博弈论第二章
博弈论(第二章)讲义
纳什均衡的练习（1）
例1：囚徒困境
囚徒B
坦白
不坦白
坦白 囚徒A
不坦白
-5， -5 -8， 0
0， -8 -1， -1
纳什均衡的练习（2）
例2：智猪博弈
大猪
踩
不踩
小猪
踩 不踩
1.5， 3.5 5， 0.5
- 0.5， 6 0， 0
纳什均衡的练习（3）
例2：猜硬币的博弈
猜硬币者
正
反
正 盖硬币者
反
-1， 1 1， -1
博弈方2
U
L
R
U 博弈方1
D
1， 0 0， 3
1， 2 0， 1
0， 1 2， 0
三、划线法
其中心思想是根据博弈方策略之间的相对优劣关系，导 出博弈分析的“划线法”。
例：下图中的得益矩阵表示两博弈方的一个静态博弈，
试使用划线法进行分析。 博弈方2
左
中
右
上 博弈方1
下
1， 0 0， 4
1， 3 0， 2
二、严格下策反复消去法
（1）如果在一个博弈中，不管其它博弈方的策略如何变 化，一个博弈方的某种策略给他带来的得益，总是 比另一种策略给他带来的得益要小，那么称前一种 策略为相对于后一种策略的一个“严格下策” 。
（2）经“反复消去”博弈方的严格下策以后，每个博弈 方
可选策略都缩小为一个策略。因此，每个博弈方都 选择各自剩下的一个策略所组成的策略组合，是这 个博弈的均衡解 。
0， 1 2， 0
划线法的练习（1） 例2：囚徒困境
坦白 囚徒A
不坦白
囚徒B
坦白
不坦白
-5， -5 -8， 0
第二章博弈论
【例】找出下列博弈的重复剔除占优战略均衡。
B
L
M
P
u
4，3 5，1 6，2
A
d
2，1 8，4 3，6
e
3，0 9，6 5，8
u
A
d
e
B L 4，3 2，1 3，0
P 6，2 3，6 5，8
A
u
B L 4，3
P 6，2
A
u
B L 4，3
注意：重复剔除的占优战略不仅要求每个参 与人是理性的，而且要求“理性”是参与人 的共同知识。
◦ 雇主认为受教育水平高的人是高能力的， 所以支付高工资。
什么是理性？
——博弈论中，有一个基本的假定就是，所 有的博弈参与者都是理性的。通俗地讲就是 大家都是明白人，谁也不比谁更傻，你想到 的别人也想到了，而别人想到的你也能想得 到。
纳什均衡
性别战博弈——不存在重复剔除的占优战略均衡
女方
看足球
听音乐会
看足球 男方
听音乐会
3，1 0，0
0，0 1，3
◦ 也称贝叶斯博弈。在完全信息博弈中，参 与人的收益函数是共同知识，而在不完全 信息博弈中，至少有一个参与人不能确定 其他参与者的收益函数。
不完全信息动态博弈的例子
【例】：张三和李四过几天就要进行搏斗，张三很 想知道李四是不是强者？
最初，张三判断李四是强者的概率为0.8，是 弱者的概率是0.2，所以，张三不敢轻敌。后来， 张三观察到李四不喜欢吃辣椒，由此推断李四不是 强者。
一个博弈可能会有多个纳什均衡，究竟哪一个会出 现，需要知道博弈进行的具体过程。
【例】 A
B
L
M
P
u
0，3 3，0 5，2
博弈论-第二章
定 义 在有n个参与人的博弈 G={S1,S2…Sn;u1,u2,…un)中，策略组合 s*=(s1 *,s2 *,…sn *)是一个Nash均衡，如果对于 每一个isi*是给定其他参与人的选择: S-i*=(s1*,…si-1*,si+1*,…sn*)的情况下,第i个人的 最优策略,即 ui(si*,s-i*)≥ui(si,s-i*) ,对所有的i∈Γ 或者用另一种表示方式,si*是下述最大化问题的 解: si*∈arg ui(s1*,…si-1*,si,si+1*,…sn*),i=1,2,…n S *∈Si ∈ 因此,当且仅当没有一个参与人能从单方面背离 某个策略组合的预见中增加自己的得益时,这 个策略组合就是Nash均衡。
U
参与人1(A) 参与人
p
q
4,3 2,1 3,0
5,1 8,4 9,6
6,2 3,6 2,8
M D
(双矩阵博弈)
下面重新定义Nash均衡 定义 在博弈G={S1,S2,…,Sn;u1,u2,…,un}中,混合 策略组合σ*=(σ1*,…σi*,…σn*)是一个 Nash均衡,如果对任一i,有: ui(σi*,σ-i*)≥ui(σi,σ-i*),对任－σi∈Σi 这个定义也可以写为: 定义 对在博弈G={S1,…,Sn;u1,…,un}中的混合 策略组合σ*=(σ1*,…σi*,…σn*),如果对所有的 参与人i,有 ui(σi*,σ-i*)≥ui(sik,σ-i*),对每一sik∈Si 成立,则称σ*为博弈G的Nash均衡。
这里的“同时”是一个信息概念，而不是一 个时间概念。可以设想，参与人是处于不同的 房间里，要求在彼此没有联络的情况下，选择 一个按纽。 通常还假设，所有的参与人都知道博弈的 结构，知道他们的对手知道这一结构，知道他 们的对手了解他们知道···如此直至无穷，也即 ··· 博弈的结构是共同知识。 更准确地，策略式表述给出: ⑴博弈的参与人集合: I∈Γ,Γ={1,2,…n} ⑵每个参与人的策略空间 Si,i=1,2,…n ⑶每个参与人的支付函数 ui=(s1,…si,…sn),i=1,2,…n
大学课程《博弈论及其应用》PPT课件：第二章(1234节)
博弈方2
左
中
右
上 博弈方1
下
1，0 0，4
1，3 0，2
0，1 2，0
图 2-7 划线法
博弈的相对优势策略位置在图2-7标出，策略组合{上，中}格 子中的两个数字下面都划了短线，这个格子对应的策略组合 就是由划线法得到的纳什均衡。
第四节 箭头方法
还有一种寻找纳什均衡的方法，和划线法的分析理念的出发 点不同，这种方法的思路是对博弈中的每个策略组合进行分 析，判断各博弈方是否能够通过单独改变自己的策略而改善 自己的得益，如果可以，则从所考察的策略组合的得益引一 个箭头到改变策略后的策略组合对应的得益。这样对每个可 能的策略组合都分析考察过以后，根据箭头反映的情况来判 断博弈的结果。
博弈方2
Hale Waihona Puke 左中上 博弈方1
下
1，0 0，4
1，3 0，2
右
0，1 2，0
图 2-8 箭头法
观察图2-8，在策略组合{上，中}中只有指向的箭头，没有指 出的格子所代表的就是纳什均衡。
略“上”改变的倾向，用一个竖着的箭头表示这个倾向；横 着比较后面的得益，4比2大，4比0大，博弈方2没有改变的 动力。在策略组合{上，左}中，横着比较后面，分析博弈方2 的得益，3比0大，1比0大，所以博弈方2有从策略“左”向
策略“中”和策略“右”改变的倾向，用两个横向的箭头表 示这两个改变的倾向。
在策略组合{上，中}中，竖着比较前面的得益，还是横着比较后 面的得益，博弈方1和博弈方2都没有改变的倾向。在策略组合 {上，右}中，竖着比较前面，2比0大，博弈方1有从策略“上”
向策略“下”改变的倾向，用一个竖向的箭头表示这个倾向； 横着比较后面，3比1大，博弈方2有从策略“右”向策略“中” 改变的倾向，用一个横向的箭头表示这个倾向。
经济博弈论第二章a 博弈论课件
* 在本博弈中， ( q 1* , q 2 ) 的纳什均衡的充分必要条件是 q 大值问题： * 2
* 1
和q
q2 （0,6）
R1（q2）
（2，2） 6 R2（q1）
（0，3）
0
（3,0）
（6,0）q1
从左图可以看出，当一方的 选择为0时，另一方的最佳反应 为3，这正是我们前面所说过的 实现总体最大利益的产量，因为 一家产量为零，意味着另一家垄 断市场。当一方的产量达到6时， 另一方则被迫选择0，因为实际 上坚持生产已无利可图。
2.3.2 应用
混合策略的方法不仅可以解决不存在纯策略纳什均衡的博弈问题，同样 可应用于存在多个纯策略纳什均衡的博弈问题。 丈 夫 例 夫妻之争 时装 足球 该博弈与上一个博弈的不同之处在 0， 0 于每一方所希望对方知道自己的策略选 妻 时装 2，1 择以达到有利于自己的结果。现实中， 1， 3 子 足球 0，0 这类问题多通过协商解决以免两败俱伤。 在此我们假设夫妻双方不可协商，互不通消息。 令pw（时）， pw（足）分别表示妻子选择时装表演和足球的概率； ph（时）， ph（足）为丈夫选择时装表演和足球的概率。 同样的分析方法可得pw（时）=0.75, pw（足）=0.25; ph（时）=1/3, ph（足）=2/3.双方的期望得益分别为uwe＝0.67， uhe＝0.75。
d 2 b * 1 2 P ( a bc ) ( a b c ) 1 2 22 1 1 1 4 b b dd 4 b b dd 1 2 1 2 1 2 1 2 d 2 b * 2 1 P ( a b c ) ( a bc ) 2 1 11 2 22 4 b b dd 4 b b dd 12 1 2 12 1 2
博弈论-第二章
由此，可以看出严格优策略和严格劣策略的 差异。严格优策略是全局性的，而严格劣策 略只是相对于另一个策略而言。
因而严格劣策略的要求要比严格优策略要松， 运用重复剔出严格劣策略（如果存在的话） 通常都能够确定博弈的均衡。
但是，对于更一般的博弈，利用可理性化 导致的结果可能是所有博弈组合都无法剔除， 从而导致所有组合都可能是均衡这样的状态。
严格优策略通俗地说就是在任何情况下，该 策略带给参与者的收益都要严格大于其它任 意策略。
理解严格优策略的关键在于两个任意：给定 对手任意的策略和自己任意的策略。
如果严格优策略存在，那么它必然是唯一的。 这体现在命题2.1中。
我们现在就举例说明。
[例] 双边背离与纳什均衡
1.
2
2. 左 右 右
上 1,1,2 _ ,0, _ 1
下 0, _, _ 2, 2,1
2 左
_, _, 1 ……. …… …….
ห้องสมุดไป่ตู้
3
高
低
为了加深理解，我们来看一些经典例子。
见书43页—50页。
通过这些例子，要求：1、掌握如果概括 博弈的方法——基本式，2、如何找纳什 均衡。
混合策略通俗地说就是随机选择纯策略。在 混合策略条件下，偏好实质上变成了v-N-M偏 好，除了满足非对称性和负传递性外，还需 满足替代公理和阿基米德公理。
伯努利收益函数满足线性变换。
我们知道，一个严格劣策略肯定是一个从来 都不会选择的策略，在混合策略下，从来都 不选择的策略同样是严格劣策略。但限制在 纯策略下，这个逆命题却不成立。
博弈论(第二章)
假设这些农户在夏天才到公共草地放羊，而每年 的春天就要决定养羊的数量。
（2）严格下策反复消去法也不能解决所有的博弈分析 问题 。
严格下策反复消去法的思考问题：
（1）“严格下策”和“上策”之间有没有对应关系， 什么
情况下有对应关系？ （2）使用严格下策反复消去法所得到的均衡结果，是
否与消去的严格下策的次序有关。
严格下策反复消去法的练习
例2：下图中的得益矩阵表示两博弈方的一个静态博 弈，试使用严格下策反复消去法进行分析。
纳什均衡的练习（1）
例1：囚徒困境
囚徒B
坦白
不坦白
坦白 囚徒A
不坦白
-5， -5 -8， 0
0， -8 -1， -1
纳什均衡的练习（2）
例2：智猪博弈
大猪
踩
不踩
小猪
踩 不踩
1.5， 3.5 5， 0.5
- 0.5， 6 0， 0
纳什均衡的练习（3）
例2：猜硬币的博弈
猜硬币者
正
反
正 盖硬币者
反
-1， 1 1， -1
博弈方2
U
L
R
U 博弈方1
D
1， 0 0， 3
1， 2 0， 1
0， 1 2， 0
三、划线法
其中心思想是根据博弈方策略之间的相对优劣关系，导 出博弈分析的“划线法”。
例：下图中的得益矩阵表示两博弈方的一个静态博弈，
第二讲纳什均衡
习题：齐威王田忌赛马矩阵
上中下 上中下
田忌
上下中 中上下 中下上 下中上 下上中
+3，-3 +1，-1 +1，-1 -1，+1 +1，-1
+1，-1 +3，-3 -1，+1 +1，-1 +1，-1
+1，-1 +1，-1 +3，-3 +1，-1 -1，+1
+1，-1 +1，-1 +1，-1 +3，-3 +1，-1
在第二行1 下划线
2015年12月6日
博弈论第二章 第二讲纳什均衡
20
第三节 纳什均衡
三、寻找纳什均衡的方法 （二）相对优势策略划线法 3.设定甲靠左行（第一行） 乙： 1>-1 乙相对优势策略：靠左行
在第一列 1下划线
2015年12月6日
博弈论第二章 第二讲纳什均衡
21
第三节 纳什均衡
四、古诺模型 max i 2.企业i的目标： π1=？，π2=？ 3.企业利润最大化的一阶、二阶条件
1 0 q1 2 0 q2
2015年12月6日
2 1 2 0 2 q1 2 2 2 0 2 q 2
博弈论第二章 第二讲纳什均衡
35
第三节 纳什均衡
27
第三节
纳什均衡
要点：（1）箭 头指向的支付 大；（2）只有 一方单独改变 策略
三、寻找纳什均衡的方法 （三）箭头指向法 2.分析：（适度放牧，过度放牧） （1）给定乙不变，甲改变：0→10 （箭头向上） （2）给定甲不变，乙也不变
2015年12月6日
博弈论第二章 第二讲纳什均衡
经济博弈论 02 完全信息静态博弈(Park)
都成立，则称 {S1*, ...Sn*}为G的一个纳什均衡
YBU
Economics department
Cont.
二、纳什均衡的一致预测性质 一致预测：如果所有博弈方都预测一个特定博弈结果会
妻（囚徒 2 ）
坦白
不坦白
-5， -5
0， -8
-8， 0
-1， -1
Payoff
YBU
Economics department
2.1 Cont.
二、下策均衡
严格下策（dominate str.）：不管其它博弈方的策略
如何变化，给一个博弈方带来的收益总是比另一种
策略给他带来的收益小的策略,
ui (Si’ , S-i) ≥,> ui (Si*, S-i ) ,分别称为弱下策、严格下
Cont.
二、混合策略、混合策略博弈和混合策略纳什均衡 混合策略：在博弈 G={S1, ...Sn; u1, ...un} 中，博弈方 i 的 策略空间 {Si1, ...Sik} ，则博弈方 i 以概率分布{pi1, ...pik}随 机在其k个可选策略中选择的“策略”，称为一个“混合策 略”，其中0< pij <1 , 对 1< j <k,都成立， pi1+ ...pik=1 混合策略扩展博弈：博弈方在混合策略的策略空间（概率 分布空间）的选择看作一个博弈，就是原博弈的“混合策略 扩展博弈）。
Strategy：[0 ,p1max], [0 ,p2max] Payoff: q1(p1, p2)=28- p1-0.5p2 , q2(p1, p2)=28- p2-0.5p1 , c1=c2=2; ➢ u1=(p1-2)(28- p1-0.5p2); u2=(p2-2)(28- p2-0.5p1); Howe to find the equilibrium?
博弈论第二章——博弈规则
0，0 1，2
选修课－－另一版本
王菲
李 亚 博弈论 鹏
舞蹈
博弈论
舞蹈
4，3 1，1
2，2 3，4
石头·剪子·布
博弈方2
石头 剪子 布
博 弈 石头
0，0 1，－1 -1，1
方 剪子 -1，1 0，0 1，-1
1
布 1，-1 -1，1 0，0
双人博弈小结
注意二点： 1. 博弈方之间并非总是对抗的。 2. 个人理性决策常不能实现自己的
2.关于博弈过程的信息 完美信息和不完美信息
完美信息（perfect information）:对 已经发生的的事情有清楚的了解，称具 有完美信息。否则，称为不完美信息 （imperfect information）
寡头定价 联通b
高价g 低价d
移 动
高价 g
50，50
10,80
a
低价 d
80, 10
30，30
Ug= Uag+ Ubg=50+10+50+10=120 Ud= Uad+ Ubd=30+80+30+80=220
2.2.5 博弈的信息结构
1.关于得益的信息 完全信息和不完全信息
（1） 完全信息（complete information）是 指在博弈过程中，每一位博弈方对其他博弈 方的特征、策略空间及收益函数有准确的信 息。
静态博弈 动态博弈
行动与策略的区别？
▪ 行动是指参与者可能有的具体行动 ▪ 战略是行动的规则而不是行动本身
毛泽东：
人不犯我我不犯人 人若犯我我必犯人
敌进我退 敌退我追 敌驻我扰 敌疲我打
I(information)
经济博弈论第2章(23) ppt课件
4 1
如果一个混合策略是流浪汉的最优选择，那一定意味 着政府在救济与不救济之间是无差异的，即：
uG 1, 4 1 uG 0,
0.2
PPT课件
18
• 解二: 支付等值法
如果一个混合策略是政府的最优选择，那一定意
味着流浪汉在寻找工作与游闲之间是无差异的，
即：
流浪汉
找工作
游荡
政府 救济 不救济
3,2 -1 , 1
-1 , 3 0,0
uL 1, 1 3 uL 0,
0.5
PPT课件
19
五、混合战略纳什均衡
• 对 * 0.2 的解释： • 如果流浪汉找工作的概率小于0.2, 则政府选择不
救济,如果大于0.2,政府选择救济 ,只有当概率等 于0.2时,政府才会选择混合战略或任何纯战略. • 对 * 0.5 的解释 • 如果政府救济的概率大于0.5,流浪汉的最优选择 是流浪,如果政府救济的概率小于0.5,流浪汉的最 优选择是寻找工作.
1 , -1 -1 , 1
假设A出红牌的概率为 p；B出红牌的概率为 q ；则
U A( p, q) 2 p(1 2q) (2q 1)
因此A的最佳反应函数为
p 1
0, 当q 1/ 2
p [0,1],当q 1/ 2
1, 当q 1/ 2
PPT课件
0
1/2
1 q 27
第二章 完全信息静态信息博弈-纳什均衡
一 博弈的基本概念及战略表述 二 占优战略均衡 三 重复剔除的占优均衡 四 纳什均衡 五 混合战略纳什均衡 六 纳什均衡存在性及相关讨论
PPT课件
博弈论课件 第二章
2.3 无限策略博弈分析和反应函数
2.3.1 古诺的寡头模型 2.3.2 反应函数 2.3.3 伯特兰德寡头模型 2.3.4 公共资源问题 2.3.5 反应函数的问题和局限性
2.3.1 古诺的寡头模型
假设条件：
市场总产量Q q1 q2 市场出清价格 P P(Q) 8Q 边际成本c1 c2 2，无固定成本 两厂商同时决定各自产的量
2.2.1 纳什均衡的定义
博弈、博弈方的策略空间和得益的一般表示法 G 表示一个博弈； n个博弈方；
S1,S2, ,Sn表示每个博 策弈 略方 集的 合可 ， 空 选 称 间为 ”“ ； sijSi表示博 i的 弈第 j个 方策略； 博弈i的 方得益 ui表 用示ui， 是各博弈方策 函略 数的 ；多元
★★★学习博弈论，大家一定要记忆一些基本的模型。因为很多
时候，我们总是基于已有的模型，对其做出修订来考察一些新的 问题。完全创新的模型是很少见的，当我们记忆的模型多了，就 很容易在分析问题时套用模型，并修订模型的条件来考察自己研 究的问题。
其实大家学习西方经济学理论的时候，会发现它与大家曾接触 的马克思主义经济学理论，以及国内一些逻辑思辩型的经济学研 究范式一个很大不同就在于，它采取的是一种模型化的思维。我 们学习西方经济学的时候，会发现始终在学习一些模型，因为模 型是帮助我们简单地理解现实世界的有用工具。经济学中的数学 模型，其实与生物课教学的塑料人体模型等在本质上并无不同。
左
中
右
博弈的解：（上，中）
博上 弈 方 一
下
1，0 0，4
1，3 0，2
0，1 2，0
2.1.3 划线法
囚徒困境
囚 坦白 徒 1 不坦白
囚徒 2 坦白
博弈论第二章答案
nc + a a − c a−c a−c ⋅ −c⋅ = n +1 n +1 n +1 n +1
企业违背垄断产量时的各期利润：
n −1 (a − c ) − qi πi = a − qi − cqi 2n ∂π i (n − 1)(a − c) =a− − qi − q j − c = 0 ∂qi 2n n +1 (n + 1)a + (3n − 1)c (a − c), p = 4n 4n 2 (n + 1) 利润为 (a − c) 2 16n 2 ⇒ qi =
仅供参考！ ！
-4-
E-mail:beckham.23@
2
出） ，只要任何一方违背时，以后就转向阶段博弈的价格 pi = c 。 如一直使用垄断价格，则每个企业收益每期都一样为， π i = (a − c) / 8 如在t期某企业违背了战略， t+1期开始双方的收益相同都为0， 在t期它的最大收益为 ( a − c) / 4 （考虑此企业只是把价格边际上减少一点点，所有的利润都归它） ，如不违背则把以后无限期
一阶条件：
V ' ( I p − B) = kU 2' ( S + B) ，
反应函数满足：
−1 < dB* / dS = kU 2" /(−kU 2" − V " ) < 0 即，孩子储蓄减少，家
*
长给予更高的赠与。 接着最大化孩子的收益：给定反应函数 B ，来选 S：
MaxU1 ( I c − S ) + U 2 ( S + B* )
∂π i = a − ∑ qi − qi − c = 0 ∂qi a−c (i = 1,2,3 n) n +1
博弈论第二章(4)
这时1、2方有合谋的动机，可能选择(D，R)使自己更好。
二、共谋和防共谋博弈均衡
2、防共谋均衡：如果一个博弈的策略组合满足(1)没有任何 单个博弈方的串通会改变博弈结果；(2)给定博弈方有再次偏 离的自由时，没有任何两个博弈方的忠勇串通会改变要；(3) 依此类推，直到所有博弈方的串通也不会改变博弈结果。满 足上述条件的博弈均衡为防共谋均衡。 上例博弈的防共谋均衡为(D，R，B)。这也是一个囚徒困境。 事实上，在排除了共谋的影响后，多人博弈与两人博弈就 没有实质上的区别了。所以我们的举例一般都 以二人博弈为 例。所得出的纳什均衡、风险上策、pareto上策等都适用于多 人博弈。
但是， 既然(和平，和平)是帕累托上策均衡，那为 什么历史上还会有那么多的战争呢？可能的原因是：
决策者缺乏理智或理性。
局部战争的收益比博弈分析中假设大的多。 战争的一方认为自己有绝对获胜的把握。
2、风险上策均衡 例三国鼎立的吴蜀联盟博弈。即两家联合进攻魏国，若获 胜则可瓜分魏国的国土，若一方背叛，则有亡国的危险；若
猎鹿博弈 猎鹿博弈也是一个风险上策均衡的例子。两个 猎人同时发现了一只鹿和两只兔子，若两人合作就 有可能得到一只鹿，否则各人可能获得一只兔子。
猎人B 鹿 猎人A 鹿 兔子 5， 5 3， 0 兔子 0，3 3，3
该博弈说明的问题是，若合作为10人，或更多 的人时，相信其它更多的人的合作意愿比相信另外 一人合作的意愿更难。此时，更多的博弈方选择风 险上策均衡策略组合。
1、帕累托上策均衡 帕累托(pareto)均衡：即所有纳什均衡中最优的一个均衡 策略组合。
博弈论第二章
占优策略均衡
• 在博弈G={N,(Si)iN,(Ui)iN}中，如果对所有的参
与人i,si*是它的占优策略，那么所有参与人选择 的策略组合（s1*,…,sn*）成为该对策的占优策略 均衡。 或一个博弈的某个战略组合中的所有战略都是各个 局中人各自的占优策略，必然是该博弈比较稳定 的结果。
孤独了。但是，纳什在发疯之后却并不孤
心，爱因斯坦等世界级大师均云集于此。 在普林斯顿自由的学术空气里，纳什如鱼 得水，他21岁博士毕业，不到30岁已经闻 名遐迩。1958年，纳什因其在数学领域的 优异工作被美国《财富》杂志评为新一代 天才数学家中最杰出的人物。
• 约翰·纳什最重要的理论就是现在广泛
出现在经济学教科书上的“纳什均衡”。 而“纳什均衡”最著名的一个例子就是 “囚徒困境”。“纳什均衡”是他21岁 博士毕业的论文，也奠定了数十年后他 获得诺贝尔经济学奖的基础。
• 普林斯顿的幽灵
• 1958年的秋天，正当艾里西亚半惊半喜地发现
自己怀孕时，纳什却为自己的未来满怀心事，越 来越不安。系主任马丁已答应在那年冬天给他永 久教职，但是纳什却出现了各种稀奇古怪的行为： 他担心被征兵入伍而毁了自己的数学创造力，他 梦想成立一个世界政府，他认为《纽约时报》上 每一个字母都隐含着神秘的意义，而只有他才能 读懂其中的寓意。他认为世界上的一切都可以用 一个数学公式表达。他给联合国写信，跑到华盛 顿给每个国家的大使馆投递信件，要求各国使馆 支持他成立世界政府的想法。他迷上了法语，甚 至要用法语写数学论文，他认为语言与数学有神 秘的关联……
很孤僻，他宁愿钻在书堆里，也不愿出去和同龄的孩
子玩耍。但是那个时候，纳什的数学成绩并不好，小
学老师常常向他的家长抱怨纳什的数学有问题，因为
博弈论 第二章
进一步，如果一个博弈的某个策略组合中的所 有策略都是各个博弈方各自的上策，那么这个 策略组合肯定是所有博弈方都愿意选择的，必 然是该博弈比较稳定的结果。——占优策略均 衡” 或 “上策均衡”“优势策略均衡”。
囚徒的困境博弈中的（坦白，坦白）实际上就 是一个上策均衡，因为“坦白”对该博弈的两 个博弈方来说都是上策。
囚犯B
认罪
不认罪
囚 认罪 -10，-10
-1，-20
犯 不认 A罪
-20，-1
-3，-3
二、重复剔除严格劣战略
所 谓 “ 严 格 劣 策 略 ” （ Strictly Dominated strategies）是指：在博弈中，不论其他参与人 采取什么策略，某一参与人可能采取的策略中， 对自己严格不利的策略。
为国王画像
从前，有个国王，瘸了一条腿，瞎了一 只眼睛。他想得到一张称心如意的画像，便 召来三位著名的画家为他作画。一位画家把 国王画得仪表堂堂，气概非凡，特别是把两 只眼睛画得炯炯有神，把两条腿画得健壮有 力。国王一看，很不满意，气愤地说：“睁 着眼睛胡画，肯定是个拍马逢迎的骗子。” 第二位画家把国王画得维妙维肖，简直像国 王本人一样，瞎眼瘸腿一目了然。国王看过 大发雷霆，把画像踩在脚下吼叫起来。 第三位画家十分从容地画好了，发怒的国王 一见到这张画像，顿时转怒为喜，连声称赞 画得好。 第三位画家是怎样画的呢？
1，4
方B 1
0，5
0，3
图 2.2
博弈方 2
博
甲
乙
弈 A 1，0
1，4
方
1
图 2.3
例 “智猪博弈”（Boxed Pigs）
假设猪圈里有两头猪，大猪和小猪，猪圈的一端有一个猪食
槽，另一端安装了一个按钮，控制猪食的供应。按一下按钮，将 有８个单位的猪食进入猪食槽，供两头猪食用。如果某一头猪作 出自己去按按钮的选择，它必须付出如下代价：第一，它需要付 出相当于2个单位的成本；第二，由于猪食槽远离猪食，它将比另 一头猪后到猪食槽，从而减少吃食的数量。
博弈论第二章习题
问题1：博弈方2就如何分10000元钱进行讨价还价。
假设确定了以下原则：双方提出自己要求的数额1s 和2s ，10000021≤≤s s ，。
如果设博弈方1和，1000021≤+s s ，则两博弈方的要求都得到满足，即分得1s 和2s ；但如果1000021>+s s ，则该笔钱就被没收。
问该博弈的纯策略纳什均衡是什么？如果你是其中一个博弈方，你会选择什么数额，为什么？解：112111210000()010000s s s u s s s ≤-⎧=⎨>-⎩，那么，1210000s s =-221222110000()010000s ss u s s s ≤-⎧=⎨>-⎩那么，2110000s s =-它们是同一条直线，1210000s s +=上的任意点12(,)s s ，都是本博弈的纯策略的Nash 均衡。
假如我是其中一个博弈方，我将选择15000s =元，因为(5000,5000)是比较公平和容易接受的。
它又是一个聚点均衡。
问题2：设古诺模型中有n 家厂商。
i q 为厂商i 的产量，n q q q Q +++= 21为市场总产量。
P 为市场出清价格，且已知Q a Q P P -==)(（当a Q <时，否则0=P ）。
假设厂商i 生产产量i q 的总成本为ii i i cq q C C ==)(，也就是说没有固定成本且各厂的边际成本都相同，为常数)(a c c <。
假设各厂同时选择产量，该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效？解：1()ni i i j i j pq cq a c q q π==-=--∑，1,2,,i n =令20ii j j ii a c q q q π≠∂=---=∂∑，1,2,,i n =解得：***121na c q q q n -====+，2***121na c n πππ-⎛⎫==== ⎪+⎝⎭当n 趋向于无穷大时，这是一个完全竞争市场，上述博弈分析方法其实已经失效。
博弈论第二章 (1)
3、举例（2）：斗鸡博弈
进 A 进 退
-3，-3 0， 2
B
退
2， 0 0， 0
独木桥
2
2014/9/22
一、博弈的标式表述
3、举例（3）：齐王田忌赛马
上中下 上中下 上下中 齐 王 中上下 中下上 下上中 下中上 3，-3 1，-1 1，-1 -1,1 1，-1 1，-1 上下中 1，-1 3，-3 -1,1 1，-1 1，-1 1，-1 田忌 中上下 1，-1 1，-1 3，-3 1，-1 1，-1 -1,1 中下上 1，-1 1，-1 1，-1 3，-3 -1,1 1，-1 下上中 -1, 1 1，-1 1，-1 1，-1 3，-3 1，-1 下中上 1，-1 -1, 1 1，-1 1，-1 1，-1 3，-3
3
2014/9/22
二、重复剔除严格劣战略
3、重复剔除严格劣战略
二、重复剔除严格劣战略
（1）、思路和原理 反思占优均衡分析的思路，不难发现占优均衡分析 釆用的决策思路是一种选择法的思路，是在所有可 选择策略中选出最好一种。 剔除法与选择法在思路上正好相反，它是通过对可 选策略的相互比较，把不可能采用的较差策略排除 掉，从而筛选出较好的策略，或者至少缩小候选策 略的范围。这种剔除法的思路导出了博弈分析中的 重复剔除严格劣战略法（Iterated Elimination of Strictly Dominated Strategies）。
10:39:53
M
R
U S D
2 ,8 08 ,8 0 ,8
1,6 0 ,6 1,5
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2 完全信息的动态博弈2.1完全和完美信息的动态博弈动态博弈(dynamic game)：参与人在不同的时间选择行动。
完美信息(perfect information): 在博弈的每次行动的参与人完全知道博弈的历史。
2.1.A 理论: 逆向归纳法简单的完全和完美信息博弈：1. 参与人 1 选择行动a 12. 参与人 2 观察a 1，然后选择a 23. 收益是 u 1(a 1, a 2)和u 2(a 1, a 2)求解博弈: 逆向归纳法 (backward induction)1. 求解第二个阶段，对于a 1，求a 222max A a ∈u 2(a 1，a 2)其解: a 2= R 2(a 1) ---- 反应函数2. 求解第一个阶段11m a x A a ∈ u 1(a 1，R 2(a 1))其解: a *1逆向归纳解(outcome): (a *1, R 2(a *1) )注意：在动态博弈中，行动与战略是不同的概念；逆向归纳解与纳什均衡是不同的概念。
关于逆向归纳法的理性假定例１1L R220 L'R'111 L''R''3 00 2用逆向归纳法:第3步：参与人1 选择L'';第2步：参与人2 选择L'；第1步：参与人1 选择L逆向归纳解: L(在第一个阶段结束)。
如果博弈在第一个阶段中不结束，可能原因是什么?2.1.B Stackelberg 模型二个企业，生产产量: q1, q2市场需求: P = a–Q, 其中Q = q1 + q2成本: C i (q i) = cq i, i = 1, 2.利润：πi (q1, q2) = Pq i–C i (q i) = (a– (q1 + q2))q i–cq i，博弈的顺序：(1) 企业1 选择q1≥ 0；(2) 企业2 观察q1然后选择q2≥ 0；(3) 收益: πi (q i , q j ) = q i [P (Q ) – c ]其中P (Q) = a – Q , Q = q 1 + q 2求逆向归纳解(1)阶段2，企业2在观察q 1后选择q 2满足02max ≥q q 2 (a – (q 1 + q 2) – c )解出q 2 = R 2 (q 1) =21cq a --(2)阶段1，企业 1知道R 2 (q 1)，求q 101max ≥q q 1 (a – (q 1 + R 2 (q 1))– c )=01max ≥q q 1 21c q a --解出q 1* =2ca -, R 2(q 1*) =4ca -与 Cournot 模型比较q 1* = q 2* =3ca -结果：先进入市场者有更多的利润。
2.1.C 工会与企业的工资和就业一个企业和一个工会，关于工资w 和就业数量L 的决定。
工会收益: U (w , L );企业收益: π(w , L ) = R (L ) – wL ，R '(0) = ∞ ，R '(∞) = 0 博弈的顺序:(1) 工会选择工资w ;(2) 企业观察 w 且选择 L .wL工会的无差异曲线求逆向归纳解(1) 阶段2企业对w，选择L求max [R(L) –wL]一阶条件R'(L)–w = 0RR(L)L(w) L可以得到企业的反应函数：L(w)利用等利润曲线π = R(L) –wL分析：1. w = (R(L) –π)/L，等利润线的位置越低，利润越大；2. dw/dL = [R'(L) –w]/L，随L增加，等利润曲线先是正斜率，然后是负斜率。
3. 企业的选择在等利润线的顶点上。
w L (w)L(2) 阶段1工会知道L(w)，求Max U(w, L)s. t. L = L(w)逆向归纳解(w*, L(w*))w L (w)L此结果是非最优的(inefficient)。
2.1.D 序贯谈判参与人1 和参与人2 谈判分配一元钱(s, 1 –s ).三期的谈判模型(1a) 参与人1 提议分配方案：(s1, 1 –s1 )；(1b) 参与人2接受提议或拒绝提议。
如果参与人2拒绝，进入第2阶段;(2a) 参与人2提议 (s 2, 1 – s 2 )(2b) 参与人 1接受提议或拒绝提议。
如果参与人1拒绝，进入第3阶段；(3) 按外生方案分配，参与人 1 分得s ，参与人2分得1–s 。
贴现率: δ求逆向归纳解(1) 在阶段 2如果s 2 ≥ δs 参与人 1 将会接受s 2。
取s 2 = δs ，则1 – s 2 ≥ δ(1 – s )。
结果: 参与人 2 将会提议 s *2 = δs ，参与人 1 将会接受。
(2) 在阶段 1如果 1 – s 1 ≥ δ(1 – s *2) 即 s 1 ≤ 1 – δ(1 – s *2 ) ,参与人 2 将会接受 s 1当 s 1 = 1 – δ(1 – s *2 )， s 1 ≥ δs *2结果: 参与人 1 将会提出s *1 = 1 – δ(1 – s *2 ) = 1 – δ(1 –δs )参与人 2 将会接受 1 – s *1.逆向递归解为[1 – δ(1 –δs )， δs ]无限时间情形：不存在外生终止时间，无限重复阶段1与2。
假设结果是在第1期分配 (s 1*, 1 – s 1*)。
而在第1期和第2期未结束，在第3期分配 (s , 1 – s )。
第一期结果与第三期相同。
s = s *1 = 1 – δ(1 – s *2 ) = 1 – δ(1 –δs )结果s =δ+11, 1 – s = δδ+12.2 完全非完美信息二阶段博弈2.2.A 理论: 子博弈精炼完全非完美信息的二阶段博弈:(1) 参与人1 和2 同时选择a1和a2;(2) 参与人3 和4 观察(a1, a2), 然后同时选择a3 和a4;(3) 收益是u i(a1, a2, a3, a4), i =1, 2, 3, 4.逆向归纳法在第二阶段博弈, 参与人3 和4: (a*3(a1, a2), a*4(a1, a2)).在第一阶段，参与人1 和参与人2: (a*1, a*2).子博弈精炼解(sub-game perfect outcome)(a*1, a*2, a*3(a*1，a*2), a*4(a*1, a*2))2.2.B 银行挤提二个投资者在一个银行存款D.银行: 如果提前变现，得：2r如果到期，得：2R在期1投资者2提款不提提款r，r D，2r–D投资者1不提2r– D, D下阶段在日期2提款不提提款R，R2R–D，D不提D, 2R–D R, R求子博弈精炼解(1) 在期2, (取款，取款), 收益(R, R)(2) 将第2期收益代回，在期1,提款不提提款r，r D，2r– D不提2r–D, D R, R二个纯战略纳什均衡: (取款，取款)，(不取，不取).两阶段博弈有二个子博弈精炼解：在日期1 两人都取款, (r, r)；在日期1 两人都不取款, 但是在日期2 取款, (R, R)。
2.2.C 关税和国际市场竞争两个国家：1，2。
每国市场需求：P i(Q i) = a–Q i = a– (h i+ e j )，政府：制定关税t i企业：生产产品供给本国h i和出口e i生产成本C = c(h i+ e j)博弈的时间顺序政府选择关税企业观察税率，选择产量企业收益为利润πi (t i , t j , h i , e i , h j , e j ) =[a –(h i + e j )]h i +[a –( e i + h j )] e i – c (h i + e i )– t j e i 政府收益为本国总福利w i (t i , t j , h i , e i , h j , e j ) =21Q i 2 + π(t i , t j , h i , e i , h j , e j ) + t i e j求子博弈精炼解第2阶段，两个企业的纳什均衡在观察t i 与t j 后，国家i 的企业选择(h i , e i )，求max πi (t i , t j , h i , e i , h j , e j )有一阶条件d πi /dh i = a – 2h i –e j – c = 0d πi /de i = a – 2e i – h j – (c + t j ) = 0两个企业的反应函数h 1* =21(a – e 2* – c ) e 1* =21(a – h 2 * – c – t 2) h 2* =21(a – e 1* – c ) e 2* =21(a – h 1* – c – t 1) 可以解出h 1* =31(a – c + t 1 ) e 1* =31(a – c – 2t 2) h 2* =31(a – c + t 2 ) e 2* =21(a – c – 2t 1)第1阶段，两个政府的纳什均衡w i (t i , t j , h i , e i , h j , e j ) = 21Q i 2 + π(t i , t j , h i , e i , h j , e j ) + t i e j=21Q i 2 +[a – (h i + e j )]h i + [a –( e i + h j )] e i – c (h i + e i ) – t j e i + t i e j = 21[31(a – c + t i ) + 21(a – c – 2t i )]2 + [a – (31(a – c + t i ) + 31(a – c – 2t i ))]×31(a – c + t i ) + [a – (31(a – c – 2t j ) + 31(a – c + t j ))]×31(a – c – 2t j ) – c (31(a – c + t i ) +31(a – c – 2t j ))– t j 31(a – c – 2t j ) + t i 31(a – c – 2t i ) 一阶条件dw i /dt i = [31(a – c + t i ) + 21(a – c – 2t i )]( –32) + [a – (31(a – c + t i ) + 31(a – c – 2t i ))]31+31⨯31(a – c + t i ) – c 31+ 31(a – c – 2t i ) - 32t i = 0可解出t i =3c a - 从而h i =9)(4c a - , e i = 9c a -2.2.D 竞赛二个工人和他们的老板.阶段 1, 老板提出工人的工资,: w H , w L (即a 1) 产量高者得高工资，低者得低工资。