概率论与数理统计教程第五章
概率论与数理统计 第五章
Xn ⎯ ⎯→ X 2. 依概率收敛与依分布收敛的关系
依概率收敛 ⇒ 依分布收敛
L
3. 定义：中心极限定理 设随机变量 X ~ N(0,1)，{Xi }，i = 1, 2, … 相互独 立，且数学期望和方差都存在, 若标准化随机变量序列
∑
n
i =1
Xi −
∑ E(X
i =1
n
i
)
∑
n
i =1
D(X i)
所以结论成立。 由此有，若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有 ⎧ m1 − np X − np m2 − np ⎫ ⎪ ⎪ < ≤ P{m1 < X ≤ m2 }= P ⎨ ⎬ np(1 − p) np(1 − p) ⎪ ⎪ np(1 − p) ⎩ ⎭
⎧ Yn − np ⎫ ⎪ ⎪ ≤ x ⎬ = Φ( x ) lim P ⎨ n →∞ ⎪ np(1 − p ) ⎪ ⎩ ⎭
证明：对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示为 证明：对于任意正整数n Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn X1, X2,…, Xn 相互独立，Xi ~ B( 1, p )，且有 E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1-p) 所以随机变量序列{ Xi }, i =1,2,…满足独立同分布 中心极限定理条件。即有
切比雪夫不等式的应用 1）估计随机变量落在某个区间内的概率 (P125例5.5.2) 2）估计ε的值, 使 P(│X - E(X)│<ε) ≥ a (0<a<1) 3）证明大数定律。
二. 大数定律 定义： 依概率收敛 设{Xn}是一个随机变量序列，X 是一个随机变量 或常数，若对于任意的ε＞ 0，有 lim P{| X n − X |≥ ε } = 0
第五章《概率论与数理统计教程》课件
试决定常数 3.
X ,Y
C
使得随机变量 cY 服从分布
2
分布。
相互独立，都与 N ( 0 , 9 ) 有相同分布， X 分别是来自总体
X ,Y
1
, X 2 , , X 9和
Y1 ,Y 2 , ,Y 9
的样本，
Z
9
X
i
i1
6 - 23
Y
i1
9
则Z 服从—— ，自由度为——。
2 i
4.
X1, X 2, X 3, X 4
是来自总体
X ~ N ( , )
2
的样本，则随机变
量 Y
X3 X4
服从——分布，其自由度为———。
2
(X i )
i1
2
5.
设
X 1 , X 2 , , X 10
是来自总体 X
~ N ( ,4 )
2
的样本， ( S 2 P
a ) 0 .1
一. 单个正态总体的统计量的分布
X 1 , X 2 , X n是来自正态总体 ~ N ( , 2 )的样本, X
X , S 分别是样本均值和样本 方差
2
定理1
X
n
1
n
X i ~ N ( ,
n
2
);
i1
定理2 U
1
X
/
~ N ( 0 ,1 );
n
定理3
6 - 18
定理7
当 1
2
2 2
2 2 时, 令 S w
( n1 1) S 1 ( n 2 1) S 2
2
概率论与数理统计(第三版)-第5章
第五章《参数估计与假设检验》
参数估计的基本思想 数理统计的主要任务之一是依据样本推断总体.推断的基本内容包括两个方面 推断的基本内容包括两个方面:一是依据 数理统计的主要任务之一是依据样本推断总体 推断的基本内容包括两个方面 一是依据 样本寻找总体未知参数的近似值和近似范围;二是依据样本对总体未知参数的某种假设 样本寻找总体未知参数的近似值和近似范围 二是依据样本对总体未知参数的某种假设 作出真伪判断.本章先介绍求近似值和近似范围的方法 本章先介绍求近似值和近似范围的方法. 作出真伪判断 本章先介绍求近似值和近似范围的方法 点估计用某一数值作为参数的近似值 区间估计在要求的精度范围内指出参数所在的区间 §5.1 点估计概述
i =1 n
5— 3
《概率论与数理统计》
第五章《参数估计与假设检验》
设x1 , ⋯ , xn是相应X 1 , ⋯ , X n的一个样本值，则随 机点( X 1 ,⋯ , X n )落在( x1 , ⋯ , xn )的邻域（边长分别为 dx1 , ⋯ , dxn的n维立方体）内的概率近似为：
∏ f ( x ;θ )dx
例 2.总体服从参数为λ的普阿松分布， x1 , x2 ,⋯ , xn 样本观测值，求参数λ的最大似然估计.
解：X 的分布律为： P{ X = k} = L (λ ) = ∏
i =1 n
λk
k!
i
e− λ , k = 0,1⋯
−λ
λx
xi !
e
=
λ x + x +⋯x
1 2
n
x1 ! x2 !⋯ xn !
D X = D(
1 n
∑X
n
i
)=
《概率论与数理统计》课件 概率学与数理统计 第五章
时，
n
n
X k =BnZn + k
k 1
k 1
n
近似地服从正态分布 N( k，Bn2) 。这说明无论随机变量 Xk (k
i 1
n
=1, 2,…)具有怎样的分布，只要满足定理条件，那么它们的和Xk
k 1
当n很大时就近似地服从正态分布。而在许多实际问题中，所
考虑的随机变量往往可以表示为多个独立的随机变量之和，因
实测值的算术平均值
时,取
作为 a 1 n
n i1 X i
1 n
n i 1
Xi
，根据此定理，当
n
足够大
的近似值，可以认为所发生的误差是
很小的，所以实用上往往用某物体的某一指标值的一系列
实测值的算术平均值来作为该指标值的近似值。
第二节 中心极限定理
在第二章，我们说只要某个随机变量受到许多相互独立 的随机因素的影响，而每个个别因素的影响都不能起决定性 的作用，那么就可以断定这个随机变量服从或近似服从正态 分布。这个结论的理论依据就是所谓的中心极限定理。概率 论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一 系列定理称为中心极限定理( Central limit theorem) 。下面介 绍几个常用的中心极限定理.
P{X 102} P{ X 100 102 100} 1 P{X 100 2}
1
1
1 (2) 1 0.977250 0.022750.
例
对敌人的防御地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是 一个随机变量,其期望值是2，方差是。求在100次轰炸中有180颗到 220颗炸弹命中目标的概率。 解 令第 i 次轰炸命中目标的炸弹数为 Xi ，100次轰炸中命中目
《概率论与数理统计》第五章
第五章 极限定理
‹#›
研究随机现象的大量观测， 常采用极限形式， 由此导致了极限定理的研究。 极限定理的内容很 广泛, 最重要的有两种:
“大数定律”和“中心极限定理”。
第五章 极限定理
‹#›
§1 大数定律
对随机现象进行大量重复观测，各种结果的出 现频率具有稳定性。
大量地掷硬币 正面出现频率
生产过程 中废品率
棣莫佛—拉普拉斯定理的内容是：当 n 很大时 ，二项分布可用正态分布近似。
总结/summary
第五章 极限定理
‹#›
切比雪夫不等式 理解切比雪夫不等式
大数定律
了解辛钦大数定理。
中心极限定理
掌握运用列维-林德伯格中心定理和棣 莫弗-拉普拉斯中心极限定理求解独立 随机变量之和的近似概率值
第五章 极限定理
字母使用频率
第五章 极限定理
‹#›
1. 切比雪夫不等式
定理1: 设随机变量X有期望μ和方
差σ2，则对任给的ε> 0, 有
P
X
2
1
2
或
P | X |
2 2
.
第五章 极限定理
‹#›
证明：只对X 是连续型情况加以证明。
设X 的概率密度函数为 f(x)，则有
P | X | f (x) dx
2.5
1
P
X
n 14 0.2
2.5
1 (2.5) 0.0062 ；
第五章 极限定理
‹#›
(2).
P{X n
14}
P
X
n
14
14 14
2 / 100 2 / 100
1
P
X
n 14 0.2
概率论与数理统计(第5章)
第5章 数理统计的基础知识
5.1 数理统计的基本概念
5.1.3 次序统计量和样本分布函数
例 3 在总体 N(12，4) 中抽出容量为 5 的样本 X1 ，X2 ，X3 ，X4 ，X5 ，求概率 P{X (5) 15} 和 P{X (1) 10} ．
因此
解 设总体 X 的分布函数为 F(x) ，则随机变量 X (5) 和 X(1) 的分布函数分别为 Fmax (x) [F(x)]5 和 Fmin (x) 1 [1 F (x)]5 ，
1，x …x(n) ．
（5-6）
Fn (x) 的图形就是累积频率曲线，它是跳跃式上升的一条 阶梯形曲线．若所有观测值都不相等，则每一跨度为 1 ；若某
n 个观测值有 m 次相等情形，则在该值处跳跃上升 m ．
n
第5章 数理统计的基础知识
5.1 数理统计的基本概念
5.1.3 次序统计量和样本分布函数
1，2 ，3，L
)
，
它的观测值记为 bk
1 n
n i 1
( xi
x )k
(k
1，2，3，L
)
．
显然，样本一阶中心矩恒等于零．
（5-4） （5-5）
第5章 数理统计的基础知识
5.1 数理统计的基本概念
5.1.2 参数与统计量
例 2 有一批钢管，从中抽取了 10 根进行长度测量，得数据如下（单位：cm）： 19.6，19.5，18.9，19.1，18.7，18.9，19.0，18.8，19.2，19.3．
i 1
所以，样本方差的观测值为
s2
1 10
1
10
i 1
xi2
10x 2
1 0.8 10 1
概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案1．用切比雪夫不等式估计下列各题的概率．(1)废品率为03.0，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率；(2)200个新生儿中，男孩多于80个而少于120个的概率(假设男孩和女孩的概率均为5.0)．解：(1)设X 为1000个产品中废品的个数，则X ～)1000,03.0(B ，有30)(=X E ，1.29)(=X D ，由切比雪夫不等式，得)3040303020()4020(-<-<-=<<X P X P )103010(<-<-=X P )1030(<-=X P 709.0101.2912=-≥．(2)设X 为200个新生儿中男孩的个数，则X ～)200,5.0(B ，有100)(=X E ，50)(=X D ，由切比雪夫不等式，得)10012010010080()12080(-<-<-=<<X P X P )2010020(<-<-=X P )20100(<-=X P 87205012=-≥．2．一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X ，估计)1810(<<X P ．解：设i X 为该骰子掷第i 次出现的点数，则61)(==k X P i ，6,,2,1 =i ，6,,2,1 =k ．27)654321(61)(=+++++=i X E ，691)654321(61)(2222222=+++++=i X E ，35)]([)()(22=-=i i i X E X E X D ，4,3,2,1=i ．因为4321X X X X X +++=，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，故有14)(=X E ，335)(=X D ．由切比雪夫不等式，得)1418141410()1810(-<-<-=<<X P X P )4144(<-<-=X P )414(<-=X P 271.0433512=-≥．3．袋装茶叶用及其装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为100g ，标准差为10g ，一大盒内装200袋，求一盒茶叶净重大于5.20kg 的概率．解：设i X 为一袋袋装茶叶的净重，X 为一盒茶叶的净重，由题可知∑==2001i i X X ，100)(=i X E ，100)(=i X D ，200,,2,1 =i ．因为1X ，2X ，…，200X 相互独立，则20000)()(2001==∑=i i X E X E ，20000)()(2001==∑=i i X D X D ．)()(20500)()(()20500(2001X D X E X D X E X P X P i i ->-=>∑=)1020020000205001020020000(⋅->⋅-=X P )2251020020000(>⋅-=X P 由独立同分布的中心极限定理，1020020000⋅-X 近似地服从)1,0(N ，于是0002.0)5.3(1)2251020020000(=Φ-≈>⋅-X P ．4．有一批建筑用木桩，其80%的长度不小于3m ．现从这批木桩中随机取出100根，试问其中至少有30根短于3m 的概率是多少？解：设X 为100根木桩中短于3m 的根数，则由题可知X ～)2.0,100(B ，有20)(=X E ，16)(=X D ，由棣莫弗—拉普拉斯定理，得)30(1)30(<-=≥X P X P )42030(1)()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 0062.0)5.2(1=Φ-=．5．某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布．现随机选取16只，设它们的寿命是相互独立的．求这16只元件寿命总和大于1920h 的概率．解：设i X 为第i 只电器元件的寿命，由题可知i X ～)01.0(E ，16,,2,1 =i ，且1X ，2X ，…，16X 相互独立，则100)(=i X E ，10000)(=i X D ．记∑==161i i X X ，则1600)()(161==∑=i i X E X E ，160000)()(161==∑=i i X D X D ．))()(1920)()(()1920(X D X E X D X E X P X P ->-=>)400160019204001600(->-=X P )8.04001600(>-=X P ，由独立同分布的中心极限定理，1600-X 近似地服从)1,0(N ，于是2119.0)8.0(1)8.04001600(=Φ-=>-X P ．6．在数值计算中中，每个数值都取小数点后四位，第五位四舍五入(即可以认为计算误差在区间]105,105[55--⨯⨯-上服从均匀分布)，现有1200个数相加，求产生的误差综合的绝对值小于03.0的概率．解：设i X 为每个数值的误差，则i X ～)105,105(55--⨯⨯-U ，有0)(=i X E ，1210)(8-=i X D ，1200,,2,1 =i ．从而0)()(12001==∑=i i X E X E ，61200110)()(-===∑i i X D X D ．由独立同分布的中心极限定理，X 近似地服从)10,0(6-N ，于是)03.0(<X P ))()(03.0)()((X D X E X D X E X P -≤-=12101200003.0121012000(44--⋅-≤⋅-=X P 9974.01)3(2=-Φ=．7．某药厂断言，该厂生产的某药品对医治一种疑难的血液病治愈率为8.0．医院检验员任取100个服用此药的病人，如果其中多于75个治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言．(1)若实际上此药对这种病的治愈率是8.0，问接受这一断言的概率是多少？(2)若实际上此药对这种病的治愈率是7.0，问接受这一断言的概率是多少？解：设X 为100个服用此药的病人中治愈的个数，(1)由题可知X ～)8.0,100(B ，则80)(=X E ，16)(=X D ，由棣莫弗—拉普拉斯定理，得)75(1)75(≤-=>X P X P 48075(1))()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 8944.0)25.1(=Φ=．(2)由题可知X ～)7.0,100(B ，则70)(=X E ，21)(=X D ，由棣莫弗—拉普拉斯定理，得)75(1)75(≤-=>X P X P 217075(1)()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 1379.0)09.1(1=Φ-=．8．一射手在一次射击中，所得环数的分布律如下表：X678910P 05.005.01.03.05.0求：(1)在100次射击中环数介于900环与930环之间的概率是多少？(2)超过950环的概率是多少？解：设X 为100次射击中所得的环数，i X 为第i 次射击的环数，则∑==1001i i X X ，15.9)(=i X E ，95.84)(2=i X E ，2275.1)]([)()(22=-=i i i X E X E X D ，100,,2,1 =i ．由1X ，2X ，…，100X 相互独立，得915)()(1001==∑=i i X E X E ，75.122)()(1001==∑=i i X D X D ．由独立同分布的中心极限定理，75.122915-X 近似地服从)1,0(N ，于是(1))930900(≤≤X P ))()(930)()()()(900(X D X E X D X E X X D X E P -≤-≤-=75.12291593075.12291575.122915900(-≤-≤-=X P )75.1221575.122915(≤-=X P 823.01)35.1(2=-Φ≈．(2))950(>X P ))()(950)()((X D X E X D X E X P ->-=75.122915950)()((->-=X D X E X P 001.0)1.3(1=Φ-≈．9．设有30个电子元件1A ，2A ，…，30A ，其寿命分别为1X ，2X ，…，30X ，且且都服从参数为1.0=λ的指数分布，它们的使用情况是当i A 损坏后，立即使用1+i A (29,,2,1 =i )．求元件使用总时间T 不小于350h 的概率．解：由题可知i X ～)1.0(E ，30,,2,1 =i ，则10)(=i X E ，100)(=i X D ．记∑==301i i X T ，由1X ，2X ，…，30X 相互独立，得300)()(301==∑=i i X E T E ，3000)()(301==∑=i i X D T D ．))()(350)()(()350(T D T E T D T E T P T P ->-=>30103003503010300(⋅->⋅-=T P )91.03010300(>⋅-≈T P ，由独立同分布的中心极限定理，3010300⋅-T 近似地服从)1,0(N ，于是1814.0)91.0(1)91.03010300(=Φ-=>⋅-T P ．10．大学英语四级考试，设有85道选择题，每题4个选择答案，只有一个正确．若需要通过考试，必须答对51道以上．试问某学生靠运气能通过四级考试的概率有多大？解：设X 为该学生答对的题数，由题可知X ～41,85(B ，则25.21)(=X E ，9375.15)(=i X D ，85,,2,1 =i ．由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，近似地有9375.1525.21-X ～)1,0(N ，得)8551(≤≤X P ))()(85)()()()(51(X D X E X D X E X X D X E P -≤-≤-=)9375.1525.21859375.1525.219375.1525.2151(-≤-≤-=X P 0)45.7()97.15(=Φ-Φ=．即学生靠运气能通过四级考试的概率为0．。
概率论与数理统计 第五章
∑ X − ∑µ
k =1 k =1
k
Bn
≤ x} = ∫
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1 2π
−∞
e
t2 − 2
dt＝Φ(x).
说明: 说明
在定理条件下, r.v. Zn =
∑ X − ∑µ
k =1 k k =1
n
n
k
Bn
当 n很 大
时, 近似地服从正态分布N(0, 1),由此当n很大时,
∑X
k =1 n
n
t2 2
（本定理 可以由独立同分布 的中心极限定理证 明）
说明: 说明 本定理不难看出 :若ηn
~ b(n,p), 有
t2 2
b ηn − np 1 lim P a < e dt = Φ(b) − Φ(a), ≤ b = ∫ a n →∞ npq 2π 因 而 当 n较 大 时 , 我 们 可 以 用 正 态 分 布 近 似 计 算 二 项 分布 的 概率 。
2. 切比雪夫大数定律: 设X1 , X 2 , L Xn , L 是由两两互 不相关的随机变量所构成的序列, 每一个随机变量都 有有限的方差, 并且它们有公共的上界 , D(X1 ) ≤ C, D(X 2 ) ≤ C, L , D(Xn ) ≤ C, L 则对∀ε > 0, 都有 1 n 1 n lim P ∑ Xk − ∑ E(Xk ) < ε = 1. n →∞ n k =1 n k =1
k
2 , k = 0,1, L ,90000. 3 ≤ 30500}
90000-k
显然直接计算十分麻烦, 我们利用德莫佛-拉普拉斯定理 来求它的近 似 值 即有P{29500 < X ≤ 30500} 29500-np = P < np(1-p ) 30500-np ≤ np(1-p ) np(1-p ) X-np
概率论与数理统计教程(茆诗松)第5章
3 (167，177] 172 5 0.25 85
4 (177，187] 182 2 0.10
95
5 (187，197] 192 1 0.05
100
合计
20 1
18 April 2021
华东师范大学
第五章 统计量及其分布
第23页
5.2.3 样本数据的图形显示
一、直方图
直方图是频数分布的图形表示，它的横坐标表 示所关心变量的取值区间，纵坐标有三种表示 方法：频数，频率，最准确的是频率/组距，它 可使得诸长条矩形面积和为1。凡此三种直方图 的差别仅在于纵轴刻度的选择，直方图本身并 无变化。
它样品的取值 -- x1, x2, …, xn 相互独立。
18 April 2021
华东师范大学
第五章 统计量及其分布
第15页
用简单随机抽样方法得到的样本称为 简单随机样本，也简称样本。
于是，样本 x1, x2, …, xn 可以看成是 独立同分布( iid ) 的随机变量， 其共同分布即为总体分布。
总体 = {该厂生产的全部合格品与不合格品} = {由0或1组成的一堆数}
若以 p 表示这堆数中1的比例（不合格品率），则该 总体可由一个二点分布表示：
X01 P 1p p
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华东师范大学
第五章 统计量及其分布
第7页
比如：两个生产同类产品的工厂的产品的总体 分布：
X
0
1
p
0.983
简单起见，无论是样本还是其观测值，样本一般 均用 x1, x2,… xn 表示，应能从上下文中加以区别。
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第五章 统计量及其分布
概率论与数理统计第五章
设 X1, X2, …是相互独立的随 机变量序列，它们都有有限的方差， 切比雪夫 并且方差有共同的上界，即 Var(Xi)
≤K，i=1, 2, …， 则对任意的ε>0，
lim
n
P{|
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E(Xi)
|
}1
切比雪夫大数定律表明，独立随机变
量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则
量 Yn 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).
请看演示 中心极限定理的直观演示
从演示不难看到中心极限定理的客观背景
f
g
h
x
01 2 3 例:20个0-1分布的和的分布
几个(0,1)上均匀分布的和的分布
X1 ~f(x) X1 +X2~g(x)
第五章 大数定律和 中心极限定理
湖南商学院信息系 数学教研室
第五章 大数定律和中心极限定理
第一节 大 数 定 律 第二节 中心极限定理
概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相 同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出 来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然 的法则，应该研究大量随机现象.
2
它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.
定理(棣莫佛－拉普拉斯定理）
设随机变量 Yn服从参数n, p(0<p<1)的
二项分布，则对任意x，有
lim P{ Yn np
x
x}
1
t2
e 2 dt
n np(1 p)
2
定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值 时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变
概率论与数理统计总结之第五章
证明：
因为 ～ ，有
…
其中， … …相互独立，且都服从以p为参数的（0-1）分布，因而 … ，由定理一得
…
即
这个定理表明事件发生的频率的稳定性
定理三（辛钦定理）
设随机变量 … …相互独立，服从同一分布，且具有数学期望 … ，则对于任意正数ε，有
显然，伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情况
中心极限定理
定理四（独立同分布的中心极限定理）
定理五（李雅普诺夫定理）
设随机变量 … …相互独立，它们具有数学期望和方差：
…，
记 ,
若存在正数δ，使得当 时，
则随机变量之和 的标准化变量：
的分布函数 对于任意x，满足
对其的解释为：
随机变量 ，
当n很大时，近似服从正态分布N(0,1)，因此，当n很大时， 近似服从正态分布
这就是说，无论各个随机变量 服从什么分布，只要满足定理的条件，那么它们的和 当n很大时，就近似服从正态分布
第五章
大数定律
定理一（契比雪夫定理的特殊情况）
设随机变量 … …相互独立（是指对于任意n>1， … …是相互独立），且具有相同的数学期望和方差： … 。作前n个随机变量的算术平均
则对于任意正数ε，有
证明：
由于
，
由契比雪夫不等式可 … …是一个随机变量序列，a是一个常数。若对于任意正数ε，有
定理六（棣莫弗-拉普拉斯定理）
设随机变量 服从参数为n,p（0<p<1)的二项分布，则对于任意x，有
证明：
将 分解成为n个相互独立、服从同一（0-1）分布的诸随机变量 … 之和，即有
= ，
其中 的分布律为
由于 由定理四得
这个定理表明，正态分布是二项分布的极限分布，当n充分大时，我们可以利用定理六中的式子来计算二项分布的概率
陈国华等主编概率论与数理统计第五章习题解答
x>0 x≤0
(α > 0, β > 0)
a a 1 1 1 dx = ∫ cos(tx) ⋅ dx + ∫ sin(tx) ⋅ dx −a −a −a 2a 2a 2a 1 1 1 = ⋅ sin(tx) |a sin(at ) x =− a = at 2a t t −1 （2）参数为 λ 的指数分布的特征函数为， φ X (t ) = (1 − i ) ，参数为 λ 的指数分布可看做
1
π (1 + x 2 )
(−∞ < x < +∞) ；
⎧A ⎪ (D) X i 的概率函数为 ： g ( x) = ⎨ x 3 ⎪0 ⎩
x ≥1 x <1
(i = 1,2,3, ) ．
答案：CABAD 三．解答题
1．一颗骰子连续掷 4 次，点数总和记为 X ，估计 p (10 < X < 18) ．
3．已知随机变量 X 的数学期望为 10，方差 DX 存在且 P (−20 < X < 40) ≤ 0.1 ，则
DX ≥ ． 4．设 X 1 , X 2 , , X n， 为独立同分布的随机变量序列，且 X i (i = 1,2, ) 服从参数为 2 的
指数分布，则 n → ∞ 当时， Yn =
1 n 2 ∑ X i 依概率收敛于 n i =1
1 1 ln n + ln n = 0 2 2
n
DX n = EX n = ln n
n 1 1 D ( Xi) = 2 ∑ 2 n n i =1
2
∑ ln i → 0(n → ∞)
i =1
根据马尔可夫大数定律， {X n } 服从大数定律。
3 、 已 知 随 机 变 量 X 和 Y 的 数 学 期 望 、 方 差 以 及 相 关 系 数 分 别 为 E ( X ) = E (Y ) = 2 ,
概率论与数理统计 第五章
贝努里定理. 它的叙述如下:设是n次重复独立 对于任意给定的ε>0,有
lim P{| nA p | } 1
n
n
lim P{| nA p | } 1
n
n
其中nA/n是频率,p是概率,即次数多
时事件发生的频率收敛于概率.表示频率的稳定性.
定理3
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi
| } 1
数理统计的方法属于归纳法,由大量的资料作依据,而不
是从根据某种事实进行假设,按一定的逻辑推理得到的.例
如统计学家通过大量观察资料得出吸烟和肺癌有关,吸烟
者得肺癌的人比不吸烟的多好几倍.因此得到这个结论.
数理统计的应用范围很广泛.在政府部门要求有关的资
料给政府制定政策提供参考.由局部推断整体,学生的假期
第五章 大 数 定 律 与 中 心 极 限 定 律
§ 5.1大 数 定 律
定理1(切比雪夫定理) 设X1,X2,...,Xn,...是相互独立的随机变
量序列若存在常数C,使得D(Xi)≤C. (i=1,2,...n),则对任意给
定的ε>0,有
lim P{|
n
1 n
n i 1
[Xi
E( X i )] |
7200 6800 2
200 1
D 2
1
2100 2002
0.95
可见虽有10000盏灯,只要电力供应7200盏灯即有相当大的保 证率切贝谢夫不等式对这类问题的计算有较大价值,但它的精度 不高.为此我们研究下面的内容.
2021/9/5
10
§ 5.2 中 心 极 限 定 理
在随机变量的一切可能性的分布律中，正态分布占有特殊的
概率论与数理统计第5章
2、定理以数学形式证明了随机变量X
1
,
X
的算术平均
n
X
1 n
n i 1
X i接近数学期望E( X k ) （k
1,2, n）,这种接近
说明其具有的稳定性
这种稳定性的含义说明算术平均值是依概率收敛的意义下 逼近某一常数.
1.(2010-1)设 n 为n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件
10
3.(2009 1)
设X i
0, 1,
事件A不发生 事件A发生 (i 1, 2,
,100),且P(A) 0.8,
100
X1, X 2 , , X100相互独立,令Y Xi则由中心极限定理知Y 近似服从于 i 1
正态分布,其方差为________ .
4.(2008 -10)设总体X的分布律为P{X 1} p, P{X 0} 1- p, 其中0 p 1.
P{|
m n
p
|
}1
或
ln im
P{|
m n
p
|
}
0
注： 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分 大时，事件A发生的频率m/n与事件A的概率p有较 大偏差的概率很小.
事件发生的频率可以代替事件的概率.
5.2.2 独立同分布随机变量的切比雪夫大数定律
定理5-3
设随机变量X
1
,
X
，
2
，X
n
,
是独立同分布随机变量序列,
E( Xi ) , D( Xi ) 2 (i 1, 2, )均存在,则对任意 0有
lim{|
n
概率论与数理统计-第五章
【数理统计简史】
1. 近代统计学时期
18 世纪末到 19 世纪，是近代统计学时期．这一 时期的重大成就是大数定律和概率论被引入统计 学．之后最小二乘法、误差理论和正态分布理论 等相继成为统计学的重要内容．这一时期有两大 学派：数理统计学派和社会统计学派．
【数理统计简史】 数理统计学派始于19世纪中叶，代表人物是比 利时的凯特莱（ A.Quetelet ， 1796-1874 ），著有 《概率论书简》《社会物理学》等，他主张用研 究自然科学的方法研究社会现象，正式把概率论 引入统计学，并最先用大数定律证明了社会生活 中随机现象的规律性，提出了误差理论．凯特莱 的贡献，使统计学的发展进入个了一个新的阶 段．
i =1 36
1 2 2 3 2 2 2 2 D( X ) = E ( X ) − E ( X ) = ( 0 + 1 + 2 + 3 ) − 4 2 5 = 4
2
二、样本与抽样 由于X1，X2，...，X36均与总体X同分布，且相互独 立，所以，Y的均值和方差分别为
E (Y ) = E ( ∑ X i ) = 36 E ( X ) = 54,
【数理统计简史】 18世纪到 19世纪初期，高斯从描述天文观测的 误差而引进正态分布，并使用最小二乘法作为估 计方法，是近代数理统计学发展初期的重大事件， 对社会发展有很大的影响．
【数理统计简史】 用正态分布描述观测数据的应用是如此普遍，以 至 在 19 世 纪 相 当 长 的 时 期 内 ， 包 括 高 尔 顿 （ Galton ）在内的一些学者，认为这个分布可用 于描述几乎是一切常见的数据．直到现在，有关 正态分布的统计方法，仍占据着常用统计方法中 很重要的一部分．最小二乘法方面的工作，在 20 世纪初以来，经过一些学者的发展，如今成了数 理统计学中的主要方法．
概率论与数理统计第五章
四、单因素敏感性分析
进行敏感性分析一般要考虑几个可变参数， 为简化起见，通常假设各参数之间是相互独立的， 每次只研究一个可变参数，其它参数则保持不变。
例5-5：某城与某煤矿目前靠一条沿河修建的三级石面公路运输， 公路全长60km，拥挤现象严重，公路保养费呈上升趋势。现拟 新建一条二级沥青路面公路进行分流，预计建设期2年，项目经 济寿命20年，期末无残值，该项目预计投资3970万元，建设期 第一年初和第二年初分别耗用50％，新线建成后，在经济寿命 期内预计常年养护维修成本为13万元，大修成本575万元（定于 新线建成10年后进行）项目建成后年经济效益为2540万元，项
(2)盈亏平衡生产能力利用率:
Q 2143 E 100% 100% 53.5% Qc 4000
＊
(3)盈亏平衡销售价格：
300104 P* Cv 1600 2600 元 / 套) ( Q 3000 Cf
(4)盈亏平衡单位产品变动成本
Cv
*
300104 P 3000 2000 元 / 套) ( Q 3000 Cf
*
*
1、盈亏平衡产量：
Q
*
Cf P Cv2、若项源自设计生产能力为 QC ，则盈亏平衡生产能力 利用率：
Cf Q E 100% 100% QC ( P Cv )QC
*
*
3、盈亏平衡价格:
Cf B C P Cv Q Q Q
*
P*为保本价格
4、盈亏平衡单位产品变动成本：
点，可根据具体情况选择。一般选择还款期间第一个达产
年和还完借款以后的年份分别计算，以便分别给出最高盈 亏平衡点和最低盈亏平衡点。
四、非线形盈亏平衡分析
概率论与数理统计第五章
lim P n
i n i 1 x n
n
x
1 2
e
t
2 2
dt ( x )
等价的描述：
当n很大时有如下结论：
定理1：独立同分布的中心极限定理的常用形式
1 , 2 n 独立同分布，且
n
X
i
i 1
这便是在n较大情况下反映出的客观规律,故称为“大数” 定律。 比推论1条件更宽的一个大数定律是辛钦 DX （Khintchine）大数定律,它不需要推论1条件中“方差 i 存在”的限制，而在其它条件不变的情况下，仍有（5-4） 式的结论。
人们已经知道，在自然界和生产实践中遇到大量随机变量 都服从或近似服从正态分布，正因如此，正态分布占有特 别重要的地位。那么，如何判断一个随机变量服从正态分 布显得尤为重要。如经过长期的观测，人们已经知道，很 多工程测量中产生的误差X都是服从正态分布的随机变量。 分析起来，造成误差的原因有仪器偏差X1、大气折射偏差 X2,温度变化偏差X3、估读误差造成的偏差X4等等，这些偏 差Xi 对总误差 X X 的影响都很微小，没有一个起到特别 突出的影响，虽然每个Xi的分布并不知道，但 X X i 却服 从正态分布。类似的例子不胜枚举。
n
i 1, 2 , , n .
则
nA X1 X 2 X n
nA n 1
X i.
i 1
n
n
X i , E ( X i ) p.
i 1
定理2 （贝努利大数定律）
设 n A为n 次独立试验中事件A发生的次数，p是A在 一次试验中发生的概率，则对任意ε （＞0），恒有
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二、统计量
定义：称样本X1， … ，Xn 的函数
g(X1， … ，Xn )是总体X的一个统计量,如果
g(X1， … ，Xn )不含 未知 参数
几个常用的统计量 ：
1 n 1. 样本均值 X X i , n i 1 1 n 2 2 2. 样本方差 S ( X X ) i n 1 i 1
样本均方差 ( 标准差 ) S S 2 ,
3.样本k阶矩
1 n k 原点矩 Ak X i n i 1
1 n 中心矩 B k ( X i X ) k , n i 1
§ 4.2
抽样分布
统计量的分布称为抽样分布。数理统 计中常用到如下三个分布： 2—分布、 t —分布和F—分布。 一、 2—分布
… ，X
n
i=1,…,n与总体同分布.
（2）独立性：
X1，… ，Xn 相互独立；
则称为容量为n 的简单随 机样本，简称样本。 而称X1，… ，Xn 的一次 实现为样本观察值。
来自总体X的随机样本X1， … ，Xn可记 iid 为
X 1 ,, X n ~ X 或f ( x), F ( x),...
2
n
)
X ~ N (0, 1) / n
2. 若X 1 ,, X n ~ N ( , 2 ), 则
2
2
iid
2 ( 2 ) ~ (n 1); (1) X 与S 相互独立; 2 X (3) T ~ t (n 1). S/ n (3)证明: 2 (n 1) S 2 X V ~ (n 1); U ~ N (0, 1) 2 / n
1. 构造 设 X 1 ,, X n ~ N (0,1), 则 2 X i2 ~ 2 (n).
i 1 iid n
称为自由度为 n的 2 分布.
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2.2—分布的密度函数f(y)曲线
n/2 1 y f ( y ) 2 ( n / 2) 0,
n 1 y 2 2
精品课件！
精品课件！
第五章 小
结
1 给出了总体、个体、样本和统计量的概念，要 掌握样本均值和样本方差的计算及基本性质。 2 2 引进了 分布、 t分布、F分布的定义，会查 表计算。 3 掌握正态总体的某些统计量的分布。
作业：P258 5.17,5.20,5.22.
显然，样本联合分布函数或密度函数为
F * ( x1 , x2 , , xn )
或
F(x )
i 1 n i i 1
n
f * ( x1 , x2 , , xn ) f ( xi )
3.总体、样本、样本观察值的关系
总体
理论分布
样本
样本观察值
统计是从手中已有的资料——样本观察值，去推断 总体的情况——总体分布。样本是联系两者的桥梁 。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样 本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值 去推断总体
n1 1 n1 n 2 n1 / 2 2 ( 2 )(n1 / n 2 ) y , y0 h( y ) n1 n2 n1 ( n1 n2 ) / 2 ( )( )(1 y ) 2 2 n2 0, y0
2. F—分布的分位点 对于：0<<1，
t(n)的上侧分位点
t (n)
注:
t1 (n) t (n)
t1 (n)
t (n)
三、F—分布
1.构造 若1 ~2(n1)， 2~2(n2)，1， 2独立， 则
1 / n1 F ~ F( n1 , n 2 ). 2 / n 2
称为第一自由度为n1 ，第二自由度为n2的F— 分布,其概率密度为
2 2 (2) 进一步, 假定 1 2 , 就有,
X Y ( 1 2 ) T ~ t (n1 1, n2 1). 其中 S w 1 / n1 1 / n2
2 2 ( n 1 ) S ( n 1 ) S 2 1 2 2 Sw 1 称为混合样本方差 . n1 n 2 2
b.期望与方差 若X~ 2(n)，则
E(X)= n，D(X)=2n
二、t—分布
1.构造 若~N(0, 1), ~2(n), 与独立，则
T ~ t( n). / n
t(n)称为自由度为n的t—分布。
t(n) 的概率密度为(p146)
( n 1 ) 2 n 1 t 2 f (t) (1 ) 2 , t n n( n ) 2
Ch5 目
§5.1 随机样本，
录
理解经验分布函数的定义
§5.2 抽样分布，
掌握正态总体的抽样分布定理
§ 5.1
随机样本
一、总体与样本
1.总体：研究对象的全体。 通常指研究对象的某项数量指标。 组成总体的元素称为个体。 从本质上讲，总体就是所研究的随机体X1， 如果满足： （1）同分布性： Xi，
若存在F(n1, n2)>0，
满足
P{FF(n1, n2)}=， 则
称F(n1, n2)为 F(n1, n2)的 上侧分位点；
F (n1 , n2 )
注：
1 F1 (n1 , n2 ) F (n2 , n1 )
1 ~ F (n2 , n1 ) F
证明:设F~F(n1,n2),则
P{F F1 (n1 , n2 )} 1
1 1 P{ } 1 F F1 (n1 , n2 ) 1 1 P{ } F F1 (n1 , n2 )
得证!
1 P{ F (n2 , n1 )} F
四、正态总体的抽样分布定理
1. 若X1 ,,X n ~ N(, ), 则 U
e ,y0 y0
3. 分位点 设X ~ 2(n)，若对于：0<<1，
(n) 0 满足 2 P{X (n)} , 2 2 为 (n) 分布的上分位点。 则称 (n)
存在
2
P462附表4
2 (n)
4.性质： a.分布可加性 若X ~ 2(n1)，Y~ 2(n2 )， X ， Y独立，则 X + Y ~ 2(n1+n2 )
2.基本性质:
(1) f(t)关于t=0(纵轴)对称。 (2) f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即
limf ( t ) ( t ) 1 e n 2
t 2
2
, x
3.分位点
设T～t(n)，若对 :0<<1,存在t(n)>0， 满足P{Tt(n)}=， 则称t(n)为
(n 1) S
2
且U与V独立,根据t分布的构造
得证!
U ~ t (n 1) V n 1
2 3. 若X 1 , , X n1 ~ N( 1 , 1 ), Y1 , , Yn 2 ~ N( 2 , 2 2 ),
iid
iid
且两样本独立 .则
2 2 S1 / 1 (1)F 2 2 ~ F(n 1 1, n 2 1); S2 / 2
2 iid
X / n
~ N(0, 1)
n 1 证明: E( X ) E( X i ) n i 1 是n 个独立的正态随 1 n 2 机变量的线性组合,故 D( X ) 2 D( X i ) n i 1 n
1 n X Xi n i 1
服从正态分布
X ~ N ( ,