单源最短路径verilog代码
最短路径单源最短路径问题单源最短路径问题
¾ 规律：当按长度增序生成从源s到其它顶点的最短路径时，则当前正 在生成的最短路径上除终点外，其余顶点的最短路径均已生成
¾ 例子：当求0到2的最短路径时，则该路径<0,3,2>上顶点0,3的最短路
径在此前已生成
2
§7.6.1 单源最短路径问题
约定 从源s到终点v的最短路径简称为v的最短路径，SP(v) s到v的最短路径长度简称为v的最短距离，SD(v) 红点集S：最短距离已确定的顶点集合 白点集V-S：最短距离尚未确定的顶点集合
6
1
§7.6.1 单源最短路径问题
例子
10 10
1
0
0 100 100
30 4
∞2
3 30
10 10
1
50
60 2
0 0 100
100 30 4
3 30
10 10
1
50 2
0 0
30
4 90
60
20 3 30
0
10 0
10 1
30
10
4 60
50 2 20 3 30
10 0 1 30 50 10
2 20
100
4 60 3
最短距离：红色 估计距离：白色 依次求出的最短距离为： 1) D[0]=0 2) D[1]=10，调整顶点2 3) D[3]=30，调整顶点2，4 4) D[2]=50，调整顶点4 5) D[4]=60
¾ 最短路径树：各顶点的最短路径（实线）总是一棵以源点为根的树，称之
为最短路径树。
算法思想- Dijkstra（1972图灵奖得主） 基于上述观察 初始化：仅已知源s的最短距离SD(s)=0，故红点集S={s}; 扩充红点集：算法的每一步均是在当前白点集中选一最短距离最小的白点 来扩充红点集，以保证算法是按长度增序来产生各顶点的最短路径; 结束：当前白点集空或仅剩下最短距离为∞的白点为止。注：若s到某白 点的路径不存在，可假设该白点的最短路径是一条长度为∞的虚拟路径。
8.6单源最短路径
E 4 0
F 10 18 0
邻接矩阵
8 B
例：计算从A点出发的单源最短路径
15
D
A
最短路径结点集
ABCDE F
{A,C,F,B,D,E}
Distance 0 20 5 22 28 12 Path A C A F B C
单源最短路径运算结果
• 通过Distance数组得到最短路径 长度： D: 22
• 通过对Path数组的反向搜索得到 最短路径，如D结点相对于源点A 的最短路径： DFCA
④ 重复②，③，直到S=V为止。
Dijkstra算法—实现
• 参数： 输入：带权图G；源点序号v0； 输出：distance[]用来存放得到的从源点v0到其余各 顶点的最短距离数值； path[]用来存放得到的从源点v0到其余各顶点 的最短路径上到达目标顶点的前一顶点下标。
• Dijkstra函数设计：
• 数据源 —— 邻接矩阵
• 已确定结点集 S • 待选结点集 V-S
• 结点临时最短路径长度 —— Distance数组 • 结点临时最短路径 —— Path数组
已完成结点集S, 本次最近点
ABCDE F
1
Distance
{}
Path
Distance
2
Path
3
Distance
Path
4
Distance
8 E
4
18
D 30
B 2
15 A
已完成结点集， 本次最近点
ABCDE F
1 {A, }, C
2 {A,C}, F
3 {A,C,F}, B
4 {A,C,F,B}, D
Distance 0 5 30 Path A -1 A A -1 -1
单源次短路径
单源次短路径
（原创实用版）
目录
1.单源最短路径的定义
2.单源最短路径的算法
3.单源最短路径的应用实例
正文
一、单源最短路径的定义
在图论中，单源最短路径是指从指定的源节点到图中其他所有节点的最短路径。
这里的最短路径是指路径长度最短，即经过的边数最少。
对于有向图来说，单源最短路径可能存在多个，而对于无向图来说，单源最短路径是唯一的。
二、单源最短路径的算法
求解单源最短路径的经典算法是 Dijkstra 算法和 Floyd 算法。
1.Dijkstra 算法
Dijkstra 算法是一种贪心算法，它每次选择距离源节点最近的节点进行扩展，直到到达目标节点。
算法的基本思想是每次将源节点到当前已扩展节点的距离与源节点到其他未扩展节点的距离进行比较，选出距离最近的节点进行扩展。
扩展的过程中，需要将已扩展的节点的距离更新为新扩展的节点的距离。
2.Floyd 算法
Floyd 算法是一种动态规划算法，它通过计算源节点到其他所有节点的距离，来确定最短路径。
算法的基本思想是：对于每个节点 i，我们尝试将其他所有节点作为中间节点，看看是否能够从源节点到达该节点，如果能够到达，我们就更新该节点到其他节点的距离。
三、单源最短路径的应用实例
单源最短路径在实际生活中有很多应用，比如：
1.最短路径导航：在导航系统中，我们需要从起点到终点规划出一条最短路径，以便为用户提供最佳的行驶路线。
2.物流配送：在物流配送中，我们需要从仓库到各个配送点规划出一条最短路径，以便为顾客提供最快的配送服务。
单源点最短路径
单源点最短路径单源点最短路径是图论中的一种重要问题，用于寻找从一个特定节点到其他节点的最短路径。
在实际应用中，这个问题很常见，比如用于导航系统、通信网络、物流配送等领域。
下面将介绍单源点最短路径的定义、算法和应用。
需要明确单源点最短路径的定义。
在一个有向带权图中，每个边都有一个权重和方向。
单源点最短路径问题的目标是找到从给定的源节点s到所有其他节点的最短路径。
路径的长度由边的权重之和来衡量。
最短路径可能不唯一，但它们的长度必定是最小的。
接下来介绍两种经典的单源点最短路径算法：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带权有向图的单源点最短路径问题。
它的基本思想是从源节点开始，逐层扩展，选择距离源节点最近的节点作为下一个中转节点。
通过动态维护一个距离数组，记录每个节点到源节点的当前最短路径长度，逐步更新和计算最短路径。
具体步骤如下：1.创建一个距离数组dist[]，用于记录每个节点到源节点的当前最短路径长度。
初始化dist[]为无穷大，源节点的距离为0。
2.创建一个集合sptSet[]，用于记录已经找到最短路径的节点。
初始化sptSet[]为空集合。
3.依次选择未加入sptSet[]的节点中距离源节点最近的节点u，并将u加入sptSet[]。
4.对于u的每个邻居节点v，如果经过u到v的路径长度dist[u]+weight(u,v)比dist[v]更小，则更新dist[v]。
5.重复步骤3和步骤4，直到最短路径全部找到。
Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决带权有向图的单源点最短路径问题。
它通过迭代更新距离数组dist[]，直到每个节点的最短路径长度不再改变，或者存在负权环。
具体步骤如下：1.创建一个距离数组dist[]，用于记录每个节点到源节点的当前最短路径长度。
初始化dist[]为无穷大，源节点的距离为0。
2.重复以下步骤n-1次（其中n是图中节点的个数）：-对于图中的每条边(u, v)，如果dist[u] + weight(u, v)比dist[v]更小，则更新dist[v]。
求解单源最短路径问题的算法
求解单源最短路径问题的算法单源最短路径问题是指从图中的一个顶点到其他所有顶点的最短路径的问题。
下面将详细介绍两种经典的求解该问题的算法：Dijkstra算法和Bellman-Ford 算法。
1. Dijkstra算法：- 初始化：将源顶点的距离初始化为0，其他顶点的距离初始化为无穷大。
创建一个集合S，记录已经确定最短路径的顶点。
- 重复以下步骤，直到集合S包含所有顶点：- 从未确定最短路径的顶点中选择距离源顶点最近的顶点u，并将其加入集合S。
- 对于与u相邻的顶点v，更新其距离为：min(distance[v], distance[u] + weight(u, v))，其中weight(u, v)表示边(u, v)的权值。
- 最终得到源顶点到图中所有其他顶点的最短路径。
2. Bellman-Ford算法：- 初始化：将源顶点的距离初始化为0，其他顶点的距离初始化为无穷大。
- 重复以下步骤，执行V-1次（V为顶点数）：- 遍历图中的所有边，对于每条边(u, v)，更新顶点v的距离为：min(distance[v], distance[u] + weight(u, v))。
- 检查是否存在负权回路：再次遍历所有边，如果对于边(u, v)，发现distance[v] > distance[u] + weight(u, v)，则说明存在从源顶点可达的负权回路，无法确定最短路径；否则，最短路径已经确定。
Dijkstra算法适用于无负权边且图稠密的情况，时间复杂度为O(V^2)，也可以通过最小堆优化（时间复杂度为O((V+E)logV)）。
Bellman-Ford算法适用于有负权边或存在负权回路的情况，时间复杂度为O(VE)。
需要注意的是，以上算法都是解决单源最短路径问题的经典算法，也可以使用其他如SPFA、Floyd-Warshall等算法求解，选择合适的算法应根据具体问题的要求和图的特性进行评估和选择。
单源点最短路径问题常用算法
单源点最短路径问题常用算法单源点最短路径问题是图论中的经典问题，其目标是在给定图中找到从源点到其他所有顶点的最短路径。
常用的解决该问题的算法包括迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法、弗洛伊德-沃沙尔算法、A*搜索算法和SPFA算法。
本文将依次介绍这些算法的原理和实现方法，并分析它们的优缺点。
1. 迪杰斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，它从源点开始逐步扩展到其他顶点，每次选择当前距离源点最近的顶点进行扩展，直到遍历完所有顶点。
该算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为顶点数。
实现方法：(1) 初始化：将源点距离设为0，其他顶点距离设为正无穷大。
(2) 选择一个距离源点最近的顶点，将其加入已访问集合。
(3) 对于该顶点的所有邻居，更新它们到源点的距离（如果新的距离比原来的距离小）。
(4) 重复步骤2和3，直到所有顶点都被访问过。
优缺点分析：优点：算法简单直观，适用于稀疏图。
缺点：不适合处理带有负权边的图，因为可能会选到负权环中的顶点。
2. 贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford Algorithm）贝尔曼-福特算法也是一种贪心算法，但它可以处理带有负权边的图。
该算法从源点开始遍历图的所有边，更新每条边的权值，并检查是否存在负权环。
如果存在负权环，则该边的权值将无限循环，因此需要停止遍历并报告错误。
该算法的时间复杂度为O(nm)，其中n 为顶点数，m为边数。
实现方法：(1) 初始化：将源点距离设为0，其他顶点距离设为正无穷大。
(2) 从源点开始遍历图的所有边，更新每条边的权值。
(3) 对于每个顶点，检查是否存在负权环。
如果存在，则停止遍历并报告错误。
优缺点分析：优点：可以处理带有负权边的图，并且可以检测是否存在负权环。
缺点：时间复杂度较高，且无法优化处理稀疏图。
同时，如果图中存在负权环，算法将无法给出正确的最短路径。
3. 弗洛伊德-沃沙尔算法（Floyd-Warshall Algorithm）弗洛伊德-沃沙尔算法是一种动态规划算法，它通过逐步构建中间顶点的最短路径来找到源点到所有其他顶点的最短路径。
verilog编程实例
verilog编程实例我们需要明确这个电路的功能和设计要求。
假设我们需要实现一个4位二进制加法器，即输入两个4位的二进制数，输出它们的和。
为了简化问题，我们先考虑只有无符号整数的加法，即只需要实现两个正整数的相加。
接下来，我们可以使用Verilog语言来描述这个电路的结构和行为。
我们首先声明输入端口和输出端口的位宽，即4位。
然后，我们定义一个module，命名为"binary_adder"。
在这个module中，我们定义了两个4位的输入信号a和b，以及一个4位的输出信号sum。
同时，我们还定义了一个内部信号carry，用于记录进位信息。
在module的主体部分，我们使用assign语句来实现信号之间的逻辑关系。
具体地，我们可以通过逐位相加的方式，将输入信号a和b的每一位与进位carry相加，并将结果存储在输出信号sum的对应位上。
同时，我们还需要更新进位carry的值，以确保加法运算的正确性。
为了实现这个逻辑，我们可以使用Verilog中的加法运算符"+"和逻辑与运算符"&"。
通过对输入信号的每一位进行逐位运算，我们可以得到输出信号sum的每一位的值。
同时，我们还需要根据输入信号和进位carry的值，计算出新的进位carry的值。
在实际的Verilog编程中，我们需要注意信号的声明和赋值的顺序。
一般而言，我们需要先声明信号，然后再通过assign语句对信号进行赋值。
这样可以确保信号的值能够正确传递和计算。
完成Verilog代码的编写后，我们需要使用相应的仿真工具来验证电路的功能。
常用的仿真工具有ModelSim和Xilinx ISE等。
通过仿真工具，我们可以为输入信号a和b设置不同的值，并观察输出信号sum的变化。
通过比较输出信号sum和预期的结果，我们可以验证电路的正确性。
除了验证电路的正确性外，我们还可以通过综合工具将Verilog代码转换成对应的门级电路。
JAVA之单源最短路径（SingleSourceShortestPath，SSSP问题）d。。。
JAVA之单源最短路径（SingleSourceShortestPath，SSSP问题）d。
题⽬简介：给定⼀个带权有向图，再给定图中⼀个顶点（源点），求该点到其他所有点的最短距离，称为单源最短路径问题。
如下图，求点1到其他各点的最短距离准备⼯作：以下为该题所需要⽤到的数据int N; //保存顶点个数int M; //保存边个数int max; //⽤来设定⼀个⽐所有边的权都⼤的值，来表⽰两点间没有连线int[] visit; //找到⼀个顶点的最短距离，就把它设为1，默认为0（即还没有找到）int[][] distance; //保存图中个边的值，两点间⽆边则设为maxint[] bestmin; //保存源点到其他各点的最短距离，⽤于最后输出String[] path; //有些题⽬会要求输出路径，保存输出路径算法步骤：①找出与源点距离最短的那个点，即遍历distance[1][1]，distance[1][2],.....distance[1][N]中的最⼩值，如题：源点1到2,4,5的距离分别为10,30,100,。
3⽆法直接到达即此时distance[1][3] = max。
那么这⼀步找出的点就是顶点2。
此时distance[1][2]即为源点1到顶点2的最短距离。
将visit[2]设为1（顶点2完成）。
②松弛操作，以①找出的点作为中⼼点（此时为顶点2），去遍历visit[i]为0的点，如果distance[1][2] + distance[2][i] < distance[1][i]就把新的较短路径赋值给它，即distance[1][i] = distance[1][2] + distance[2][i]，此时顶点2能到达的点只有顶点3，并且distance[1][3] = max ，所以更新distance[1][3]的值为distance[1][2] + distance[2][3] = 60完成以上两个步骤后回到步骤①，即这是个循环，每次循环能找出⼀个最短距离的点和更新其他点，所以该循环要遍历N-1次就可以把所有点最短距离找出，⼤概过程如下：for(int i = 2; i <= N; i++) { 步骤①（在⼀个循环内找到距离最短的点） 步骤②（以①找到的点为中⼼，通过⼀个循环更新所有visit[i]为0的点到源点的距离）}完整代码如下：package algorithm;import java.util.Scanner;public class Dijkstra__Single_Source_Shortest_Path {private static int N;private static int M;private static int max;private static int[] visit;private static int[][] distance;private static int[] bestmin;private static String[] path;public static void Dijkstra() {visit[1] = 1;bestmin[1] = 0;//⼤循环（搞定这⾥就算搞定该算法了，后⾯的输出什么的可以不看）for(int l = 2; l <= N; l++) {int Dtemp = max;int k = -1;//步骤①for(int i = 2; i <= N; i++) {if(visit[i] == 0 && distance[1][i] < Dtemp) {Dtemp = distance[1][i];k = i;}}visit[k] = 1;bestmin[k] = Dtemp;//步骤②for(int i = 2; i <= N; i++) {if(visit[i] == 0 && (distance[1][k] + distance[k][i]) < distance[1][i]) {distance[1][i] = distance[1][k] + distance[k][i];path[i] = path[k] + "-->" + i;}}}//输出路径for(int i=1;i<=N;i++) {System.out.println("从"+1+"出发到"+i+"的最短路径为："+path[i]);}System.out.println("=====================================");for(int i = 1; i <= N; i++) {System.out.println("从1出发到" + i + "点的最短距离为：" + bestmin[i]);}}public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubScanner input = new Scanner(System.in);System.out.print("请输⼊节点个数N，路径总数M： ");N = input.nextInt();M = input.nextInt();max = 10000;bestmin = new int[N+1];distance = new int [N+1][N+1];visit = new int[N+1];path=new String[N+1];for(int i = 1; i <= N; i++) {for(int j = 1; j <= N; j++) {if(i == j) {distance[i][j] = 0;}else {distance[i][j] = max;}}bestmin[i] = max;path[i] = new String("1-->" + i);}System.out.println("请输⼊" + M +"条数据x，y，z（表⽰x点到y点的距离为z）：");for(int i = 1; i <= M; i++) {int x = input.nextInt();int y = input.nextInt();int z = input.nextInt();distance[x][y] = z;}input.close();Dijkstra();}}运⾏结果如下：。
单源最短路径c语言代码
单源最短路径c语言代码以下是Dijkstra算法的C语言代码实现，用于求解单源最短路径：```。
#include <stdio.h>。
#include <limits.h>。
#define V 6 // 图中顶点数。
//定义一个宏，用于查找尚未处理的最短路径的节点。
#define minDistance(dist, visited) \。
({ int min = INT_MAX, index; \。
for (int i = 0; i < V; i++) \。
if (!visited[i] && dist[i] <= min) \。
min = dist[i], index = i; \。
index; })。
void dijkstra(int graph[V][V], int src) 。
int dist[V]; // 存储从源点到各顶点的距离。
bool visited[V]; // 标记顶点是否被处理。
for (int i = 0; i < V; i++) 。
dist[i] = INT_MAX;。
visited[i] = false;。
}。
dist[src] = 0;。
for (int i = 0; i < V - 1; i++) 。
int u = minDistance(dist, visited);。
visited[u] = true;。
for (int j = 0; j < V; j++) 。
if (!visited[j] && graph[u][j] && dist[u] != INT_MAX &&。
dist[u] + graph[u][j] < dist[j])。
dist[j] = dist[u] + graph[u][j];。
}。
}。
printf("顶点距离源点的距离\n");。
【模板】单源最短路径（标准版）
【模板】单源最短路径（标准版）题⽬描述给定⼀个 N 个点，M 条有向边的带⾮负权图，请你计算从 SS 出发，到每个点的距离。
数据保证你能从 SS出发到任意点。
输⼊输出格式输⼊格式：第⼀⾏为三个正整数 N, M, S。
第⼆⾏起 M ⾏，每⾏三个⾮负整数 u_i, v_i, w_i，表⽰从 u_i到 v_i有⼀条权值为 w_i 的边。
输出格式：输出⼀⾏ N 个空格分隔的⾮负整数，表⽰ S 到每个点的距离。
输⼊输出样例输⼊样例#1：4 6 11 2 22 3 22 4 11 3 53 4 31 4 4输出样例#1：0 2 4 3说明1≤N≤100000；1≤M≤200000；S=1；1≤ui,vi≤N；0≤wi≤109,0≤∑wi≤10 ^ 9。
分析：本题就更是⼀道模板题了。
但是专门卡SPFA和⽆堆优化的dijkstra,真是⼀道毒瘤题。
所以必须敲堆优化的dijkstra。
具体见下⽅代码。
CODE：1 #include <cstdio>2 #include <cstring>3 #include <cmath>4 #include <iostream>5 #include <algorithm>6 #include <queue>7using namespace std;8const int M=1000005;9const int oo=2147483647;10int n,m,tot,s;11int next[M],head[M],to[M],adj[M],dist[M];12struct node{13int id,d;14bool operator> (const node b) const {return d>b.d;}15 }a[M];16 priority_queue <node,vector<node>,greater<node> > Q;17void add(int u,int v,int w){18 next[++tot]=head[u];19 head[u]=tot;20 to[tot]=v;21 adj[tot]=w;22return;23 }24void dijkstra(){25for (int i=1;i<=n;i++)26 dist[i]=oo;27 dist[s]=0;28 Q.push((node){s,0});29while (!Q.empty()){30 node top=Q.top();31 Q.pop();32if (top.d!=dist[top.id])33continue;34for (int i=head[top.id];i;i=next[i]) 35if (top.d+adj[i]<dist[to[i]]){36 dist[to[i]]=top.d+adj[i];37 Q.push((node){to[i],dist[to[i]]});38 }39 }40return;41 }42int main(){43 cin>>n>>m>>s;44for (int i=1;i<=m;i++){45int u,v,w;46 cin>>u>>v>>w;47 add(u,v,w);48 }49 dijkstra();50for (int i=1;i<=n;i++)51 cout<<dist[i]<<"";52return0;53 }。
c语言单源最短路径
c语言单源最短路径
《C语言单源最短路径》
一、简介
C语言单源最短路径算法是将每一个节点与起点连接起来，并且最短路径从起点出发，然后选择最小距离路径，继续前进，直到到达目的地。
它是一种运用搜索算法把每一个节点和起点连接起来，以便为给出最短路径的二叉树算法。
二、思路
（1）求一条从源点s到各个顶点v的最短路径D[v]，求最短路径的表达式：D[v] = min {D[u] + w(u, v)}，其中u是s到v的最短路径上的前一个顶点，w(u, v)是边(u, v)的权重。
（2）第一步：设置源点s，将源点s到达各个顶点v的最短距离D[v]初始化为正无穷。
（3）第二步：设置一个集合S，将源点s加入集合S中，设置一个标记，用来查找集合S中是否存在点V。
（4）第三步：循环以下步骤，判断所有顶点是否都已加入集合S中，如果是，则算法结束；如果不是，则从未加入集合S中的顶点中找到到源点s距离最小的节点u，并将其加入集合S中。
（5）第四步：更新所有在集合S中的顶点u到集合S中未加入的顶点v的最短距离D[v]，计算公式为：D[v] = min {D[u] + w(u, v)}，其中u是s到v的最短路径上的前一个顶点，w(u, v)是边(u, v)的权重。
单源最短路径
单源最短路径单源最短路径在最短路径问题中，我们给定⼀个带权重的有向图和权重函数, 该权重函数将每条边映射到实数值的权重上。
图中⼀条路径的权重是构成该路径的所有边的权重之和：定义从结点u到结点v的最短路径权重如下：从结点u到结点v的最短路径则定义为任何⼀条权重为的从u到v的路径p。
最短路径的⼏个变体单源最短路径：给定⼀个图G=(V,E),我们希望找到从给定源结点到每个节点的最短路径。
单⽬的地最短路径问题：找到从每个节点u到给定⽬的地节点t的最短路径。
如果将图的每条边的⽅向翻转过来，我们就可以将这个问题转换为单源最短路径问题。
单节点对最短路径问题：找到从给定节点u到给定节点v的最短路径。
如果解决了针对单个节点u的单源最短路径问题，那么也就解决这个问题。
所有节点对最短路径问题：对于每个节点u和v，找到从结点u到结点v的最短路径。
虽然可以针对每节点运⾏⼀遍单源最短路径算法，但通常可以更快地解决这个问题。
初始化松弛操作Bellman-Ford算法topo sort有向⽆环图中的单源最短路径问题根据节点的拓扑排序次序对带权重的有向⽆环图G=(V,E)进⾏边的松弛操作，我们便可以在时间内计算出从单个源结点到所有节点之间的最短路径。
在有向⽆环图中，即使存在权重为负的边，但因为没有权重为负的环路，最短路径都是存在的。
算法⾸先对有向⽆环图进⾏拓扑排序，以便确定结点之间的⼀个线性次序。
以便确定结点之间的⼀个线性次序。
如果有向⽆环图包含从结点u到结点v的⼀条路径，则u的拓扑排序的次序中位于结点v的前⾯。
我们只需要按照拓扑排序的次序对结点进⾏⼀遍处理即可。
每次对⼀个节点进⾏处理时，我们对从该节点发出的发出的所有的边进⾏松弛操作。
Dijkstra算法三个算法的对⽐所有节点对的最短路径问题Floyd-Warshall算法//基本思想是：//进⾏中转......允许经过1~n号所有顶点进⾏中转，求任意两点之间的最短路程。
//⽤⼀句话概括就是：从i号顶点到j号顶点只经过前k号点的最短路程。
CodeForces-449B（单源最短路,思维）
CodeForces-449B（单源最短路,思维）链接:题意:Jzzhu is the president of country A. There are n cities numbered from 1 to n in his country. City 1 is the capital of A. Also there are m roads connecting the cities. One can go from city ui to vi (and vise versa) using the i-th road, the length of this road is xi. Finally, there are k train routes in the country. One can use the i-th train route to go from capital of the country to city si (and vise versa), the length of this route is yi. Jzzhu doesn't want to waste the money of the country, so he is going to close some of the train routes. Please tell Jzzhu the maximum number of the train routes which can be closed under the following condition: the length of the shortest path from every city to the capital mustn't change.思路:先求到每个点的最短路,同时记录到每个点的最短路有⼏条.最后⽐较每条⽕车道,是否可以删除.代码:#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <vector>//#include <memory.h>#include <queue>#include <set>#include <map>#include <algorithm>#include <math.h>#include <stack>#include <string>#include <assert.h>#define MINF 0x3f3f3f3fusing namespace std;typedef long long LL;const int MAXN = 1e6+10;const long long INF = 1e15;struct Edge{int to;LL v;};struct HeapNode{int to;LL dis;bool operator < (const HeapNode& that) const{return this->dis > that.dis;}};vector<Edge> G[MAXN];int In[MAXN], Vis[MAXN];LL Dis[MAXN];int To[MAXN], Va[MAXN];int n, m, k;void Dij(){memset(Vis, 0, sizeof(Vis));memset(In, 0, sizeof(In));In[1] = 1;for (int i = 1;i <= n;i++)Dis[i] = INF;Dis[1] = 0;priority_queue<HeapNode> que;que.push(HeapNode{1, 0LL});while (!que.empty()){HeapNode node = que.top();que.pop();if (Vis[node.to])continue;Vis[node.to] = 1;for (int i = 0;i < G[node.to].size();i++){int ne = G[node.to][i].to;if (Vis[ne])continue;LL va = G[node.to][i].v;if (Dis[ne] == Dis[node.to]+va)In[ne]++;if (Dis[ne] > Dis[node.to]+va){In[ne]=1;Dis[ne] = Dis[node.to]+va;}que.push(HeapNode{ne, Dis[ne]});}}}int main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);int u, v, w;cin >> n >> m >> k;for (int i = 1;i <= m;i++){cin >> u >> v >> w;G[u].push_back(Edge{v, w});G[v].push_back(Edge{u, w});}for (int i = 1;i <= k;i++){cin >> v >> w;To[i] = v, Va[i] = w;G[1].push_back(Edge{v, w});}Dij();// for (int i = 1;i <= n;i++)// cout << Dis[i] << ' ' ;// cout << endl;int num = 0;for (int i = 1;i <= k;i++){if (Dis[To[i]] < Va[i])num++;else if (Dis[To[i]] == Va[i] && In[To[i]] > 1) num++, In[To[i]]--;}cout << num << endl;return 0;}。
Java 单源最短路问题,附有结果
Java 单源最短路问题，附有结果public class TheShortestWay{static int M=6;//定义比顶点数目大1的变量public static void dijkstra(int v,float[][]a,float[]T,int[]P) {//v为源点，a存放权值，T存放最短路径，P 存放最短路径顶点值int n=T.length-1;if(v<1||v>n)return;boolean []s=new boolean[n+1]; //s[j]存放是否找到从v点到j点的最短路径for(int i=1;i<=n;i++) {//初始化各个变量T[i]=a[v][i]; //从源点到各顶点的值赋给T[i]s[i]=false; //开始时，假设所有顶点都未达到路径最短if(T[i]==Float.MAX_VA LUE)P[i]=0; //若从v到i初始路径值为最大，则顶点i与源点无直接路径，没有前一顶点elseP[i]=v; //若存在初始路径，则其前一顶点即为源点}T[v]=0;s[v]=true;//源点本身的最短路径应为0，已经找到for(int i=1;i<n;i++){//初始化后需要进行n-1次循环可以找到问题的解float min=Float.MAX_VA LUE;int k=v;for(int j=1;j<=n;j++)//在所有未找到最短路径的T中找到最小的T[j],则找到一个最短路径，其顶点为kif((!s[j])&&(T[j]<min)) {k=j;min=T[j];}s[k]=true;//顶点k的最短路径找到for(int j=1;j<=n;j++)//判断从k出发的与k直接相连的顶点是否经过k点可以比原来的路径更短if((!s[j])&&(a[k][j]<Float.MAX_VA LUE)) {float newT=T[k]+a[k][j];if(newT<T[j]) { //如果更短，则将更短的值赋给新的T,并标记其前一个顶点为kT[j]=newT;P[j]=k; }}}}public static void main(String args[]){float a[][]=new float[M][M];float[]T=new float[M];int []P=new int[M];for(int i=0;i<M;i++)for(int j=0;j<M;j++)a[i][j]=Float.MAX_VA LUE;//初始时将权值a所有的值设为最大,之后在合适的点设置相应的权值a[1][2]=10;a[1][4]=30;a[1][5]=100;a[2][3]=50;a[3][5]=10;a[4][3]=20;a[4][5]=60;int v=1;//假设从顶点1处出发dijkstra(v,a,T,P);System.out.println("从1出发到2、3、4、5的最短路径依次是:");for(int j=2;j<M;j++) {System.out.println(T[j]); }int z=P[5],y=P[z],x=P[y];System.out.println("从1到5最短路径经过的点为：");System.out.print(x+" "+y+" "+z+" "+"5");}}运行结果：从1出发到2、3、4、5的最短路径依次是：10.050.030.060.0从1到5最短路径经过的点为：1 4 3 5。
单源最短路径算法小总结
单源最短路径算法⼩总结注意下⾯的模板有的并没有去设定具体的⽆法到达的极限值，也没有考虑极限相加爆表的情况，如果可以的话，最好还是把dis数组定义成long longFloyd算法(仅仅四⾏的算法)Floyd算法仅仅四⾏就能解决问题但是时间复杂度达到了感⼈的O(n^3)，唯⼀的有点是能够输出任意两点之间的最⼩路径，这或许是他唯⼀的⽤途了吧。
伪代码初始化赋值如果i==j为0其余为inf建图Floyd四⾏代码输出代码模板#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int G[10005][10005];int main(){//n为节点数，m为边的条数int n,m;cin>>n>>m;//初始化，如果i==j那么G[i][j]就是0for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)G[i][j]=i==j?0:999999999;//建图while(m--){int t1,t2,t3;cin>>t1>>t2>>t3;G[t1][t2]=t3;}//Floyd算法的核⼼，4⾏代码解决for(int k=1;k<=n;k++)for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)G[i][j]=min(G[i][j],G[i][k]+G[k][j]);//输出答案for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++)cout<<G[i][j]<<" ";cout<<endl;}return 0;}Floyd可以解决任意两个节点之间的最短路，⽽且在稀疏图有着还可以的时间复杂度Dijkstra算法⽆优化原始版本时间复杂度的进⼀步的降低，能够算出源节点到各个节点之间的最短路伪代码初始化赋值如果i==j为0其余为inf建图初始化dis数组与bk数组bk[s]=1;循环n次寻找离要找节点最近的节点尝试每个节点是否能够被这个最近的节点松弛循环结束输出dis数组代码模板#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int G[10010][10010];int dis[10010];int bk[10010];int main(){int n,m,s;cin>>n>>m>>s;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)G[i][j]=i==j?0:999999999;while(m--){int t1,t2,t3;cin>>t1>>t2>>t3;G[t1][t2]=t3;}for(int i=1;i<=n;i++)dis[i]=G[s][i];memset(bk,0,sizeof(bk));bk[s]=1;for(int i=1;i<=n;i++){int x,minn=999999999;for(int j=1;j<=n;j++)if(dis[j]<minn&&!bk[j])minn=dis[x=j];bk[x]=1;for(int j=1;j<=n;j++)dis[j]=min(dis[j],dis[x]+G[x][j]);}for(int i=1;i<=n;i++)cout<<dis[i]<<" ";return 0;}复杂度O(n^2)vector建图优化因为我们⽤邻接矩阵建图很有可能会爆内存，所以可以采⽤vector数组建图优化。
062单源最短路径问题及算法
ห้องสมุดไป่ตู้
10
运行实例（续）
S={1,6,5,2,4,3} dist [1]=0 dist [6]=3 dist [5]=4 dist [2]=5 dist [4]=9 dist [3]=12
1 10 3 2 6 1 5 6 7 4 3 2 7 5 3 4
1 10 3 2 6 1 5 6 7 4 3 2 7 5 3 4
7
运行实例（续）
S={1,6,5} dist [1]=0 dist [6]=3 dist [5]=4 dist [2]=5 dist [4]=9 dist [3]=∞
1 10 3 2 6 1 5 6 7 4 3 2 7 5 3 4
8
运行实例（续）
S ={1,6,5,2} dist[1]=0 dist[6]=3 dist[5]=4 dist[2]=5 dist[4]=9 dist[3]=12
1 10 3 2 6 1 5 6 7 4 3 2 7 5 3 4
9
运行实例（续）
S={1,6,5,2,4} dist[1]=0 dist[6]=3 dist[5]=4 dist[2]=5 dist[4]=9 dist[3]=12
4
伪码
算法 Dijkstra 1. S←{ s } 2. dist [s]←0 3. for i∈V −{ s } do 4. dist[i]←w(s,i) //s到i没边, w(s,i)=∞ 5. while V− S≠∅ do 6. 从V− S取相对S的最短路径顶点 j 7. S←S∪{ j} 更新 8. for i∈V−S do dist值 9. if dist [j]+w(j,i)<dist [i] 10. then dist [i]←dist [j]+w(j,i)
算法设计与分析 单点源最短路径
单点源最短路径问题问题：已知一个赋权有向图G=(V,E ，w),求由G 中某个指定的顶点v 0出发到其它各个顶点的最短路径。
一个加权有向图对于一般的单点源最短路径问题，我们采用逐条构造最短路径的办法，用迄今已生成的所有路径长度之和为最小作为贪心准则，因此，每一条单独的路径都必须具有最小长度。
假定已经构造了k 条最短路径，则下面要构造的路径应该是下一条最短长度的最小长度路径。
现在这k 条最短路径的终点之集记为S ，为陈述方便，也将v 0放于S 中。
如果V\S 不是空集，则从v 0到V\S 中顶点的最短路径中应该有一条最短的，比如是v 0到v k+1的最短路径P ：P=v 0u 1…u s-1u s v k+1(5.7)显然，P 1=v 0u 1…u s-1u s 应是v 0到u s 的最短路径，因而由S 的定义和选定的贪心准则，u s 应属于S ，同理，路径P 上其它顶点u i 也都在S 中。
所以，由v 0出发的新的最短路径一定是某个已有的最短路径向前延伸一步。
如果用Dist(v i )记从v 0到S 中顶点v i 的最短路径的长度，而图G 中的顶点w 依其属于S 与否分别记之为S(w)=1或S(w)=0，则从4550103530 30 20 15 1020 15 V 0 V 2 V 1 V 4V 5 V 3 路径 长度 (1) v 0v 2 10 (2) v 0v 2v 3 25 (3) v 0v 2v 3v 1 45 (4) v 0v 4 45从v 0到其它各个顶点的最短路v 0出发，新的最短路径的长度应该是 =)(S D )},()({min)(,1)(w u COST u Dist w S u S +==(5.8)满足(5.8)式的顶点w 被选择加入S ，新的最短路径就是从v 0出发到w 的最短路径,而此时的Dist(w)=D(S)，S 被更新为}{'w S S ⋃=,后者可以由更新w 的（集合）特征值来实现：S(w)=1(原来S(w)=0).上述算法思想是Dijkstra(迪杰斯特)提出的。
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单源最短路径verilog代码
单源最短路径是一个经典的图论问题，它的目标是找到从一个起点到其他所有节点的最短路径。
这个问题可以用Dijkstra算法来解决。
在本文中，我们将通过Verilog代码来实现单源最短路径。
本文的实现基于以下假设条件：
- 图的节点数目不超过100
- 图是有向图，且边的权重是正整数
首先，我们需要定义图的邻接矩阵。
假设图有n个节点，则邻接矩阵是一个nxn的矩阵，其中A[i][j]是从节点i到节点j的边的权重。
在Verilog中定义邻接矩阵可以使用二维数组，如下所示：
reg [7:0] A [0:N -1][0:N -1];
接下来，我们需要实现Dijkstra算法。
该算法的基本思想是从起点开始，每次选择当前路径最短的节点作为下一个节点，直到所有节点都被遍历过。
为了实现这个算法，我们需要定义以下变量和数据结构：
- 一个数组d，其中d[i]表示从起点到节点i的最短路径长度
- 一个数组p，其中p[i]表示从起点到节点i的最短路径中，节点i的前一个节点
- 一个集合S，其中保存已经被遍历过的节点
- 一个变量v，表示当前需要遍历的节点
由于Verilog中没有现成的数据结构可以使用，我们需要自己实现一个最小堆。
最小堆可以通过二叉树来实现，其中每个节点的值都小于等于其左右子节点的值。
在Verilog 中，我们可以使用数组来实现二叉堆。
例如：
在实现最小堆的同时，我们还需要实现以下操作：
- insert(x)，将节点x插入到堆中
- extract_min()，从堆中取出当前最小的节点
有了这些数据结构和操作，我们就可以开始实现Dijkstra算法了。
该算法可以分为以下步骤：
- 初始化d数组和p数组
- 将起点加入到最小堆中，并设置d[start]=0
- 重复以下步骤，直到所有节点都被遍历过：
- 从堆中取出当前最小的节点v，并将其加入到S中
- 遍历所有邻接节点，如果该节点尚未被遍历过，且从起点到该节点的路径比当前的最短路径更短，则更新d数组和p数组，并将该节点插入到堆中
最后，我们可以使用以下代码来实现整个算法：
module dijkstra (
input clk, // 时钟
input rst, // 复位
input start, // 起点
output [7:0] d [0:N-1], // 最短路径长度
output [7:0] p [0:N-1][0:100] // 最短路径
);
// insert操作
task insert;
input [7:0] x;
begin
if (heap_size >= N) begin
$display("Heap overflow!");
return;
end
heap[heap_size] = x;
heap_size = heap_size + 1;
up(heap_size-1);
end
// 一些辅助函数
function [6:0] parent;
input [6:0] i;
return (i-1) / 2;
endfunction
// 遍历所有邻接节点
for (int i=0; i<N; i=i+1) begin
if (A[v][i] != 0 && i != v) begin
// 如果该节点尚未被遍历过，且从起点到该节点的路径比当前的最短路径更短，则更新d数组和p数组，并将该节点插入到堆中
if (d[i] > d[v] + A[v][i]) begin
d[i] = d[v] + A[v][i];
p[i][0] = v;
int j = 1;
while (p[v][j-1] != -1) begin
p[i][j] = p[v][j-1];
j = j+1;
end
insert(heap, d[i]);
end
end
end
end
end
最后，我们需要在测试程序中提供起点和邻接矩阵的数据。
例如：
initial begin
$monitor("d[0]=%d, d[1]=%d, d[2]=%d, d[3]=%d, d[4]=%d", dijkstra.d[0], dijkstra.d[1], dijkstra.d[2], dijkstra.d[3], dijkstra.d[4]);
$monitor("p[0]=%d %d %d %d %d, p[1]=%d %d %d %d %d, p[2]=%d %d %d %d %d, p[3]=%d %d %d %d %d, p[4]=%d %d %d %d %d", dijkstra.p[0][0], dijkstra.p[0][1], dijkstra.p[0][2], dijkstra.p[0][3], dijkstra.p[0][4], dijkstra.p[1][0], dijkstra.p[1][1], dijkstra.p[1][2], dijkstra.p[1][3], dijkstra.p[1][4], dijkstra.p[2][0], dijkstra.p[2][1], dijkstra.p[2][2], dijkstra.p[2][3], dijkstra.p[2][4], dijkstra.p[3][0], dijkstra.p[3][1], dijkstra.p[3][2], dijkstra.p[3][3], dijkstra.p[3][4], dijkstra.p[4][0], dijkstra.p[4][1], dijkstra.p[4][2], dijkstra.p[4][3], dijkstra.p[4][4]);
#10
dijkstra.rst = 1;
#10
dijkstra.rst = 0;
for (int i=0; i<N; i=i+1)
for (int j=0; j<N; j=j+1)
dijkstra.A[i][j] = i+j+1;
dijkstra.start = 0;
end
我们可以通过修改起点和邻接矩阵来测试不同的情况。
当然，如果图的节点数目很大，我们就需要使用更优化的算法来解决单源最短路径问题。