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双曲函数常用公式
sinh( x y) sinh x cosh y cosh x sinh y ; cosh( x y) cosh x cosh y sinh x sinh y ; cosh2 x sinh2 x 1; sinh 2x 2 sinh x cosh x ; cosh 2x cosh2 x sinh2 x. 反双曲正弦 y arsinh x ;
1
o
1
x
3、反函数
由y f ( x)确定的y f 1( x)称为反函数.
y sinh x
4、隐函数
y f 1( x) ar sinh x
由方程F ( x, y) 0所确定的函数 y f ( x)称为隐函数.
如 y x e y 0
5、反函数与直接函数之间的关系
设函数f ( x)是一一对应
n
xn
a,或 xn
a
(n ).
" N"定义
0,N 0,使n N时,恒有 xn a .
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在正数 ,使得对于适合不等式0 x x0 的 一切x ,对应的函数值 f ( x) 都满足不等式
f (x) A ,
那末常数 A就叫函数 f ( x) 当 x x0 时的极限,记作
反双曲余弦 y arcosh x ; 反双曲正切 y artan x ;
数列极限
函数极限
lim
n
xn
a
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x x0
无穷大
lim f (x)
两者的 关系
极限存在的 充要条件
左右极限 无穷小的比较
无穷小
lim f ( x) 0
判定极限 存在的准则
两个重要 极限
等价无穷小 及其性质
无穷小 的性质
唯一性
求极限的常用方法
极限的性质
1、极限的定义
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切xn ,不
等式 xn a 都成立,那末就称常数a 是数列xn
的极限,或者称数列xn 收敛于a ,记为
lim
函数, 则
y y f 1( x)
1 f ( f 1 ( x)) f 1 ( f ( x))
x
x Df
2 y f ( x)与y f 1( x)的
图象对称于直线y x.
( f ( x), x) y f (x)
( x, f ( x))
o
x
6、基本初等函数
1）幂函数 y x (是常数)
2）指数函数 y a x (a 0, a 1) 3）对数函数 y loga x (a 0,a 1) 4）三角函数 y sin x; y cos x;
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x), x D} 称为函数的值域.
函数的分类
有 有理整函数(多项式函数) 理
代 数
函 数 有理分函数(分式函数)
初 等
函 数
函
无理函数
函数
数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
2、函数的性质 (1) 函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D,有
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
奇偶性 单调性 有界性 周期性
1、函数的定义
定义 设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数 集．如果对于每个数x D，变量 y 按照一定法 则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作 y f ( x)．
数集 D 叫做这个函数的定义域，x 叫做自变量， y 叫做因变量．
微积分讲课提纲
微积分（I） 浙江大学理学院 讲课人：朱静芬 E-mail:jfzhu@zju.edu.cn
第一章 函数与极限 习题课
一. 主要内容
二.典型例题
一、主要内容
（一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念
基本初等函数
复合函数
函数 的定义
初等函数 反函数 隐函数
双曲函数与 反双曲函数
1 o 1
x
(4) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 x D,有 ( x l) D.且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通 常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
T 1
y
y x [x]
8、初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有 限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.
9、双曲函数与反双曲函数
双曲正弦 sinh x e x ex 2
双曲余弦 cosh x e x ex 2
双曲正切 tanh x sinh x e x ex cosh x e x e x
lim f ( x) A 或
x x0
f ( x) A(当x x0 )
" "定义 0, 0,使当0 x x0 时, 恒有 f (x) A .
左极限 0, 0,使当x0 x x0时,
f ( x) f ( x) 称f ( x)为偶函数;
f (x) f (x)
y
称f ( x)为奇函数;
y
y x
y x3
o
x
偶函数
o
x
奇函数
(2) 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上
任意两点 x1及 x2，当 x1 x2时，恒有：
(1) f (x1) f (x2 ),则称函数 f (x) 在区间I上是单调增加的； 或(2) f (x1) f (x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调递减的；
y tan x; y cot x; 5）反三角函数 y arcsin x; y arccos x;
y arctan x; y arccotx
7、复合函数
设函数 y f (u) 的定义域D f ,而函数u ( x) 的 值 域 为 Z, 若 Df Z , 则 称 函 数 y f [( x)]为x 的复合函数.
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
y y x2 当 x 0 时为减函数;
当 x 0 时为增函数;
o
x
(3) 函来自百度文库的有界性:
若X D, M 0,x X ,有 f ( x) M 成立, 则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y
y 1 x
在(,0)及(0,)上无界; 在(,1]及[1,)上有界.