概率论与数理统计教程第五章

1. 构造 设 X 1 ,, X n ~ N (0,1), 则 2 X i2 ~ 2 (n).
i 1 iid n
称为自由度为 n的 2 分布.
返回目录
2.2—分布的密度函数f(y)曲线
n/2 1 y f ( y ) 2 ( n / 2) 0,
n 1 y 2 2
P{F F1 (n1 , n2 )} 1
1 1 P{ } 1 F F1 (n1 , n2 ) 1 1 P{ } F F1 (n1 , n2 )
得证!
1 P{ F (n2 , n1 )} F
四、正态总体的抽样分布定理
1. 若X1 ,,X n ~ N(, ), 则 U
显然，样本联合分布函数或密度函数为
F * ( x1 , x2 , , xn )
或
F(x )
i 1 n i i 1
n
f * ( x1 , x2 , , xn ) f ( xi )
3.总体、样本、样本观察值的关系
总体
理论分布
样本
样本观察值
统计是从手中已有的资料——样本观察值，去推断 总体的情况——总体分布。样本是联系两者的桥梁 。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样 本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值 去推断总体
b.期望与方差 若X~ 2(n)，则
E(X)= n，D(X)=2n
二、t—分布
1.构造 若~N(0, 1), ~2(n), 与独立，则
T ~ t( n). / n
t(n)称为自由度为n的t—分布。
t(n) 的概率密度为(p146)
( n 1 ) 2 n 1 t 2 f (t) (1 ) 2 , t n n( n ) 2
2 iid
X / n
~ N(0, 1)
n 1 证明: E( X ) E( X i ) n i 1 是n 个独立的正态随 1 n 2 机变量的线性组合,故 D( X ) 2 D( X i ) n i 1 n
1 n X Xi n i 1
服从正态分布
X ~ N ( ,
e ,y0 y0
3. 分位点 设X ~ 2(n)，若对于：0<<1，
(n) 0 满足 2 P{X (n)} , 2 2 为 (n) 分布的上分位点。 则称 (n)
存在
2
P462附表4
2 (n)
4.性质： a.分布可加性 若X ~ 2(n1)，Y~ 2(n2 )， X ， Y独立，则 X + Y ~ 2(n1+n2 )

2
n
)
X ~ N (0, 1) / n
2. 若X 1 ,, X n ~ N ( , 2 ), 则
2
2
iid
2 ( 2 ) ~ (n 1); (1) X 与S 相互独立; 2 X (3) T ~ t (n 1). S/ n (3)证明: 2 (n 1) S 2 X V ~ (n 1); U ~ N (0, 1) 2 / n
2 2 (2) 进一步, 假定 1 2 , 就有,
X Y ( 1 2 ) T ~ t (n1 1, n2 1). 其中 S w 1 / n1 1 / n2
2 2 ( n 1 ) S ( n 1 ) S 2 1 2 2 Sw 1 称为混合样本方差 . n1 n 2 2
t(n)的上侧分位点
t (n)
注:
t1 (n) t (n)
t1 (n)
t (n)
三、F—分布
1.构造 若1 ~2(n1)， 2~2(n2)，1， 2独立， 则
1 / n1 F ~ F( n1 , n 2 ). 2 / n 2
称为第一自由度为n1 ，第二自由度为n2的F— 分布,其概率密度为
精品百度文库件！
精品课件！
第五章 小
结
1 给出了总体、个体、样本和统计量的概念，要 掌握样本均值和样本方差的计算及基本性质。 2 2 引进了 分布、 t分布、F分布的定义，会查 表计算。 3 掌握正态总体的某些统计量的分布。
作业：P258 5.17,5.20,5.22.
Ch5 目
§5.1 随机样本，
录
理解经验分布函数的定义
§5.2 抽样分布，
掌握正态总体的抽样分布定理
§ 5.1
随机样本
一、总体与样本
1.总体：研究对象的全体。 通常指研究对象的某项数量指标。 组成总体的元素称为个体。 从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或 随机变量的分布。
返回目录
2.样本：来自总体的部分个体X1， 如果满足： （1）同分布性： Xi，
2.基本性质:
(1) f(t)关于t=0(纵轴)对称。 (2) f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即
limf ( t ) ( t ) 1 e n 2
t 2
2
, x
3.分位点
设T～t(n)，若对 :0<<1,存在t(n)>0， 满足P{Tt(n)}=， 则称t(n)为
n1 1 n1 n 2 n1 / 2 2 ( 2 )(n1 / n 2 ) y , y0 h( y ) n1 n2 n1 ( n1 n2 ) / 2 ( )( )(1 y ) 2 2 n2 0, y0
2. F—分布的分位点 对于：0<<1，
样本均方差 ( 标准差 ) S S 2 ,
3.样本k阶矩
1 n k 原点矩 Ak X i n i 1

1 n 中心矩 B k ( X i X ) k , n i 1

§ 4.2
抽样分布
统计量的分布称为抽样分布。数理统 计中常用到如下三个分布： 2—分布、 t —分布和F—分布。 一、 2—分布
二、统计量
定义：称样本X1， … ，Xn 的函数
g(X1， … ，Xn )是总体X的一个统计量,如果
g(X1， … ，Xn )不含 未知 参数
几个常用的统计量 ：
1 n 1. 样本均值 X X i , n i 1 1 n 2 2 2. 样本方差 S ( X X ) i n 1 i 1
(n 1) S
2
且U与V独立,根据t分布的构造
得证!
U ~ t (n 1) V n 1
2 3. 若X 1 , , X n1 ~ N( 1 , 1 ), Y1 , , Yn 2 ~ N( 2 , 2 2 ),
iid
iid
且两样本独立 .则
2 2 S1 / 1 (1)F 2 2 ~ F(n 1 1, n 2 1); S2 / 2
… ，X
n
i=1,…,n与总体同分布.
（2）独立性：
X1，… ，Xn 相互独立；
则称为容量为n 的简单随 机样本，简称样本。 而称X1，… ，Xn 的一次 实现为样本观察值。
来自总体X的随机样本X1， … ，Xn可记 iid 为
X 1 ,, X n ~ X 或f ( x), F ( x),...
若存在F(n1, n2)>0，
满足
P{FF(n1, n2)}=， 则
称F(n1, n2)为 F(n1, n2)的 上侧分位点；
F (n1 , n2 )
注：
1 F1 (n1 , n2 ) F (n2 , n1 )
1 ~ F (n2 , n1 ) F
证明:设F~F(n1,n2),则