直埋管道的热力分析

度场和热流密度进行较精确的分析, 前述简化方法 必然导致温度场计算欠精确, 以致不能满足后继演 算的需要。
本文采用边界离散法对具有均匀保温层的地下 直埋管道的热力状况进行分析, 得到了直埋管道保 温层及其周围土壤温度场的级数形式的解。
1 定解问题及解的一般表达式
具有均匀保温层直埋管道的特征尺寸如图 1 所
T 1 = T f , 在 r = r 0, H= 0 处. ( 10)
对 L apl ace 方程式 ( 4) 和式( 6) 采 用分离变 量法求
解, 得到两个区域内的一般解为
T n ( r , H) =
a ( n) 0
+
b( n) 0
lnr
+
∞
6[
a( n) m
r
m
cos
mH+
b( n) m
极坐标系下定解问题为:
在区域 I:
92 T 1 9r 2
+
1 r
9T 1 9r
+92 T 1 9 H2 Nhomakorabea=
0,
( 4)
T 1 = T i, 边界 Si 上.
( 5)
在区域 II:
92 T 2 9r 2
+
1 r
9T 2 9r
+
92 T 2 9 H2
=
0,
( 6)
K(T2 -
T f)
=-
K2
9T 9r
( 1. Department of Buil ding Science, School of Archi cture, Ts inghua Uni versi ty, Beij ing 100084, Chi na;
2. Harbin Ins ti tute of Technol ogy, Harbin 150001, China)
( n) N
]
T
,
( n = 1, 2) 为未知量, 共有 2( 4N + 2) 个待定系数。求出方程组 的解 X ( 1) 和 X ( 2) , 于是得到式( 11) 各项系数。最后将 像平面 F上的解反演到物理平面 Z 上, 便得出直埋 管道保温层内部( 区域 I ) 以及保温层以外( 区域 I I ) 的温度场的解析形式的级数解。事实上, 在得到式 ( 11) 各项系数后, 可以通过式( 3) 将 Z 平面上的点 映射到 F平面上, 直接由式( 11) 得到各点的温度值。 可见, 边界离散法是一种半解析方法, 适当选取级数
取足够大的 N , 将方程截断为
a( 1) 0
+
b( 1) 0
ln
r*
+
N
6[
a
( 1) m
r
m *
cos m H+
b( 1) m
r
*
m
cos
mH+
m= 1
c( 1) m
r
m *
si n mH+
d ( 1) m
r
*
m
sin
m
H]
=
T i.
( 13)
式( 13) 对于圆周 Si 上的任意点( r* j, Hj) 均成立。
Co 相应地映射到像平面 F上的曲线 Si, S c 和 So , 其
中 Sc 和 So 为同心圆, 且 So 为单位圆( r o= 1) , 如图 2
所示。
图 2 像平面( F平面)
将计算域划分为 I 区和 II 区且令 T 1 和 T 2 分别
为 I 区和 II 区的温度。于是平面 F上以 O 为原点的
Key words: boundary dis cretiz at ion met hod; nonort h ogon al boundary; s tr aight buried inst alloat ion; t em perat ure f ield
管道直埋技术[ 1 ] 经济指标一般优于有沟埋敷, 目前已应用于供热、输油等工程领域。对于这类问
收稿日期: 2000-10-26 作者简介: 樊洪明( 1964-) , 男( 汉) , 黑龙江, 博士后。
E-mail: fanh m@ x263. net
樊洪明, 等: 直埋管道的热力分析
F( Z) = Z -
H2-
R
2 c
.
( 3)
Z+
H2-
R
2 c
经式( 3) 变换后, 把物理平面 Z 上的曲线 Ci, Cc 和
80 8
清 华 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版)
2002, 42( 6)
映非正交边界 Si 的几何形状, 为已知函数, 因此可
以 得 到 Si 上 离 散 点 的 坐 标 集 合 ( r * j , Hj ) ,
( j= 1, 2, …, 2N + 1) 。将各点的坐标代入式( 13) , 得
到下列形式的子方程
a( 1) 0
+
b( 1) 0
ln r*
j
+
N
6[
a r ( 1) m m *j
c os
mH+
b( 1) m
r
*
m j
cos
mH+
m= 1
c r ( 1) m m *j
sin
mH+
d r ( 1) - m m *j
si n mH]
=
T i.
( 14)
图 3 非正交边界离散示意图
对由式( 7) ～( 10) 代入式( 11) 中所得到的方程
示。温度场的边界条件为:
T = Ti
在边界 Ci 上, ( 1)
K(T -
Tf) = -
K1
9T 9Y
,
在边界 Co 上.
( 2)
图 1 物理平面( Z 平面)
设 T f, T i, K , K1 及 K2 均为常量, 其中: T f 为地 表附近的大气温度; T i 为金属热力管道的外表面温 度; K 为地表的对流换热系数; K1 及 K2 分别为保温 层和土壤的导热系数。H 为管道埋深; R i 和 R c 分 别表示金属热力管道外半径和保温层外半径。Ci, Cc 和 Co 分别表示金属热力管道外表面、保温层外 表面和地表。在处理这种复连通问题时, 可采用保形 映射的方法, 取
( 1. 清华大学 建筑技术科学系, 北京 100084; 2. 哈尔滨工业大学 建筑热能工程系, 哈尔滨 150001)
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摘 要: 为 了对直 埋管道 保温层及 其土壤 邻域的 温度场 进 行较 精确的分析, 采用 保形映射、分离变 量和边界 离散法 对 地下直埋管道的温度场进行分析, 得到了级数形式的 解。其 中确 定级数项系 数的边界 离散法适于 解决某些可 分离变 量 的非正交问题。对工程实例的计算表明, 在直埋管道保 温层 及其周围土壤邻域的温度场计算方面, 使用边界离散法 得到 的结果更加精确可靠。
关键词: 边界离散法; 非正交边界; 直埋敷设; 温度场
中图分类号: T U 833. 12 文章编号: 1000-0054( 2002) 06-0806-04
文献标识码: A
Thermal analysis of a straight buried pipe
FAN Hongming1, JIANG Yi1, HE Zhongyi2
ISSN 1000-0054 CN 11-2223/ N
清华大学学报 ( 自然科学版) J T singh ua U n iv ( Sci & Tech ) ,
2002 年 第 2002, V o l.
42 卷 第 6 期 42, N o . 6
直埋管道的热力分析
樊洪明1, 江 亿1 , 何钟怡2
r
*
m
sin
m
H]
=
T i.
( 12)
式( 12) 属于非正交边界 Si , 虽然也可以 使用 F ourier 正交级数方法处理, 但该式中的 r* 是极角 H 的函数, r* = f( H) , 因此式( 12) 的各项失去了对正、 余弦函数的正交性, 即
∫ ∫ 2P
2P
r
m *
cos mHsin k HdH=
大。本文采用一种新的边界离散法来求解这类问题。
这种方法的基本思想是通过边界点离散, 对式( 12)
直接赋值来避免形如式( 12) 的大量积分。应当指出, 转化为无穷代数方程组这一基本结构是由定解问题
的非正交性决定的, 任何非 Fourier 方法 均无法回
避。
根据求解无穷代数方程组的有限化原则, 可选
题, 通过数值方法解决, 过于复杂。实际应用中假定 保温层外表面温度均匀分布, 这样就简化为单层域 复连通问题, 该问题已有解析解。事实上, 保温层外 表面温度是不均匀分布的。近年来在研究保温层准 静态热力损伤以及管道强度和稳定性[ 2] , 分析埋设 区土壤的冻融状态和土壤的热物性变化[ 3] 等许多技 术问题都要求对直埋管道保温层及其土壤邻域的温
2
R,
边界
S0
上.
( 7)
其 中: R 是 由于 保 形映 射 引 入的 映 射 因子, R=
2 X
2+
H 2H 2-
R
2 c
R
2 c
.
在区域 I 与在区域 II 的交界处:
T1 = T 2,
r = r c 处,
( 8)
-
K2
9T 2 9r
=
-
K2
9T 9r
2
,
r = r c 处.