高考复习专题--数学空间角教案
空间角的求法教案
空间角的求法教案一、教学目标1. 让学生掌握空间角的概念，理解空间角的求法。
2. 培养学生运用空间角解决实际问题的能力。
3. 提高学生对空间几何的兴趣和认识。
二、教学内容1. 空间角的概念2. 空间角的求法3. 空间角的运用三、教学重点与难点1. 教学重点：空间角的概念，空间角的求法。
2. 教学难点：空间角的求法在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间角的求法。
2. 利用多媒体课件，直观展示空间角的求法过程。
3. 开展小组讨论，培养学生的合作意识。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生了解空间角的概念。
2. 新课讲解：讲解空间角的定义，演示空间角的求法过程。
3. 案例分析：分析实际问题，运用空间角解决问题。
4. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的解题心得。
5. 总结与拓展：总结空间角的求法，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
教案内容请根据实际教学情况进行调整和补充。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问学生，了解他们对空间角概念和求法的掌握情况。
2. 练习题：布置课堂练习题，评估学生对空间角求法的运用能力。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们的合作能力和解决问题的能力。
七、教学反思1. 教师总结：反思教学过程中的优点和不足，为下一步教学做好准备。
2. 学生反馈：听取学生的意见和建议，改进教学方法。
3. 教学调整：根据教学反思，调整教学计划和内容。
八、课后作业1. 巩固空间角的概念和求法，完成相关练习题。
2. 思考空间角在实际问题中的应用，尝试解决相关问题。
3. 预习下一节课内容，为课堂学习做好准备。
九、拓展与延伸1. 研究空间角的其他求法，如利用向量、坐标等方法。
2. 探索空间角在立体几何中的应用，如对立体图形的分类、性质等方面进行研究。
3. 关注空间角在现实生活中的应用，举例说明空间角在工程、设计等领域的作用。
空间角专题复习教案
空间角专题复习教案一、教学目标1. 复习并巩固空间角的概念、性质和分类；2. 提高学生对空间角的计算和应用能力；3. 培养学生的空间想象能力和思维能力。
二、教学内容1. 空间角的概念和分类；2. 空间角的计算方法；3. 空间角的应用实例。
三、教学重点与难点1. 空间角的概念和分类；2. 空间角的计算方法；3. 空间角的应用实例。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间角的性质和计算方法；2. 通过实例分析，让学生掌握空间角的应用方法；3. 利用多媒体辅助教学，提高学生的空间想象能力。
五、教学过程1. 复习空间角的概念和分类，引导学生回顾已学知识；2. 讲解空间角的计算方法，让学生通过例题掌握计算技巧；3. 分析空间角的应用实例，培养学生解决实际问题的能力；4. 课堂练习，巩固所学知识；5. 总结本节课的主要内容和知识点，布置课后作业。
【课堂导入】教师通过提问方式引导学生回顾空间角的概念和分类，激发学生的学习兴趣。
【知识复习】1. 空间角的概念：空间角是由两条相交直线或射线在空间中所形成的角。
2. 空间角的分类：（1）锐角：小于90度的空间角；（2）直角：等于90度的空间角；（3）钝角：大于90度小于180度的空间角；（4）平角：等于180度的空间角；（5）周角：等于360度的空间角。
【计算方法讲解】1. 空间角的计算方法：（1）利用空间向量计算空间角；（2）利用三角函数计算空间角；（3）利用空间几何图形计算空间角。
2. 举例讲解：例1：已知空间向量$\vec{a}$ 和$\vec{b}$，求向量$\vec{a}$ 与向量$\vec{b}$ 所成的空间角。
【应用实例分析】1. 利用空间角解决实际问题：例2：在一间长方体教室中，有一束光线从窗户射入，求光线与教室地面的夹角。
2. 利用空间角解决几何问题：例3：已知三角形ABC 的三个内角分别为$A=60^\circ$，$B=45^\circ$，$C=75^\circ$，求三角形ABC 的外接圆半径。
最新高三教案-高三数学复习空间角 精品
9.8空间角【教学目标】掌握二面角及其平面角的概念，能灵活作出二面角的平面角，并能求出大小 【知识梳理】空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。
空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°.空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法和向量法.【点击双基】1．如果平面的一条斜线长是它在这个平面上射影长的3倍，那么这条斜线与平面所成角的余弦值为……………………………..( )A. 13B. 233C. 22D. 232.平面α的斜线与α所成的角为30°,则此斜线和α内所有不过斜足的直线所成的角的最大值为………………………………..( )A. 30°B.60°C.90°D.150°3.如果向量a =(1,0,1),b =(0,1,1)分别平行于平面α,β且都与此两平面的交线l 垂直,则二面角α-l -β的大小是………………..( )A. 90°B. 30°C.45°D.60°4.在△ABC 中,M,N 分别是AB,AC 的中点,PM ⊥平面ABC,当BC=18,PM=3 3 时,PN 和平面ABC 所成的角是 .5.PA,PB,PC 是从P 点引出的三条射线,他们之间每两条的夹角都是60 °,则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为 . 【典例剖析】一、异面直线所成的角：例1（04高考广东18（2））如右下图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=4，AD=3，AA 1=2。
高三立体几何重点专题复习教案(空间角)
分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角
解：过 作 于 ，过 作 交 于 ，连结 ，
则 垂直于平面 ， 为二面角 的平面角，
∴ ，
又 平面 ，∴ ， ，ຫໍສະໝຸດ ∴ 平面 ，∴ ， ，又∵ ， ，
∴ 平面 ，∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，∴ ，
同理， 中， ， ∴ ，
（2）A、D的连线和直线BC所成的角；
（3）二面角A—BD—C的正切值；
10答案.(1) (2) (3)-2
∴AC与PB所成的余弦值
(3)解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN，在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC.∴BN⊥CM,故∠ANB为所求二面角的平面角。∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.在等腰三角形AMC中, ∴ ∵AB=2,∴
故所求的二面角余弦值为说明:本题也可通过建立坐标系采用向量方法求解.
7.如图所示,正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线,分别交AB\AC于B1,C1,将△AB1C1折起到△A1B1C1的位置.使点A1在平面BB1C1C上的射影恰是线段BC的中点M,求(1)二面角A1—B1C1—M的大小。（2）异面直线A1B1与CC1所成角的余弦值大小。
2、直线与平面所成角的定义？直线与平面所成角的范围是什么？怎样求直线与平面所成的角？
3、二面角的定义？怎样定义二面角的平面角？二面角的平面角的范围？怎样确定二面角的平面角？
二、基本技能训练讲评:
在一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是( )
(A)相等(B)互补
最新高三教案-空间角及其应用 精品
空间角及其应用一、知识梳理1、空间角主要包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角了解空间角的定义、范围，求角的步骤都是“一作、二证、三算”，将空间角转化为平面角，转化时应充分利用与垂直这两种特殊的位置关系。
2、重要结论：(1) ∠AOB 在平面内，OP 是面α的一斜线，OP 与OA 、OB 所 成的角相等，则OPQ 平面α上的射影在∠AOB 的平行线上；(2) OP 是平面α斜线，OA 是OP 在平面α内的射影，OC ⊂α， 则①∠POC ≥∠POA ；②cos ∠POC=cos ∠AOCcos ∠POA ；(3) 求二面角的平面角在填空选择题中常用面积射影法：cos θ面射S S =二、训练反馈1、 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，O 为正方形A 1B 1C 1D 1的中心，P 是棱AB 上的垂足，则直线A 1M 与OP 所成的角________。
A 、300 B 、450 C 、600 D 、9002、 二面角α-AB-β大小为θ(0°≤θ≤90°)，AC ⊂α，∠CAB=450，AC 与平面β所成角为300，则θ角等于______。
A 、300B 、450C 、600D 、900 3、 已知线段AB 夹在直二面角之间α-L-β，L B L A B A ∉∉∈∈,,,βα，AB 与α所成角为θ，AB 与β所成角为ϕ，则θ+ϕ与900的大小关系_______ A 、θ+ϕ=900 B 、θ+ϕ≥900 C 、θ+ϕ≤900 D 、θ+ϕ＜900 4、已知∠AOB=900，过O 点引起∠AOB 所在平面的斜线OC ，与OA 、OB 分别成450、600，则以OC 为棱的二面角A-OC-B 的余弦值等于________三、典型例题例1 一副三角板拼成一个ABDC ，然后将它沿BC 折成直角二面角。
(1)求证：平面ABD ⊥平面ACD ； (2)求AD 与BC 所成的角； (3)求二面角A-BD-C 的大小。
高考数学第二轮复习教案空间角与距离的计算 教案
EA BC D A1B1C1D1FGH IJ高考数学第二轮复习教案空间角与距离的计算考点核心整合一．空间角计算空间角，其一般方法是根据定义通过作辅助线或辅助面构造出要求的角θ并作出含有角θ的三角形，从而通过解三角形得角θ的值．1．求异面直线所成角的常用方法（1）平移法（定义法）：即根据定义找出或作出有关角的图形并证明它符合定义，进而求出角的大小．（2）补形法：有时在原几何体上补一个类似的几何体．2．求直线与平面所成角的常用方法（1）定义法：关键是作出斜线在平面内的射影，即关键是判断射影在平面内的位置．（2）公式法：cosθ= cosθ1cosθ2（其中θ1为所求线面角，θ为斜线与平面内任一直线所成的角，θ2为射影与该直线所成的角）．3．二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．（1）二面角定量地反映了两个平面相交的位置关系，它是转化成平面内两条相交直线所成的角（二面角的平面角）度量的，与顶点在棱上的位置无关．（2）求二面角大小的三个步骤：①找出或作出二面角的平面角（本着先找后作的原则）；②证明符合定义；③指出某角即为二面角的平面角并计算（往往把该平面角放置到一个三角形中去求）．简单地表述为：一作，二证，三计算．二面角的大小，课本中给出了具体范围，即为[0，π]．（3）求作二面角的平面角的方法：①定义法：在棱上找一点O，在二面角的两个面内分别作棱的垂线AO、BO，则∠AOB即为二面角的平面角．②用三垂线定理（或逆定理）作二面角的平面角：从二面角的一个面内选一个特殊点A，由A向另一个平面作垂线，垂足为B，再由B向棱作垂线交于点C，则∠ACB即为二面角的平面角．③作棱的垂面：作垂直于二面角的棱或二面角两个半平面的垂面，则该垂面与两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角．④面积法：如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角为θ，则cosθ=S射影多边形S斜多边形．⑤对于未给棱的二面角的求法，一般情况下首先作棱或在有利条件下利用射影公式求更方便．二、空间的距离立体几何中涉及到的距离有八种：两点间距离、点到直线距离、点到平面距离、两平行线间距离、异面直线间距离、与平面平行的直线到平面的距离、两平行平面间的距离以及求球面上两点间距离．这八种距离都归结到求点到点、点到直线、点到面这三种距离．求距离问题的解题步骤是找到表示该距离的线段，证明该线段合题意，得到该线段所在三角形，解这个三角形，求出距离．1．求异面直线间距离大体有如下的解法：（1）作出两条异面直线的公垂线段然后求之；（2）将异面直线间距离转化为线面之间的距离；（3）将异面直线间距离转化为面面之间的距离；（4）运用“两条异面直线间距离，是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值”这一概念求之；（5）利用体积法（主要是指三棱锥的体积）求之．2．点到直线或平面的距离是空间最常见的，求解的关键是正确作出图形，其中确定垂足位置最重要，应充分利用图形性质，注意各种距离之间的相互转化，等积求法及“平行移动”的思想方法．3．求距离的方法大致有两种：（1）直接法：步骤是“一作，二证，三计算”，即先作出表示该距离的线段，再证明该线段即为所求距离，然后再计算，不能忽视第二步的证明．（2）间接法：包括等积法和转化法，转化法即不断地进行点面、线面、面面距离之间的转化，直到求出为止．考题名师诠释【例1】已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，在正方体表面上与点A距离为233的点的集合形成一条曲线，则这条曲线的长度为．解析如右图，题目即以A为球心，233为半径的球面与正方体六个面交线的长度，而这条交线有六条弧构成，即EFGHIJ．由对称性知EF = GH = IJ，FG = HI = JE，所以，所求曲线长l = 3(EF⌒+ FG⌒)．由AE =233，AA1 = 1，ABCDEOFG则AF = AE = 233，A 1E = AE 2 - AA 12= 33，A 1F = A 1E = 33，∠A 1AE = ∠A 1AF = π6．由对称性∠FAG = π2 -∠A 1AE = π2 - 2×π6 = π6．因此EF ⌒为以A 1为圆心、33为半径、π2为圆心角的一段弧，故EF ⌒= A 1E × π2 = 3π6．同理，FG 为以A 为圆心，233为半径、π6为圆心角的一段圆弧．故FG ⌒= AF × π6 = 3π9．所以，所求曲线的长l = 3(3π6+ 3π9) = 53π6． 答案 53π6．评叙 本题以正方体各侧面截球面求交线为背景，全面考查空间想象能力和分析解决问题的能力．考虑正方体各面与球面的交线时，应知道截线都是圆弧，但不过球心A 的面截球面所的截线是小圆的圆弧，而经过球心A 的面截球面所得的是大圆的圆弧．【例2】（2005年福建卷，20）如图，直二面角D -AB -E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE = EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求二面角B -AC -E 的大小；（3）求点D 到平面ACE 的距离． （1）证明：∵BF ⊥平面ACE ，∴BF ⊥AE ．∵二面角D -AB -E 为直二面角，且CB ⊥AB ，∴CB ⊥平面ABE ．∴CB ⊥AE ． ∴AE ⊥平面BCE ．（2）解：连结BD 交AC 于点G ，，连结FG ． ∵正方形ABCD 的边长为2，∴BG ⊥AC ，BG = 2． ∵BF ⊥平面ACE ，由三垂线定理的逆定理，得FG ⊥AC ． ∴∠BGF 是二面角B -AC -E 的平面角． 由（1）AE ⊥平面BCE ，∴AE ⊥EB ．又∵AE = EB ，∴在等腰直角△AEB 中，BE = 2．又∵直角△BCE 中，EC = BC 2 + BE 2= 6，BF =BC ·BE EC = 2×26= 233， ∴Rt △BFG 中，sin ∠BGF = BF BG = 2332 = 63．∴二面角B -AC -E 等于arcsin63． （3）解：过E 作EO ⊥AB 交AB 于点O ，OE = 1． ∵二面角D -AB -E 为直二面角，∴EO ⊥平面ABCD ． 设D 到平面ACE 的距离为h ，∵V D —ACE = V E —ACD ， ∴13S △ACE ·h = 13S △ACD ·EO ．∵AE ⊥平面BCE ，∴AE ⊥EC ．∴h = 12AD ·DC ·EO 12AE ·EC = 12×2×2×112×2×6 = 233．∴点D 到平面ACE 的距离为233．评叙 本题主要考查直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力与运算能力．【例3】（2005年北京卷，理16）如图，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB = AD = 2，DC = 23，AA 1 = 3，AD ⊥DC ，AC ⊥BD ，垂足为E ．（1）求证：BD ⊥A 1C ；（2）求二面角A 1- BD –C 1的大小；（3）求异面直线AD 与BC 1所成的角的大小． （1）证明： 在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，∵A 1A ⊥底面ABCD ．∴AC 是A 1C 在平面ABCD 上的射影．∵BD ⊥AC ，∴BD ∥A 1C ． （2）解：连结A 1E 、C 1E 、A 1C 1．与（1）同理可证BD ⊥A 1E ，BD ⊥C 1E ，∴∠A 1EC 1为二面角A 1- BD –C 1的平面角． ∵AD ⊥DC ，∴∠A 1D 1C 1 = ∠ADC = 90º．又A 1D 1 = AD = 2，D 1C 1 = DC = 23，AA 1 = 3，且AC ⊥BD ，∴A 1C 1 = 4， AE = 1，EC = 3．∴A 1E = 2，C 1E = 23． 在△A 1EC 1中，A 1C 12= A 1E 2+ C 1E 2，∴∠A 1EC 1 = 90º，即二面角A 1- BD –C 1的大小为90º．BA CD E FABCD（3）解：过B 作BF ∥AD 交AC 于点F ，连结FC 1， 则∠C 1BF 就是AD 与BC 1所成的角． ∵AB = AD = 2，AC ⊥BD ，AE = 1， ∴BF = 2，EF = 1，FC = 2，BC = DC ． ∴FC 1 = 7，BC 1 = 15．在△BFC 1中，cos ∠C 1BF = 15 + 4 - 72×2×15 = 155．∴∠C 1BF = arccos155，即异面直线AD 与BC 1所成的角的大小为arccos 155． 【例4】（2004年全国卷Ⅰ，20）如图，已知四棱锥P —ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120º． （1）求点P 到平面ABCD 的距离；（2）求面APB 与面CPB 所成的二面角的大小． 解（1）：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O ． 连结OB 、OA 、OD ，OB 与AD 交于点E ，连结PE ． ∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ．∵PA = PD ，∴OA = OD ． 于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，∴PE ⊥AD ．由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角，∴∠PEB = 120º，∠PEO = 60º． 由已知可求得PE = 3．∴PO = PE ·sin60º = 3×32 = 32．即点P 到平面ABCD 的距离为32．（2）如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ， 连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG ∥BC ，FG = 12BC ．∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ．∴∠AGF 是所求二面角的平面角． ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG ．又∵PE = BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG = 60º． 在Rt △PEG 中，EG = PE ·cos60º = 32．在Rt △PEG 中，EG = 12AD = 1．于是tan ∠GAE = EG AE =32．又∠AGF = π - ∠GAE ， ∴所求二面角的大小为π - arctan32． 评叙 本题主要考查棱锥、二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力． 特别提示1．求二面角的平面角的步骤：（1）先作出二面角的平面角，其作法有定义法、根据三垂线定理及其逆定理、垂面法；（2）根据作法构造三角形，在直角三角形中，用解直角三角形的方法；在斜三角形中，利用正、余弦定理求二面角的平面角．2．二面角的计算方法常用的还有：射影面积法，向量法．利用这些方法可在不作出二面角的平面角的情况下求出二面角的平面角．考能提升训练一、选择题1．（2005年湖南卷，5）如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为 ………（ ）A ．12B ．24C ．22D ．322．对于已知直线a ，如果直线b 同时满足下列三个条件：①与a 是异面直线；②与a 所成的角为定值 ；③与a 的距离为定值d ．那么这样的直线b 有 ……………………………（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条3．如图，在正三棱锥P -ABC 中，M 、N 分别是侧棱PB 、PC 的中点，若截面AMN ⊥侧面PBC ，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值 是…………………………………………… （ ）A ．32B ． 2C ．52D ．634．如图，ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，∠BCA = 90º，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC = CA = CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是………………………………………………………………（ ）A ．3010B ．12C ．3015D ．15105．正方形ABCD 的边长是2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角（如图所示）．M 为矩形AEFD 内一点，如果ABCDPABCD PE OABCDPE OG F ABD OA 1B 1C 1D 1ABCPMNABCA 1B 1C 1D 1 F 1DMB CF∠MBE = ∠MBC ，MB 和平面BCE 所成角的正切值为12，那么点M到直线EF 的距离为………………………………… （ ） A ．22B ．1C ．32D ．12二、填空题6．长方体的一条对角线与交于一点的三个面所成的角分别为α、β、γ，那么下列命题： ①sin 2α+ sin 2β+ sin2γ= 1；②sin 2α+ sin 2β+ sin 2γ= 2；③cos 2α+ cos 2β+ cos 2γ= 1；④cos 2α+ cos 2β+ cos 2γ= 2．其中正确命题的序号是 ．7．（2005年江西卷，理15）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB = BC = 2，BB 1 = 2，∠ABC = 90º，E 、F 分别为AA 1、 C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 ． 三、解答题8．（2004年春季北京卷，17）如图，四棱锥S -ABCD 的底面是边长为1的正方形，SD ⊥底面ABCD ，SB = 3．（1）求证：BC ⊥SC ；（2）求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小；（3）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小．9．（2005年湖北卷，理20）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB = 3，BC = 1，PA = 2，E 为PD 的中点．（1）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（2）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离．B A 1BCA DSMBA10．如图所示，在矩形ABCD 中，AB = 1，BC = a ，PA ⊥平面ABCD ，PA = 1． （1）在BC 边上是否存在点Q ，使得PQ ⊥QD ？说明理由．（2）若BC 边上有且仅有一个点Q ，使PQ ⊥QD ，求AD 与平面PDQ 所成的角的正弦值． （3）在（2）的条件下，能求出平面PQD 与平面PAB 所成的角的大小吗？训练参考答案一、1．B 2．D 3．C 4．A 5．A 二、6．①④ 7．322三、8．（1）略；（2）45º；（3）90º．9．（1）3714（2）在面ABCD 内过点D 作AC 的垂线交AB 于点F ，连结PF ，N 为PF 的中点，N 点到AB 的距离为1，N 点到AP的距离为36． 10．（1）a ≥2时，BC 边上存在存在点Q ，使得PQ ⊥QD ；a ＜2时，不存在点Q ，使得PQ ⊥QD ；（2）66；（3）能，大小为arctan 5． BCA DP Q。
空间角 学案-高三数学一轮复习
高三一轮复习：空间角【课程核心】三种角的定义及求法。
重点：三种角的定义； 难点：三种角的求法。
【学习目标】通过直观感知、思辨论证，认识和理解空间角的定义，探究求解空间角的规律和方法。
【智慧引领】 课标要求 考情分析及预测 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量；② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
预测2023年高考的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。
【问题探究】探究一：线线角、线面角 例1.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ,,90PA AB BC ABC ==∠=，点D ,E 分别在棱,PB PC 的中点.（1）直线AC 与PB 所成的角的大小；（2）求AB 与平面ADE 所成的角的大小.思维升华【拓展】如图所示，M 、N 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、B 1C 1的中点，则MN 与CD 1所成的角为___________探究二：二面角点．（1）求直线1AA 与平面E D A 11所成角的大小； 例2. 长方体1111D C B A ABCD -中，1==BC AB ，21=AA ，E 是侧棱1BB 中（2）求二面角B AC E --1的大小.【拓展】如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱11,BB DD 上移动，且)20(<<==λλBQ DP(1) 当1=λ时，证明：直线EFPQ BC 平面//1.(2) 是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出 λ 的值；若不存在，说明理由．【自我提升】 B A CD B 1A 1C 1D 1E2题图1.已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面111C B A 的中心，则PA 与平面ABC 所成的角的大小为（ ） A. 125π B.4π C. 3π D. 6π 2.如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ）A. AC ⊥SBB. AB ∥平面SCDC. SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D. AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角3．【多选】如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中（ ）A ．AC 与1BD 的夹角为60︒B ．二面角11D AC B --的余弦值为13 C ．1CD 与平面1ACD 所成角的正切值为2D ．点1B 到平面1ACD 的距离为2334．【多选】我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的高之比为1:2，且底面边长均为23，若该几何体的所有顶点都在球O 的表面上，则（ ）A ．球O 的体积为25π3B ．正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的体积为20C ．正四棱锥的侧棱与其底面所成角的正弦值为155 D ．正四棱锥的侧面与其底面的夹角的正弦值为277体中上、下底面的中心，3O ，4O ，5O ，6O 分别为四个侧面的中心，由这六个中心构成一5．【多选】如图，已知正方体的棱长为1，1O ，2O 分别为正方个八面体的顶点，则（ ）A ．直线13O O 与直线24O O 所成角为60︒B ．二面角1345O O O O --3C 3D ．D ．这个八面体外接球的体积为π66.已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 3PA ，PB,PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________.是圆上一点，且 30=∠ABM ，则二面角P BM A --的大小为 . 7．已知AB 是圆的直径，且4=AB ,PA 垂直圆所在的平面，且M PA ,3=8.在︒120二面角的棱上，有两个点A 、B,AC,BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段， 已知AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm.则CD 的长为 .A BM。
高中数学空间角度问题教案
高中数学空间角度问题教案
学科：数学
年级：高中
课时安排：2课时
教学目标：
1. 理解空间角度的概念，能够准确描述和度量空间角度；
2. 能够运用空间角度的知识解决相关问题；
3. 培养学生的空间想象力和逻辑推理能力。
教学步骤：
第一课时：
1. 导入：通过展示一些真实生活中的空间角度问题，引导学生思考空间角度的概念及其重要性。
2. 讲解：介绍空间角度的定义和性质，分别讲解平面角度和空间角度的区别；
3. 案例分析：给出一些实际问题，让学生尝试计算空间角度，并讨论解决方法；
4. 练习：让学生在小组内进行练习，互相讨论并解答问题；
5. 总结：总结本节课所学内容，强调空间角度的重要性及运用。
第二课时：
1. 复习：通过解答一些简单空间角度问题，复习上节课的内容；
2. 练习：给出一些复杂的空间角度问题，让学生自主解答，并制定解题思路；
3. 探究：引导学生思考空间角度问题的不同解法和解题技巧；
4. 实践：让学生在实际情景中应用空间角度知识，解决一些具体问题；
5. 总结：总结本节课的内容，检查学生对空间角度问题的理解和掌握情况。
教学反思：
本节课以空间角度为主题，通过讲解和案例分析，引导学生掌握空间角度的计算方法和应用技巧，帮助他们在实际问题中运用空间角度知识进行思考和解决。
通过本节课的学习，
学生不仅提高了空间角度问题的解决能力，还培养了他们的空间想象力和逻辑推理能力。
希望学生能够在实际生活中运用所学知识，不断提升自己的数学素养。
利用向量法求空间角教案
利用向量法求空间角-经典教案教案章节：一、向量法求空间角的概念教学目标：1. 了解向量法求空间角的概念。
2. 掌握向量法求空间角的基本方法。
教学内容：1. 向量法求空间角的概念介绍。
2. 向量法求空间角的计算方法。
教学步骤：1. 引入向量法求空间角的概念，解释空间角的概念。
2. 讲解向量法求空间角的计算方法，通过示例进行演示。
3. 进行练习，让学生巩固向量法求空间角的方法。
教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对向量法求空间角概念的理解。
2. 通过练习题，检查学生对向量法求空间角计算方法的掌握。
二、向量法求空间角的计算方法教学目标：1. 掌握向量法求空间角的计算方法。
2. 能够应用向量法求解空间角的问题。
教学内容：1. 向量法求空间角的计算方法介绍。
2. 向量法求空间角的计算实例。
教学步骤：1. 复习向量法求空间角的概念，引入计算方法。
2. 讲解向量法求空间角的计算步骤，通过示例进行演示。
3. 进行练习，让学生巩固向量法求空间角的计算方法。
教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对向量法求空间角计算方法的理解。
2. 通过练习题，检查学生对向量法求解空间角问题的能力。
三、向量法求空间角的练习题教学目标：1. 巩固向量法求空间角的计算方法。
2. 提高学生应用向量法求解空间角问题的能力。
教学内容：1. 向量法求空间角的练习题。
教学步骤：1. 给出向量法求空间角的练习题，让学生独立完成。
2. 对学生的答案进行讲解和指导，解决学生在解题过程中遇到的问题。
3. 进行练习，让学生进一步巩固向量法求空间角的计算方法。
教学评估：1. 通过练习题，检查学生对向量法求解空间角问题的能力。
2. 通过学生的解题过程，了解学生对向量法求空间角计算方法的掌握情况。
四、向量法求空间角的拓展与应用教学目标：1. 了解向量法求空间角的拓展与应用。
2. 能够应用向量法解决实际问题中的空间角问题。
教学内容：1. 向量法求空间角的拓展与应用介绍。
高三数学 第62课时 空间的角教案
课题：空间的角教学目标：掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题,进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题. 教学重点：直线与平面所成的角，二面角的求解.（一） 主要知识及主要方法：1.三垂线定理(课本30P )：在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.2.三垂线的逆定理(课本31P )：在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.3.空间角的计算步骤 一作、二证、三算.4.异面直线所成角：()1范围：(]0,90︒︒；()2计算方法:①平移法：一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平移.②向量法：设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccosa b a b；③补体法；④证明两条异面直线垂直,即所成角为90︒.5.直线与平面所成的角：①定义：（课本29P ）平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角.②范围 []0,90︒︒；③最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.⑤斜线与平面所成角的计算：()1直接法：关键是作垂线，找射影 可利用面面垂直的性质； ()2平移法：通过三角形的中位线或平行四边形的对边平移，计算其平行线与平面所成的角.也可平移平面()3通过等体积法求出斜线任一点到平面的距离d ()4应用结论：如右图所示，PO α⊥，O AB αÔ，AP 与平面α所成的角为1θ，BAO ∠PAB θ∠=，则12cos cos cos θθθ=.()5向量法：设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则斜线l 与平面α所成的角θl n l n=.6.二面角：①定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角.规α AP O aabαl定：二面角的两个半平面重合时，二面角为0，当两个半平面合成一个平面时，二面角为π，因此，二面角的大小范围为[]0,π.②确定二面角的方法：()1定义法；()2三垂线定理及其逆定理法；()3垂面法；()4射影面积法：cos S S θ=射影多边形原多边形，此方法常用于无棱二面角大小的计算；无棱二面角也可以先根据线面性质恢复二面角的棱，然后再用方法()1、()2计算大小；()5向量法：法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如左图，则二面角l αβ-- 的平面角αarccosa b a b=；其方向如右图，则二面角l αβ--的平面角α=arccosa b a bπ-（同等异补）法二、设1n ,2n 是二面角l αβ--外侧（同等异补），则二面角l αβ--α1212arccos||||n n n n =（二）典例分析： 问题1．（07全国Ⅰ）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =︒∠，2AB =，BC =SA SB == ()1证明：SA BC ⊥；()2求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．（本小题要求用多种方法解答,包括向量法）.SBCDA1n 2nSBCDA问题2． （07届高三湖北、荆州、宜昌4月模拟） 边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是棱1CC 上任一点，CP m =（01m <<）.()1若12m =时，求证：面1BPD ⊥面11BDD B ；()2试确定m 值，使直线AP 与平面11BDD B 所成的角的正切值为ABDC1A1B1C1DP S B C D A问题3．（07四川）如图，PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，PM ∥BC ， 1PM =，2BC =，又1AC =，120ACB ∠=︒， AB PC ⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒.()1求证：平面PAC ⊥平面ABC ； ()2求二面角B AC M --的大小; ()3求三棱锥P MAC -的体积.(要求第()2小题用多种方法解答,包括向量法）.问题4．（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．4PA =，2AD =，AB =6BC =A BCM P A BC MP()1求证：BD ⊥平面PAC （此小题这里略去不做）；()2求二面角A PC D --的大小． (要求第()2小题用多种方法解答,包括向量法）.（三）课后作业：1.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是1CC ，AD 的 中点.那么异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值等于PC BA DEPC BADEOABCD 1A1B1C 1DE F2.(05浙江文)在三棱锥P ABC -中，1,2AB BC AB BC PA ⊥==， 点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC .()1求证：OD ∥平面PAB ；()2求直线PA 与平面PBC 所成角的大小3.如图，ABC △的边长为2，AD ，1BB ，1CC 都垂直于平面ABC ，且112BB CC ==， 1AD =，点E 为1DB 的中点，求直线 1C E 与平面ABC 所成的角.（四）走向高考： 4.（07浙江）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．()1求证：CM EM ⊥；()2求CM 与平面CDE 所成的角．ED CMABC A B1A1B1CD EFAPCBDOE F5.(07北京)如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =． Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到， 且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上． ()1求证：平面COD ⊥平面AOB ；()2当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小； ()3求CD 与平面AOB 所成角的最大值．OCADBv6.（07福建）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．()1求证：1AB ⊥平面1A BD （此小题这里略去不做）； ()2求二面角1A A D B --的大小；()3求点C 到平面1A BD 的距离．ABCD1A 1C1B。
高三数学一轮复习精品教案1：空间向量与空间角教学设计
1.空间向量与空间角1．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．2．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|n·e||n||e|.3．求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 是二面角α l β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α l β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．1．求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而忽视了夹角为⎝⎛⎦⎤0，π2. 2．求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值． 3．利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由图形决定．由图形知二面角是锐角时cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|；由图形知二面角是钝角时，cos θ＝－|n 1·n 2||n 1||n 2|.当图形不能确定时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点．『试一试』1．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为________．『解析』cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝11·2＝22，即〈m ，n 〉＝45°.∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°. 『答案』45°或135°2．(2013·石家庄模拟)如图，在正方形ABCD 中，EF ∥AB ，若沿EF 将正方形折成一个二面角后，AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶2，则AF 与CE 所成角的余弦值为________．『解析』如图建立空间直角坐标系，设AB ＝EF ＝CD ＝2，∵AE ∶DE ∶AD ＝1∶1∶2，则E (0,0,0)，A (1,0,0)，F (0,2,0)，C (0,2,1)，∴AF ＝(－1,2,0)，EC ＝(0,2,1)，∴cos 〈AF ，EC 〉＝45，∴AF 与CE 所成角的余弦值为45.『答案』451．求两异面直线a ，b 的夹角θ，须求出它们的方向向量a ，b 的夹角，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|.2．求直线l 与平面α所成的角θ可先求出平面α的法向量n 与直线l 的方向向量a 的夹角．则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|. 3．求二面角α l β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n 1，n 2所成的角，则θ＝〈n 1，n 2〉或π－〈n 1，n 2〉．『练一练』1．已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，且AC ⊥BD ，AC 与BD 交于O ，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝2，AB ＝2CD ＝22，E ，F 分别是AB ，AP 的中点．则二面角F OE A 的余弦值为________．『解析』以OB ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，由题知，OA ＝OB ＝2，OC ＝OD ＝1，A (0－2,0)，B (2,0,0)，C (0,1,0)，D (－1,0,0)，P (0,0,2)，OE ＝(1，－1,0)，OF ＝(0，－1,1)，设平面OEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m ·OE ＝0，m ·OF ＝0，令x ＝1，可得m ＝(1,1,1)． 易知平面OAE 的一个法向量为n ＝(0,0,1)， 设二面角F OE A 为α，则cos α＝m·n|m||n|＝33.『答案』332．如图所示，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝2，AB ＝1，BM ⊥PD 于点M .则直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值为________．『解析』如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)．∵AM ⊥PD ，P A ＝AD ，∴M 为PD 的中点，∴M 的坐标为(0,1,1)． ∴AC ＝(1,2,0)，AM ＝(0,1,1)，CD ＝(－1,0,0)． 设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥AC ，n ⊥AM 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0y ＋z ＝0，令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1.∴n ＝(2，－1,1)． 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α， 则sin α＝|CD ·n ||CD ||n |＝63.∴cos α＝33，即直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值为33. 『答案』33第一课时 空间角的求法考点一异面直线所成角1．(2013·沈阳调研)在直三棱柱A 1B 1C 1 ABC 中，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是________．『解析』建立如图所示的坐标系， 设BC ＝1，则A (－1,0,0)，F 1⎝⎛⎭⎫－12，0，1， B (0，－1,0)，D 1⎝⎛⎭⎫－12，－12，1，则1AF ＝⎝⎛⎭⎫12，0，1， 1BD ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，1. ∴cos 〈1AF ，1BD 〉＝1AF ·1BD |1AF ||1BD |＝3010.『答案』30102．如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为________．『解析』以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则A (1,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫1，12，1，C (0,1,0)，N ⎝⎛⎭⎫1，1，12. ∴AM ＝⎝⎛⎭⎫0，12，1，CN ＝⎝⎛⎭⎫1，0，12. 设直线AM 与CN 所成的角为θ，则 cos θ＝|cos 〈AM ，CN 〉|＝|AM ·CN ||AM ||CN |＝121＋14× 1＋14＝25. 『答案』25『备课札记』 『类题通法』1．向量法求异面直线所成的角的方法有两种 (1)基向量法：利用线性运算． (2)坐标法：利用坐标运算．2．注意向量的夹角与异面直线所成角的区别当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．考点二直线与平面所成角『典例』 (2013·湖南高考)如图，在直棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．『解』 法一：(1)证明：如图1，因为BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥BB 1.又AC ⊥BD ，所以AC ⊥平面BB 1D .而B 1D ⊂平面BB 1D ，所以AC ⊥B 1D .(2)因为B 1C 1∥AD ，所以直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角等于直线AD 与平面ACD 1所成的角(记为θ)．图1如图1，连结A 1D .因为棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1是直棱柱，且∠B 1A 1D 1＝∠BAD ＝90°，所以A 1B 1⊥平面ADD 1A 1.从而A 1B 1⊥AD 1.又AD ＝AA 1＝3，所以四边形ADD 1A 1是正方形，于是A 1D ⊥AD 1.故AD 1⊥平面A 1B 1D ，于是AD 1⊥B 1D . 由(1)知，AC ⊥B 1D ，所以B 1D ⊥平面ACD 1. 故∠ADB 1＝90°－θ.在直角梯形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以∠BAC ＝∠ADB . 从而Rt △ABC ∽Rt △DAB ，故AB DA ＝BCAB. 即AB ＝DA ·BC ＝ 3.连结AB 1，易知△AB 1D 是直角三角形，且B 1D 2＝BB 21＋BD 2＝BB 21＋AB 2＋AD 2＝21，即B 1D ＝21.在Rt △AB 1D 中，cos ∠ADB 1＝AD B 1D ＝321＝217，即cos(90°－θ)＝217.从而sin θ＝217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217. 法二：(1)证明：易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图2，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐图2标系．设AB ＝t ，则有A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而1B D ＝(－t,3，－3)，AC ＝(t,1,0)，BD ＝(－t,3,0)． 因为AC ⊥BD ，所以AC ·BD ＝－t 2＋3＋0＝0， 解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．于是1B D ＝(－3，3，－3)，AC ＝(3，1,0)． 因为AC ·1B D ＝－3＋3＋0＝0， 所以AC ⊥1B D ，即AC ⊥B 1D .(2)由(1)知，1AD ＝(0,3,3)，AC ＝(3，1,0)，11B C ＝(0,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则⎩⎨⎧n ·AC ＝0，n ·1AD ＝0，即⎩⎨⎧3x ＋y ＝0，3y ＋3z ＝0. 令x ＝1，则n ＝(1，－3，3)． 设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，11B C 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·11B C |n |·|11B C |＝37＝217.即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217. 『备课札记』『类题通法』利用平面的法向量求线面角时，应注意(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求．(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1求出其值．不要误为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求．『针对训练』(2013·福建高考改编)如图，在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k >0)．若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．『解』由题意知DC ⊥AD ，D 1D ⊥DC ，D 1D ⊥AD 故以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)， 所以AC ＝(－4k,6k,0)，1AB ＝(0,3k,1)，1AA ＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧AC ·n ＝0，1AB ·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0. 取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈1AA ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1AA ·n |1AA |·|n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1， 故所求k 的值为1.考点三二面角『典例』 (2013·新课标卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB .(1)证明：BC 1//平面A 1CD ；(2)求二面角D A 1C E 的正弦值．『解』 (1)证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，连结DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD . (2)由AC ＝CB ＝22AB 得， AC ⊥BC .以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC ′的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD ＝(1,1,0)，CE ＝(0,2,1)，1CA ＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎨⎧n ·CD ＝0，n ·1CA ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则⎩⎨⎧m ·CE ＝0，m ·1CA ＝0.可取m ＝(2,1，－2)． 从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D A 1C E 的正弦值为63. 『备课札记』在本例条件下，求平面A 1AD 与平面A 1EC 所成二面角的大小. 『解』∵AC ＝BC ，D 为AB 中点，∴CD ⊥面A 1AD ，∴CD 是平面A 1AD 的一个法向量．由(2)建系条件下可知CD ＝(1,1,0)， 又平面A 1EC 的法向量m ＝(2,1，－2)， ∴cos 〈CD ，m 〉＝2＋1＋02×3＝22.∴平面A 1AD 与平面A 1EC 所成角为45°. 『类题通法』利用法向量求二面角时应注意(1)对于某些平面的法向量要注意题中隐含着，不用单独求．(2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误． 『针对训练』(2014·杭州模拟)如图，已知平面QBC 与直线P A 均垂直于Rt △ABC 所在平面，且P A ＝AB ＝AC .(1)求证：P A ∥平面QBC ；(2)若PQ ⊥平面QBC ，求二面角Q PB A 的余弦值． 『解』(1)证明：过点Q 作QD ⊥BC 于点D ， ∵平面QBC ⊥平面ABC ，∴QD ⊥平面ABC . 又P A ⊥平面ABC ，∴QD ∥P A .又QD ⊂平面QBC ，P A ⊄平面QBC ∴P A ∥平面QBC . (2)∵PQ ⊥平面QBC ，∴∠PQB ＝∠PQC ＝90°，又PB ＝PC ，PQ ＝PQ ， ∴△PQB ≌△PQC ，∴BQ ＝CQ .∴点D 是BC 的中点，连结AD ，则AD ⊥BC ， 又AD ⊄平面QBC ，BC ⊂平面QBC ， ∴AD ⊥平面QBC .∴PQ ∥AD ，AD ⊥QD ， ∴四边形P ADQ 是矩形．分别以AC ，AB ，AP 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz ，设P A ＝2a ，则Q (a ，a,2a )，B (0,2a,0)，P (0,0,2a )，设平面QPB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵PQ ＝(a ，a,0)，PB ＝(0,2a ，－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋ay ＝0，2ay －2az ＝0，n ＝(1，－1，－1)． 又平面P AB 的一个法向量为m ＝(1,0,0)．设二面角Q PB A 为θ，则|cos θ|＝|cos 〈m ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪m·n |m|·|n|＝33， 又二面角Q PB A 是钝角， ∴cos θ＝－33，即二面角Q PB A 的余弦值为－33.『课堂练通考点』1．已知四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1垂直于底面，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝AB ＝AA 1＝2BC ，E 为DD 1的中点，F 为A 1D 的中点．则直线EF 与平面A 1CD 所成角的正弦值为________．『解析』∵AB ，AD ，AA 1两两垂直，故以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设BC ＝1，则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，C (2,1,0)，D (0,2,0)，E (0,2,1)，F (0,1,1)，FE ＝(0,1,0)，1A D ＝(0,2，－2)，CD ＝(－2,1,0)．设平面A 1CD 的一个法向量为n ＝(1，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·1A D ＝2y －2z ＝0，n ·CD ＝－2＋y ＝0，故n ＝(1,2,2)， 则sin θ＝|cos 〈n ，FE 〉|＝|n ·FE|n |·|FE ||＝|1×0＋2×1＋2×04＋4＋1×0＋1＋0|＝23，故直线EF 与平面A 1CD 所成的角θ的正弦值为23.『答案』232．(2013·江苏高考)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1 ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．『解』(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，高三数学一轮复习教案11 C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0，0,4)，C 1(0,2,4)，所以1A B ＝(2,0，－4)，1C D ＝(1，－1，－4)．因为cos 〈1A B ，1C D 〉＝1A B ·1C D| 1A B ||1C D |＝1820×18＝31010， 所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD ＝(1,1,0)，1AC ＝(0,2,4)，所以n 1·AD ＝0，n 1·1AC ＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.。
高考复习专题--数学空间角
S
M
Q
N E C ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ D
A
B
专题小结：
夯实基础，熟练掌握通性通法
（ 1 ）首先应注重提高空间想象能力， 为解决立体几何问题打下基础。 （ 2 ）注意揭示解决立几问题的一般思 维程序。 （3）熟练掌握通性通法
典型例题:
过正方形ABCD的顶点A引SA⊥底面 ABCD，并使平面SBC，SCD都与底面ABCD成 45度角，求二面角B-SC-D的大小.
异面直线所成的角
直线与平面所成角 平面与平面所成角
一、高考考纲要求
1.掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成 的角的概念. 2.会求直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角. ３.能力要求：通过有关空间角的问题的解决，进 一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及 运算能力．
二、高考考点分析
D1 O
B1 D N
C1
A1
C B
BOB1即为所求
A
题型三：二面角
(2)三垂线定理 D1
C1 B1
A1 D
C B
A
E
F
A1FA即为所求
A P
F
E
D C
B
1 ：如图所示，四边形ABCD是 边长为2的正方形，SA 平面ABCD，SA 2，
（ 1 ）求二面角M BC D大小的正切值；
M 是SA的中点，过M 和BC的平面交SD于N。
（2）求CN与平面ABCD所成角的正切值； （ 3 ）求CN与BD所成角的余弦值；
（4）求平面 SBC与SDC所成角大小的正弦值。
A
45
三垂线定理法
30
F
E
B
D
高中数学空间角教案
高中数学空间角教案一、教学目标1. 知识与技能：学生能够理解空间角的概念，掌握空间角的度量方法和性质；能够应用空间角的知识解决相关问题。
2. 过程与方法：能够通过观察、分析和实践，学习空间角；注重在实际问题中的运用。
3. 情感态度与价值观：培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力；培养学生对数学的兴趣和爱好。
二、教学重点和难点重点：理解空间角的概念；掌握空间角的度量方法和性质。
难点：能够灵活运用空间角的知识解决相关问题。
三、教学内容及任务1. 知识讲解：（1）空间角的概念：介绍空间角的定义，包括角的位置、角的大小和角的平分线等概念。
（2）空间角的度量方法：讲解空间角的度量方法，包括用角度、弧度和正弦定理等方法。
（3）空间角的性质：介绍空间角的性质，包括相等角、补角、余角等性质。
2. 练习与训练：通过实例训练，巩固知识点。
3. 拓展延伸：提供一些拓展练习，拓展学生的思维，培养学生的解决问题的能力。
四、教学方法1. 理论讲解：老师通过讲解、示范和讨论，引导学生理解概念和方法。
2. 示范演示：老师通过举例、演示，展示解题方法和技巧。
3. 练习训练：鼓励学生通过练习巩固所学知识，培养解决问题的能力。
4. 案例分析：通过案例分析，让学生了解实际问题如何应用空间角的知识解决。
五、教学评价1. 经常性的课堂互动和小组合作，检查和引导学生的学习情况。
2. 每节课结束时进行课堂练习和讨论，检查学生对知识的掌握情况。
3. 定期组织测试和考试，检测学生对整个章节知识的掌握情况。
以上为高中数学空间角教案范本，可根据实际情况进行具体的实施和调整。
空间角专题复习教案
空间角专题复习教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解空间角的定义及性质；（2）掌握空间角的计算方法；（3）能够运用空间角解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察模型，培养学生的空间想象能力；（2）运用练习题，提高学生解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对空间角的兴趣，培养学生的探索精神。
二、教学内容1. 空间角的定义及性质（1）空间角的定义；（2）空间角的性质。
2. 空间角的计算方法（1）利用空间向量计算空间角；（2）利用三角函数计算空间角。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间角的定义及性质；（2）空间角的计算方法。
2. 教学难点：（1）空间角的性质的应用；（2）空间角的计算方法的灵活运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间角的性质和计算方法；2. 利用模型演示，培养学生的空间想象能力；3. 运用练习题，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：通过展示空间模型，引导学生回顾空间几何的基本概念，激发学生的学习兴趣。
2. 知识讲解：（1）讲解空间角的定义及性质；（2）讲解空间角的计算方法。
3. 课堂练习：布置练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固知识。
4. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展问题，激发学生的探索精神。
5. 课后作业：布置适量作业，让学生进一步巩固空间角的知识。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。
2. 练习题评价：通过学生完成的练习题，评估学生对空间角知识的理解和运用能力。
3. 课后作业评价：通过学生提交的课后作业，检查学生对课堂所学知识的巩固情况。
七、教学资源1. 空间模型：用于展示空间角，帮助学生直观理解；2. 练习题：提供多种难度的练习题，满足不同学生的学习需求；3. 教学课件：展示教学内容，方便学生复习。
八、教学进度安排1. 第一课时：介绍空间角的定义及性质；2. 第二课时：讲解空间角的计算方法；3. 第三课时：进行课堂练习，巩固知识；4. 第四课时：总结与拓展，布置课后作业。
高中补习班数学第一轮复习教案——空间的角(2020-2021)含答案解析
高中补习班数学第一轮复习教案——空间的角（2020-2021）第62 讲空间的角1.空间角的计算步骤 一作、二证、三算.2.异面直线所成角：（1）范围：(]0,90︒︒；（2）计算方法:①平移法：②向量法：设,a b 分别为异面直线,a b 的方向向量,则两异面直线所成的角α=arccosa b a b；③补形法；④证明两条异面直线垂直,即所成角为90︒.3直线与平面所成的角：①定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，若垂直于平面，所成角是直角.②范围 []0,90︒︒；③最小角定理：斜线和平面所成的角，是斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的角中最小的角.⑤斜线与平面所成角的计算：（1）直接法：关键是作垂线，找射影 可利用面面垂直的性质；（2）通过等体积法求出斜线任一点到平面的距离d ，计算这点与斜足之间的线段长l ，则sin d l θ=.（3） 12cos cos cos θθθ=.（4）向量法：设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，则斜线l 与平面α所成的角θarcsinl nl n=.4.二面角：①定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角.规定：二面角的两个半平面重合时，二面角为0，当两个半平面合成一个平面时，二面角为π，因此，二面角的大小范围为[]0,π.②确定二面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线定理及其逆定理法；（3）垂面法；（4）射影面积法：cos S S θ=射影多边形原多边形，此方法常用于无棱二面角大小的计算；无棱二面角也可以先根据线面性质恢复二面角的棱，然后再用方法（1）、（2）计算大小；（5）向量法：法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，则二面角l αβ-- 的平面角αarccosa ba b=；或 arccosa b a bπ-（同等异补）法二、设1n ,2n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧（同等异补），则二面角l αβ--的平面角α1212arccos n n n n =课前练习1.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱C 1C 与BC 的中点，则直线EF 与直线D 1C 所成角的大小是 （ B ） A.45°B.60°C.75°D.90°2.一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直.如果公共边AC=a ，则异面直线AB 与CD 的距离是（C ） A.2aB.aC.a 22D.a 6303.AB ⊥平面BCD ，DC ⊥CB ，AD 与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC.求AD 与平面ABC 所成角的大小.（45°）例1如图所示，过正方形ABCD 的顶点A 作PA ⊥平面ABCD ，设PA=AB=a ，求:（1）二面角B —PC —D 的大小；（2）平面PAB 和平面PCD 所成二面角的大小.解 （1）∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊥AC ，∴BD ⊥PC （三垂线定理） 在平面PBC 内，作BE ⊥PC ，E 为垂足，连结DE ，得PC ⊥平面BED ，从而DE ⊥PC ，即∠BED 是二面角B —PC —D 的平面角.在Rt △PAB 中，由PA=AB=a ，得PB=2a.∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，∴BC ⊥PB （三垂线定理）∴PC=aBC PB 322=+在Rt △PBC 中，BE=.3632a aa a PCBC PB =⋅=⋅同理DE=a 36.在△BDE 中，根据余弦定理，得cos ∠BED==⋅-+DE BE BD DE BE 222221322232322222-=⋅-+a a a a .∴∠BED=120°，即二面角B —PC —D 的大小为120°.（2）过P 作PQ ∥AB ，则PQ ⊂平面PAB.∵AB ∥CD ，∴PQ ∥CD ，PQ ⊂平面PCD.∵PA ⊥AB ，∴PA ⊥PQ ∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD. ∴CD ⊥PD 即QP ⊥PD ，则∠APD 即为所求的二面角，∵PA=AD=a,PA ⊥AD ，∴∠APD=45°即所求的二面角的大小为45°.例2（2021·重庆理，19）如图所示，在△ABC 中，B=90°,AC=215,D 、E两点分别在AB 、AC 上，使ECAE DBAD ==2，DE=3.现将△ABC 沿DE 折成直二面角.求：（1）异面直线AD 与BC的距离；（2）二面角A —EC —B 的大小。
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2014年高考数学第二轮复习专题
立体几何---空间角
【考点审视】
立体几何高考命题及考查重点、难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定、线面间的角与距离的计算作为考查的重点，尤其是以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，更是年年反复进行考查，在难度上也始终以中等偏难为主。
空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，空间角高考中每年必考，复习时必须高度重视。
对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．考试要求
考点1：掌握空间两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角、
二面角的平面角等概念；
考点2：能熟练地在图形中找出相关的角并证明；
考点3：能用向量方法和非向量方法进行计算；
考点4：通过空间角的计算和应用进一步考察运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．
【高考链接】
1.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影
有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决．
2． 三种空间角，即异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面所成二面角。
它们
的求法一般化归为求两条相交直线的夹角，通常“线线角抓平移，线面角找射影，面面角作平面角”而达到化归目的，有时二面角大小出通过cos θ=
原
射S S 来求。
3． 由于近年考题常立足于棱柱、棱锥和正方体，因此复习时应注意多面体的依托作用，
熟练多面体性质的应用，才能发现隐蔽条件，利用隐含条件，达到快速准确解题的目的。
【复习回顾】
（一）空间角三种角的定义
异面直线所成的角
(1)定义：,a b 是两条异面直线，经过空间任意一点o ，分别引直线//'a a ，//'b b ,则'a 和'b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 和b 所成的角.
(2)取值范围：090θ≤≤. (3)求解方法
①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ； ②解含有θ的三角形，求出角θ的大小. 直线和平面所成的角
(1)定义 和平面所成的角有三种：
斜线和平面所成的角 这条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线
和这个平面所成的角.
垂线与平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角. 一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)取值范围090θ≤≤° (3)求解方法
①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ. ②解含θ的三角形，求出其大小. ③最小角定理
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角
二面角及二面角的平面角 (1)半平面 (2)二面角.
(3)二面角的平面角 二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是
0°＜θ≤180°
②二面角的平面角具有下列性质：
二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面。
从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在
平面角的另一边(或其反向延长线)上.
二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直. ③找(或作)二面角的平面角的主要方法. ①定义法②垂面法③三垂线法 (4)求二面角大小的常见方法
①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值. ②利用面积射影定理
S ′=S ·cos α
其中S 为二面角一个面内平面图形的面积，S ′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α或πα-为二面角的大小. 【经典题例】 题型一：线线角
,
45301A BCD ACD CDB AC CD BD CD AB ACD AB BCD C AB D -⊥⊥⊥︒︒--：在三棱锥中，平面平面，，与平面成角，与平面成角，求二面角的大小。
例
(1)求CE 的长
(2)若异面直线PE AB 、所成的为60 , 求二面角P BE D =-的大小
B
C
D
E
F
A
例2:如图：在矩形ABCD 中，24AB BC ==，E 为CD 上一点，以直线EB 为折线将C
点折起至P 点，连结PA PB PD 、、, 设F 是PA 的中点，//DF PEB 平面 D
C
E
A
P
F
备用题：过正方形ABCD 的顶点A 引SA ⊥底面ABCD ，并使平面SBC ，SCD 都与底面ABCD 成45度角，求二面角B SC D --的大小.
E
变题：过平行四边形ABCD 的顶点A 引SA ⊥底面A B C D ，并使1S A A B ==
，
BC =45ADC ∠=，求二面角B SC D --的大小.
E
【巩固练习】
D
22ABCD SA ABCD SA M SA M BC SD N ⊥=练习：如图所示，四边形是边长为的正方形，平面，，是的中点，过和的平面交于。
1M BC D --（）求二面角大小的正切值；2CN ABCD （）求与平面所成角的正切值；(3)CN BD 求与所成角的余弦值；4SBC SDC （）求平面与所成角大小的正弦值。
S
B
F
E
D
M
N C
Q
【课堂小结】：
三种空间角，它们的求法一般化归为求两条相交直线的夹角，
【作业布置】
专题试卷（一） 9、10、11。