二次插值法例题
二次插值
二次插值法是多项式逼近法的一种，是 用目标函数在若干点的函数值或导数值 等信息，构成一个与目标函数相近似的 低次插值多项式。用多项式的最优解作 为目标函数的最优解近似值。
1、二次插值函数的构成
设一维目标函数的初始区间为[a,b]，取 x1 , x2 , x3 点使 x1 a, x3 b 并设 x2 0.5( x1 x3 )
p ( x)
插值函数的极小点，令一阶导数为零
得
xp
*
x p*
b , 将a, b, c代入，得 2a 1 ( x2 2 x32 ) f1 ( x32 x12 ) f 2 ( x12 x2 2 ) f 3 2 ( x2 x3 ) f1 ( x3 x1 ) f 2 ( x1 x2 ) f 3 f 3 f1 x3 x1 c2 ( f 2 f1 ) ( x2 x1 ) c1 x2 x3
2 1 2 1 1 2 2 3
f p*
2ห้องสมุดไป่ตู้
3 终止准则
*( k 1) x （1）当相继两次插值函数极值点 p
， *( k ) x p 之 间 的 距 离 小 于 某 一 个 预 定 的 精 度 时 ,即 *( k ) *( k 1)
xp xp
k2
计算终止 （2）函数下降准则 在上一个框图中，加一判据 c2 0 ，若成立 x x )c 0 即 c ( f f )x ( 便终止 x
令c1 则x p
*
c1 1 ( x1 x3 ) 2 c2
2 区间的缩短
* * x f ( x ) p p 方法计算 点的函数值
* p
记做 比较 f 与 f 取较小者所在对应的点作为 新的 x2 ，以此点左右两邻点分别取做新 的 x1 和 x3 ，得新的区间[ x1 x3]。 在实际操作中，会出现一下4种情况：
二次插值计算例题
二次插值计算例题二次插值是一种常用的数值计算方法，用于通过已知数据点的坐标，推导出两个数据点之间的某个点的值。
在二次插值中，我们假设数据具有二次多项式的形式，并通过插值公式求解未知点的值。
以下是一个用于说明二次插值的计算例题：例题：已知数据点的坐标为（1，1）、（2，3）、（3，7），求x=2.5时的y值。
解析：1. 首先，我们需要确定插值多项式的形式。
由于已知的数据点个数为3个，因此我们可以假设插值多项式为二次多项式的形式：P(x) = a*x^2 + b*x + c2. 接下来，我们需要确定多项式的系数a、b和c。
为了确定这些系数，我们可以使用已知数据点的坐标。
3. 首先，我们将已知的数据点代入多项式中，得到以下方程： P(1) = a*1^2 + b*1 + c = 1P(2) = a*2^2 + b*2 + c = 3P(3) = a*3^2 + b*3 + c = 7将方程整理为矩阵形式，得到以下方程组：⎡ 1 1 1 ⎤⎡ a ⎤⎡ 1 ⎤⎢ 4 2 1 ⎥ * ⎢ b ⎥ = ⎢ 3 ⎥⎣ 9 3 1 ⎦⎣ c ⎦⎣ 7 ⎦4. 解方程组，可以得到系数a、b和c的值。
首先，将方程组进行高斯消元法的操作：⎡ 1 1 1 ⎤⎡ a ⎤⎡ 1 ⎤⎡ 1 1 1 ⎤⎢ 4 2 1 ⎥ * ⎢ b ⎥ = ⎢ 3 ⎥ => ⎢ 0 -2 -3 ⎥⎣ 9 3 1 ⎦⎣ c ⎦⎣ 7 ⎦⎣ 0 0 -2 ⎦进行回代运算：-2c = -2 => c = 1-2b - 3c = 3 => -2b - 3 = 3 => b = -2a +b +c = 1 => a - 2 + 1 = 1 => a = 2因此，系数a、b和c的值为2、-2和1。
5. 最后，将得到的系数代入插值多项式中，求解x=2.5时的y 值：P(2.5) = 2*2.5^2 + (-2)*2.5 + 1 = 11.25 - 5 + 1 = 7.25因此，在已知数据点（1，1）、（2，3）、（3，7）的情况下，当x=2.5时，y的值为7.25。
第二章插值法习题及解答
=
5 4
= 1.25
1
3. 已知函数 y =
的一组数据：
1+ x2
xi 0 1 2
yi 1 0.5 0.2
求分段线性插值函数，并计算 f (1.5) 的
近似值.
解答 解 x ∈[0,1] ， L% ( x) = x −1×1+ x − 0 × 0.5 = 1− 0.5x
0−1 1−0
x ∈[1, 2] ， L% ( x) = x − 2 × 0.5 + x −1× 0.2 = −0.3x + 0.8
2
3
Ak f ( xk ) ，那么
3
Ak = （
）
k =0
k =0
A．1
B. 2
C. 3
D. 4
答：C
3．过点(x0,y0), (x1,y1)，…，(x5,y5)的插值多项式 P(x)是( )次的多项式。
(A). 6 (B).5
(C).4
(D).3．
答：B
三、证明题
1. 设 f (x) = (x-1) (x-2) .证明对任意的 x 有： f [1, 2, x)]= 1
= [0 - (x-1)]/ (1 – x)
=1
2.设
在
上具有二阶连续导数，且
，求证：
解：由
，则 在 ，于是由
的线性插值多项式为：
，可得：
3． 试利用差分性质证明： 证明：记：
可以证明：
，
又：
故：
.
四、计算题：
1.．已知数值表
x
0.5
0.6
0.7
f (x)
0.47943 0.56464 0.64422
二次插值计算例题
二次插值计算例题二次插值是数学中常用的一种近似计算方法，通过已知的离散数据点构造二次函数，进而求解给定数据处的函数值，从而实现插值计算。
二次插值方法在实际应用中经常被广泛地使用，例如在图像和声音信号处理、数学模型和物理现象等方面。
在二次插值计算中，需要假设有三个已知数据点，分别为$(x_0,y_0)$，$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，其中$x_0<x_1<x_2$。
在这三个点之间构造二次函数$y=ax^2+bx+c$，并且要满足函数在这三个点处的取值与已知数据相同，即满足以下三个方程组：$$y_0=ax_0^2+bx_0+c \\y_1=ax_1^2+bx_1+c \\y_2=ax_2^2+bx_2+c$$通过解这个方程组得到二次函数的系数$a$、$b$和$c$，进而求得在给定数据点处的函数值。
求解这个方程组的方法，可以使用高斯消元法、矩阵求逆法或拉格朗日插值法等多种计算方法。
其中拉格朗日插值法是一种比较常用的方法。
通过拉格朗日插值法可以构造出一个满足给定数据点的二次函数，其具体方法如下：$$L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} \\L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} \\L_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$$构造出三个拉格朗日插值基函数$L_0(x)$、$L_1(x)$和$L_2(x)$，满足$L_i(x_j)=\delta_{ij}$。
其中，$\delta_{ij}$为克罗内克 delta 函数，当$i=j$时取值为1，否则取值为0。
通过将这三个插值基函数与已知数据点进行组合，可以得到一个满足插值条件的二次函数：$$y(x)=L_0(x)y_0+L_1(x)y_1+L_2(x)y_2$$利用这个二次函数，可以计算任意给定位置$x$处的函数值$y(x)$。
数值分析实验报告线性插值和二次插值计算ln0.54的近似值
数值分析实验报告线性插值和二次插值计算ln0.54的近似值数值分析实验报告线性插值和二次插值计算ln0.54的近似值篇一：数值分析-用线性插值及二次插值计算数值分析上机报告习题：给出f(x)?lnx的数值表，用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。
解：(1)用线性插值计算 Matla b程序 x=0.54; a=[0.5,0.6];b=[-0.693147,-0.510826]; l1=b (1)*((x-a(2))/(a(1)-a (2))); l2=b(2)*((x-a(1))/(a(2)-a(1))); y=l1+l2 y = -0.6202（2）用抛物插值计算 Ma tlab程序 x=0.54; a=[0.4,0.5,0.6]; b=[-0.916291,-0.693147,-0.510826]; A=b(1)*(x-a(2))*(x-a(3))/((a (1)-a(2))*(a(1)-a(3))); B=b(2)*(x-a (1))*(x-a(3))/((a(2)-a(1))*(a(2)-a(3))); C=b(3)*(x-a(1))*(x-a(2))/((a(3)-a(1))*(a(3)-a(2)));y=A+B+C y= -0.6153篇二：数值分析上机实验报告二实验报告二题目：如何求解插值函数摘要：在工程测量和科学实验中，所得到的数据通常都是离散的，如果要得到这些离散点意外的其他点的数值，就需要根据这些已知数据进行插值。
这里我们将采用多种插值方法。
前言：（目的和意义）掌握Lagrange,Netn,Hermi te,线性，三次样条插值法的原理及应用，并能求解相应问题。
数学原理：主要的插值法有：多项式插值法、拉格朗日插值法、线性插值法、牛顿插值法，H ermite插值法三次样条插值法等。
2次插值
，并求这个插值函数
该法是以目标函数的二次插值函数的极小点作为新的中间插入点，进行区 是以目标函数的二次插值函数的极小点作为新的中间插入点， 的一维搜索方法。 间缩小的一维搜索方法。 α 设一元函数 f (α ) ，在单峰区间 [ α 1 , α 3 ] 内取一点 2 且 α 1 < α 2 < α 3 这三点对应的函数值分别为
之值代入式 将B，C之值代入式(2-32)，可求得 ， 之值代入 ，
α2 2 2 B 1 (α 2 − α32 ) f1 + (α32 − α12 ) f 2 + (α12 − α 2 ) f3 α =− = 2C 2 (α 2 − α3 ) f1 + (α3 − α1 ) f 2 + (α1 − α 2 ) f3
∗
图2-25（a） （ ）
图2-25 （b） ）
图2-25（c） （ ）
图2-25（d） （ ）
判断迭代终止条件
α 在一般情况下，因α 2 是前一次插值函数的极小值点， * 是本次插值函数的极 在一般情况下， 是前一次插值函数的极小值点， p * * * α 小值点， 的距离足够小时， 小值点，若α p 和α 2 的距离足够小时，即满足 α p − α 2 ≤ ε ，或 α p 和 2 两者原函数 值已很接近， 则停止迭代，这时， 值已很接近，即满足 | f 4 − f 2 |≤ ε ，则停止迭代，这时，若 f 4 < f 2 ，输出极小 值点 4 = α ∗ ，极小值 = f (α ∗ ) ; α f4 ∗ 否则， 否则，即 f 4 ≥ f 2 时，输出极小值点α 2 = α ，极小值 f 2 = f (α ∗ ) 。如不 满足上述迭代终止条件，则返回步骤(3)，再次缩短搜索区间，直至最后满足终止 满足上述迭代终止条件，则返回步骤 ，再次缩短搜索区间， 条件。 条件。
求的二次插值多项式
第二章 插值法1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。
解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+--则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。
解：由表格知，01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=-若采用线性插值法计算ln 0.54即(0.54)f ， 则0.50.540.6<<2112122111122()10(0.6)()10(0.5)()()()()()x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----==---=+6.93147(0.6) 5.10826(x x =--- 1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈-若采用二次插值法计算ln 0.54时，1200102021101201220212001122()()()50(0.5)(0.6)()()()()()100(0.4)(0.6)()()()()()50(0.4)(0.5)()()()()()()()()()x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------==----=++500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5x x x x x x =-⨯--+---⨯--2(0.54)0.615319840.615320L ∴=-≈- 3．给全cos ,090x x ≤≤ 的函数表，步长1(1/60),h '== 若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。
(完整word版)二次插值法
一维无约束优化算法——二次插值法二次插值法亦是用于一元函数在确定的初始区间内搜索极小点的一种方法。
它属于曲线拟合方法的范畴。
一、基本原理在求解一元函数的极小点时，常常利用一个低次插值多项式来逼近原目标函数，然后求该多项式的极小点(低次多项式的极小点比较容易计算)，并以此作为目标函数的近似极小点。
如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时，可以反复使用此法，逐次拟合，直到满足给定的精度时为止。
常用的插值多项式为二次或三次多项式，分别称为二次插值法和三次插值法。
这里我们主要介绍二次插值法的计算公式。
假定目标函数在初始搜索区间中有三点、和，其函数值分别为、和(图1}，且满足，，即满足函数值为两头大中间小的性质。
利用这三点及相应的函数值作一条二次曲线，其函数为一个二次多项式，式中、、为待定系数。
图1根据插值条件，插值函数与原函数在插值结点、、处函数值相等，得（2）为求插值多项式的极小点，可令其一阶导数为零，即（3）解式(3)即求得插值函数的极小点（4）式(4)中要确定的系数可在方程组(2)中利用相邻两个方程消去而得:（5）（6）将式(5)、(6)代入式(4)便得插值函数极小值点的计算公式：（7）把取作区间内的另一个计算点，比较与两点函数值的大小，在保持两头大中间小的前提下缩短搜索区间，从而构成新的三点搜索区间，再继续按上述方法进行三点二次插值运算，直到满足规定的精度要求为止，把得到的最后的作为的近似极小值点。
上述求极值点的方法称为三点二次插值法。
为便于计算，可将式(7)改写为（8）式中：（9）（10）二．程序框图给定hyyyaaa,,,,,,313,212开始三．例题及其程序代码1.用二次差值法求f(α)=sinα在4≤α≤5上的极小值2.程序(1) function y=f(x)y=sin(x); …………………….%定义f文件（2）c1=(y3-y1)/(x3-x1);c2=((y2-y1)/(x2-x1)-c1)/(x2-x3);ap=0.5*(x1+x3-c1/c2);yp=f(ap);……………………%定义f1文件（3）x1=4;x2=4.5;x3=5;e=0.001;y1=f(x1);y2=f(x2);y3=f(x3); ………………%确定初始差值节点h=0.1;c1=(y3-y1)/(x3-x1);c2=((y2-y1)/(x2-x1)-c1)/(x2-x3);ap=0.5*(x1+x3-c1/c2);yp=f(ap);…% 计算二次插值函数极小点while (abs((y2-yp)/y2)<e)....%判断迭代终止if ((ap-x2)*h>0) 条件if(y2>=yp)x1=x2;y1=y2;x2=ap;y2=yp;f1;elsex3=ap;y3=yp;f1;endelseif (y2>=yp)x3=x2;y3=y2;x2=ap;y2=yp;f1;elsex1=ap;y1=yp;f1;…………………..%缩短搜索区间end(完整word版)二次插值法endif (y2<yp)xo=x2;yo=y2;elsexo=ap;yo=yp;endxoyo(完整word版)二次插值法四结果分析经过MATLAB运算，结果如上，与解析法运算结果相同，说明二次差值的效果很好。
二次插值法例题
三点二次插值法例1. 用三点二次插值法求解：3min ()21t t t ϕ=-+，精度210ε-=。
解：首先找出满足123()()()t t t ϕϕϕ><且123t t t <<的1t ，2t ，3t ； 易知，10t =，20t =，30t =； 第一次迭代：1()1t ϕ=，2()0t ϕ=，3()22t ϕ=，代入公式，得：0.625μ=， 由于()()20.0060t ϕμϕ=-<=， 并且20.375t με-=>，则继续迭代；这时迭代点：123t t t μ<<<且12()()()t t ϕϕμϕ><， 则令：110t t ==，20.625t μ==，321t t == 第二次迭代：()11t ϕ=，()20.006t ϕ=-，()30t ϕ=，代入公式，得：0.808μ=， 由于2()0.089()0.006t ϕμϕ=-<=-， 并且 20.183t με-=>，则继续迭代； 这时迭代点：123t t t μ<<<且23()()()t t ϕϕμϕ><，则令：120.625t t ==，20.808t μ==，331t t == 第三次迭代：()10.006t ϕ=-，()20.089t ϕ=-，()30t ϕ=，代入公式，得：0.815μ=，由于2()0.089()0.006t ϕμϕ=-==-， 并且 20.007t με-=<，则停止迭代， 输出近似最优解为0.815μ=或0.808μ=。
例2 用三点二次插值法求：30min ()32t t t t ϕ≥=-+的近似最优解（精确极小点*1t =），设已确定其初始搜索区间为[]0,3，取初始插值点02t =，终止误差0.05ε=。
解：1t =，22t =，33t =，第一次迭代：()12t ϕ=，()24t ϕ=，()320t ϕ=，代入公式，得：0.9μ=， 由于2()0.029()4t ϕμϕ=-<=， 并且 2 1.1t με-=>，则继续迭代；这时迭代点：123t t t μ<<<且12()()()t t ϕϕμϕ><， 则令：110t t ==，20.9t μ==，322t t == 第二次迭代：()12t ϕ=，()20.029t ϕ=，()34t ϕ=，代入公式，得：0.82759μ=， 由于2()0.08405()0.029t ϕμϕ=>=， 并且 20.07241t με-=>，则继续迭代； 这时迭代点：123t t t μ<<<且23()()()t t ϕμϕϕ><，则令：10.82759t μ==，220.9t t ==，332t t == 第三次迭代：()10.08405t ϕ=，()20.029t ϕ=，()34t ϕ=，代入公式，得：0.96577μ=， 由于2()0.00347()0.029t ϕμϕ=-<=， 并且 20.06577t με-=>，则继续迭代； 这时迭代点：123t t t μ<<<且23()()()t t ϕϕμϕ><， 则令：120.9t t ==，20.96577t μ==，332t t == 第三次迭代：()10.029t ϕ=，()20.00347t ϕ=，()34t ϕ=，代入公式，得：0.98308μ=， 由于2()0.00086()0.00347t ϕμϕ=<=， 并且 20.01731t με-=<，则停止迭代， 输出近似最优解为0.98308μ=。
二次牛顿插值多项式例题
二次牛顿插值多项式例题牛顿插值多项式是一种常用的数值插值方法，它可以用于求解离散数据点的加权平均值。
二次牛顿插值多项式是其中一种常见的形式，它可以用来插值求解二次函数。
下面是二次牛顿插值多项式的例题: 假设我们有一个离散的数据点集{x1, x2, ..., xn}和相应的数值 y1, y2, ..., yn，我们需要用二次牛顿插值多项式来插值求解 y 关于 x 的函数。
首先，我们需要计算出牛顿插值多项式的根 x0, x1, ..., xn-1，这些根可以通过求解二次方程来实现。
具体地，我们可以将二次方程f(x) = 0 求解得到 x0, x1, ..., xn-1，其中 f(x) 是牛顿插值多项式的系数。
然后，我们可以使用这些根来计算出牛顿插值多项式的各项系数。
具体地，我们可以使用下面的公式来计算牛顿插值多项式的系数:a0 = y0 / (x0 - x1)a1 = y1 / (x0 - x1) - a0 * f"(x1) / f(x1)a2 = y2 / (x0 - x1) - a1 * f"(x1) / f(x1) - a0 * f""(x1) / (f(x1))^2...an = yn / (x0 - x1) - a(n-1) * f"(x1) / f(x1) - a(n-2) * f""(x1) / (f(x1))^2 - ... - a0 * f"""(x1) / (f(x1))^3 + ...其中，f"(x) 表示 f(x) 的一阶导数，f""(x) 表示 f(x) 的二阶导数，以此类推。
最后，我们可以使用这些系数来计算出牛顿插值多项式的输出值y。
具体地，我们可以使用下面的公式来计算牛顿插值多项式的输出值:y = a0 * (x0 - x1) + a1 * (x0 - x1) * f"(x1) + a2 * (x0 - x1) * f""(x1) + ... + an * (x0 - x1) * f"""(x1) + ...以上就是二次牛顿插值多项式的例题。
二次插值计算例题
二次插值计算例题二次插值是一种通过已知数据点的值来估计未知数据点的值的插值方法。
它被广泛应用于数值分析、数值计算、图像处理等领域。
假设我们已知某个函数在三个点上的取值为f(x0)，f(x1)和f(x2)，并且这三个点在实数轴上呈等距离分布，即x1-x0 = x2-x1 = h。
我们需要估计函数在另一个点x的取值。
首先，我们假设函数f(x)是一个二次多项式：f(x) = ax^2 + bx + c。
我们可以利用这个假设来计算参数a、b和c的值。
通过代入已知点的坐标，我们可以得到三个方程：f(x0) = ax0^2 + bx0 + cf(x1) = ax1^2 + bx1 + cf(x2) = ax2^2 + bx2 + c解这个方程组，可以得到参数a、b和c的值：a = (f(x0) - 2f(x1) + f(x2)) / (h^2)b = (f(x2) - f(x0))/(2h) - a*hc = f(x1) - a*x1^2 - b*x1然后，我们可以利用得到的参数值来计算函数在点x处的值。
这个计算公式为：f(x) = ax^2 + bx + c通过这样的计算过程，我们可以估计函数在任意位置的值。
值得注意的是，二次插值的精度依赖于已知数据点的数量和分布。
通常情况下，更多的数据点会得到更准确的估计值。
另外，如果我们想要插值出一个连续函数而不是一个二次多项式，可以使用拉格朗日插值方法。
该方法基于拉格朗日多项式，通过多个已知数据点的线性组合来估计未知数据点的值。
这个方法的详细推导可以参考数值分析、插值和逼近等数学教材。
总结起来，二次插值是一种能够通过已知数据点的值来估计未知数据点的值的方法。
它利用二次多项式的假设和已知点的坐标信息，通过求解一个方程组来计算函数的参数值，然后利用这些参数值来计算函数在其他位置的值。
二次插值可以应用于各种数值计算和图像处理的应用中，但需要注意已知数据点的数量和分布对插值结果的影响。
数值分析作业(第二章)
数值分析作业（第二章）习题1. 当x=1,-1,2时，f(x)=0,-3,4,求()f x 的二次插值多项式。
（1）用单项式基底； （2）用拉格朗日插值基底； （3）用牛顿基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解：（1）假设f(x)的二次插值多项式为：2210()f x a x a x a =++由于 x=1,-1,2时，f(x)=0,-3,4则有 2100a a a ++=；2103a a a -+=-；210424a a a ++=求得 256a =；132a =；073a =- 则有 2537()623f x x x =+-（2）用拉格朗日插值基底： 由于 0121,1,2,x x x ==-=012()0,()3,()4;f x f x f x ==-=则有 1200102()()1()(1)(2)()()2x x x x l x x x x x x x --==-+---0211012()()1()(1)(2)()()6x x x x l x x x x x x x --==----0122021()()1()(1)(1)()()3x x x x l x x x x x x x --==-+--拉格朗日插值多项式为：220011220()()()()()()()()k k k L x y l x f x l x f x l x f x l x ===++∑2537623x x =+- 则f(x)二次插值多项式为：22537()623L x x x =+-（3）采用牛顿基底： 均差表如下所示：则有牛顿插值多项式为：[][]2001001201()(),(),,()()N x f x f x x x x f x x x x x x x =+-+-- 2537623x x =+- 则f(x)二次插值多项式为：22537()623L x x x =+- 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
2、插值法部分练习题
1、已知 f （x ）=ln x 的数值表如下，分别用线性及二次 Lagrange 插值法计算f (0.54) 的近似值，并估计误差。
解：（1）线性插值法：因为()ln f x x = 时递增函数，所以取0.5和0.6为插值节点。
则线性插值多项式为：0011()()()()f x F x f l x f l x ==+0.540.60.540.5(0.54)(0.54)(0.5)(0.6)0.50.60.60.50.6930.6(0.510)0.40.6198f F f f --≈=+-- =-⨯+-⨯=-截断误差：101011()''()()(),(,)2R x f x x x x x x ξξ=--∈ 121(0.54)0.0012R ξ=11(0.5,0.6)110.0012(0.54)0.00120.360.25,0.0032(0.54)0.0048R R ξ∈∴⨯<<⨯<<即 （2）二次lagrange 插值法：A ：若取0.4，0.5和0.6为插值点，0120.916,0.693,0.510f f f =-=-=-012(0.540.5)(0.540.6)0.12(0.40.5)(0.40.6)(0.540.4)(0.540.6)0.84(0.50.4)(0.50.6)(0.540.4)(0.540.5)0.28(0.60.4)(0.60.5)l l l --==-----==----==--001122(0.54)(0.54)(0.54)(0.54)(0.54)0.615f F f l f l f l ≈=++=-截断误差：20121()'''()()()()3!R x f x x x x x x ξ=---则231(0.54)0.000112R ξ=333233[0.4,0.6],()111,0.60.4110.000112(0.54)0.0001120.40.6f x R ξξ∈∴<<-⨯<<-⨯递增；即20.00175(0.54)0.000519R -<<-B ：若取0.5，0.6和0.7为插值点，0120.693,0.510,0.357f f f =-=-=-012(0.540.6)(0.540.7)0.48(0.50.6)(0.50.7)(0.540.5)(0.540.7)0.64(0.60.5)(0.60.7)(0.540.5)(0.540.6)0.12(0.70.5)(0.70.6)l l l --==----==----==---001122(0.54)(0.54)(0.54)(0.54)(0.54)0.6162f F f l f l f l ≈=++=-截断误差：20121()'''()()()()3!R x f x x x x x x ξ=--- 则231(0.54)0.000128R ξ=333233[0.5,0.7],()111,0.70.5110.000128(0.54)0.0001280.70.5f x R ξξ∈∴<<⨯<<⨯递增；即20.000373(0.54)0.001024R <<2、已知f(x)=e -x 的一组数据见下表，用抛物插值法计算e -2.1的近似值。
计算物理学(刘金远)第-3-章-函数近似方法(课后习题及答案)
第３章函数近似方法（习题及答案）§3.1插值法【3.1.1】已知sin()x 在030,45,60的值分别为1/2，分别用一次插值和二次插值求0sin(50)近似值。
【3.1.2】误差函数的数据表：x 0.460.470.480.49…f(x)0.48465550.49374520.50274980.5116683…利用二次插值计算：（1）(0.472)f ;(2)()0.5,?f x x ==【3.1.3】【3.1.4】已知列表函数x -101y-15-5-3给出二次插值函数【解】0(0)(1)1()(1)(10)(11)2x x l x x x --==-----;1(1)(1)()(1)(1)(01)(01)x x l x x x +-==--++-2(1)(0)1()(1)(11)(10)2x x l x x x +-==++-2153()(1)5(1)(1)(1)22L x x x x x x x =--+-+--【3.1.5】已知,3)9(,2)4(==f f 用线性插值计算)5(f ，并估计误差。
【解】取插值节点014, 9x x ==，两个插值基函数分别为)9(51)(1010--=--=x x x x x x l )4(51)(0101-=--=x x x x x x l 故有565)4(53)9(52)()()(11001+=-+--=+=x x x y x l y x l x L 2.25655)5()5(1=+=»L f 误差为)(2)95)(45(!2)()5(2x x f f R ¢¢-=--¢¢=【3.1.6】已知(1)2,(1)1,(2)1f f f -===，求()f x 的二次拉格郎日插值多项式【解】22(1)(2)(1)(2)(1)(1)()21(11)(12)(11)(12)(21)(21)1(38)6x x x x x x L x x x --+-+-=++----+-+-=-+【3.1.7】求经过(0,1),(1,2),(2,3)A B C 三点的二次拉格郎日插值多项式【解】22(1)(2)(0)(2)(0)(1)()123(01)(02)(10)(12)(20)(21)1(343)2x x x x x x L x x x ------=++------=-+【3.1.8】编写拉格朗日三点插值程序，绘出)cos(x y =在[p ,0]区间的插值曲线，将[p ,0]区间8等份（9个插值点），由插值函数取25个点绘出插值曲线。
数值分析课后习题及答案
数值分析课后习题及答案第一章绪论（12）第二章插值法（40-42）2、当时，，求的二次插值多项式。
[解]。
3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 [解]若取，，则，，则，从而。
若取，，，则，，，则，从而补充题：1、令，，写出的一次插值多项式，并估计插值余项。
[解]由，可知，，余项为，故。
2、设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。
[解]由插值余项定理，有，从而。
5、给定数据表：，1 2 4 6 7 4 1 0 1 1 求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。
[解]一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 1 42 1 -34 0 6 17 1 0 由差商表可得4次牛顿插值多项式为：，插值余项为。
第三章函数逼近与计算（80-82）26、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。
19 25 31 38 44 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8[解]由。
又，，，故法方程为，解得。
均方误差为。
27、观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t（秒）0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s（米）0 10 30 5080 110 [解]设直线运动为二次多项式，则由。
，。
又，，，故法方程为，解得。
故直线运动为。
补充题：1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表：I ……U ……试用最小二乘原理确定电阻R的大小。
[解]电流、电阻与电压之间满足如下关系：。
应用最小二乘原理，求R使得达到最小。
对求导得到：。
令，得到电阻R为。
2、对于某个长度测量了n次，得到n个近似值，通常取平均值作为所求长度，请说明理由。
[解]令，求x使得达到最小。
对求导得到：，令，得到，这说明取平均值在最小二乘意义下误差达到最小。
插值法-第二次程序题
插值法题目1：对函数在区间[-1,1]作下列插值逼近，并和的图像进行比较，并对结果进行分析。
(1)用等距节点，200,1.0,-1≤≤=+=i h ih x i 绘出它的20次Newton 插值多项式的图像。
(2)用节点）20，，2,1，0（,）4212cos(⋅⋅⋅=+=i i x i π，绘出它的20次Lagrange 插值多项式的图像。
(3)用等距节点，200,1.0,-1≤≤=+=i h ih x i 绘出它的分段线性插值函数的图像。
(4)用等距节点，200,1.0,-1≤≤=+=i h ih x i 绘出它的三次自然样条插值函数的图像。
程序及分析：(1)用等距节点，200,1.0,-1≤≤=+=i h ih x i 绘出它的20次Newton 插值多项式的图像。
Matlab 程序如下：%计算均差x=[-1::1];n=length(x);syms zfor i=1:ny(i)=1/(1+25*x(i)*x(i));endN=zeros(n,n);N(:,1)=y';for j=2:nfor k=j:nN(k,j)=(N(k,j-1)-N(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1));endendfor t=1:nc(t)=N(t,t)end%构造插值多项式f=N(1,1);for k=2:na=1;for r=1:(k-1)a=a*(z-x(r));endf=f+N(k,k)*a;end%作图a=[-1::1];n=length(a);for i=1:nb(i)=1/(1+25*a(i)*a(i));endfx=subs(f,z,a);subplot(2,1,1);plot(a,b,'k',a,fx,'r');c=[::];n=length(c);for i=1:nd(i)=1/(1+25*c(i)*c(i));endfx=subs(f,z,c);subplot(2,1,2);plot(c,d,'k',c,fx,'r');结果与分析：由下图可以看出，在区间[,]上，插值多项式可以很好的逼近被插值函数。
二次插值法无约束最优化
Matlab 实践1、二次插值法无约束最优化算法说明：在包含f （x ）极小值x0的区间【a b 】，给定三点x1、x2、x3，其对应的函数值分别为f1、f2、f3，且满足x1<x2<x3。
可以构造二次函数q （x ），使其在三点处的函数值等于f （x ）对应的函数值。
可以根据q ’（x ）=0，求得该二项式取最小值时的点x0，如下所示：)23)(13(32)32)(12(22)31)(21(12)23)(13(3)21()32)(12(2)31()31)(21(1)32(0x x x x f x x x x f x x x x f x x x x f x x x x x x f x x x x x x f x x x --+--+----++--++--+=根据求出x0的大小情况确定取代三点中的某一点，直到|x3-x1|<ε1,|f3-f1|<ε2时停止迭代，并令x0为对应最小值的点。
算法步骤：步骤一：比较x0和x2的大小，如果x0>x2，转步骤二；否则转步骤三；步骤二：如果f0<f2，则令x1<=x2，x2<=x0，转步骤四；否则令x3<=x0，转步骤四； 步骤三：如果f0<f2，则令x2<=x0，x3<=x2，转步骤四；否则令x1<=x0，转步骤四； 步骤四：区间收缩完毕，在新的[x1，x2]计算x0。
流程图：算法举例：f （x ）=（x 2-2）2/2-1，x ∈[0,5]2、拉压杆系的静不定问题。
求各杆的轴力Ni 及节点C 的位移，已知桁架结构如图所示，各杆横截面积分别为Ai ，材料的弹性模量为E 。
算法说明：假设各杆均受拉力，C 点因各杆变形而引起的x 方向位移△x ，y 方向位移△y ，由几何关系，的变形方程：i i i ii i y x EA L N L ααsin cos ∆+∆==∆ i=1，……，n 令K i =iiEA L ， 故0sin cos =∆-∆-i i i i y x N K αα，再加上平面共点力系的两个平衡方程∑=nii iP Nααcos cosααsin sin P Nnii i=∑共有n+2个方程，其中包括n 个轴力和两个待求位移△x ，△y ，方程组可解。
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二次插值法例题
二次插值法是一种用于求解离散数据点的插值方法。
它通过构造一个二次函数来逼近数据点的趋势。
下面是一个二次插值法的例题: 假设我们有一些离散的数据点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), ldots, (x_n, y_n)$ ,要求构造一个二次函数 $f(x)$ ,使得 $f(x_i) approx y_i$ 。
首先，我们可以用二次插值法求解一个近似的 $f(x)$ ,使得
$f(x_i) approx y_i$ 。
具体来说，我们可以用以下的方法构造一个二次函数:
1. 选取 $n$ 个插值节点 $(x_i, y_i)$ ,其中 $i=1, 2, ldots, n$ 。
2. 计算这些节点之间的差分，即 $d_i = y_i - f(x_i)$ 。
3. 对 $d_i$ 用二次函数进行拟合，得到二次函数 $f(x)$ 的系数。
具体来说，我们可以使用以下的方法得到系数:
- 对于 $i=1, 2, ldots, n-1$,计算 $d_i$ 和 $d_{i+1}$ 之间的差分，即 $d"_i = d_i - d_{i+1}$ 。
- 对 $d"_i$ 用二次函数进行拟合，得到二次函数 $f(x)$ 在$(x_i, y_i)$ 点的值。
具体来说，我们可以使用以下的方法得到系数:
- 如果 $i=1$,则 $f(x_1) = y_1$ 。
- 如果 $i=n$,则 $f(x_n) = y_n$ 。
- 如果 $1 < i leq n-1$,则 $f(x_i) = y_i + (d"_i)^2/2$ 。
- 如果 $i=n$,则 $f(x_n) = y_n$ 。
4. 最后，将 $f(x)$ 应用到 $(x_i, y_i)$ 点上，即可得到插值结果。
上述二次插值法只能用于求解离散数据点的插值问题，不能用于求解连续问题。
如果需要求解连续问题，则需要使用其他的插值方法，例如分段线性插值、分段三次样条插值等。