周期性
将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x→ ωx，sinx →sinωx
后者周期变为 2π ( 0)
而在以下的各种变换中，如
(1)初相变换 sin ωx → sin( ωx+φ)；
(2)振幅变换 sin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)；
(3)纵移变换 Asin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)+m；
三角函数的周期函数
如何求三角函数的周期三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期例1 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= , 32tan )2(x y =． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2． 解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π．∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π．(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 32tan )(32tanx T x =+成立，同时考虑到正切函数x y tan =的周期是π． 解：∵ )23(32tan )32tan(32tanππ+=+=x x x , 即32tan )23(32tan x x =+π． ∴ 函数32tan x y =的周期是π23． 注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值，如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 21； 2、”“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立．2、根据公式求周期对于函数B x A y ++=)sin(ϕω或B x A y ++=)cos(ϕω的周期公式是||2ωπ=T ， 对于函数B x A y ++=)tan(ϕω或B x y ++=)cot(ϕω的周期公式是||ωπ=T ． 例3 求函数)623sin(3π-=x y 的周期 解： 34232ππ==T ． 3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期例4 求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y1)62sin(21)2cos 212sin 23(2-+=-+=πx x x ∴ ππ==22T ． 例5 已知函数),3cos 3(sin 3sin)(x x x x f +=求周期 解：∵32sin 21)32cos 1(213cos 3sin 3sin )(2x x x x x x f +-=+= )432sin(2221)32cos 32(sin 2121π-+=-+=x x x ∴ ππ3322==T ． 4、遇到绝对值时，可利用公式 2||a a =, 化去绝对值符号再求周期例6 求函数 |cos |x y =的周期解：∵ 22cos 1cos |cos |2x x x y +=== ∴ ππ==22T ． 例7 求函数|cos ||sin |x x y +=的周期解：∵()x x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22+=+=+=+= )4cos 1(21124cos 11x x -+=-+= ∴ 函数|cos ||sin |x x y +=的最小正周期 242ππ==T ． 5、若函数)()()(21x f x f x f y k +++= ，且)(,),(),(21x f x f x f k ，都是周期函数，且最小正周期分别为k T T T ,,21，如果找到一个正常数T , 使k k T n T n T n T ==== 2211， (k n n n ,,,21 均为正整数且互质)，则T 就是)()()(21x f x f x f y k +++= 的最小正周期． 例8 求函数x x y 21cos sin +=的周期 解：∵ x sin 的最小正周期是π21=T ， x 21cos的最小正周期是π42=T ． ∴ 函数y 的周期2211T n T n T == ，把21T T ，代入得 21 4 2n n ππ=，即212n n =，因为21,n n 为正整数且互质， 所以 1 ,221==n n ．函数x x y 21cossin +=的周期ππ42211=⨯==T n T ． 例9 求函数x x y 43cos 32sin +=的周期 解： ∵ x 32s i n 的最小正周期是ππ33221==T ，x 43cos 的最小正周期是384322ππ==T ， 由2211T n T n =， 2138 3n n ππ= ，2189n n = (21,n n 为正整数且互质), 得 9 ,821==n n ．所以 函数x x y 43cos 32sin +=的周期是ππ243811=⨯==T n T ．函数的周期性--函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中"突然"出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。
高中物理中的三角函数
高中物理中的三角函数在高中物理学习中，三角函数是一个非常重要的数学工具。
在物理学中，许多现象和问题可以利用三角函数来描述和解决。
本文将介绍高中物理中三角函数的应用以及其中的重要性。
三角函数的基本概念三角函数是以角为自变量的周期函数，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
在物理学中，这些函数经常出现在波的描述、振动、力的合成等问题中。
而角的正弦、余弦和正切值可以通过直角三角形的相关定义或者单位圆来理解。
三角函数在波的描述中的应用波是物理学中普遍存在的现象，光波、声波等都可以用三角函数进行描述。
例如，正弦函数可以用来表示光波的强度随时间的变化，余弦函数可以描述声波的压强变化。
通过三角函数的运算，可以推导出波长、频率、波速等重要参数，从而更好地理解和分析波动现象。
三角函数在振动问题中的应用振动是物理学中一种常见的运动形式，例如弹簧振子、单摆等系统都可以用三角函数描述振动的性质。
正弦函数和余弦函数可以描述振动的位移随时间的变化，而正切函数则可以描述振动的相位关系。
通过三角函数的运算，可以计算振幅、频率、角速度等振动参数，帮助分析振动系统的行为。
三角函数在力的合成中的应用在物理学中，力的合成是一种常见的分析方法，通过合成各个力的分量来求解物体所受合力的大小和方向。
三角函数可以帮助我们将分解的力合成为一个力向量，从而计算合力的大小和方向。
利用三角函数的性质，可以简化力的合成问题，并加深对力学原理的理解。
通过以上介绍，我们可以看到三角函数在高中物理学习中的重要性和应用广泛性。
掌握三角函数的基本概念和运用技巧，不仅可以帮助我们更好地理解和解决物理学中的问题，还可以为我们打下数学和物理学习的坚实基础。
希望大家能够认真学习三角函数知识，提升物理学习的水平和能力。
函数的周期性解读
函数的周期性一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = x α 无周期性，指数函数 y = a x 无周期性，对数函数 y =log a x 无周期，一次函数 y = kx +b 、二次函数 y = ax 2+bx +c 、三次函数 y = ax 3+bx 2 + cx +d 也无周期性.周期性是三角函数独有的特性.1、正弦函数 y =sin x 的最小正周期在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP . 正弦函数的周期性动点P 每旋转一周，正弦线MP 的即时位置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P 的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数y =sin x 的最小正周期2π.2、y =sin （ωx ）的最小正周期设ω>0，y =sin （ωx ）的最小正周期设为L .按定义 y = sin ω（x +L ） = sin （ωx + ωL ） = sin ωx . 令ωx = x ' 则有 sin （x ' + ωL ） = sin x ' 因为sin x 最小正周期是2π，所以有ωωπ2π2=⇒=L L例如 sin2x 的最小正周期为π2π2= sin2x 的最小正周期为π421π2=3、正弦函数 y =sin （ωx +φ） 的周期性对正弦函数sin x 的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx +φ）. 它的最小正周期与y = sin ωx 的最小正周期相同，都是ωπ2=L .如⎪⎭⎫⎝⎛+=2π3sin x y 的最小周期与 y = sin （3x ）相同，都是3π2.于是，余弦函数⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2πsin 2πsin cos x x x y 的最小正周期与sin x 的最小正周期相同，都是2π.二、复合函数的周期性将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x →ωx ，sin x →sin ωx后者周期变为)0(π2>ωω而在以下的各种变换中，如（1）初相变换sin ωx → si n （ ωx +φ）；（2）振幅变换sin （ωx +φ）→ A sin （ ωx +φ）；（3）纵移变换 A si n （ ωx +φ） → A si n （ ωx +φ）+m ；后者周期都不变，亦即 A si n （ ωx +φ） +m 与si n （ωx ）的周期相同，都是ωπ2.而对复合函数 f （sin x ）的周期性，由具体问题确定.1、复合函数 f （sin x ） 的周期性 【例题】 研究以下函数的周期性： （1）2 sin x ； （2）x sin（2）x sin 的定义域为［2k π，2k π+π］，值域为［0，1］，作图可知， 它是最小正周期为2π的周期函数.【解答】 （1）2sin x 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2 ,21，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数. 【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a x ，sin x ，xsin 1， sin （sin x ）都是最小正周期2π的周期函数.2、y = sin 3 x 的周期性对于y = sin 3x =(sin x )3，L =2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.3、y = sin 2 x 的周期性对于y = sin 2x = (sin x )2，L =2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 2x 的最小正周期为π，不是2π.4、sin 2n x 和sin 2n -1 x 的周期性y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到. 因为 cos2x 的周期是π，故 sin 2x 的周期也是π.sin 2x 的周期，由cos x 的2π变为sin 2x 的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.因此，正弦函数sin x 的幂符合函数sin m x ，当m =2n 时，sin m x 的最小正周期为π；m = 2n –1时，sin m x 的最小正周期是2π.5、幂复合函数举例【例1】 求 y =|sin x |的最小正周期.【解答】 x x y 2sin |sin |==最小正周期为π.【例2】 35)(sin x y =求的最小正周期.【解答】 5335)(sin )(sin x x =最小正周期为2π.【例3】 求52)(sin x y =的最小正周期.【解答】5252)(sin )(sin x x =最小正周期为π.【说明】 正弦函数sin x 的幂复合函数pq x )(sin . 当q 为奇数时，周期为2π；q 为偶数时，周期为π.三、周期函数的和函数两个周期函数，如 sin x 和 cos x ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 si nx + cos x 的最小正周期如何？)4πsin(2cos sin +=+x x x和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？1、函数 sin x + sin2 x 的周期性sin x 的最小正周期为2π，sin2x 的最小正周期是π，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下.表上看到函数sin x +sin2x 的最小正周期是2π.2、函数 sin x + sin2x 的周期性依据上表，作sin x +sin2x 的图像如右.从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由si nx ，sin2x 的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sin x +sin2x 仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.3、函数sin x +sin32x 的周期性 sin x 的最小正周期为2π，sin 32x 的最小正周期是3π. 它们之间的和sin x + sin 32x 的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？不妨按周期定义进行检验. 设2π0=x 则x 0 +3π=π32π+ 2312π32sin 2πsin 2π)(0+=⎪⎭⎫⎝⎛∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f )(23127π32sin 27πsin π32ππ)3(00x f f x f ≠+-=⎪⎭⎫⎝⎛∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+因此3π不是sin x + sin32x 的最小正周期.通过作图、直观看到，sin x +sin32x 的最小正周期为6π，即sin x 和sin 32x 最小正周期的最小倍数.四、周期函数在高考中三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当. 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合.正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性. 关系到正弦函数的试题，有2种形式. （1）直接考，求正弦函数的最小正周期.（2）间接考，考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间，求最值，简单方程的通解等.1、求正弦函数的周期【例1】 函数 y =|sin 2x|的最小正周期为 （A ）2π（B ）π （C ）2π （D ）4π 【解答】 2sin |2sin |2x x y == 最小正周期是2sinx最小正周期的一半，即2π. 答案为（C ） 【说明】 图象法判定最简便，|sin x |的图象是将sin x 的图象在x 轴下方部分折到x 轴上方去. 倍角法定判定最麻烦 x xy cos 212sin2-== 【解答】 （1）y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x 决定2、求正弦函数的周期【例2】 （1）y =2cos 2x +1的最小正周期为 .（2）y =|sin x + cos x |的最小正周期为 .【解答】 （1）y = 2cos 2x + 1的最小正周期由cos 2x 决定，故答案为π.（2）)(sin 2|)sin(|2|cos sin |2ϕϕ+=+=+x x x x 故答案为π.【说明】 )(sin cos 22ϕ+x x 都可看作sin x 的幂函数的复合函数.3、函数周期性应用于求值【例题】 f (x )是R 上的偶函数，且是最小正周期为π的周期函数.【解答】 ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛3π 3π 32π 35π f f f f 233πsin == 【说明】 周期性应用于区域转化. 将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值.若 时 f (x ) = si nx 试求 的值.4、函数周期性应用于求单调区间【例题】 x ∈R ，求函数 y =sin 2x + 3sin x cos x +2cos 2x 的单调增区间.【解答】 )2cos 1(2sin 2322cos 1x x x y +++-=23)6π2sin(232cos 212sin 23++=++=x x x 函数的最小正周期为π. 令 2π6π22π≤+≤-x 得 6π3π≤≤-x 因为函数周期为π，故函数的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6ππ ,3ππk k .【说明】 先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合.周期函数在高考中5、周期性应用于求函数零点【例题】 已知函数412sin 2cos sin cos sin )(2244--++=x x x x x x f .【解答】 41)cos sin 1(2cos sin 1412sin 2cos sin cos sin )(222244---=--++=x x x x x x x x x x fx x 2sin 4141412sin 4121+=-+=令 02s i n4141=+x 得 4π=x 故交点横坐标的值的集合为4π=x .【说明】 先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.五、高考史上的周期大难题高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年，即1980年的理科数学卷上.本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能预料. 后来分析，该题的难点有三 .（1）函数抽象，导致周期中含有参数；（2）求参数范围，与解不等式综合；（3）求最小正整数解，连命题人自拟的“标答”都含糊不清. 20多年来数学界质疑不断.【考题】设三角函数)3π5πsin()(+=k x f ，其中k ≠0.（1）写出 f (x )极大值M 、极小值m 与最小正周期;（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x )至少有一个值是M 与一个值是m .【解答】 （1） M =1，m = -1，k k T π10π25=⨯=.（2）f (x )在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m .而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f (x )至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使 f (x )的周期≤1即：k =32就是这样的最小正整数. .4.31 π10 ,1 π10 =≥≤k k六、高考史上的周期大错题中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数. 关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整“最小正周期”的系统研究.然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高. 2006年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果.【例题】 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A.2B.3C.4D.5【说明】 这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D ，即答案为5. 答案D 从何而来？以下，就是“D”的一种解法.【解答】 f (x )周期为3，由 f (2)=0，得 f (5) = f (2)=0，得 f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得 f (-4) = f (2-6) = f (2)=0f (x )为奇函数，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得 f (-0)= - f (0)，得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0于是，求得 f (x )=0的解为：1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D. 【讨论】 除了上述解法得 f (x )=0的5个解外，还有如下的解.根据方程 f (x )=0的定义， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，证明如下： 由 f (x )的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) （1） 由 f (x )的奇偶性，知 f (-1.5) = - f (1.5) （2） 从而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0.所以，1.5和4.5也是方程 f (x )=0的解.于是，方程的解共有7个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5. 【思考】 按上面讨论的结果，方程 f (x ) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D 是错的. 高考史上的周期大错题【实验检验】 f (x )同时满足4个条件：（1）定义在R 上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f (2) =0. 据此，我们找到 f (x )的一个具体例子：x x x f 3π4sin 3π2sin)(+= 并在区间（0，6）上找到 f (x )=0的7个解，列表如下：这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5.函数x x x f 3π4sin 3π2sin)(+=在一个周期［0，3］上的图像如右. 图像与 x 轴有5个交点，故在［0，6］有9个交点，从而在（0，6）上有7个交点.【反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实在地，本题较难，首先难倒了命题人自己.严格地讲，试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数，其最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，却没有理论依据. 而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个综合问题. 命题出错似乎是必然的.。
三角函数周期的几种求法.doc
三角函数周期的几种求法深圳市福田区皇岗中学蔡舒敏高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。
本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。
1.定义法：定义：一般地y=c,对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值吋，f (x+T) = f ( X )都成立，那么就把函数y = f (x)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数來说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。
下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小止周期。
例1.求函数y=3sin (-% + -)的周期3 3解:Vy=f (x) =3sin (-x+—) =3sin (-% + —+2^-)3 3 3 3=3sin (拿+ 2兀 +彳)=3sin[|(x + 3^) + |]二f (x+3兀)这就是说，当自变量由x增加到x+3龙,且必增加至!J x+3龙时,函数值重复出现。
二函数y=3sin (-x + —)的周期是T二3龙。
3 3例2：求f (x) =sin6x+cos6x 的周期解Tf (x+—) = sin b (x+—) + cos6 (x+—)2 2 2二cos h x +sir?x二f (x).•.f （x） =sin6x+cos6x 的周期为T= —2例3：求f （x）二血兀+血3兀的周期cosx + cos3x解：Vf （x+兀）二曲（只+兀）+血如+兀）COS（X + 7l） + COS（X + 71）_ -sinx-sin3x-cox - cos3x_ sinx + sin 3xcos x +cos 3^二f （x）■求f（X）二Siz + sin3兀的周期:T Fcos x +cos 3x2.公式法：（1）如果所求周期函数可化为y二Asin （亦+ ©）、y二Acos （亦+炉）、y = tg （亦 + 0 ）形成（其中X、co、cp为常数，且A H O、®>O、0W R）,则可知道它们的周期分别是：—> —> -Oco co co例4：求函数y=l-sinx+V3 cosx的周期解：Vy=l-2 （- sinx- —cosx）- 2 2= 1-2 （cos —sinx-sin— cosx）3 3= l-2sin （x-—）3这里0二1 ・••周期T二2龙例5：求：y=2 （— sinx--cos3x） -12 2解：Vy=2 （— sinx-—cos3x） -12 2=2sin (3x-— ) -16这里⑵二3 ・•・周期为T二弐3例6：求y二tg (1+—)的周期解：这里g二丸，・•.周期为：T=^-/ —=-5 5 3(2)如果f (x)是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinox、COSGX、tgcox的形式，再确定它的周期。
三角函数的图像和周期性
三角函数的图像和周期性三角函数是数学中的重要概念之一，它在许多领域中都有着广泛的应用。
本文将探讨三角函数的图像和周期性。
一、正弦函数的图像和周期性正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像呈现出连续的波动形态。
正弦函数的图像可以用一个周期内的变化来描述，其中一个周期是指正弦函数在一个完整波动周期内的变化情况。
正弦函数的图像在坐标平面上被表示为曲线，曲线穿过原点(0,0)，且以周期为2π重复。
在一个周期内，正弦函数的值在-1到1之间变化。
当自变量增加时，正弦函数的值从0开始逐渐增大，直到到达一个最大值，然后再逐渐减小直到达到一个最小值，接着又逐渐增大，如此循环。
二、余弦函数的图像和周期性余弦函数是三角函数中的另一个基本函数，它的图像也是连续波动的。
余弦函数的图像可以通过对应的正弦函数图像垂直平移π/2个单位而得到。
余弦函数的图像同样以周期为2π重复，且曲线在自变量为0处取得最大值1。
与正弦函数不同的是，余弦函数的图像在一个周期内的起点是1，而不是0。
自变量的增加会导致余弦函数的值先减小到一个最小值，然后再逐渐增大直到达到一个最大值，如此循环。
三、正切函数的图像和周期性正切函数是三角函数中的另一个重要函数，它的图像呈现出间断和无穷性的特点。
正切函数的图像可以通过对应的正弦函数和余弦函数的商来得到。
正切函数的图像在自变量为奇数个π/2时处于无穷大的位置，在自变量为偶数个π/2时则为零。
正切函数的图像在一个周期内重复，并在自变量为π/2的整数倍时出现间断。
四、周期性的意义三角函数的周期性在实际问题中具有重要意义。
许多物理现象和自然现象都具有周期性的特点，例如天体运动、声波振动等。
通过使用三角函数及其周期性特点，我们可以更好地描述和分析这些现象。
周期性也在工程和技术领域中有着广泛应用。
例如，交流电的变化可以用正弦函数来表示，而正弦函数的周期性特点则对电力系统的稳定性和传输效率具有重要影响。
在计算机图形学中，三角函数的图像和周期性特点也被广泛应用。
三角函数的单调性与周期知识点
三角函数的单调性与周期知识点三角函数是数学中一类重要的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
研究三角函数的单调性与周期是深入理解和应用三角函数的基础。
在本文中，我们将重点讨论三角函数的单调性与周期的相关知识点。
一、正弦函数的单调性与周期正弦函数是最常见的三角函数之一，可以表示周期性的波动现象。
正弦函数的标准形式为：f(x) = A*sin(Bx + C) + D，其中A、B、C和D 为常数。
1. 单调性：正弦函数的单调性与其幅值A有关。
当A>0时，正弦函数在每个周期内先上升后下降，即先递增后递减，如图1所示。
当A<0时，正弦函数在每个周期内先下降后上升，即先递减后递增，如图2所示。
插入图1和图22. 周期：正弦函数的周期与参数B有关。
正弦函数的周期为2π/B，其中B 为正数。
当B增大时，正弦函数的周期变短，波动速度加快；当B减小时，正弦函数的周期变长，波动速度减慢。
二、余弦函数的单调性与周期余弦函数也是常用的三角函数之一，可以表示周期性的波动现象。
余弦函数的标准形式为：f(x) = A*cos(Bx + C) + D，其中A、B、C和D为常数。
1. 单调性：余弦函数的单调性与其幅值A有关。
当A>0时，余弦函数在每个周期内先下降后上升，即先递减后递增，如图3所示。
当A<0时，余弦函数在每个周期内先上升后下降，即先递增后递减，如图4所示。
插入图3和图42. 周期：余弦函数的周期与参数B有关。
余弦函数的周期为2π/B，其中B 为正数。
当B增大时，余弦函数的周期变短，波动速度加快；当B减小时，余弦函数的周期变长，波动速度减慢。
三、正切函数的单调性与周期正切函数是三角函数中的一种特殊函数，可以表示角度的对称性关系。
正切函数的标准形式为：f(x) = A*tan(Bx + C) + D，其中A、B、C 和D为常数。
1. 单调性：正切函数在每个周期内都存在间断点，因此不存在严格的单调性。
三角函数的周期性
0 呢？？？
例2．求下列函数的周期：
练：（1）函数f (x)的周期为2，且f (1) 1,
则f (3) ？ (2)证明f (x) sin x cosx的一个周期是
2
2、最小正周期的定义 对于一个周期函数 f (x) 如果在它所
有的周期中存在一个最小的正数，
那么这个最小的正数就叫做 f (x)的
最小正周期。
说明： （1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别
思考：
（1）对于函数y sin x, x R,有sin( 2 ) sin ,
63
6
能否说 2 是y sin x的周期。
3
（2）函数y sin x, x R,是不是周期函数？
如果是，周期是多少？
（3）函数y f (x)的周期为T， 则kT(k Z)也是y f (x)的周期吗？为什么？
说明，一般都是指的最小正周期；
（2）【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？
例1．求下列函数周期：
（1） y 3cos x x R
（2） y sin 2x x R
（3） y 2sin(1 x )
26
xR
说明： 一般结论：函数 y Asin(x ) 及 函数 y Acos(x ) x R
那么函数 f (x)就叫做周期函数，
非零常数 T 叫做这个函数的周期。
说明： (1)T必须是常数，且不为零；
(2)对周期函数来说 f (x T ) f (x) 必须对定义域内的任意 x都成立。
；/ 独立游戏 独游侠
；
内容上：点明中心，升华主题,表达了作者对有良好教养的人的高度
函数的周期性
函数的周期性
一、正弦函数的周期
三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = xα 无周期性，指数函数 y = ax 无周期性，对数函数 y =logax 无周期，一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d 也无周期性. 周期性是三角函数独有的特性. 1、正弦函数 y=sin x 的最小正周期 在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段 MP. 正弦函数的周期性 动点 P 每旋转一周，正弦线 MP 的即时位置和变化方向重现一次. 同时还看到，当 P 的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化 方向不会重现. 因此，正弦函数 y=sinx 的最小正周期 2π. 2、y=sin（ωx）的最小正周期 设ω>0，y =sin（ωx）的最小正周期设为 L . 按定义 y = sin ω（x+L） = sin（ωx+ ωL） = sinωx . 令ωx = x' 则有 sin （x' + ωL） = sin x' 因为 sinx 最小正周期是 2π，所以有
sin 2
x 1 2 cos x 2
【解答】 （1）y = 2cos2x + 1 的最小正周期由 cos2x 决定 2、求正弦函数的周期 【例 2】 （1）y =2cos2x+1 的最小正周期为 . （2）y =|sinx + cosx|的最小正周期为 . 2 2 【解答】 （1）y = 2cos x + 1 的最小正周期由 cos x 决定，故答案为π. （2） | sin x cos x |
sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x 1 . 2 sin 2 x 4
三角函数的特殊值和周期性
三角函数的特殊值和周期性三角函数是数学中的一个重要分支，可以用于描述周期性和振荡现象，如波浪、振动、电信号等。
在学习三角函数时，需要掌握它们的特殊值和周期性，这对于解题和理解三角函数的性质非常关键。
一、正弦函数和余弦函数的特殊值正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数，在计算中常常需要用到它们的特殊值。
以下是正弦函数和余弦函数在0°、30°、45°、60°、90°这几个角度下的值：正弦函数的特殊值：sin(0°)=0, sin(30°)=1/2, sin(45°)=√2/2,sin(60°)=√3/2, sin(90°)=1余弦函数的特殊值：cos(0°)=1, cos(30°)=√3/2, cos(45°)=√2/2,cos(60°)=1/2, cos(90°)=0需要注意的是，在计算中所使用的函数值是弧度制下的值。
二、正切函数和余切函数的特殊值正切函数和余切函数在三角函数中也是非常重要的一类函数，它们和正弦函数、余弦函数的关系也非常密切。
以下是正切函数和余切函数在0°、30°、45°、60°、90°这几个角度下的值：正切函数的特殊值：tan(0°)=0, tan(30°)=1/√3, tan(45°)=1, tan(60°)=√3, tan(90°)不存在余切函数的特殊值：cot(0°)不存在, cot(30°)=√3, cot(45°)=1,cot(60°)=1/√3, cot(90°)=0三、三角函数的周期性三角函数的周期性是指函数呈现出一定的规律性，即在一定的区间内，函数的值不断变化，然而这种变化呈现出一定的规律性，与前一个周期内的变化情况相似。
三角函数的周期性
个“振动函数”，但振幅已经
不是常数了.
15
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
周期函数的和函数
2.
函数 sinx+sin
2 3
x 的周期性
sin x 的最小正周期为2π，sin 2 x的最小正周期是3π. 它们之间的
和sinx+sin x2的最小正周期也由3 “较大的”决定吗？即“和函
3
数”的周期为3π吗？
不妨按周期定义进行检验.
设x0
L2πL 2π
例如 sin 2x的最小正周期为 2 π π 2
sin x 的最小正周期为 2 π 4 π
2
1
5
2
正弦函数的周期性
3. 正弦函数 y=sin(ωx+ φ) 的周期性
对正弦函数sinx的自变量作“一次替代”后，成形式 y = sin(ωx+ φ)
它的最小正周期与 y = sin ω x 的最小正周期相同，都是 L 2 π
图上看到，y = sin2x 的最小正周期为π，不是2 π.
10
复合函数的周期性
4. sin2n x 和sin2n-1 x 的周期性
y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到.
ys in2x1co2sx 2
因为 cos2x 的周期是π，故 sin2x 的周期也是π. sin2x 的周期，由cosx 的2π变为sin2x的π.就是因为符号法“负负 得正”所致. 因此，正弦函数 sinx 的幂复合函数sin m x，当m=2n时，sin m x 的最小正周期为π；m = 2n – 1时，sin m x 的最小正周期是2 π.
【例题】 已知函数 f(x)si4nxco 4xssi2nxco 2xs1
周期函数怎么判断
周期函数怎么判断三角函数的周期根据公式：弦函数的2π/w，切函数的π/w（w为正）；一般的函数根据定义来判断，除了三角函数外，没有给出解析式的函数是周期的函数。
推知周期，常见的周期情况有f(x+T)=f(x)，周期为T，f(x+a)=-f(x)，周期为2a。
扩展资料周期函数的判定方法1、根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的`，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。
例：f(X)=cosx 是非周期函数。
2、一般用反证法证明。
(若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数)。
例：证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数。
证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T(≠0)，使true ，a(x+T)+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函数。
例：证f(X)= 是非周期函数。
证：假设f(X)是周期函数，则必存在T(≠0)对，有(x+T)= f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0，∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函数。
例：证f(X)=sinx2是非周期函数证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T(>0)，使之true，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ(K∈Z)，又取X= T有s in(T+T)2=sin(T)2=sin2kπ=0，∴(+1)2T2=Lπ(L∈Z+)，∴与3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。
三角函数的平移与周期
三角函数的平移与周期三角函数是数学中常见的一类函数，其中最常见的函数包括正弦函数和余弦函数。
本文将重点讨论三角函数的平移与周期性。
一、三角函数的平移在数学中，平移是指将函数沿横轴或纵轴方向移动。
对于三角函数而言，平移会导致函数图像在坐标平面上的位置发生改变。
下面将分别讨论正弦函数和余弦函数的平移。
1. 正弦函数的平移正弦函数可以表示为y = A*sin(Bx + C)，其中A、B和C分别代表振幅、角频率和初相位。
当C的值发生改变时，会导致正弦函数图像在横轴方向进行平移。
若C > 0，即初相位C为正数，正弦函数图像将向左平移C个单位；若C < 0，即初相位C为负数，正弦函数图像将向右平移|C|个单位。
2. 余弦函数的平移余弦函数可以表示为y = A*cos(Bx + C)，其中A、B和C分别代表振幅、角频率和初相位。
与正弦函数类似，当C的值改变时，余弦函数图像在横轴方向进行平移。
若C > 0，即初相位C为正数，余弦函数图像将向左平移C个单位；若C < 0，即初相位C为负数，余弦函数图像将向右平移|C|个单位。
二、三角函数的周期性周期是指函数图像在横轴上重复出现的最小距离。
对于三角函数而言，周期会影响函数图像的波长和重复性。
下面将分别讨论正弦函数和余弦函数的周期性。
1. 正弦函数的周期性正弦函数的一般形式为y = A*sin(Bx + C)，其中B代表角频率。
角频率B越大，正弦函数的周期越短，即图像的波长变小；角频率B越小，正弦函数的周期越长，即图像的波长变大。
正弦函数的周期可以表示为T = 2π/B，其中T代表周期。
2. 余弦函数的周期性余弦函数的一般形式为y = A*cos(Bx + C)，其中B代表角频率。
与正弦函数类似，角频率B越大，余弦函数的周期越短，波长变小；角频率B越小，余弦函数的周期越长，波长变大。
余弦函数的周期也可以表示为T = 2π/B，其中T代表周期。
结论在本文中，我们讨论了三角函数的平移与周期性。
高一数学必修四课件第章三角函数的周期性
研究三角函数周期性的意义
理解周期性现象
三角函数是描述周期性现象的重要数 学模型，研究其周期性有助于深入理 解这类现象的本质。
简化计算过程
拓展数学知识体系
三角函数周期性是数学分析、复变函 数等后续课程的基础内容之一，掌握 好这部分内容有助于后续课程的学习 。
利用三角函数的周期性，可以将复杂 的问题转化为简单的问题进行处理， 从而简化计算过程。
高一数学必修四课件第章三 角函数的周期性
汇报人：XX 2024-01-20
contents
目录
• 三角函数周期性概述 • 正弦函数与余弦函数的周期性 • 正切函数与余切函数的周期性 • 三角函数周期性的应用 • 三角函数周期性的拓展与延伸
01 三角函数周期性 概述
周期函数定义
周期函数的定义
对于函数$y = f(x)$，如果存在一个正数$T$，使得对于任意$x$都有$f(x + T) = f(x)$，则称$y = f(x)$为周期函数，$T$为它的周期。
相位差
正切函数和余切函数的图像之间存在相位差，即cot(x) = tan(π/2 - x)。这表明在相同的周期内，正切函数和余切 函数的图像可以通过平移相互转换。
周期性应用
由于正切函数和余切函数具有周期性，因此在实际应用中 可以利用这一性质解决一些与周期性相关的问题，如波动 、振动等。
04 三角函数周期性 的应用
期性的关系。
利用三角函数周期性建立振动和 波动问题的数学模型，进行定量
计算。
在信号处理中的应用
将信号分解为不同频 率的正弦波或余弦波 ，实现信号的频谱分 析。
通过三角函数周期性 对信号进行滤波、降 噪等处理，提高信号 质量。
三角函数周期的三种求法
三角函数周期的三种求法作者：刘志军来源：《中学生数理化·教与学》2011年第07期职业高中数学（基础模块）上册第五章第三节中涉及函数周期的问题，学生往往对解决此类问题感到比较困难，而近年来职高对口升学又经常涉及三角函数周期的问题.本文结合职业高中学生知识水平的实际，总结了三角函数周期的三种求法.1．定义法周期函数的定义：一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，有ｆ（ｘ＋T）＝ｆ（ｘ）都成立，就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期.以后我们说到三角函数的周期，一般指的都是三角函数的最小正周期.针对一些简单的三角函数问题，通过变形可以利用上面的定义求得三角函数的周期.例1 求函数y=2sin（2x+π3）的周期.解：∵y=f（x）=2sin(2x+π3)=2sin（2x+π3+2π）=2sin（2x+2π+π3）=2sin［2(x+π)+π3］=f（x+π）.这就是说，当自变量由ｘ增加到x+π，且至少增加到x+π时，函数值重复出现.∴函数y=2sin（2x+π3）的周期T=π.点评：针对例1这种类型的问题我们可以推广到形如：y=Asin（）、y=Acos（）、ｙ＝tan（）（其中A、w、为常数，且A≠0、w＞0、∈R），这些函数都可以通过以上的变形求出周期，事实上这些函数的周期和三角函数中w的值有关.例2 求f（x）=sin3x+sin5xcos3x+cos5x的周期.解：∵f（x+π）=sin3(x+π)+sin5(x+π)cos3(x+π)+cos5(x+π)=-sin3x-sin5x-cos3x-cos5x=sin3x+sin5xcos3x+cos5x=f（x）.∴函数f（x）=sin3x+sin5xcos3x+cos5x的周期T=π.点评：类似例2的题目，可以结合三角函数的诱导公式变形而得.例3 求f（x）的周期.解：∵f（x+π2）（x+π2）（x+π2）（x）.∴f（x）的周期为T=π2.2．公式法（1）如果所求周期函数可化为y=Asin（）、y=Acos（）、ｙ＝tan（）的形式（其中A、w、为常数，且A≠0、w＞0、∈R），则可知道上述三个函数的周期分别是：2πw、2πw、πw.例4 求f（x）-的周期.解：∵f（x）--这里w=2.∴周期T=π.∴f（x）-的周期为T=π.3．最小公倍数法由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出其中每个函数的最小正周期，然后找出所有周期的最小公倍数.（１）分数的最小公倍数的求法是：各分数分子的最小公倍数÷各分数分母的最大公约数.（2）对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法.（3）本方法主要用于快速解决一些填空题或选择题，但本方法不能用作大题的解答过程.例5 求三角函数y=sin4x＋sin8x的周期.解：y=sin4x的周期是T=π2,y=sin8x的周期是T=π4.所以函数y=sin4x＋sin8x的最小正周期是π2和π4的最小公倍数π2.例6 求函数y=sinx+cos2x+sin4x的最小正周期.解：函数y=sinx的最小正周期是T=2π，cos2x的最小正周期是T=π，y=sin4x的最小正周期是T=π2.∵π2、π、2π的最小公倍数是2π，∴函数y=sinx+cos2x+sin4x的最小正周期为T＝2π.以上三种求三角函数周期的方法适用于不同的题目类型，用的最多的是公式法，而最小公倍数法则可快速解答填空题和选择题.只要多练习，我们在求三角函数周期时就能灵活运用这三种方法，逐步提高解题效率.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
周期函数怎么判断？
周期函数怎么判断？三角函数的周期根据公式：弦函数的2π/w，切函数的π/w（w为正）；一般的函数根据定义来判断，除了三角函数外，没有给出解析式的函数是周期的函数。
推知周期，常见的周期情况有f(x T)=f(x)，周期为T，f(x a)=-f(x)，周期为2a。
扩展资料周期函数的判定方法1、根据定义讨论函数的.周期性可知非零实数T在关系式f(X T)= f(X)中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。
例：f(X)=cosx 是非周期函数。
2、一般用反证法证明。
(若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数)。
例：证f(X)=ax b(a≠0)是非周期函数。
证：假设f(X)=ax b是周期函数，则存在T(≠0)，使true ，a(x T) b=ax b ax aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函数。
例：证f(X)= 是非周期函数。
证：假设f(X)是周期函数，则必存在T(≠0)对，有(x T)= f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x T≠0，∴f(x T)=1，∴f(x T) ≠f(X)与f(x T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函数。
例：证f(X)=sinx2是非周期函数证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T(>0)，使之true，有sin(x T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ(K∈Z)，又取X= T有sin(T T)2=sin(T)2=sin2kπ=0，∴( 1)2T2=Lπ(L∈Z )，∴与3 2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。
三角函数的周期性
(1)f ( x ) cos 2 x 解:设f ( x ) cos 2 x的周期为T . 则 f ( x T ) f ( x) 即 cos 2 x T cos 2 x cos 2 x 2T cos 2 x 令u 2 x，则 cos u 2T cos u 对任意实数u都成立， 又 y cos u的周期为2 ， 2T T 2 , 即T .
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10
5
o
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
t
解：(1)由图象可知，该函数的周期 为1.5s. (2)设h=f(t)， 由函数的周期为 1.5s,可知f(10)=f(1+6×1.5)=f(1)=20, 故t=10s时钟摆的高度为20mm.
应用
例2.求下列函数的周期 (1) f ( x ) cos 2 x , 1 (2) f ( x ) 2sin( x ), 2 6
注2： 对于一个周期函数f(x),如果在它所 有的周期中存在一个最小的正数，那么这 个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。
周期函数的图象具特征:
重复性
h 50
60
55
50
45
40
35
30
25
20 10
20
15
10
5
o
1
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3
4
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6
7
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9
1
2
3
t
结论1: 正弦函数和余弦函数都是周 期函数 2π是周期.
周期求法：
• 1.定义法： • 2.公式法： • 3.图象法: