利用勾股定理解题的十种常见题型

阶段题型专训
2．(中考·淮安)如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B 都是格点，则线段 AB 的长度为( A ) A．5 B．6 C．7 D．25
阶段题型专训 3．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ABC＝90°，点 D 为 AC
边的中点，过 D 点作 DE⊥DF，交 AB 于 E，交 BC 于 F.若 AE＝4，FC＝3，求 EF 的长． 解：如图，连接 BD. ∵在等腰直角三角形 ABC 中， 点 D 为 AC 边的中点，∠ABC＝90°， ∴BD⊥AC，BD 平分∠ABC. ∴∠ABD＝∠CBD＝45°.
阶段题型专训 解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D. 在 Rt△ABC 中，∵BC2＋AC2＝AB2，BC＝400 m，AC＝300 m， ∴AB2＝4002＋3002＝5002. ∴AB＝500 m. ∵SRt△ABC＝12AB·CD＝12BC·AC， ∴500×CD＝400×300. ∴CD＝240 m. ∵240＜250，∴公路 AB 段有危险，需要暂时封锁．
阶段题型专训
证明：∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，即△ADC 是直角三角形． 由勾股定理，得 AD2＋CD2＝AC2. 又∵AD2＝2AB2－CD2，∴AD2＋CD2＝2AB2. ∴AC2＝2AB2. ∵∠ABC＝90°，∴△ABC 是直角三角形． 由勾股定理，得 AB2＋BC2＝AC2，∴AB2＋BC2＝2AB2. ∴BC2＝AB2，即 AB＝BC.
阶段题型专训 9．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，
动点 P 从点 B 出发沿射线 BC 以 1 cm/s 的速度移动，设运动 的时间为 t s. (1)求 BC 边的长；
解：2＝16， 所以 BC＝4 cm.
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如图②，连接 AB′，在 Rt△ACB′中，由勾股定理， 得 AB′2＝AC2＋B′C2＝22＋(4＋1)2＝4＋25＝29； 如图③，连接 AB′，在 Rt△ADB′中，由勾股定理， 得 AB′2＝AD2＋B′D2＝12＋(4＋2)2＝1＋36＝37. 因为 25＜29＜37，所以第一种情况路程最短，此时 AB′＝5 cm. 所以蚂蚁爬行的最短路程是 5 cm.
解：当△ABP 为等腰三角形时，有三种情况： Ⅰ.如图①，当 BP＝AB 时，t＝5； Ⅱ.如图②，当 AB＝AP 时，BP＝2BC＝8 cm，即 t＝8；
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Ⅲ.如图③，当 BP＝AP 时，AP＝BP＝t cm，CP＝|t－4|cm，AC＝3 cm， 在 Rt△ACP 中，AP2＝AC2＋CP2，所以 t2＝32＋(t－4)2，解得 t＝285. 综上所述，当△ABP 为等腰三角形时，t＝5 或 t＝8 或 t＝285.
阶段题型专训 11．如图，已知长方体的长为 2 cm、宽为 1 cm、高为 4 cm.一只
蚂蚁如果沿长方体的表面从 A 点爬到 B′点，那么蚂蚁爬行 的最短路程是多少？
解：分三种情况： 如图①，连接 AB′，在 Rt△ABB′中，由勾股定理， 得 AB′2＝AB2＋BB′2＝(2＋1)2＋42＝25；
人教版 八年级下
第十七章 勾股定理
阶段题型专训 利用勾股定理解题的十种常见题型
阶段题型专训 1．在如图所示的数轴上找到表示实数－ 3的点(要求简要说明作
图过程)．
解：作法如下：如图，过原点 O 作 OC 垂直于数轴，使 OC＝1，以点 C 为圆心作半径为 2 的圆，则圆与数轴负 半轴的交点 A 即为所求的点．
阶段题型专训 10．有一圆柱形油罐，如图，要从 A 点环绕油罐建梯子，正好到
A 点的正上方 B 点．已知油罐的底面圆周长是 12 m，高 AB 是 5 m，问梯子最短需要多长？ 解：圆柱的侧面展开图如图所示．
由题意知 AA′＝12 m，AB＝5 m，连接 AB′. 在 Rt△AB′A′中， AB′2＝AA′2＋B′A′2＝122＋52＝169＝132，所以 AB′＝13 m. 答：梯子最短需要 13 m 长．
阶段题型专训 5．如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB 于点 P.
求证 BP2＝BC2＋AP2. 证明：如图，连接 BM. ∵PM⊥AB，∴△BMP 和△AMP 均为直角三角形． ∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2. 同理可得 BC2＋CM2＝BM2. ∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2. 又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2. ∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2. ∴BP2＝BC2＋AP2.
阶段题型专训 8．如图，在公路 l 旁有一块山地正在开发，现需要在 C 处爆破．已
知 C 与公路上的停靠站 A 的距离为 300 m，与公路上的另一 停靠站 B 的距离为 400 m，且 CA⊥CB，为了安全起见，爆破 点 C 周围半径 250 m 范围内不得有人进入．问：在进行爆破 时，公路 AB 段是否有危险？需要暂时封锁吗？
阶段题型专训 7．如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC
折叠，使点 B 恰好落在边 AC 上，与点 B′重合，AE 为折痕， 则 EB′的长为多少？
阶段题型专训 解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AC2＝25，所以 AC＝5. 由折叠的性质得 AB′＝AB＝3，B′E＝BE，∠AB′E＝∠B＝90°. 设 B′E＝BE＝x，则 CE＝4－x. 在 Rt△B′CE 中，B′C＝AC－AB′＝5－3＝2， 由勾股定理得 B′E2＋B′C2＝CE2，即 x2＋22＝(4－x)2， 解得 x＝32. 所以 EB′的长为32.
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(2)当△ABP 为直角三角形时，借助图①求 t 的值； 解：由题意知 BP＝t cm，当△ABP 为直角三角形时，有两种情况： Ⅰ.如图①，当∠APB 为直角时， 点 P 与点 C 重合，BP＝BC＝4 cm，即 t＝4. Ⅱ.如图②，当∠BAP 为直角时， BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm，
阶段题型专训 又易知∠C＝45°，∴∠ABD＝∠CBD＝∠C. ∴BD＝CD.
∵DE⊥DF，BD⊥AC，
∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF＝90°.
∴∠FDC＝∠EDB.
在△EDB 与△FDC 中，
B∠DE＝BDCD＝，∠C， ∠EDB＝∠FDC，
阶段题型专训
∴△EDB≌△FDC(ASA)． ∴BE＝FC＝3. ∴AB＝7，则 BC＝7. ∴BF＝4. 在 Rt△EBF 中，EF2＝BE2＋BF2＝32＋42＝25， ∴EF＝5.
阶段题型专训 4．如图，在四边形 ABFC 中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝
2AB2－CD2.求证 AB＝BC.
【点拨】当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理 证明，应用勾股定理证明两条线段相等的一般步骤：①找出图中 证明结论所要用到的直角三角形；②根据勾股定理写出三边长的 平方关系；③联系已知，等量代换，求之即可．
阶段题型专训
在 Rt△ACP 中，AP2＝32＋(t－4)2； 在 Rt△BAP 中，AB2＋AP2＝BP2， 即 52＋[32＋(t－4)2]＝t2，解得 t＝245. 故当△ABP 为直角三角形时，t＝4 或 t＝245.
阶段题型专训 (3)当△ABP 为等腰三角形时，借助图②求 t 的值．
阶段题型专训 6．如图，在△ABC 中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10.
求 BC 的长．
【方法总结】利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法： 作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾 股定理并结合条件，采用推理或列方程的方法解决问题．
阶段题型专训 解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，∴∠ADC＝90°. 又∠C＝60°，∴∠CAD＝90°－∠C＝30°. ∴CD＝12AC＝5. ∴在 Rt△ACD 中，AD＝ AC2－CD2＝ 102－52＝5 3. ∴在 Rt△ABD 中，BD＝ AB2－AD2＝11. ∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.