三角形全等之动点问题(讲义及答案)

三角形全等之动点问题（讲义）

课前预习

已知：如图，AB=18 cm，动点P从点A出发，沿AB以2 cm/s的速度向点

B运动，动点Q从点B出发，沿BA以1 cm/s的速度向点A运动．P，Q两

点同时出发，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设点P运动的

时间为t秒，请解答下列问题：

（1）AP=_______，QB=_______（含t的式子表达）；

（2）在P，Q相遇之前，若P，Q两点相距6 cm，则此时t的值为

_______．

知识点睛

由点（___________）的运动产生的几何问题称为动点问题．

动点问题的解决方法：

1.研究_____________；

2.分析_____________，分段；

3.表达_____________，建等式．

精讲精练

1.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边

AD上一点，且AE=7．动点P从点B出发，以每秒2个单

A E D

P C

B

位的速度沿BC 向点C 运动，连接AP ，DP ．设点P 运动时间为t 秒．（1）当t =1.5时，△ABP 与△CDE 是否全等？请说明理由；（2）当t 为何值时，△DCP ≌△CDE ．

2.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AD =12，BC =24，动点P 从点A 出发以每秒1个单位的速度沿AD 向点D 运动，动点Q 从点C 出发以每秒2个单位的速度沿CB 向点B 运动，P ，Q 同时出发，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止，连接PQ ，DQ ．设点P 运动时间为x 秒，请求出当x 为何值时，△PDQ ≌△CQD ．

Q P

D

C

B A

3.已知：如图，在△ABC 中，AB =AC =10 cm ，BC =8 cm ，点D 为AB 的中点．点P 在线段BC 上以每秒3 cm 的速度由点B 向点C 运动，同时点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动．设点P 运动时间为t 秒，若某一时刻△BPD 与△CQP 全等，求此时t 的值及点Q 的运动速度．

D

C

B

A

4.已知：如图，正方形ABCD的边长为10 cm，点E在边AB上，且AE=4

cm，点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q 在线段CD上由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．

5.已知：如图，在长方形ABCD 中，AB =DC =4，AD =BC =5．延长BC 到E ，使CE =2，连接DE ．动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC -CD -DA 向终点A 运动，设点P 运动时间为t 秒．（1）请用含t 的式子表达△ABP 的面积S ．

（2）是否存在某个t 值，使得△DCP 和△DCE 全等？若存在，请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．

E

D

C B A

6.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=CD=3 cm，AD=BC=5 cm，动点P从

点B出发，以每秒1 cm的速度沿BC方向向点C运动，动点Q从点C出

发，以每秒2 cm的速度沿CD-DA-AB向点B运动，P，Q同时出发，当点

P停止运动时，点Q也随之停止，设点P运动时间为t

秒．请回答下列问题：Array（1）请用含t的式子表达△CPQ的面积S，并直接写出t的

取值范围．

（2）是否存在某个t值，使得△ABP和△CDQ全等？若存

在，请求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．

A

D

C

B

【参考答案】

课前预习

（1）2t，t

（2）4s

知识点睛

速度已知

1．研究背景图形，标注；

2．分析运动过程，分段；

3．表达线段长，建等式．

精讲精练

1.解：（1）当t=1.5时，△ABP≌△CDE．

理由如下：

如图，由题意得BP=2t

∴当t=1.5时，BP=3

∵AE=7，AD=10

∴DE=3

∴BP=DE

在矩形ABCD 中AB =CD ，∠B =∠CDE 在△ABP 和△CDE 中

AB CD B CDE BP DE =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ABP ≌△CDE （SAS ）（2）如图，由题意得BP =2t ∵BC =10∴CP =10-2t

若使△DCP ≌△CDE ，则需CP =DE 即10-2t =3，t =

72

∴当t =7

2

时，△DCP ≌△CDE ．

2.

解：如图，由题意得AP =x ，CQ =2x

∵AD =12∴DP =12-x

要使△PDQ ≌△CQD ，则需DP =QC 即12-x =2x ，x =4

∴当x =4时，△PDQ ≌△CQD ．

3.解：如图，由题意得BP =3t

∵BC =8∴PC =8-3t

∵AB =10，D 为AB 中点

∴BD =1

2

AB =5

①要使△BDP ≌△CPQ ，则需BD =CP ，BP =CQ 即5=8-3t ，t =1∴CQ =3t =3

则Q 的速度为Q v =s t =3

1

=3（cm/s ）

即当t =1，Q 的速度为每秒3cm 时，△BDP ≌△CPQ ．②要使△BDP ≌△CQP ，则需BP =CP ，BD =CQ 即3t =8-3t ，CQ =5