力学第二版习题答案第六章

第六章基本知识小结

⒈ 开普勒定律

⑴ 行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于一个焦点上 ⑵ 行星位矢在相等时间内扫过相等面积 ⑶ 行星周期平方与半长轴立方成正比 T 2/a 3=C ⒉ 万有引力定律

2r

m

M G f = ⒊ 引力势能

r m M p G r E -=)(

⒋ 三个宇宙速度 环绕速度

s km Rg V /9.71==

脱离速度

122V V == 11.2 km/s

逃逸速度 V 3 = 16.7 km/s.

6.1.1设某行星绕中心天体以公转周期T 沿圆轨道运行，试用开普勒第三定律证明：一个物体由此轨道自静止而自由下落至中心天体所需的时间为

π

2T

t =

证明：物体自由下落的加速度就是在行星上绕中心天体公转的向心加速

度：

2222/41)2(T R R

T R R v a ππ=⋅==

由自由落体公式：π

22

21/2,T

a R t at R ==

=

（此题原来答案是：2

4T t

=

，这里的更正与解答仅供参考）

6.2.1 土星质量为5.7×1026kg ，太阳质量为2.0×1030kg ，两者的平均距离是1.4×1012m.⑴太阳对土星的引力有多大？⑵设土星沿圆轨道运行，求它的轨道速度。

解：⑴据万有引力定律，太阳与土星之间的引力 f =GMm/r 2=6.51×10-11×2.0×1030×5.7×1026/(1.4×1012)2 ≈3.8×1022N

⑵选择日心恒星参考系，对土星应用牛顿第二定律：f=mv 2/r

s m m fr v /107.9107.5/04.1108.3/3261222⨯≈⨯⨯⨯⨯==

6.2.3 ⑴一个球形物体以角速度ω转动，如果仅有引力阻碍球的离心分解，

此物体的最小密度是多少？由此估算巨蟹座中转数为每秒30转的脉冲星的最小密度。这脉冲星是我国在1054年就观察到的超新星爆的结果。⑵如果脉冲星的质量与太阳的质量相当（≈2×1030kg 或3×105M e ，M e 为地球质量），此脉冲星的最大可能半径是多少？⑶若脉冲星的密度与核物质相当，它的半径是多少？核密度约为1.2×1017kg/m 3.

解：⑴设此球体半径为R,质量为m.考虑球体赤道上的质元Δm,它所受到的离心惯性力最大 f *=Δm ω2R ，若不被分解，它所受到的引力至少等于离心惯性力,即 Gm Δm/R 2=Δm ω2R ∴ m=ω2R 3/G ，而 m=4πR 3ρ/3，代如上式，可求得，G

πωρ

432=

脉冲星的最小密度31410

51.64)230(3/103.111

2m kg ⨯≈=

-⨯⨯⨯⨯ππρ

⑵据密度公式，m =ρV=4πR 3ρ/3 ,∴R 3=3m/(4πρ)

km R 231430105.1)103.114.34/(1023⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=

⑶km R

16)102.114.34/(102331730=⨯⨯⨯⨯⨯=

6.2.4 距银河系中心约25000光年的太阳约以170000000年的周期在一圆周上运动。地球距太阳8光分。设太阳受到的引力近似为银河系质量集中在其中心对太阳的引力。试求以太阳质量为单位银河系的质量。

解：设银河系、太阳、地球的质量分别为M 、m 、m'；太阳距银河系中心

的距离为r=2.5×104光年=2.5×104×365×24×60光分=1.31×106光分，绕银河系中心公转角速度为ω=10-8×2π/1.7年；地球距太阳的距离为r'=8光分，绕太阳公转角速度为ω'=2π/年

分别对地球和太阳应用万有引力定律和牛顿第二定律： Gmm'/ r' 2 = m'ω'2 r' （1） GMm / r 2 = m ω2 r (2) 由（1）可得

G=ω'2 r'3/m ，代入（2）中，可求得

m m m M r r 1138

1031.12107.11

3'2'1053.1)()()()(6

8⨯===⨯⨯ωω

6.2.5某彗星围绕太阳运动，远日点的速度为10km/s ，近日点的速度为80km/s 。若地球在半径为1.5×108km 圆周轨道上绕日运动，速度为30km/s 。求此彗星的远日点距离。

解：角动量守恒b mv a mv 21= ⑴

能量守恒

b

m

M a m M G mv G mv -=-2

2212

12

1

⑵ 牛二定律

R v R

m M m G 2

2

''

= ⑶

⑴,⑵,⑶联立，解得 a = 3×108 km

6.2.6 一匀质细杆长L ，质量为M.求距其一端为d 处单位质量质点受到的引力（亦称引力场强度）。

解：选图示坐标0-x,单位质 x

量质点在坐标原点处，在杆上取 质元dm=dxM/L,其坐标为x,它对 原点处质点的引力为：2

21x dx

L GM

x

dm G df

==⨯,由于各质元对质点的引力方向均

沿x 轴正向，∴杆对质点的引力方向沿x 轴正向，大小为

)

(1112)(|

L d d GM

L d d L GM d L

d x

L GM L

d d

L

GM dx x f ++++-=-=

=

=

⎰

6.2.7半径为R 的细半圆环线密度为λ，求位于圆心处单位质量质点受到的引力（引力场强度）

解：由对称性分析可知，引力场强度的x 分量等于零。

质元dm=λRd θ所受引力的y 分量为

θθλ

θd R

G R dm G

df y sin sin 12

-=⨯-= R

G R G d R G f y /2|cos sin 0

0λθλθθλπ

π

-==-=⎰

6.3.1 考虑一转动的球形行星，赤道上各点的速度为V ，赤道上的加速度是极点上的一半，求此行星极点处的粒子的逃逸速度。

解： 设行星半径为R ，质量为M ，粒子m 在极点处脱离行星所需的速度为v ，在无穷远处的速度、引力势能为零，由机械能守恒定律有

022

1

=-R m M G mv 即 R GM v /22= ⑴

以球形行星为参考系（匀速转动参考系），设粒子m 在赤道上和极点上的加速度分别为a 1和a 2。

粒子m 在赤道上除受引力作用外还受离心惯性力作用，由牛二定律有

212122R a RV GM ma R V m R

Mm G =-=-即 ⑵

粒子m 在极点上只受引力作用，由牛二定律有

2

222R a GM ma R

Mm G

==即 ⑶ 已知

122a a = ⑷

由⑵、⑶、⑷可求得

22/V R GM = 代入⑴中，得

x