MATLAB实验傅里叶分析

实验七 傅里叶变换

一、实验目的

傅里叶变换是通信系统、图像处理、数字信号处理以及物理学等领域内的一种重要的数学分析工具。通过傅里叶变换技术可以将时域上的波形分 布变换为频域上的分布，从而获得信号的频谱特性。MA TLAB 提供了专门的函数fft 、ifft 、fft2(即2维快速傅里叶变换)、ifft2以及fftshift 用于实现对信号的傅里叶变换。本次实验的目的就是练习使用fft 、ifft 以及fftshift 函数，对一些简单的信号处理问题能够获取其频谱特性（包括幅频和相频特性）。

二、实验预备知识

1. 离散傅里叶变换(DFT)以及快速傅里叶变换(FFT)简介

设x (t )是给定的时域上的一个波形，则其傅里叶变换为

2()() (1)j ft X f x t e dt π∞

--∞

=⎰

显然X ( f )代表频域上的一种分布(波形)，一般来说X ( f )是复数。而傅里叶逆变换定义为：

2()() (2)j ft x t X f e df π∞

-∞

=⎰

因此傅里叶变换将时域上的波形变换为频域上的波形，反之，傅里叶逆变换则将频域上的波形变换为时域上的波形。

由于傅里叶变换的广泛应用，人们自然希望能够使用计算机实现傅里叶变换，这就需要对傅里叶变换(即(1)式)做离散化处理，使之符合电脑计算的特征。另外，当把傅里叶变换应用于实验数据的分析和处理时，由于处理的对象具有离散性，因此也需要对傅里叶变换进行离散化处理。而要想将傅里叶变换离散化，首先要对时域上的波形x (t )进行离散化处理。采用一个时域上的采样脉冲序列:

δ (t －nT ), n = 0, 1, 2, …, N －1；

可以实现上述目的，如图所示。其中N 为采样点数，T 为采样周期；f s = 1/T 是采样频率。注意采样时，采样频率f s 必须大于两倍的信号频率（实际是截止频率），才能避免混迭效应。

接下来对离散后的时域波形()()()()x t x t t nT x nT δ=-=的傅里叶变换()X f 进行离散处理。与上述做法类似，采用频域上的δ脉冲序列：

δ ( f －n/T 0), n = 0, 1, 2, …, N －1；T 0= NT 为总采样时间

可以实现傅里叶变换()X f 的离散化，如下图示。不难看出，离散后的傅里叶变换其频率间隔(频率轴上离散点的间隔，即频域分辨率)

x (t )

δ 脉冲序列

x (t )δ (t －nT )

t

t

t

011

(3)s f f T NT N

∆===

因此要增加分辨率须增加采样点数目N 。频域上每个离散点对应的频率为:

0; 0,1,2,...,-1 (4)s n f n n

f n n N T NT N

=

===显然n = 0的点对应于直流成分。

经过以上离散化处理之后，连续积分的傅里叶变换(1)式转变为如下离散形式：

1

2/0

()(), 0,1,2,..., 1 (5)

N j nk N n k k X f x t e n N π--===-∑其中t k = kT （k =0,1,2,…,N-1）代表采样点时刻。X ( f n )一般是复数，因此离散傅里叶变换(DFT)后变成一个N 点（采样点数）的复数序列。X ( f n )绝对值代表振幅，其幅角代表相位，因此由(5)式可以给出DFT 的振幅频谱和相位频谱。(5)式通常又简写成如下形式：

1

0()(), 0,1,2,..., 1 (6)N nk

N k X n x k W n N -===-∑

其中 2/ j N N W e π-=，x 是采样点数据，它是一个N 个点的向量，DFT 的结果X 是N 个点的复数向量。(5)式或(6)式就是对傅里叶变换进行数值计算的基础。

一般采样点数N 越大，DFT 的结果越接近真实的情况，但是当N 较大时，(6)式的计算量很大，因为使用计算机求解(6)式时，总共要执行N 2次复数乘法和N×(N-1)次复数加法。所以直接用DFT 算法（即(5)式）进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。为了减轻计算的压力，人们提出了一种所谓快速傅里叶变换(FFT )的思想：

取N =2m ，首先将N 个点的采样数据011[,,...,]N x x x x -=分成两个N /2点的序列：

1022[,,...,]N x x x x -= （偶数序列） 2131[,,...,]N x x x x -= （奇数序列）

这样处理的好处是可以把(6)式分解为两个N/2点的DFT ，使计算量降下来。接下来再将N/2点的序列x 1仿照上述做法进一步分裂成2个N/4点的序列x 3和x 4，另一序列x 2亦做如此处理，分裂成2个N/4点的序列x 5和x 6。这样两个N/2点的序列分成了更短的4个N/4点的序列，依次类推，最后的结果是将一个N 点的序列x 裂成了N 个点的单点序列：x 0, x 1, x 2, …, x N-1。这样做可以将DFT 的运算效率提高1－2个数量级，为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了条件，从而推动数字处理技术的发展。由此可见FFT 的思想实质是

f

f

f

()X f

δ (f －n/T 0)

X ( f )

混迭

不断地把长序列的DFT计算分解成若干短序列的DFT，并利用旋转因子(即W N )的周期性和对称性来减少DFT的运算次数。所以FFT就是DFT的快速算法。

有关FFT算法的详细介绍和理论推导参见有关的书籍，这里不做进一步介绍。

2. FFT的MATLAB实现

为了实现快速傅里叶变换，MA TLAB提供了fft、ifft、fft2、ifft2以及fftshift函数，分别用于一维和二维离散傅里叶变换(DFT)及其逆变换。借助这些函数可以完成很多信号处理任务。考虑到信号处理包含的领域很广泛，这里只介绍一维傅里叶变换及其逆变换函数。

(1) fft函数

该函数使用了快速算法来实现时域信号的离散傅里叶变换。常用的格式：

Y= fft (x)

Y= fft (x, m)

Ｙ返回值（复数），返回m点的DFT序列，即(6)式左边的X；

m计算时使用的数据点数（样本数）；

x时域信号x(t)在采样点t k处的值，即(6)式右边的x；若实际采样点数目为Ｎ（m和Ｎ都须是２的幂次），则ｘ为Ｎ个元素（即长度Ｎ）的向量；若向量ｘ的长度小于m，那么计算时将自动在ｘ序列的后面补０；若ｘ的长度大于m，则ｘ自动截断，使之长度为m。对信号进行频谱分析时，数据样本应有足够的长度，一般FFT程序中所用数据点数（m）最好与原信号含有的数据点数（即输入的样本数Ｎ）相同，这样的频谱图具有较高的质量，可减小因补零或截断而产生的影响。

两点说明：

①关于FFT振幅频谱和相位频谱的计算

由于傅里叶变换的结果一般是复数，所以

●对fft的结果取绝对值abs()可以得到振幅，即

Amplitude = abs(Y)

需要注意的是这样得到的幅值实际并非真正的信号振幅，因其值与FFT使用的数据点数N 有关，但不影响分析结果，在IFFT（逆变换）时已经做了处理。要得到真实的振幅值的大小，只要将上述结果除以N/2即可。

●对fft的结果使用函数angle()可以得到相位的结果。但是使用angle函数计算复数的相角时，系统规定一、二象限的角为0~π；三、四象限的角为-π~0。因此若一个角度本来应该从0变到2π，但计算得到的结果却是0～π，再由-π～0，在π处发生跳变，跳变幅度为2π，这就叫相位的卷绕。这种相位的卷绕会使得相频图不连续，呈现锯齿状，为了平滑相频图，通常要再使用unwrap()函数进行相位的解卷绕。因此FFT的相位频谱图应该如下实现Phase = unwrap(angle(Y))

②FFT的振幅频谱具有对称性