典型相关分析中的统计检验问题

相关程度 ,这种相关程度越强 ,说明变量间多重共线 性越严重 , 反之 , xj 与其他变量的线性相关程度越 弱 ,说明变量间的多重共线性越弱 。 ( 2) 病态指数法 。根据矩阵行列式的性质 ,矩阵 的行列式等于其特征根的连乘积 。因而当行列式
| X′ X | ≈0 时 , 矩阵 X′ X 至少有一个特征根近似于
零 。反之 ,可以证明 , 当矩阵 X′ X 至少有一个特征 根近似为零时 , X 必存在多重共线性 。 多重共线性的程度常常用病态指数来衡量 。称
CIi =
λ m , ( i = 1 ,2 , …, p) 为特征根的病态指数 ,其 λ i
中 ,这里的 λ X 的最大特征根 。病态指数度 m 是 X′ 量了矩阵 X′ X 的特征根散布程度 , 可以用来判断多 重共线性是否存在以及多重共线性的严重程度。一 般认为 ,0 < CI < 10 时 , 认为 X 没有多重共线性 ;10 ≤CI < 100 时 , 认为 X 存在较强的多重共线性 ; 当
2 2
典型相关分析中的统计检验问题
兰州商学院 傅德印 黄 健 一、 典型相关分析适用性检验 典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的 一种统计方法 ,但是并非所有的截面数据都适合于 典型相关分析 。典型相关分析是在原始数据满足一 定条件和假设的前提下进行的 , 这些条件包括原始 变量要服从多元正态分布 , 样本容量至少要大于原 始变量个数 ,这些假设包括两组变量之间要具有相 关性 ,每组原始变量中能够综合出典型变量 ,即原始 变量组内要有一定的相关性等 。若这些条件和假设 无法满足 ,就不能进行典型相关分析 。所以 ,应用典 型相关分析时 ,首先要对其适用性进行检验分析 。 ( 一) 原始变量组内相关性检验 进行典型相关分析时 , 既要求原始变量组内存 在一定相关性 ,但是又不能存在高度的多重共线性 。 为此 ,典型相关分析适用性的检验 ,首先是从原始变 量组内相关性检验开始的 。具体包括 : 11 原始变量组内存在一定相关性的假设检验 。 检验的方法可以借鉴主成分分析适用性的检验方 法 ,运用巴特莱特球性检验来进行 。 巴特莱特球性检验是从原始数据整个相关矩阵 出发进行的检验 , 检验的原假设是相关矩阵为单位 矩阵 ,如果不能拒绝原假设 ,说明原始变量之间相互 独立 ,不适合进行典型相关分析 。事实上 ,如果原始 数据的相关矩阵是一个单位矩阵 , 各个原始变量之 间互不相关 ,这时进行典型相关分析 ,则得到和原始 变量个数一样的典型变量 , 而且典型变量就是各个
2 λ ^i 2 。 1-λ ^i
检验的原假设为 : H0 :Σ12 = 0 H1 :Σ12 ≠ 0。 设 Z - N p + q (μ ,Σ) , 用似然比方法可导出似然 比统计量 Λ=
| S| , | S 11 | | S 22 |
对于上述四种统计量 , 原假设均为所有对应典 型变量的典型相关系数等于 0 , 如果检验得到统计 量的显著性水平小于等于 0105 , 则拒绝 H0 , 表明相 关显著 。 二、 典型相关系数的显著性检验 计算典型相关系数是典型相关分析中最重要的 环节 ,但是并不是所有求出的典型相关系数都是显 著相关的 ,这就必须要对典型相关系数的显著性进
=
i= r
7
p
2 (1 - λ ^ i) , 2
31 其他近似统计量检验法 。 ( 1) 威尔克斯 Λ 统计量 =
i =1
Q r 近似服从χ 分布 ,自由度为 ( p - r + 1) ( q r + 1) 。若在给定的显著性水平 α 下 , Q r 大于等于
7
m
(1 - λ ^ i ) ,其中 λ ^i
・ 110 ・
统计研究
2008 年 7 月
名义收入定标规则更适合目前我国的国情 , 它不存 在像通货膨胀定标规则和泰勒规则那样的技术性问 题 ,现阶段在我国实施名义收入定标规则更具可行 性 。而且 ,名义收入定标规则能够为我国货币政策 提供一个参照尺度 , 可以较好地衡量货币政策的松 紧 。即使将来以利率为政策工具 , 名义收入定标规 则也有用武之地 。所以 , 不应忽视对名义收入定标 规则的研究 。现阶段 , 应加大对名义收入定标规则 的研究力度 ,根据我国的实际情况 ,制定一个优化的 动态相对变化率区间 , 有效促进我国货币政策的平 稳运作 。
Qr = - [ n - r 2
在相关性 。 21 近似的 F 检验法 。即当 n →∞, 在 H0 成立 时有 F = 其中 , t =
1Πt 1- Λ
Λ1Πt
・
2
df 2 近似服从 F ( df 1 , df 2 ) 分布 。 df 1
p q - 4 , df 1 = pq , w = n - ( p + q 2 2 p + q - 5
原始变量自身 ,显然是不适合进行典型相关分析的 。
21 原始变量组内变量高度多重共线性的检验 。
典型相关分析要求原始变量组内要存在一定的相关 性 ,但同时又要求原始变量之间不能有高度的多重 共线性 ,否则也将不能产生典型变量 ,导致不能进行 典型相关分析 。检验原始变量组内是否存在高度的 多重共线性 ,可以采用如下的检验方法 : (1) 可决系数和方差膨胀因子法 。对于每组变 量 ,分别以其中的每个变量为被解释变量 ( 因变量) , 其他变量为解释变量做回归 , 用 R j 表示任意 xj 为 被解释变量 ,其他变量为解释变量做线性回归的可 决系数 , 由于 R j 度量了 xj 与其他解释变量的线性
CI ≥ 100 时 ,则认为存在严重的多重共线性 。
除上述外 , 还可以根据简单相关系数矩阵来判 断原始变量内部是否存在严重多种共线性 。一般而 言 ,如果每两个解释变量的简单相关系数比较高 ,如 大于 019 ,则可认为存在着较严重的多重共线性 。 ( 二) 原始变量组间线性相关性检验 典型相关分析中 ,原始变量总体 Z 中的两组变 量 X , Y 如果不相关 , 即 COV ( X , Y) = Σ12 = 0 , 则有 关两组变量典型相关的讨论以及典型相关系数的计 算就毫无意义了 。原始变量组间相关性检验 , 即是 典型相关分析适用性的检验 , 同时又是对典型相关 系数的整体检验 。所谓整体检验是同时检验所有的 典型相关系数看是否有一个是显著的。为此 , 这里
1 ( p + q + 1) , Q = ≤ C} ,这里 m = ( n - 1) 2 2 m lnΛ 近似服从χ ( f ) 分布 , 自由度 f = pq 。于是在 给定的显著性水平 α 下 , 当由样本计算的 Q 大于 2 χ α 临界值时 , 拒绝原假设 , 认为两组原始变量间存
λ 0 ( r = 2 ,3 , …, m ) 。维度递减检验具体有两种 r ≠ 做法 : 一是采用巴特莱特大样本的 χ 检验 , 一是采 用近似的 F 检验 。 2 ( 一) 巴特莱特大样本的 χ 检验 - 1 - 1 对于矩阵 A = ( S 11 S 12 S 22 S 21 ) 的 m 个特征值 , 当 n 充分大 , H0 成立时 ,检验第 r 个典型相关系数 的显著性时的统计量为 :
2
2
临界值时 ,则拒绝原假设 H0 , 则至少可以认为第 r 对典型变量具有相关性 , 相关系数为 λ r , 且为显著 的。
( 二) 近似的 F 检验
-1 -1 表 示 A = ( S 11 S 12 S 22 S 21 ) 的 特 征 根 , 这 里 m
= min ( p , q) 。
m
( 2) 皮莱 ( Pillai ) 迹统计量 =
p、 q 分别为两组原始变量的个数 ,Λr 为上述的统计
量 。当近似 F 统计值大于统计量的临界值 F α ( df 1 ,
df 2 ) ,则拒绝 H0 ,接受 H1 ,即认为第 r 个典型相关系
四、 几点讨论 将上述典型相关分析的适用性检验和典型相关 系数的显著性检验结合起来 , 则可以形成典型相关 分析统计检验体系的基本框架 。为了恰当应用典型 相关分析 ,充分发挥典型相关分析的作用 ,建议在应 用典型相关分析时应按照上述框架进行相应的统计 检验 。当然 ,上述体系一方面还需要完善之处 ,另一 方面 ,在实际应用中 ,即使是根据上述内容都进行了 统计检验 ,但也还会存在许多考虑不周之处 ,还要注 意以下问题 :
m
i =1
2 λ ^i 。 ∑
当 n 充分大 , H0 成立时 ,近似服从 F ( df 1 , df 2 ) 分布 。其中 ,
t =
(3 ) 劳 雷2霍 特 林 ( Hotelling2Lawley ) 迹 统 计 量 =
i =1
。 ∑1 - λ ^
2
i
λ ^i
2
( p - r + 1) 2 ( q - r + 1) 2 - 4 , df 1 = ( p - r + 1) 2 + ( q - r + 1) 2 - 5
= min ( p , q) ) ,备择假设 H1 : 至少一个典型相关系数
在具体应用中 ,由于似然比统计量 Λ 的精确分 布很复杂 ,常常使用的是它的近似统计量 。由 Λ 出 发导出检验 H0 的近似统计量 ,可有如下检验方法 :
11 近似的 χ 检验法 。根据巴特莱特证明 , 当
2
n →∞, 在 H0 成立时有 P{ - m lnΛ ≤ C} = P{ Q
11 关于原始数据的总体分布问题 。一般来说 , 典型相关分析要求原始变量服从正态分布 。但在严 格意义上 ,如果变量的分布形式比如高度偏态不会 降低其他变量的相关关系 , 典型相关分析是可以包 含这种非正态变量的 。有时由于多元正态性检验不
i =1
其中 p + q 阶矩阵 S 是Σ 的最大似然估计 , S 11 ,
S 22 分别是 Σ11 ,Σ12 的最大似然估计 。利用矩阵行列