勾股定理及其逆定理的应用常见题型

勾股定理及其逆定理的应用常见题型

利用勾股定理求线段长

1．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．

(注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

利用勾股定理求面积

2．如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交AD′于点E，AB＝6 cm，BC＝8 cm，求阴影部分的面积．

利用勾股定理逆定理判断三角形的形状

3．在△ABC中，D为BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，判断△ABD的形状．

利用勾股定理解决几何体表面的最短路径问题

4.(中考·青岛)如图，圆柱形玻璃杯的高为12 cm，底面周长为18 cm.在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________．

利用勾股定理解决实际问题

65如图，某港口位于东西方向的海岸线上，A，B两军舰同时离开港口O，各自沿一固定方向航行，A舰每小时航行32 n mile，B舰每小时航行24 n mile，它们离开港口一个小时后，相距40 n mile，已知A舰沿东北方向航行，则B舰沿哪个方向航行？

(第6题)

几种常见的热门考点

勾股定理及其应用

1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则连接这两条直角边中点的线段长为()

A．3 B．4 C．5 D．10

(第2题)

2．如图，长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为________．

3．如图，已知∠C＝90°，BC＝3 cm，BD＝12 cm，AD＝13 cm.△ABC的面积是6 cm2.求：

(1)AB的长度；

(2)△ABD的面积．

(第3题)

勾股定理的验证

4．如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．

(第4题)

直角三角形的判别

5．在△ABC中，AB＝12 cm，AC＝9 cm，BC＝15 cm，下列关系式成立的是()

A．∠B＋∠C>∠A B．∠B＋∠C＝∠A

C．∠B＋∠C<∠A D．以上都不对

6．已知|x－12|＋|z－13|和(y－5)2互为相反数，则以x，y，z为边长的三角形为________三角形．

7．在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段AB，EA分别是图中1×3的两个长方形的对角线，请你说明：AB⊥EA.

利用勾股定理求最短距离

8．如图，圆柱形无盖玻璃容器高18 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底1 cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的外侧距上口1 cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．

利用勾股定理解决实际问题

9．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捕鱼”的问题．小溪边长着两棵棕榈，恰好隔岸相望．一棵树高是30肘尺(肘尺是古代的长度单位)，另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看到棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远？

思想方法

a．方程思想

10．如图，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠得到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．

b．分类讨论思想

11．在△ABC中，若AB＝20，AC＝15，AD是BC边上的高，AD＝12，试求△ABC的面积．

c．转化思想

12．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E，F分别是AB，AC 边上的点，且AE＝CF，若BE＝14，CF＝2，求线段DF的长．

(注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

(第12题)