讲空间任意力系资料
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第五章 空间任意力系
z B x
F
C β
α
y
A x1
y1
第五章 空间任意力系
例题6-2
§5–2 力对轴的矩
解： 1.力对轴AB的矩。
M ′ AB (F ) = M B (F )
z B x
例题 5-2 F
C β
α
y
F′
= − F cos β cos α ⋅ BC
= −3.18 N ⋅ m
应用解析式求解力对点B的矩。
M x (F ) = yFx − zFy
第五章 空间任意力系
例题6-1
§5–2 力对轴的矩
例题 5-1
由图示可以求出力F 解： 在各坐标轴上的投影和力 F 作用点C 的坐标分别 为：
Fx = F cos αcos β
Fy = F cos α sin β
Fz = F sin α
x= a = 4 m y= b = 6 m z= c =－3 m
2 2 2
力F 对原点O之矩方向余弦
cos( MO , i ) = Mx = 0.845 MO
cos( MO , j ) =
cos( MO , k ) =
My MO
= −0.531
Mz = 0.064 MO
第五章 空间任意力系
§5–2 力对轴的矩
例题 5-2
例5-2 在轴AB的手柄BC的一端作用着力F，试求这力对轴 AB以及对点B和点A的矩。已知AB=20 cm，BC=18 cm，F=50 N ，且α=45°，β=60°。
第五章 空间任意力系
§5–2 力对轴的矩
由
例题 5-1
M x (F ) = yFx − zFy
My (F ) = zFx − xFz
F
C β
α
y
A x1
y1
第五章 空间任意力系
例题6-2
§5–2 力对轴的矩
解： 1.力对轴AB的矩。
M ′ AB (F ) = M B (F )
z B x
例题 5-2 F
C β
α
y
F′
= − F cos β cos α ⋅ BC
= −3.18 N ⋅ m
应用解析式求解力对点B的矩。
M x (F ) = yFx − zFy
第五章 空间任意力系
例题6-1
§5–2 力对轴的矩
例题 5-1
由图示可以求出力F 解： 在各坐标轴上的投影和力 F 作用点C 的坐标分别 为：
Fx = F cos αcos β
Fy = F cos α sin β
Fz = F sin α
x= a = 4 m y= b = 6 m z= c =－3 m
2 2 2
力F 对原点O之矩方向余弦
cos( MO , i ) = Mx = 0.845 MO
cos( MO , j ) =
cos( MO , k ) =
My MO
= −0.531
Mz = 0.064 MO
第五章 空间任意力系
§5–2 力对轴的矩
例题 5-2
例5-2 在轴AB的手柄BC的一端作用着力F，试求这力对轴 AB以及对点B和点A的矩。已知AB=20 cm，BC=18 cm，F=50 N ，且α=45°，β=60°。
第五章 空间任意力系
§5–2 力对轴的矩
由
例题 5-1
M x (F ) = yFx − zFy
My (F ) = zFx − xFz
工程力学-第五章 空间任意力系
22
例题5
由题意有
Fr 0.36 Ft
解方程得
F 10.2 kN Fr 3.67 kN FAx 15.64 kN FAz 31.87 kN FBx 1.19 kN FBy 6.8 kN FBz 11.2 kN
2013-8-2 23
例题5
2. 取工件为研究对象，受力
z
M
0,
Fy r M O 0
11
例题2
水平传动轴上装有两个胶带轮C和D，半径分别是r1=0.4 m ， r2=0.2 m .
套在C 轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力F1=3 400 N，F2=2 000 N，套在D轮 上的胶带与铅垂线成夹角α=30o，其拉力F3=2F4。求在传动轴匀速转动时，
3
2）力对轴之矩的计算
A：定义：
力Ｆ对任一z轴的
矩，等于这力在z
轴的垂直面上的投
影对该投影面和z
轴交点O的矩。
2013-8-2 4
R=Fi B：合力矩定理： MZ(R)=MZ(Fi ) 在直角弯的杆C 端作用 着力F，试求这力对坐 标轴的矩。已知:
OA=a=6 m，AB=b=4 m， BC=c=3 m， α=30º 60º ,β= 。
F
x
0,
FAx FBx ( F3 F4 ) sin 30 0
F
z
0,
FAz FBz ( F3 F4 ) cos 30 ( F1 F2 ) 0
M x 0, FAZ 0.25 m FBZ 1.25 m ( F3 F4 ) cos 30 0.75 m 0
例题4
某种汽车后桥半轴可看成支承在
例题5
由题意有
Fr 0.36 Ft
解方程得
F 10.2 kN Fr 3.67 kN FAx 15.64 kN FAz 31.87 kN FBx 1.19 kN FBy 6.8 kN FBz 11.2 kN
2013-8-2 23
例题5
2. 取工件为研究对象，受力
z
M
0,
Fy r M O 0
11
例题2
水平传动轴上装有两个胶带轮C和D，半径分别是r1=0.4 m ， r2=0.2 m .
套在C 轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力F1=3 400 N，F2=2 000 N，套在D轮 上的胶带与铅垂线成夹角α=30o，其拉力F3=2F4。求在传动轴匀速转动时，
3
2）力对轴之矩的计算
A：定义：
力Ｆ对任一z轴的
矩，等于这力在z
轴的垂直面上的投
影对该投影面和z
轴交点O的矩。
2013-8-2 4
R=Fi B：合力矩定理： MZ(R)=MZ(Fi ) 在直角弯的杆C 端作用 着力F，试求这力对坐 标轴的矩。已知:
OA=a=6 m，AB=b=4 m， BC=c=3 m， α=30º 60º ,β= 。
F
x
0,
FAx FBx ( F3 F4 ) sin 30 0
F
z
0,
FAz FBz ( F3 F4 ) cos 30 ( F1 F2 ) 0
M x 0, FAZ 0.25 m FBZ 1.25 m ( F3 F4 ) cos 30 0.75 m 0
例题4
某种汽车后桥半轴可看成支承在
空间任意力系
FC
最大载重Pmax是多少。
Q FB
P
D
解: 取起重机为研究对象
A
B,C
My(F)0, FAaco3s0Qa3co3s0Pclos0
MC'x(F)0,
a FA2
FBaQa2P(a2lsin)0
y C
x’
Fz 0, FAFBFCPQ0
A
ED
x
解得: FA=19.3kN， FB=57.3kN， FC=43.4kN
d O1
O
MO MO cos MO MO sin
d MO MO sin
FR
FR
一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋
(4) 空间任意力系平衡的情形
● F′R=0，MO=0
2019/11/15
原力系平衡
内容回顾
空间力系的简化与合成
主矢
主矩
最后结果
说
明
FR′ = 0
MO = 0 MO≠0
§5-5 空间任意力系的平衡条件及其应用
1、平衡条件及平衡方程：
平衡条件：
由平衡力系定理可知，空间一般力系平衡的充要条件：力 系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即：
平衡方程：
FR Fi 0
M O M O i 0
由主矢与主矩的计算式，有
F R (F x F x i )0 2 i, (F F yy ) i2 i0 ,(F F zz i )i2 0
② 空间任意力系的平衡条件及其应用；
2019/11/15
§5-4 空间任意力系的简化
1. 空间力线平移定理
作用于刚体的力 F 可等效地平移到刚体上的任一点O， 但须附加一力偶，此附加力偶矩 矢M 等于原力对平移点O 的力矩矢MO（F）。
空间任意力系的简化)汇总
z
3cm 5cm
B
D
o x
y
A
P
9
解: 根据力对轴的矩的定义计算
作和x轴垂直的平面M1.
找出交点O. z 确定力P在平面 M1内的分力 Pyz=1.732 kN. o 在平面M1内确定 力Pyz到矩心O的距 x 离即力臂d1=8cm
5cm
B
3cm
D
d1 A
M1
y
Pyz P
计算力Pyz对点A的矩亦即力P对x轴的矩
z
A'
O'
C'
MD FR'
B'
最后简化结果为左螺旋.
o
D
A B
C
y
x
30
力对轴的矩
z
图示门，求力 F 对z
（矩轴）的矩。 将力分解：
F
O
d
Fz
A
F Z∥ z 轴 F xy ⊥z 轴
于是：Mz(F) = M
O(Fxy)
F xy
=Fxyd =2OA’B’面积
3
结论：力对轴的矩等于该力在垂直于此轴的平面上的分力
对此轴与这个平面交点的矩。
说明: （1）力对轴的矩是代数量。 正负号规定：右手螺旋法则。 （2）若力与轴空间垂直，则 无须分解。 （3）若 F // z 轴
所组成的空间力偶系可合成为一个力偶 , 其力
偶矩矢Mo称为原力系对简化中心的主矩. Mo = Mi = mo(Fi)
20
结论: 空间任意力系向任一点简化, 一般可得到
一个力和一个力偶. 这个力作用在简化中心, 它的 矢量称为原力系的主矢,并等于这力系中各力的矢 量和; 这个力偶的力偶矩矢等于原力系中各力对简 化中心的矩的矢量和,并称为原力系对简化中心的 主矩. 主矢FR'只取决于原力系中各力的大小和方向, 与简化中心的位置无关 ;而主矩 Mo 的大小和方向 都与简化中心的位置有关.
3cm 5cm
B
D
o x
y
A
P
9
解: 根据力对轴的矩的定义计算
作和x轴垂直的平面M1.
找出交点O. z 确定力P在平面 M1内的分力 Pyz=1.732 kN. o 在平面M1内确定 力Pyz到矩心O的距 x 离即力臂d1=8cm
5cm
B
3cm
D
d1 A
M1
y
Pyz P
计算力Pyz对点A的矩亦即力P对x轴的矩
z
A'
O'
C'
MD FR'
B'
最后简化结果为左螺旋.
o
D
A B
C
y
x
30
力对轴的矩
z
图示门，求力 F 对z
（矩轴）的矩。 将力分解：
F
O
d
Fz
A
F Z∥ z 轴 F xy ⊥z 轴
于是：Mz(F) = M
O(Fxy)
F xy
=Fxyd =2OA’B’面积
3
结论：力对轴的矩等于该力在垂直于此轴的平面上的分力
对此轴与这个平面交点的矩。
说明: （1）力对轴的矩是代数量。 正负号规定：右手螺旋法则。 （2）若力与轴空间垂直，则 无须分解。 （3）若 F // z 轴
所组成的空间力偶系可合成为一个力偶 , 其力
偶矩矢Mo称为原力系对简化中心的主矩. Mo = Mi = mo(Fi)
20
结论: 空间任意力系向任一点简化, 一般可得到
一个力和一个力偶. 这个力作用在简化中心, 它的 矢量称为原力系的主矢,并等于这力系中各力的矢 量和; 这个力偶的力偶矩矢等于原力系中各力对简 化中心的矩的矢量和,并称为原力系对简化中心的 主矩. 主矢FR'只取决于原力系中各力的大小和方向, 与简化中心的位置无关 ;而主矩 Mo 的大小和方向 都与简化中心的位置有关.
5 理论力学--空间任意力系
z FAz Mz
FAy My
y
x
Mx A FAx
图5-8
因此，按照空间任意力系简化理论，将固定端处 的约束力向固定端点A处简化，得到一个力和一个力 偶。 这个力的大小和方向不能确定，所以用三个正交 的分力来表示；这个力偶的大小和方向也不能确定， 也用三个正交的分量表示。
5.3 空间任意力系的平衡方程
A
Fy 0
列平衡方程
F F4 cos 0 F2 cos a F a 0
F3
y
x
O x MO
F2
y
主矢 的大小和方向余弦分别为
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2
图5-5
, cos(FR , k )
cos( FR , i )
F
FR
x
, cos(FR , j )
F
FR
y
F
FR
z
空间力偶系可合成为一个力偶
5.3.1 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系的 主矢和对任意一点的主矩均等于零。
M O M O (F ) 0 FR F 0
空间任意力系的平衡方程
F 0 F 0 其中包含有三个投影方程和三个 F 0 力矩方程，共计6个独立方程，可 M (F ) 0 解6个未知量。 M (F ) 0 M (F ) 0
O
M (F ) ,k M
z O
结 论
空间任意力系向任一点简化后，一般得到一个 力和一个力偶 。 这个力作用于简化中心，其力矢等于原力系的主矢。 这个力偶的力偶矩矢等于原力系对简化中心的主矩。 空间任意力系的主矢与简化中心的位置无关，而 主矩一般随简化中心位置的改变而改变，与简化中心 的位置有关。
FAy My
y
x
Mx A FAx
图5-8
因此，按照空间任意力系简化理论，将固定端处 的约束力向固定端点A处简化，得到一个力和一个力 偶。 这个力的大小和方向不能确定，所以用三个正交 的分力来表示；这个力偶的大小和方向也不能确定， 也用三个正交的分量表示。
5.3 空间任意力系的平衡方程
A
Fy 0
列平衡方程
F F4 cos 0 F2 cos a F a 0
F3
y
x
O x MO
F2
y
主矢 的大小和方向余弦分别为
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2
图5-5
, cos(FR , k )
cos( FR , i )
F
FR
x
, cos(FR , j )
F
FR
y
F
FR
z
空间力偶系可合成为一个力偶
5.3.1 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系的 主矢和对任意一点的主矩均等于零。
M O M O (F ) 0 FR F 0
空间任意力系的平衡方程
F 0 F 0 其中包含有三个投影方程和三个 F 0 力矩方程，共计6个独立方程，可 M (F ) 0 解6个未知量。 M (F ) 0 M (F ) 0
O
M (F ) ,k M
z O
结 论
空间任意力系向任一点简化后，一般得到一个 力和一个力偶 。 这个力作用于简化中心，其力矢等于原力系的主矢。 这个力偶的力偶矩矢等于原力系对简化中心的主矩。 空间任意力系的主矢与简化中心的位置无关，而 主矩一般随简化中心位置的改变而改变，与简化中心 的位置有关。
第四章 空间任意力系x
(4-4)
第一节 空间任意力系的简化
得到：
FRx Fix , FRy Fiy , FRz Fiz
（4-5）
而Ｆ的大小及方向余弦为：
2 2 2 FR FRx FRy FRz FRy FRx cos( FR , x) , cos( FR , y ) (4-6) FR FR FRz cos( FR , z ) FR
FR = F1 + F2 + + Fn = Fi
(4-1)
附加力偶系可合成为一个力偶，力偶矩ＭO等于各附 加力偶矩的矢量和，即MO=M１+M2+……+Mn，亦即等于 原力系中各力对于简化中心的矩的矢量和
M0 M01 M02 M0n M0i
(4-2)
矢量 FR = Fi称为原力系的主矢量，矢量 M 0 称为原力系对于简化中心Ｏ的主矩。
第一节 空间任意力系的简化
3、空间任意力系简化为一合力螺旋
若FR≠０，MO≠０，且MO 与FR 不相垂直，如图 （4-3a） ，则可用下述方法进一步简化。
图4-3
力 螺 旋
第一节 空间任意力系的简化
将MO 分解为垂直于FR 的M1 和平行于FR 的MR。
因M1 所代表的力偶与力 FR 位于同一平面V（⊥ M1）
即:
FR＝０，MO＝０
（4-15）
第二节 空间任意力系的平衡条件 平衡方程
过O点取直角坐标系Oxyz，上述条件可用代数方 程表示为：
F 0, F 0, F 0 M 0, M 0, M 0
ix iy iz ix iy iz
（4-16）
第二节 空间任意力系的平衡条件 平衡方程
第一节 空间任意力系的简化
得到：
FRx Fix , FRy Fiy , FRz Fiz
（4-5）
而Ｆ的大小及方向余弦为：
2 2 2 FR FRx FRy FRz FRy FRx cos( FR , x) , cos( FR , y ) (4-6) FR FR FRz cos( FR , z ) FR
FR = F1 + F2 + + Fn = Fi
(4-1)
附加力偶系可合成为一个力偶，力偶矩ＭO等于各附 加力偶矩的矢量和，即MO=M１+M2+……+Mn，亦即等于 原力系中各力对于简化中心的矩的矢量和
M0 M01 M02 M0n M0i
(4-2)
矢量 FR = Fi称为原力系的主矢量，矢量 M 0 称为原力系对于简化中心Ｏ的主矩。
第一节 空间任意力系的简化
3、空间任意力系简化为一合力螺旋
若FR≠０，MO≠０，且MO 与FR 不相垂直，如图 （4-3a） ，则可用下述方法进一步简化。
图4-3
力 螺 旋
第一节 空间任意力系的简化
将MO 分解为垂直于FR 的M1 和平行于FR 的MR。
因M1 所代表的力偶与力 FR 位于同一平面V（⊥ M1）
即:
FR＝０，MO＝０
（4-15）
第二节 空间任意力系的平衡条件 平衡方程
过O点取直角坐标系Oxyz，上述条件可用代数方 程表示为：
F 0, F 0, F 0 M 0, M 0, M 0
ix iy iz ix iy iz
（4-16）
第二节 空间任意力系的平衡条件 平衡方程
第四章 任意力系1
F2 Fn
F1 M1
=
简化中心
M2 F2 Mn A
Fn
=
附加力偶
FR MA
r r F R = Σ Fi
FRx = ∑ Fix FRy = ∑ Fiy
FRX FRY cos α = , sin α = FR FR
主矩：MA=∑Mi= ∑MA（F i） 主矩： ∑
与简化中心A无关 无关， 与简化中心A有关 1、FR与简化中心 无关，MA与简化中心 有关 2、合力=主矢+主矩 合力=主矢+ 简化结果讨论： 简化结果讨论：
xC = r α ∫α
2 −
积分法
y dθ θ θ
x = 2 rcos θ 3
r
dS
1
α
2 1 2 2 rcos θ ( r )dθ = rsinα , 3 2 3α
x
如：α=π/2， 则:xc=(4r/3π) ，
例4-3：图示槽钢横截面，求：此截面重心的位置。 图示槽钢横截面， 此截面重心的位置。 =0， 解：取对称轴故yc=0，再分割成有规律的几个物体 xc=∑Ai xi/A ∑ A1=30•10=300cm2, x1=15cm； ； A2=20•10=200cm2, x2=5cm； ； A3=30•10=300cm2, x3=15cm； ；
'
r r 1、主矢 F =0 而主矩 M ≠0 合力偶 、 O R
简化结果讨论: 简化结果讨论:
与简化中心无关
r 2、 F ≠ 0 、 R
r MO = 0
合力
r r 3、 FR ≠ 0 ; M O ≠ 0 、 r r （1） F MO R
合力
F R
o
MO
理论力学空间任意力系
(M
zi
)2
cos(M , i) M x cos(M , j) M y cos(M , k) M z
M
M
M
平衡条件
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :
M 0合力偶矩矢等于零
M ( M xi )2 ( M yi )2 (M zi )2
平衡方程
M ix M iy
0 0
M iz
M 2 M 2 sin
j M 2 cos
k
3 5
F
20.2
j
4 5
F
20.2k
合力偶矩矢 M M1 M 2 60i 12 j 16k
大小： M 602 122 162 63.25(N m)
（1）研究多个力偶的合成或力偶系的平衡，只要用力偶矩矢 进行运算即可；
（2）求合力偶矩矢时，一般只需求得其沿各坐标轴的分量即可。 也可进一步分析合力偶矩矢的大小及其方位角。
力与轴平行或与轴相交——即力与轴在同一平面内 时，力对该轴的矩为零。
Mz (F ) MO (Fxy) Fxy d M z (F) Mo (Fxy ) Fxy h
力对轴之矩等于力在该轴垂直面上的投影对该轴和 投影面的交点之矩
3、力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系
r
r
rrr
已知：力 F及r 力 F在三根坐标轴上的分力 ，Fx ，Fy， Fz
四、空间任意力系
1、空间任意力系向一点的简化
F1 F1 , F2 F2 , , Fn Fn M1 MO (F1), M2 MO (F2 ), , Mn MO (Fn )
n
FR F1 F2 F3 F1 F2 F3 Fi i 1 n
M O M1 M 2 M 3 M O F1 M O F2 M O F3 M O Fi
第5章 空间任意力系
四、空间力系的合力矩定理
定理的表述： 若空间一般力系有合力FR，则合力对作用面内任一点O（或任一轴x）的 矩，等于力系各力对同一点O （或同一轴x）之矩的矢量和（或代数和）。
MO (FR ) MO (Fi ) M x (FR ) M x (Fi )
——对点的合力矩定理
——对轴的合力矩定理
例： 水平传动轴上安装有带轮和 圆柱直齿轮。已知：带轮直径d1= 0.5m，其紧边与松边的拉力分别为 F1和F2，且有F1= 2F2，F2与水平线 夹角θ= 30 ° ；齿轮节圆直径 d2= 0.2 m，Ft=2kN, 啮合角α= 20°； 几何尺寸为：b = 0.2 m，c = e = 0.3 m；零件本身重量不计，设轴处于 平衡状态。求轴承A、B处的反力。 （Fr 与Ft 为齿轮的径向力和圆周力）
F
zi
0:
FA FB FC P 0
（3）
FA P FB FC 1.5 0.35 0.5 0.65kN
第五次作业：
5-1, 5-3(提示）, ５-５, ５-９
若坐标系原点为汇交力系交点O，则有：
(Fi ) 0, M y (Fi ) 0, M z (Fi ) 0
因而空间汇交力系的平衡充要条件或平衡方程为：
F
xi
0, Fyi 0, Fzi 0
三、平衡条件及平衡方程应用：
步骤： （1）选择适当的研究对象； （2）作受力分析，画出受力图； （3）选择适当的投影坐标轴和力矩轴（力矩轴与投影轴可不一致）； （4）列平衡方程，求解未知量。
O
M
主矩的方向： cos( M , x) O
M
x
(Fi ) M y (Fi ) M z (Fi )
空间任意力系
B
Fx
mz ( F ) mz ( Fx ) Fx a 25 2 50N .m
x
Fy a 2m
y
11
[练习1] 已知P=2000N, C点在Oxy平面内，求力P对三个 坐标轴的矩。
解：
Pz P sin 45 1000 2N
Pxy P cos45 1000 2 N Px Pxy sin 60 500 6 N Py Pxy cos60 500 2 N
mO ( F ) ( m x ( F )) 2 ( m y ( F )) 2 ( m z ( F )) 2
my (F ) mx ( F ) mz ( F ) cos ,cos ,cos mO ( F ) mO ( F ) mO ( F )
17
§5-3 空间汇交力系的合成与平衡
"
29
⑵ R '∥ M o ; 这种情况力与力偶不能再合成，这就是 力系简化的最终结果，称为力螺旋。如钻孔、攻丝、拧木
螺钉等。
力螺旋中力的作用线称为原力系的中心轴，中心轴过简 化中心。
O·
Mo R'
=
R' · O
O·
R'
Mo
=
· O
R'
右螺旋
左螺旋
力螺旋与力、力偶一样，都是组成力系的基本元素。
30
z
mo ( F )
F
B
r
A
x
O
b y
a Fxy
力对点的矩矢在过该点的任一轴上的投影等于力对该 轴的矩。
[mo (F )]z mz (F )
16
利用力对点之矩与对通过该点的轴之矩的关系计算力
理论力学第5章-空间任意力系
物G = 100 kN的重物，绞车处于平衡状态，结构的几何尺寸如图 所示。试求胶带的拉力和轴承A、B的约束力。
100
z
100
FAz
A y
F
FAx
x
100 FBz
B
（
C
a
FBx
）
G
D
b
F2 F1
解： 取整体为研究对象。
列平衡方程
M y(F) 0
G
D 2
F1
d 2
F2
d 2
0
Mx (F) 0 200FBz 300F1 cos 300F2 cos b 100G 0
(4) FR 0
且 MO 0
FR MO
可进一步简化。
MO O
FR
O FR d FR
O1
FR
O d FR
O1
原力系合成为合力 ，合力矢等于原力系的主矢，
其作用线距简化中心的距离为
d MO FR
由上述分析可知 MO MO (FR ) 而 MO MO(F )
由此得
MO (FR ) MO (F)
F2 200 kN FAz 446.41kN
FBx 1189.23kN FBz 919.62 kN
由于 Fy 0 ，因此本例题只有5个独立的平衡方程。
5.4 平行力系中心 、重心 5.4.1 平行力系中心
设在刚体上的A、B两点，分别作用有同向平行力
F1和F2，。利用平面任意力系的简化理论，可求得它们
5.1.3 力矩关系定理
M z (F ) M O (Fxy ) M O (Fx ) M O (Fy ) xFy yFx
同理得
M x (F ) yFz zFy
100
z
100
FAz
A y
F
FAx
x
100 FBz
B
（
C
a
FBx
）
G
D
b
F2 F1
解： 取整体为研究对象。
列平衡方程
M y(F) 0
G
D 2
F1
d 2
F2
d 2
0
Mx (F) 0 200FBz 300F1 cos 300F2 cos b 100G 0
(4) FR 0
且 MO 0
FR MO
可进一步简化。
MO O
FR
O FR d FR
O1
FR
O d FR
O1
原力系合成为合力 ，合力矢等于原力系的主矢，
其作用线距简化中心的距离为
d MO FR
由上述分析可知 MO MO (FR ) 而 MO MO(F )
由此得
MO (FR ) MO (F)
F2 200 kN FAz 446.41kN
FBx 1189.23kN FBz 919.62 kN
由于 Fy 0 ，因此本例题只有5个独立的平衡方程。
5.4 平行力系中心 、重心 5.4.1 平行力系中心
设在刚体上的A、B两点，分别作用有同向平行力
F1和F2，。利用平面任意力系的简化理论，可求得它们
5.1.3 力矩关系定理
M z (F ) M O (Fxy ) M O (Fx ) M O (Fy ) xFy yFx
同理得
M x (F ) yFz zFy
5-空间任意力系
第五章空间任意力系空间力系：力的作用线不位于同一平面内。
空间力系包括：空间汇交力系空间力偶系空间任意力系§5-1 空间任意力系向一点的简化，主矢和主矩一、力平移定理作用于刚体上的任一个力可以平移到刚体上任一点O，但除该力外，还需加上一个附加力偶，其力偶矩矢等于该力对于O点的力矩矢。
力向一点平移力向一点平移的结果:一个力和一个力偶,力偶的力偶矩等于原来力对平移点之矩.FF－FMOM-FFFFF －FFMFM xM yF二、空间任意力系向一点的简化图示力系向O 点简化力F 1平移到O 点F 1F 2F 3F nOF 1M 1O将每个力向简化中心平移F 1F 2F 3F nF 1F 2F nM 1M 2M nOF 1F 2F nM 1M 2M n将所有的力都平移到O 点后，得到一个空间汇交力系和一个空间力偶系。
空间汇交力系的合成结果为一个合力—主矢∑==n i iR F F 1空间力偶系的合成结果为一个合力偶—主矩∑==n i iO M M 1F RM O主矢作用于简化中心O ，与简化中心的选择无关主矩与简化中心的选择有关情况1：F R ≠ 0, M O =0 合力情况2：F R = 0, M O ≠ 0合力偶四、空间任意力系向某一点(O )简化结果的分析空间任意力系向某一点(O )简化结果有如下四种情况：情况4：F R = M O =0 零力系(平衡力系)情况3：F R ≠ 0, M O ≠ 0(最普遍情况，下面还将进一步讨论)空间任意力系一般情况（F R ≠ 0, M O ≠ 0）的进一步讨论，1、F R 垂直于M O2、F R 平行于M O3、 F R 既不平行也不垂直M O 该情况又可进一步区分为下述三种情况：三种结果可进一步讨论如下M OF R最后结果F Rd =M /F R1、F R 垂直于M O 可最终简化为通过点O’的合力O’2、F R 平行于M OxyzM OxF Rd =M /F R无法进一步简化，力螺旋工程实例xyzM OxM OyF RxyzM OxF Rd =M /F R最后结果F RM Oxyz情况3：F R 既不平行也不垂直M O力螺旋O’§5-2 空间任意力系的平衡条件空间任意力系的平衡条件为：主矢和主矩都等于零。
工程力学_05空间力系
0, MO 0 时，空间力系为平衡力系。 当 FR
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系向任一点简化可得到一个力和一个力偶。 这个力通过简化中心，称为力系的主矢，它等于各 个力的矢量和，并与简化中心的选择无关。 这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩， 并等于力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和，并 与简化中心的选择有关。
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系：作用线在空间任意分布的力系。
空间汇交力系
空间任意力系
空间力偶系
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系：作用线在空间任意分布的力系。 一、空间任意力系向一点的简化
其中，各 Fi Fi ，
Fx 0, FAx Fx 0 (1) Fy 0, FAy Fy 0 (2) Fz 0, FAz Fz 0 (3) M x ( F ) 0, M y ( F ) 0, M z ( F ) 0,
FAz MAz
O
z
MAy FAx
FAy Fz
y 200 Fy
MAx
M Ax 0.075Fz 0 M Ay 0.2 Fz 0
x 75 Fx
M Az 0.075Fx 0.2 Fy 0
P 20 kN
§5–2 空间任意力系的平衡条件
解题步骤、技巧与注意问题： 1、解题步骤： ①选研究对象
O
11
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
三、补充:空间任意力系的简化结果分析（最后结果）
理论力学3-2 空间力系
10
§3-5 空间任意的平衡方程
例 4 -4
水平传动轴上装有两个胶带 轮C和D，半径分别是r1=0.4 m ，
r2=0.2 m . 套在C 轮上的胶带是
铅垂的，两边的拉力F1=3400N， F2=2000 N，套在D轮上的胶带与
铅垂线成夹角α=30o，其拉力
F3=2F4。求在传动轴匀速转动时， 拉力F3和F4以及两个径向轴承处 约束力的大小。
二维 xC
dA C O
A
xdA A
, yC
A
ydA A
1 2 2 x R cos θ, dA R dθ 2 3
xC
A
xdA
4R xC 半圆： 3
A 2 sin R 3
2 1 2 R cos R d 3 2 R 2
22
§3-6
② 组合法求重心
将物体分成n 部分，设第i 部分重为Pi ，坐标为（xi，
yi，zi），则由(*)式得重心的坐标（xC，yC，zC）为：
xC
Px , P
i i i
yC
Py , P
i i i
zC
Pz P
i
i i
17
§3-6
重心
2、重 心
重心的坐标为：
xC
Px , P
i i i
i i
其投影式为:
xC Fx Fx , F F
R
yC
Fy , F
i i
zC
i i
(*)
16
§3-6 2、重 心
xC
i i
重心
i i i
§3-5 空间任意的平衡方程
例 4 -4
水平传动轴上装有两个胶带 轮C和D，半径分别是r1=0.4 m ，
r2=0.2 m . 套在C 轮上的胶带是
铅垂的，两边的拉力F1=3400N， F2=2000 N，套在D轮上的胶带与
铅垂线成夹角α=30o，其拉力
F3=2F4。求在传动轴匀速转动时， 拉力F3和F4以及两个径向轴承处 约束力的大小。
二维 xC
dA C O
A
xdA A
, yC
A
ydA A
1 2 2 x R cos θ, dA R dθ 2 3
xC
A
xdA
4R xC 半圆： 3
A 2 sin R 3
2 1 2 R cos R d 3 2 R 2
22
§3-6
② 组合法求重心
将物体分成n 部分，设第i 部分重为Pi ，坐标为（xi，
yi，zi），则由(*)式得重心的坐标（xC，yC，zC）为：
xC
Px , P
i i i
yC
Py , P
i i i
zC
Pz P
i
i i
17
§3-6
重心
2、重 心
重心的坐标为：
xC
Px , P
i i i
i i
其投影式为:
xC Fx Fx , F F
R
yC
Fy , F
i i
zC
i i
(*)
16
§3-6 2、重 心
xC
i i
重心
i i i
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MO
FR
MO d FR MO (FR ) MO (F)
合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢 量和.
合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和. （2）合力偶
当 FR 0,MO 0 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化 中心无关。
（3）力螺旋
当 FR 0, MO 0, FR ∥MO 时
M AB F 0 M AE F 0
F6
a
a 2
P
0
F6
P 2
F5 0
M AC F 0
F4 0
MEF F 0
F6
a
a 2
P
F1
ab 0 a2 b2
MFG F 0
Fb
b 2
P
F2b
0
MBC F 0
F2
b
b 2
P
F3
cos
45
b
0
F1 0 F2 1.5P
F3 2 2P
Fr 0.36F , R 50mm, r 30mm
各尺寸如图
求： (1) Fr , F（2）A、B处约束力 （3）O 处约束力
解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图
Fx 0
Fy 0
F FBx FAx Fx 0 FBy Fy 0
Fz 0
F FBz FAz Fz 0
MOy —偏航力矩
MOz —俯仰力矩
飞机向前飞行
飞机上升 飞机侧移 飞机绕x轴滚转 飞机转弯 飞机仰头
2． 空间任意力系的简化结果分析（最后结果） 1） 合力
当 FR 0, MO 0最后结果为一个合力.
合力作用点过简化中心.
当
FR 0, MO 0, FR MO
时，
d
MO FR
最后结果为一合力.合力作用线距简化中心为 d
第七讲 空间任意力系
湖南理工学院——曾纪杰
1． 空间任意力系向一点的简化
其中，各 Fi Fi ，各 Mi Mo(Fi )
一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
空间汇交力系的合力
FR Fi Fixi Fiy j Fixk
称为力系的主矢 空间力偶系的合力偶矩
Mo Mi Mo (Fi )
Fx 0 Fy 0 Fz 0 Mx 0 My 0 Mz 0
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在 三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等 于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的 代数和也等于零. 空间平行力系的平衡方程
Fz 0 Mx 0 My 0
2）.空间约束类型举例:表3-1
3）.空间力系平衡问题举例
力螺旋中心轴过简化中心
当 FR 0, MO 0, FR, MO 成角 , 且 FR, MO 既不平行也不垂直时
力螺旋中心轴距简化中心为
d MO sin
FR
（4）平衡
当 FR 0, MO 0时，空间力系为平衡力系
3 空间任意力系的平衡
空间任意力系平衡的充要条件：该力系的主矢、主矩分别为零. 1）.空间任意力系的平衡方程
称为空间力偶系的主矩 由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
Mo M x (F)i M y (F) j M z (F)k
式中，各分别表示各 Mx (F), M y (F), Mz (F)力
对 x，y，z ,轴的矩。
FRx —有效推进力 FRy —有效升力 FRz —侧向力
MOx —滚转力矩
例5： 已知：正方体上作用两个力偶
(F1, F1), (F2, F2),CD ∥ A2 E 不计正方体和直杆自重.
求：正方体平衡时， 力F1, F2 的关系和两根杆受力.
解：两杆为二力杆，取正方体，
Fz 0 F1 sin 30 F2 sin 60 FAx FBx 0 Fy 0 0 0
Fz 0 F1 cos 30 F2 cos 60 F FAz FBz 0
MxF 0
F1 cos30 200 F2 cos 60 200 F 200 FBz 400 0
M y F 0
M z F 0
F
R
D 2
F2
F1
0
F1 sin 30 200 F2 sin 60 200 FBx 400 0
结果： F1 3000N, F2 6000N, FAx 1004N, FAz 9397N,
FBx 3348N, FBz 1799N,
例3：
已知： Fx 4.25N, Fy 6.8N, Fz 17N,
例1：
已知： P=8kN, P1 10kN, 各尺寸如图
求：A、B、C 处约束力
解：研究对象：小车
受力：P, P1, FA, FB , FD ,
列平衡方程
Fz 0 P P1 FA FB FD 0
MxF 0 0.2P 1.2P1 2FD 0 M yF 0 0.8P1 0.6P 1.2FB 0.6FD 0
M z F 0 100Fx 30Fy M z 0
结果：FOx 4.25kN, FOy 6.8kN, FOz 17kN M x 1.7kNm, M y 0.51kNm, M z 0.22kNm
例4：
已知： F=2P及各尺寸 求： 杆内力
解：研究对象，长方板
受力图如图 列平衡方程
F 3.67kN, FAz 31.87kN, FBy 6.8kN, FBz 11.2kN,
研究对象2：工件受力图如图 列平衡方程
Fx 0 FOx Fx 0 Fy 0 FOy Fy 0
Fz 0 FOz Fz 0
M x F 0 100FZ M x 0 M y F 0 30FZ M y 0
MxF 0 488 76FBz 76F 388Fz 0
M y F 0
F R Fz r 0
Mz F 0 76F 488 76FBx 30Fy 388Fx 0
又： Fr 0.36F , 结果： F 10.2kN,
FAx 15.64kN,
FBx 1.19kN,
结果： FD 5.8kN, FB 7.777kN, FA 4.423kN
例2：
已知： F 2000N, F2 2F1, 30, 60, 各尺寸如图
求： F1, F2 及A、B处约束力 解：研究对象， 曲轴 受力：F, F1, F2, FAx , FAz , FBx , FBz
列平衡方程