求数列通项公式方法经典总结

求数列通项公式方法 （1）．公式法（定义法）

根据等差数列、等比数列的定义求通项

例：1已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ， 求n a ；

2.已知数列}{n a 满足)1(1,211≥=-=-n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式；

3.数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且 （*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；

4. 已知数列}{n a 满足21

1,

21

1=-

=+n

n a a a ，求数列{}n a 的通项公式； 5.设数列}{n a 满足01=a 且

111

111=---+n

n a a ，求}{n a 的通项公式

6. 已知数列{}n a 满足112,12

n

n n a a a a +=

=+，求数列{}n a 的通项公式。 7.等比数列}{n a 的各项均为正数，且13221=+a a ，622

39a a a =，求数列}{n a 的通项公式

8. 已知数列}{n a 满足)1(3,211≥===n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式；

9.已知数列}{n a 满足2

122142++=⋅==n n n a a a a a 且， （*∈N n ），求数列{}n a 的

通项公式；

10.已知数列}{n a 满足，21=a 且1

152(5)n n n n a a ++-=-（*∈N n ），求数列{}n a 的通

项公式；

11. 已知数列}{n a 满足，21=a 且115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+（*∈N n ），求

数列{}n a 的通项公式；

12.数列已知数列{}n a 满足111

,41(1).2

n n a a a n -==+>则数列{}n a 的通项公式=

（2）累加法

1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+

若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111

()n

n k a a f n +=-=∑

例：1.已知数列{}n a 满足1

41,2

12

11-+

==

+n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。

2. 已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

4.设数列}{n a 满足21=a ，1

2123-+⋅=-n n n a a ，求数列}{n a 的通项公式

（3）累乘法

适用于： 1()n n a f n a +=

若

1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n

a a

a

f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1

11

1()n

n k a a f k a +==⋅∏ 例：1. 已知数列{}n a 满足112(1)53n

n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

2.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1

1+=+，求n a 。

3.已知31=a ，n n a n n a 2

31

31+-=+ )1(≥n ，求n a 。

（4）待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+ 解题基本步骤： 1、确定()f n

2、设等比数列{}1()n a f n λ+，公比为

3、列出关系式)]([)1(1211n f a n f a n n λλλ+=+++

4、比较系数求1λ，2λ

5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式

6、解得数列{}n a 的通项公式

例：1. 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。

2.（2006，重庆,文,14）在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________

3.（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列

{}

n a 满足

*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式；

4.已知数列{}n a 满足112356n

n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1

15

2(5)n n n n a x a x +++⨯=+⨯

5. 已知数列{}n a 满足1135241n

n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1

12

3(2)n n n n a x y a x y +++⨯+=+⨯+

6.已知数列{}n a 中，651=a ,1

1)2

1(31+++=n n n a a ，求n a

7. 已知数列{}n a 满足2

1123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：设22

1(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++

8. 已知数列{}n a 满足1

112431n n n a a a -+=+⋅=，，求数列{}n a 的通项公式。

递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 其中s ，t 满足⎩⎨

⎧-==+q

st p

t s

9. 已知数列{}n a 满足211256,1,2n n n a a a a a ++=-=-=，求数列{}n a 的通项公式。

10.已知数列{}n a 满足*

12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈

（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；（II ）求数列{}n a 的通项公式；

11.已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3

1

3212+=++，求n a

（5）递推公式中既有n S

分析：把已知关系通过11,1

,2

n n n S n a S S n -=⎧=⎨

-≥⎩转化为数列{}n a 或n S 的递推关系，然后采