正余弦函数的周期性

正余弦函数的周期性

【学习目标】

1.理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义。

2.掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并会求一些简单三角函数的周期。

3.根据函数图像导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美。

【学习重点】周期函数的定义及正、余弦函数的周期性。

【学习难点】周期函数的定义及运用定义求函数的周期。

【学案导学】

1. 请同学们画出正余弦函数的图像并观察图象的变化规律。

问题1: (1)正余弦函数的图像是按照一定规律重复出现。

(2)这个规律由诱导公式 可以说明。

(3)规律：当自变量x 的值增加2π的整数倍时，函数值就重复出现。 结论1：像这种函数，就叫做周期函数。

2. 周期函数的定义：

周期的定义：

问题2：正弦函数的周期为多少？周期中是否存在一个最小的正数？若存在，则最小的正数为多少？

最小正周期的定义:

结论2：正弦函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是 。 余弦函数是 。 问题3：（1）周期函数的周期唯一吗？

x y 1 -1 4π-3π-2π-π2π3π4ππ-32π-52π-72π-2π-2π32π52π72πo x

y 1 -1 4π-3π-2π-π2π3π4ππ-32π-52π-72π-2π-2π32

π52π72πo

（2）教材第36页练习题第1题。

（3）函数()1f x =是周期函数吗？它有最小正周期吗？

注意：（1）

（2）

（3）

例1. 求下列函数的周期。

(2)sin 2,y x x R

=∈ 1(3)2sin(),26

y x x R π=-∈

问题4：你能从以上的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？

结论3：sin(),cos()(,,00y A x y A x A A ωϕωϕωϕω=+=+≠>为常数，，） T=

练习：教材第36页第2题

(5)cos 2y x =- (6)sin()3y x ππ=+ (7)2cos(2)(0)4

y x πωω=+> 3.求周期的常用方法：（1） （2） （3） 练习：

4.课堂小结：

（1）

（2）

（3）

作业： 【迁移发散】

课外思考题：

(1)你认为上述结论3能否推广到求一般周期函数的周期上去？ 即命题：如果函数()y f x =的周期是T ，那么函数()(0)y f x ωω=>的周期是 ? (2)求函数sin ,y x x R =∈的周期？

(3)已知函数f x （）定义域为R 且满足1f x f x +=-（）（），求函数f x （）的周期？

(1)3cos ,y x x R =∈T ω36P 346P 3.10