圆复习课课件
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圆的相关概念
1.圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点 所组成的图形叫做圆；其中定点称为圆心，定长称为 半径。 2．圆有对称性 （1）圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线； 对称轴有无数多条。 （2）圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
3．圆中的有关概念： （1）弦：连结圆上任意两点间的线段叫做弦，经过 圆心的弦是直径． （2）．圆上任意两点间的部分叫做弧；大于半圆的 弧叫优弧；小于半圆的弧叫做劣弧。半圆也是弧．
A、1∶2∶3∶4
B、1∶3∶2∶4
C、4∶2∶3∶1
D、4∶2∶1∶3
练：有两个同心圆，半径分别为Ｒ和r， Ｐ是圆环内一点，则ＯＰ的取值 范围是＿r＿<O＿P<＿R ＿.
OP
五.直线与圆的位置关系
r ●O ┐d
相交
r ●O
d ┐ 相切
1、直线和圆相交
d < r;
2、直线和圆相切 3、直线和圆相离
⌒⌒
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
三、圆周角定理ຫໍສະໝຸດ Baidu推论
D
C
C
B
E
●O A
●O
BA
●O
B
A
C
定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧 所对的圆心角的一半.
推论:直径所对的圆周角是 直角 .
90°的圆周角所对的弦是 直径 .
判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等. (×)
(2)相等的圆周角所对的弧相等. (×)
(3) 等弧所对的圆周角相等.
(√)
1、如图1，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，弧AC度数为60°，
OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，则AB=_____，4B0C=_____；10 14
2、 如图2，⊙O中弧AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，那 么∠BOC等于 ( c )；
（3）．在同或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧。
4．圆心角、弧、弦三者之间的关系： （1）.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弦相等，所对的弧相等。
(2).在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆心角 相等,圆心角所对的弧也相等. (3).相等的弧所对的圆心角相等,所对的弦相 等. 5．一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角 的一半,同弧或等弧所对的圆周角相等. 6．半圆或直径所对的圆周角相等，都等于; 的圆周角所对的弦是直径;所对的弧是半圆.
d = r; d > r.
r ●O d
┐ 相离
切线的判定定理
• 定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线.
如图
∵OA是⊙O的半径, 且CD⊥OA,
∴ CD是⊙O的切线.
●O
C
A
D
（１）定义
（２）圆心到直线的距离d＝圆的半径r
（３）切线的判定定理：经过半径的外端, 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定定理的两种应用
1、如果已知直线与圆有交点，往往要 作出过这一点的半径，再证明直线垂直
于这条半径即可；
2、如果不明确直线与圆的交点，往往要 作出圆心到直线的垂线段，再证明这条
垂线段等于半径即可．
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
∵CD切⊙O于Ａ, OA是⊙O的 半径
∴CD⊥OA.
P
B
设AB=12，则两圆构成圆环面积为_____；
O
3、下列四个命题中正确的是（ c ）．
①与圆有公共点的直线是该圆的切线 ； ②垂直于圆的 半径的直线是该圆的切线 ； ③到圆心的距离等于半径 的直线是该圆的切线 ；④过圆直径的端点，垂直于此 直径的直线是该圆的切线．
一、垂径定理
1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分
弦所的两条弧. C
A
B
M└
若 ① CD是直径
●O
② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
重视：模型“垂径定理直角三角形”
2、垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
C
A
┗●
M
别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是 （ D）
A．点A在⊙O内部 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外部 D．点A不在⊙O上
2、M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为10 cm，最短的弦长为8 cm，则OM= _3____ cm.
3、圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可 以是（D ）
●O
B
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
C
(1)直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦； A M└ B
(3) 平分弦 ；
(4)平分劣弧；
●O
(5)平分优弧.
知二得三
D
注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗?
(错 )
例⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD， AB=16，CD=12，则AB、CD间的 距离是_2_c_m 或14cm .
1.两条弦在圆心的同侧
2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两 条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相 等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
A
D
B
●O
┏
A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
A．150° B．130° C．120° D．60°
3、在△ABC中，∠A＝70°，若O为△ABC的外心， ∠BOC= 140° ；若O为△ABC的内心，∠BOC= 125° ．
C D
A
O
B 图1
图2
四、点和圆的位置关系
.o .p r
.p .o
Op＜r Op=r Op＞r
点p在⊙o内 点p在⊙o上 点p在⊙o外
C
●O
A
D
切线的性质定理出可理解为
如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个 ，那么
第三个也成立。①经过切点、②垂直于切线、③经过圆心。
如① ②
③
① ③
②
② ③
①
1、两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的 弦BC与小圆相切，则BC=_____ cm；
2、如图2，在以O为圆心的两个同心圆
中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点， A
.o .p
不在同一直线上的三个点确定一个
圆
（这个三角形叫做圆
的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆，圆心叫 做三角反形证的法外的心三）个步骤：
1、提出假设
2、由题设出发，引出矛盾
3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确
圆内接四边形的性质：
（1）对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内 对角
1、⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分
1.圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点 所组成的图形叫做圆；其中定点称为圆心，定长称为 半径。 2．圆有对称性 （1）圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线； 对称轴有无数多条。 （2）圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
3．圆中的有关概念： （1）弦：连结圆上任意两点间的线段叫做弦，经过 圆心的弦是直径． （2）．圆上任意两点间的部分叫做弧；大于半圆的 弧叫优弧；小于半圆的弧叫做劣弧。半圆也是弧．
A、1∶2∶3∶4
B、1∶3∶2∶4
C、4∶2∶3∶1
D、4∶2∶1∶3
练：有两个同心圆，半径分别为Ｒ和r， Ｐ是圆环内一点，则ＯＰ的取值 范围是＿r＿<O＿P<＿R ＿.
OP
五.直线与圆的位置关系
r ●O ┐d
相交
r ●O
d ┐ 相切
1、直线和圆相交
d < r;
2、直线和圆相切 3、直线和圆相离
⌒⌒
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
三、圆周角定理ຫໍສະໝຸດ Baidu推论
D
C
C
B
E
●O A
●O
BA
●O
B
A
C
定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧 所对的圆心角的一半.
推论:直径所对的圆周角是 直角 .
90°的圆周角所对的弦是 直径 .
判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等. (×)
(2)相等的圆周角所对的弧相等. (×)
(3) 等弧所对的圆周角相等.
(√)
1、如图1，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，弧AC度数为60°，
OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，则AB=_____，4B0C=_____；10 14
2、 如图2，⊙O中弧AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，那 么∠BOC等于 ( c )；
（3）．在同或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧。
4．圆心角、弧、弦三者之间的关系： （1）.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弦相等，所对的弧相等。
(2).在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆心角 相等,圆心角所对的弧也相等. (3).相等的弧所对的圆心角相等,所对的弦相 等. 5．一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角 的一半,同弧或等弧所对的圆周角相等. 6．半圆或直径所对的圆周角相等，都等于; 的圆周角所对的弦是直径;所对的弧是半圆.
d = r; d > r.
r ●O d
┐ 相离
切线的判定定理
• 定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线.
如图
∵OA是⊙O的半径, 且CD⊥OA,
∴ CD是⊙O的切线.
●O
C
A
D
（１）定义
（２）圆心到直线的距离d＝圆的半径r
（３）切线的判定定理：经过半径的外端, 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定定理的两种应用
1、如果已知直线与圆有交点，往往要 作出过这一点的半径，再证明直线垂直
于这条半径即可；
2、如果不明确直线与圆的交点，往往要 作出圆心到直线的垂线段，再证明这条
垂线段等于半径即可．
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
∵CD切⊙O于Ａ, OA是⊙O的 半径
∴CD⊥OA.
P
B
设AB=12，则两圆构成圆环面积为_____；
O
3、下列四个命题中正确的是（ c ）．
①与圆有公共点的直线是该圆的切线 ； ②垂直于圆的 半径的直线是该圆的切线 ； ③到圆心的距离等于半径 的直线是该圆的切线 ；④过圆直径的端点，垂直于此 直径的直线是该圆的切线．
一、垂径定理
1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分
弦所的两条弧. C
A
B
M└
若 ① CD是直径
●O
② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
重视：模型“垂径定理直角三角形”
2、垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
C
A
┗●
M
别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是 （ D）
A．点A在⊙O内部 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外部 D．点A不在⊙O上
2、M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为10 cm，最短的弦长为8 cm，则OM= _3____ cm.
3、圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可 以是（D ）
●O
B
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
C
(1)直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦； A M└ B
(3) 平分弦 ；
(4)平分劣弧；
●O
(5)平分优弧.
知二得三
D
注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗?
(错 )
例⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD， AB=16，CD=12，则AB、CD间的 距离是_2_c_m 或14cm .
1.两条弦在圆心的同侧
2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两 条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相 等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
A
D
B
●O
┏
A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
A．150° B．130° C．120° D．60°
3、在△ABC中，∠A＝70°，若O为△ABC的外心， ∠BOC= 140° ；若O为△ABC的内心，∠BOC= 125° ．
C D
A
O
B 图1
图2
四、点和圆的位置关系
.o .p r
.p .o
Op＜r Op=r Op＞r
点p在⊙o内 点p在⊙o上 点p在⊙o外
C
●O
A
D
切线的性质定理出可理解为
如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个 ，那么
第三个也成立。①经过切点、②垂直于切线、③经过圆心。
如① ②
③
① ③
②
② ③
①
1、两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的 弦BC与小圆相切，则BC=_____ cm；
2、如图2，在以O为圆心的两个同心圆
中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点， A
.o .p
不在同一直线上的三个点确定一个
圆
（这个三角形叫做圆
的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆，圆心叫 做三角反形证的法外的心三）个步骤：
1、提出假设
2、由题设出发，引出矛盾
3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确
圆内接四边形的性质：
（1）对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内 对角
1、⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分