更高更妙的物理：专题13__波的几何描述与特征现象

2 f1 2 f 2 T 2 ，即，
1 f1 f 2 。 T
可见，拍频 f f1 f 2 ，等于两个分振动的频率之差。 二、波的现象例析 【例 1】一列平面波在两种介质的界面发生反射，设入射波与反射波的振动方向不变。如果 入射波是一列纵波， 要使反射波是一列横波， 设纵波在介质中的传播速度是横波传播速度的
⑵惠更斯原理 介质中波动到达的各点， 都可以看做是发射子波的波源， 在其后的任一 时刻，这些子波的轨迹决定新的波前。这个原理对任何波动过程—机械波或电磁波、在均匀 或非均匀介质中的波动—均适用。利用惠更斯原理，只要知道某一时刻的波前，即可用几何 方法决定下一时刻的波前。 2、波在两种介质界面上的现象 ⑴波的反射 波在两种介质的界面改变传播方向，但仍在原介质中传播。波的反射中， 反射角等于入射角，反射波的波长、频率和波速与入射波的相同。 ⑵波的折射 波在两种介质的界面上改变传播方向且进入另一种介质中传播。 波的折射 中，折射波的频率不变，波速、波长均发生变化；入射角的正弦与折射角的正弦之比等于入 射波波速与折射波波速之比， 即
专题 13 波的几何描述与特征现象 一、波的知识提升 1、波的几何描述 ⑴波前、波面与波线 当波源在弹性介质中振动时，振动将沿各个方向传播，为了形象 地描述某一时刻振动传播到的各点的位置， 我们在介质中做出该时刻振动所传播到的各点的 轨迹，这种轨迹称为波前。 波源的振动在介质中传播时，我们可以做出振动步调相同的点的轨迹，例如 T 、 2T 、 3T 各时刻处于波峰的质点的轨迹， T / 2 、 3T / 2 、 5T / 2 各时刻处于波谷的质 点的轨迹等，这种轨迹称为波面。波面可形象地描述波在传播时，各质点振动之间的相互关 系： 同一波面上的质点振动步调完全相同， 在任何时刻振动步调总相同的点构成的波面是任 意多的。波前是各点振动相位都等于波源初相位的波面。 为了形象地描述波的传播方向，我们可以做出方向处处与该处波的传播方向一致的线， 叫波线。 在均匀介质中，振动从某质点（波源）向各个方向传播，波面是以波源为中心的球面， 波线沿半径而垂直于波面，这种波被称为球面波；相应地，波面为一系列平面的波被称为平 面波，平面波的波线是与波面垂直的许多平行线，如图所示。
3 倍。问入射角为多少？ 【分析与解】我们对这个反射现象作一个几何描述。如图所 示，两种介质的界面为 MM ，线 A1 A 、 B1 B 为入射波的波
线，线 AA2 、 BB2 为反射波的波线，因为入射波为纵波，质 点振动方向沿入射波的波线，而反射波为横波，质点振动方 向与波线垂直，而由题给条件“入射波与反射波的振动方向 不变” ，可知入射波的波线与反射波的波线互相垂直；某时 刻入射波到达 A 点，波前为 AC ，经时间 t 波被反射，波前为 BC ，根据惠更斯原理，波前 与波线总是垂直的， 故 C 、C 共点， 从入射波的波前 AC 上的 A 点到达界面并被界面反射， 经时间 t
c/n c / n0 。 r0 r 为地球表面的大气折射率， n 为距地心 r 处的大气折射率。将题给条件代入上式 式中， n0
1)r0 (a 0 e ( a 0

r r0 c
1)r 。
r r0 c
是所设能发生圆折射的地球表面空气密度。取 e 式中 0
a0 n0 1 ，
②
0 1 1 4.58倍。 6 r 0 ( 0 1)(n 1) 6.4 10 ( 1)(1.0003 1) 0 c 8772
这样，我们依据惠更斯原理，确定了若使光线能绕地球表面的圆弧线传播，要求地表的 空气密度为实际密度的 4.58 倍。 【例 4】车以 80km / h 速度行驶，从对面开来超高速列车，向背后奔驶而去。此间超高速车 所发出的汽笛声开始若听到为“哆”音，后来听到的则是降低的“咪”音（假定“哆”音和
为两列波位移相加，波腹处质点位移最大为 2 A ，波节两侧质点位移方向相反，驻波的波形 为一条振幅为 2 A 、波长为 的正弦曲线，经 T / 2 ，驻波的波形为一条直线，经 3T / 4 ，驻 波的波形又是振幅为 2 A 的正弦曲线，但与 T / 2 时刻的波形相反，经 T ，驻波的波形完成一 次周期性变化， 除波节外的各质点同时完成一次周期性振动， 各质点振动的周期、 频率相同， 振幅在 0 到 2 A 之间不等，同一波节两侧质点的振动总是方向相反。如图所示为驻波的波形 在一个周期的变化情况。
sin i v1 n21 ，比值 n21 称为第二介质（折射波所在介质） sin r v2
对第一介质（入射波所在介质）的折射率。 3、驻波 ⑴驻波的形成与特点 两列反向传播的振幅相同、频率相同的波叠加时，形成驻波。当 波在有限大小的弹性介质内传播时， 入射波与被界面反射后反向传播的反射波叠加就会形成 驻波。驻波的特点是静止不动的波节和振幅最大的波腹相间，但波形不向任何方向移动，与 波形向前传播的行波不同。所以从驻波的成因来看，驻波是一种干涉现象：波节与波腹分别 是振动抵消与振动最强的区域，他们的位置是不变的；从驻波上各质点的振动情况来看，实 际上是有限大小的物体上有相互联系的无数质点整体的一种振动模式。 弹性物体中有波形完全相同的两列反向传播的简谐波叠加， 如果每列波的波长为 ， 周 期为 T ，频率为 f ，振幅为 A 。某处一列波的波峰与另一列波的波谷相遇，该处质点的振 动总是被抵消，为波节，与该处相距半波长处，必是一列波的波谷与另一列波的波峰相遇， 此处也是波节， 故相邻两波节之间的距离为 / 2 ， 同理可知相邻两波腹间的距离也是 / 2 ； 若某时刻两波形恰好反向叠加，则所有质点均处于平衡位置，驻波的波形为一条直线，经 T / 4 ，两列波分别反向传播 / 4 ，则两列波形恰好重合，此时两波节之间各质点的位移均
xLeabharlann 【分析与解】本题所述情景被称为“圆折射” ，例如在金星大气层中便观察到有这种圆折射 的 “光波道” ， “圆折射” 的成因是由于行星大气层的折射率随高度而减小， 光在其中传播时， 路径不断逐层向界面方向弯折， 有可能出现光传播方向处处沿所在层面的切向， 即环绕行星 沿圆弧线传播。本题可依据折射定律求解，也可根据费马原理通过求极值光程得解，这里， 我们根据惠更斯原理，用微元法求解。 如图所示， O 为地球球心， r0 为地球半径，地表有一薄环形层为 光圆折射的光波道，其宽度亦即波面宽度为（ r r0 ） ，由于光沿圆弧 传播，由惠更斯原理，波前与波线（光线）应处处垂直，这就是说， 波前形状保持径向不变，在同一时间内波前应转过相同的圆心角，即 各条光线具有相同的环绕地球的角速度。考察半径为 r 、 r0 的两条边 缘光线 M 、 N ，有下列关系
CB ，该波面上 C 点的振动到达界面 B 点而 A 点的振动到达 C 点，即波前位置 v纵
从 AC 到达 BC ，则 AC v横 t 。由几何关系易得在 Rt ACB 中 CAB i ，于是可得
tan i
CB v纵 3， AC v横
0
故若要使反射波成为一列横波，入射纵波的入射角应为 60 。 【例 2】子弹在离人 5m 处以速度 680m / s 水平飞过，当人听到子弹之啸声时，子弹离人多 远？设声速为 340m / s 。 【分析与解】本题涉及弹道波的描述。当一个物体（如子弹、飞机等）在介质中以超声速运 动时，会激起冲击波，即弹道波。物体所经过的 介质的每一点都可看做一个球面波的波源，球面 波以声速在介质中传播，由于物体运动的速度大 于它所激起的波的传播速度，球面波形成的波前 只能在物体的后面，利用惠更斯原理，这种波的 几何描述如图所示，同一时刻各波源（被物体冲 击的介质质点）波前的包络面是一个圆锥面。设 物体在时间 t 内通过的距离为 AB ，物体的运动速 度为 v ，则 AB vt ；声波速度为 V ，同一时间内物体在 A 处激起的波传播了 AC Vt ， 由此可得圆锥的顶角为 2 2arcsin
r r0 c
【例 3】假设大气的折射率 n 与空气的密度有关系 n 1 a 0e
。式中 a 为常数， 0 为
地球表面的大气密度， r0 6400km ，c 8772m ，大气折射率随高度的增加而递减。为使 光线能沿着地球表面的圆弧线弯曲传播， 地表的空气密度应是实际密度的多少倍？已知地表 空气的实际折射率 n0 1.0003 。 （取 e 1 x ， x ） 。
f
V


V f。 VT
⑵波源固定，观察者以速度 v 向着波源或背离波源运动 此时相当于波以速度 V v 通过观察者，故
f
V v


V v v (1 ) f 。 VT V
⑶波源以速度 u 相对于介质向着或背离观察者运动，观察者静止 如图所示，此时相当于波长缩短或增长为 uT ，故
1
(r r0 ) (r r0 ) a 0 r a 0
则
r r0 ， c
r r0 ，得 c
a 0
1 。 r 1 c a 0 1 。 r0 1 c
①
由于所求光波道沿地球表面，取 r r0 ，有
而地表的实际大气密度 0 满足条件 比较①②两式可得
f
V V V f 。 VT uT V u
⑷波源与观察者同时相对介质运动
f
V v V v f。 VT uT V u
5、拍 两个同向的简谐运动合成时，由于频率略有差别，合振动的振幅时而加强时而 减弱的现象叫拍。单位时间内合振幅的极大值出现的次数叫做拍频。 设两个波源振动的频率分别为 f1 、 f 2 ，某时刻某质点参与的两个振动恰好同相，两振 动相互加强，振幅最大，此后两振动的位相逐渐拉开差距，设经时间 T 相位差为 2 ，此时 第二次合振动的振幅达到最大，以后每隔时间 T 出现合振幅的极大值，则有
⑵管弦乐器的发声原理 使弦线发生振动，就会在弦线上形成驻波，即整根弦线以驻波的模式振动，成为声源， 并在周围空气中传播，形成声波。使一端开口的管中的空气柱发生振动，就会在空气柱中产 生驻波，即空气柱以驻波的模式振动，成为声源，并在周围空气中传播而发声。 4、多普勒效应 多普勒效应是当观察者或波源相对介质运动时， 观察者接收到的频率与波源频率不同的 现象，这也是波的特有现象，声波的多普勒现象在生活中很常见，光波的多普勒效应广泛应 用于天文学研究天体的运动。 当波源和观察者相对于介质均静止时， 单位时间内波源发出的完全波的个数等于观察者 接收到的完全波的个数，即接收频率等于波源频率。 当波源相对介质静止、观察者向着（背离）波源运动时，相当于波通过观察者的速度增 大（减小）而波长不变，故单位时间内观察者接收到的完全波个数多于（少于）波源发出的 完全波个数，即接收频率大于（小于）波源频率。 当观察者相对介质静止、波源向着（背离）观察者运动，相当于波长减小（增大）而波 速不变，故单位时间内观察者接收到的完全波个数多于（少于）波源发出的完全波个数，即 接收频率大于（小于）波源频率。 当波源与观察者同时相对于介质运动时，接收频率与波源及观察者的速度均有关。 设波源相对于介质的速度为 u ， 观察者相对于介质的速度为 v ， 波在介质中的速度为 V ， 观察者接收到的频率为 f ，波源频率为 f 。 ⑴波源与观察者相对介质静止