极坐标与参数方程真题

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极坐标与参数方程高考真题58题(学生) (1)

极坐标与参数方程高考真题1、（2018北京理10）在极坐标系中，直线cos sin a ρθρθ+=（0a >）与圆2cos ρθ=相切，则_______a =．2、（2018江苏21C ）在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．3、（2018新课标Ⅰ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.4、（2018新课标Ⅱ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．5、（2018新课标Ⅲ理22）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．6、（2018天津理12）已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线1232x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为_______.7、（2017新课标Ⅰ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la ．8、（2017新课标Ⅱ理22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．9、（2017新课标Ⅲ理22）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cosθ+sinθ)，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．10、（2017北京理11）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为___________．11、（2017江苏21C ）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为x 82t ty ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）,曲线C的参数方程为2x 2s ,y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）。

高考数学-坐标系与参数方程(含22年真题讲解)

高考数学-坐标系与参数方程（含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+t 6y =√t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =−2+s 6y =−√s（s 为参数）．(1)写出C 1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C 3与C 1交点的直角坐标，及C 3与C 2交点的直角坐标．【答案】(1)y 2=6x −2(y ≥0)；(2)C 3,C 1的交点坐标为(12,1)，(1,2)，C 3,C 2的交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)．【解析】【分析】(1)消去t ，即可得到C 1的普通方程；(2)将曲线C 2,C 3的方程化成普通方程，联立求解即解出． (1) 因为x =2+t 6，y =√t ，所以x =2+y 26，即C 1的普通方程为y 2=6x −2(y ≥0)．(2) 因为x =−2+s 6,y =−√s ，所以6x =−2−y 2，即C 2的普通方程为y 2=−6x −2(y ≤0)，由2cosθ−sinθ=0⇒2ρcosθ−ρsinθ=0，即C 3的普通方程为2x −y =0．联立{y 2=6x −2(y ≥0)2x −y =0 ，解得：{x =12y =1 或{x =1y =2 ，即交点坐标为(12,1)，(1,2)；联立{y 2=−6x −2(y ≤0)2x −y =0 ，解得：{x =−12y =−1 或{x =−1y =−2 ，即交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)． 2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3cos2t y =2sint ，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π3)+m =0． (1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．【答案】(1)√3x +y +2m =0 (2)−1912≤m ≤52 【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可. (1)因为l ：ρsin (θ+π3)+m =0，所以12ρ⋅sinθ+√32ρ⋅cosθ+m =0，又因为ρ⋅sinθ=y,ρ⋅cosθ=x ，所以化简为12y +√32x +m =0，整理得l 的直角坐标方程：√3x +y +2m =0 (2)联立l 与C 的方程，即将x =√3cos2t ，y =2sint 代入 √3x +y +2m =0中，可得3cos2t +2sint +2m =0，所以3(1−2sin 2t)+2sint +2m =0，化简为−6sin 2t +2sint +3+2m =0，要使l 与C 有公共点，则2m =6sin 2t −2sint −3有解，令sint =a ，则a ∈[−1,1]，令f(a)=6a 2−2a −3，(−1≤a ≤1)，对称轴为a =16，开口向上，所以f(a)max =f(−1)=6+2−3=5， f(a)min =f(16)=16−26−3=−196，所以−196≤2m ≤5m 的取值范围为−1912≤m ≤52.1．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．(1)求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 的极坐标方程为πR 02θαρα⎛⎫ ⎪=∈⎝<<⎭，，直线l 与曲线1C ，2C 分别交于M ，N （均异于点O ）两点，若4OMON=，求α．【答案】(1)曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)π4α=【解析】【分析】（1）1C 的参数方程消参可求出1C 的直角坐标方程；2C 的极坐标方程同乘ρ，把cos x ρθ=，222x y ρ=+代入2C 的极坐标方程可求出2C 的直角坐标方程.（2）设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，用极径的几何意义表示出4OMON=，即124ρρ=，解方程即可求出α. (1)解：1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），把2216y t =代入24x t =-中可得，24y x =-，所以曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，综上所述：曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)由（1）知，1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=-，设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，则21sin 4cos ραα=-，22cos ρα=，由题意知02πα<<可得sin 0α≠，因为4OMON=，所以124ρρ=，所以24cos 42cos sin ααα-=⨯，故21sin 2α=，所以sin 2α=或sin 2α=（舍）所以π4α=.2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2221x t t y t ⎧=-⎨=-⎩（t 为参数）.已知曲线2C 与x ，y 正半轴分别相交于,A B 两点.(1)写出曲线1C 的极坐标方程，并求出,A B 两点的直角坐标；(2)若过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 与曲线1C 交于P 点，与直线AB 交于Q 点，求线段PQ 的长度.【答案】(1)2cos ρθ=，A 点为()3,0，B 点为()0,3(2)2【解析】【分析】（1）普通方程()2211x y -+=，即可得2cos ρθ=（2）求出直线AB 的方程为3y x =-+，然后求出直线l 的方程，然后可求出PQ 的长度 (1)曲线1C 的普通方程()2211x y -+=，极坐标方程()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，∴2cos ρθ=.在曲线2C 上，当0x =时，0=t 或2t =，此时3y =或1y =-（舍），所以B 点为()0,3. 当0y =时，1t =-或1t =，此时3x =或1x =-（舍），所以A 点为()3,0. (2)直线AB 的方程为3y x =-+，极坐标方程为sin cos 3ρθρθ=-+， ∴()sin cos 3ρθθ+=，过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 的极坐标方程为4πθ=.4πθ=与2cos ρθ=联立，得1ρ 4πθ=与()sin cos 3ρθθ+=联立，得2ρ=∴21PQ ρρ=-=. 3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)设点Q的直角坐标为(，P 为C 上的动点，求PQ 中点R 的轨迹的极坐标方程. 【答案】(1)直线l 的普通方程为2x y +=，曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)21ρ= 【解析】【分析】（1）消去参数t ，即可得到直线l 的普通方程，再由两角和的正弦公式及222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设(),R x y ，即可表示P 点坐标，再根据点P 在曲线C 上，代入C 的方程，即可得到点R 的轨迹方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可；(1)解：因为直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），所以直线l 的普通方程为2x y +=，因为曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即4sin cos cos sin 66ππρθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即2cos ρθθ=--，所以2sin 2cos ρθρθ=--，又222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，所以222x y x +=--，即()(2214x y +++=，即曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)解：设(),R x y，则(21,2P x y -，因为点P 在曲线C 上，所以()(2221124x y -++=，即221x y +=，所以PQ 中点R 的轨迹方程为221x y +=，即21ρ=4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2cos θsin θρ=+. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设点()2,1P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求PA PBPB PA+的值. 【答案】(1)10x y --=，22220x y x y +--= (2)4 【解析】【分析】（1）直接消去参数，将直线l 的方程化为普通方程，利用互化公式将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程（2）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程，得到210t -=，得到12121t t t t +==- ，化简()222121212122112122PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+==，代入韦达定理，即可得到答案 (1)直线l的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 可得l 的普通方程为10x y --=.曲线C 的极坐标方程为2(cos θsin θ)ρ=+，即22(cos θsin θ)ρρ=+，根据222cos θsin θx y x y ρρρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，可得2222x y x y +=+.∴曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--= (2)在直线l的参数方程21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）中，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l的参数方程221x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22220x y x y +--=，得210t +-=，∴12t t +=121t t =-.∴()2221212121221121224PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+=== 5．（2022·安徽淮南·二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数，02πα≤<），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为(R)3πθρ=∈．(1)求曲线C 的极坐标方程与直线1l 的直角坐标方程；(2)设直线1l 与曲线C 交于点O ，A ，直线2l 与曲线C 交于点O ，B ，求AOB 面积的最大值．【答案】(1)4sin ρθ=，y(2)【解析】【分析】（1）依据参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化即可解决；（2）先求得AOB 面积的表达式，再对其求最大值即可. (1)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，展开得2240x y y +-=，则曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．直线1l的直角坐标方程为y (2)由（1）可知π||4sin3OA == 设直线2l 的极坐标方程为(R)θβρ=∈，根据条件知要使AOB 面积取最大值，则ππ3β<<，则||4sin OB β=，于是1ππsin sin 233OAB S OA OB βββ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π6sin cos cos 2)3sin 226ββββββ⎛⎫=-=--=+ ⎪⎝⎭，所以当π3π262β+=即2π3β=时，AOB的面积取最大值，最大值为6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为))cos sin cos sin 2x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 100ρθρθ+-=. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值. 【答案】(1)2214x y +=，23100x y +-=；【解析】【分析】（1）消去曲线C 的参数方程中的参数即可得解，利用极坐标与直角坐标互化得直线l 的直角坐标方程作答.（2）设出曲线C 上任意一点的坐标，利用点到直线距离公式及辅助角公式求解作答. (1)由))cos sin cos sin x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），消去参数得2214x y +=，所以曲线C 的普通方程为2214x y +=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的极坐标方程2cos 3sin 100ρθρθ+-=得：23100x y +-=，所以直线l 的直角坐标方程为23100x y +-=. (2)由（1）知，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设()2cos ,sin P αα为曲线C 上一点，P 到直线l 的距离为d ，则105sin d αϕ-+===ϕ由4tan 3ϕ=确定，因此，当()sin 1αϕ+=时，d所以曲线C 上的点到直线l 7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐sin cos 0θρθ-．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程： (2)若直线与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,1)，求11||||PA PB +的值．【答案】(1)224x y -=，0x+= (2)5【解析】【分析】（1）消去参数t 可得曲线C 的方程，利用公式法转化得到直线l 的直角坐标方程；（2）利用直线l 的参数方程中t 的几何意义求解. (1)∴11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），∴22222222112112x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，所以224x y -=，所以曲线C 的方程为224x y -=又∴cos x ρθ=，sin y ρθ=，0x - 所以直线l的直角坐标方程为0x =； (2)∴()0,1P 在直线l 上，∴直线l的参数方程为112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）设A ，B 对应的参数分别为1t 与2t将直线l 的参数方程代入到224x y -=得22100t t --=． ∴2Δ(2)41(10)440=--⨯⨯-=>， ∴122t t +=，12100t t ⋅=-<， ∴1||PA t =，2||PB t =∴1212121111||||-+=+====t tPA PB t t t t，所以11||||+=PA PB 8．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 满足参数方程2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩（t 为参数且11t -≤≤）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 为曲线1C 上一动点，且极坐标为(),ρθ. (1)求曲线1C 的直角坐标方程； (2)求()cos 3sin ρθθ+的取值范围.【答案】(1)y =()2204y x y +=≥(2)⎡-⎣ 【解析】【分析】（1）消去参数t 可得普通方程，由11t -≤≤，得到0y ≥，即可求出曲线1C 的直角坐标方程；（2）先判断出2ρ=利用三角函数出()cos 3sin ρθθ+的范围. (1)由2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩消去t 可得：224x y +=. 由于11t -≤≤，则212t +≤，即0y ≥.因此曲线1C的直角坐标方程为y ()2204y x y +=≥(2)曲线1C 为上半圆，点P 在1C 上，因此2ρ=，0,θπ⎡⎤∈⎣⎦ 由三角函数的性质知，在[]0,π上，1cos 3sin θθ-≤+≤因此()cos 3sin 2,ρθθ⎡+∈-⎣9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为22x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ---=. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为()2,2，求1PA PB-.【答案】(1)()()22126x y -+-=；【解析】【分析】(1)将222x y ρ=+、cos x ρθ=、sin y ρθ=代入圆C 的极坐标方程即可求其直角坐标方程； (2)将直线l 的参数方程化为标准形式，代入圆C 的直角坐标方程得到关于参数t 的二次方程，根据韦达定理和直线参数方程参数的几何意义即可求出1PA PB-．(1)∴22cos 4sin 10ρρθρθ---=，∴222410x y x y +---=，即()()22126x y -+-=； (2)直线l参数方程的标准形式为2122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，代入圆C直角坐标方程整理得250t -=，设方程的两根为1t 、2t ，则A 、B 对应参数1t 、2t ，则121250t t t t ⋅=-<⎧⎪⎨+⎪⎩，∴1PA PB-121211t t t t ==+-10．（2022·河南·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与1C 交于点P ，Q ，与2C 交于点S ，T ，与x 轴交于点R .(1)写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)若()4PR QR SR TR -=-，求直线l 的倾斜角. 【答案】(1)22y x =，()2211x y -+= (2)2π或4π或34π【解析】【分析】（1）消参求得曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=同乘ρ得到2C 的直角坐标方程. （2）l 过定点1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，利用参数的几何含义化简求解. (1)曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=得22cos ρρθ=.所以2C 的直角坐标方程为222x y x +=，即()2211x y -+=.(2)不妨设0απ<<，则sin 0α>.易知1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭是l 过的定点.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，设P ，Q 对应的参数分别为P t ，Q t ，则22cos sin P Q PR QR t t αα-=+=.将直线l 的参数方程代入()222:11C x y -+=，得23cos 04t t α--=，设S ，T 对应的参数分别为S t ，T t ，则cos S T SR TR t t α-=+=.由()4PR QR SR TR -=-得22cos 4cos sin ααα=，得cos 0α=或sin α=l 的倾斜角为2π或4π或34π. 11．（2022·河南洛阳·三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为12x ty kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，射线OM ：()04πθρ=≥与1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】(1)22163x y +=，()0y ≠(2)2【解析】【分析】（1）消去参数得到直线1l 、2l 的普通方程，联立两方程消去k ，即可得到P 的轨迹；（2）首先将1C 的方程化为极坐标方程，再将()04πθρ=≥代入两极坐标方程即可求出OA ，OB ，即可得解；(1)解：因为直线1l的参数方程为12x ty kt⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得直线1l的普通方程为(12y k x =①，直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数），消去参数m 得直线2l的普通方程为(1y x k=-②，设(),P x y ，由①②联立得((121y k x y x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去k 得()22162y x =--即曲线1C 的普通方程为22163x y +=，()0y ≠；(2)解：设1OA ρ=，2OB ρ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线1C 的极坐标方程为2261sin ρθ=+（02θπ<<，θπ≠），代入()04πθρ=≥得12OA ρ==，将()04πθρ=≥代入2cos ρθ=得2OB ρ==所以2AB OA OB =-= 即线段AB的长度为212．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），将曲线1C 经过伸缩变换13x xy y =⎧''⎪⎨=⎪⎩得到曲线2C .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)已知射线():0l θαρ=≥与曲线2C 交于A 、B 两点，若3OB OA =，求tan α的值. 【答案】(1)24cos 30ρρθ-+= (2)0 【解析】【分析】（1）求出曲线2C 的参数方程，化为普通方程，再利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得出曲线2C 的极坐标方程；（2）设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根，由已知可得213ρρ=，结合韦达定理可求得cos α的值，利用同角三角函数的基本关系可求得tan α的值. (1)解：由题可得2C 的参数方程为2cos sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），则2C 的直角方程为()2221x y -+=，即22430x y x +-+=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以24cos 30ρρθ-+=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. (2)解：设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根， 2Δ16cos 120α=->，则124cos ρρα+=①，123ρρ=②，因为3OB OA =，所以213ρρ=③，由①②③解得cos 1α=，则sin 0α=，tan 0α∴=，此时16120∆=->，合乎题意. 故tan 0α=.13．（2022·贵州遵义·三模（文））在极点为O 的极坐标系中，经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，且与极轴的交点为N ． (1)当π2α=时，求l 的极坐标方程； (2)当ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求MON △面积的取值范围．【答案】(1)cos ρθ=(2)⋃⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）先求得l 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.（2）对直线l 的倾斜角进行分类讨论，结合三角形的面积公式求得MON △面积的取值范围. (1)点π2,6M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则π2cos 6π2sin 16x y ⎧=⨯=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，所以M点的直角坐标为)，当π2α=时，直线l的直角坐标方程为x =转化为极坐标方程为cos ρθ=.(2)在极坐标系下：经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，在直角坐标系下：经过点)M的直线l 的倾斜角为α或πα-.即直线l 的倾斜角是α或πα-. 当直线l 的倾斜角为α时，直线l 的方程为(1tan y x α-=，令0y =得1tan N x α-=ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，tan α⎡∈⎣，111,1,,tan tan tan N x ααα⎤⎡∈-∈-=-⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯ ⎝11tan 2α⎛=-⨯∈ ⎝⎣⎦.当直线l 的倾斜角为πα-时，直线l 的方程为()((1tan πtan y x x αα-=-=-，令0y =得1tan N x α=11,1tan tan N x αα⎤⎤∈=⎥⎥⎣⎦⎣⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎝11tan 2α⎛=⨯∈ ⎝⎣⎦.综上所述，MON △面积的取值范围是⋃⎣⎦⎣⎦. 14．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=，曲线2C 的参数方程是2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），点2,2P π⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求曲线1C 和2C 的极坐标方程； (2)设射线(0)3πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求PAB △的面积.【答案】(1)4cos ρθ=，22123sin ρθ=+(2)1 【解析】【分析】（1）由公式法求极坐标方程（2）联立方程后分别求出A ，B 坐标，及P 到直线AB 距离后求面积 (1)曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y x +-=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简，得曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=. 曲线2C 的普通方程是：22143x y +=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简，得曲线2C 的极坐标方程为：22123sin ρθ=+.(2)设12,,,33A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1||4cos23OA πρ===，22221216||53sin 3OB ρπ===+，所以||OB =，所以||||||2AB OA OB =-=-. 又(0,2)P到直线:AB y =的距离为：1d ==所以12112PABS⎛=⨯⨯= ⎝⎭ 15．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=. (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若点M ，N 分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值.【答案】(1)22163x y +=，40x -=2- 【解析】【分析】（1）利用22cos sin 1θθ+=消去参数θ，可得曲线C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出直线l 的直角坐标方程，（2）设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，然后利用点到直线的距离公式表示出d ，再根据三角函数的性质可求出其最小值 (1)由曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）可知2222cos sin 1θθ+=+=，故曲线C 的直角坐标方程为22163x y +=.由直线l的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=可知l的直角坐标方程为40x -=. (2)MN 的最小值即为曲线C 上任意一点到直线l 距离的最小值.设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，则2cos 24d πθ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，故MN 2..。

高考专题全国卷真题2011至2018-极坐标与参数方程

4—4.坐标系与参数方程【高考真题】4.4-1（2011全国-23）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线。

（Ⅰ)当求的方程；（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.4.4-2（2012全国-23）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是。

正方形ABCD 的顶点都在上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，）。

（1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设为上任意一点，求的取值范围。

4.4-3（2013全国Ⅰ-23）已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =4+5costy =5+5sint（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ。

（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）4.4-4（2013全国Ⅱ-23）已知动点P ，Q 都在曲线C ：上，对应参数分别为β=α与α=2π为（0＜α＜2π）M 为PQ 的中点。

（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为a 的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。

xOy 1C 2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩αM 1C P 2OP OM =P 2C 2C O x 3πθ=1C A 2C B ||AB 1C ⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x ϕx 2C 2=ρ2C 3πP 1C 2222||||||||PD PC PB PA +++()2cos 2sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数4.4-5（2014全国Ⅰ-23）已知曲线：，直线：（为参数）. (Ⅰ)写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.4.4-6（2014全国Ⅱ-23）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为，.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.4.4-7（2015全国Ⅰ-23）在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

经典《极坐标及全参数方程》综合测试题含问题详解

适用标准文案《极坐标与参数方程》综合测试题1．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ，将曲线C 上的点向左平移一个单位，而后纵坐标不变，横坐标伸长到本来的 2 倍，获得曲线 C1，又已知直线 l 过点P（ 1,0 ），倾斜角为，且直线l与曲线C1交于A，B两点．3（1）求曲线 C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求+．2．在直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程（φ为参数），以O为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系．（ 1）求圆 C 的极坐标方程；（ 2）直线 l 的极坐标方程是2ρsin （θ +）=3，射线OM：θ =与圆C的交点为 O、P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ的长．3．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：ρ2=4ρ（ cosθ+sin θ）﹣ 6．若以极点 O为原点，极轴所在直线为 x 轴成立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆 C 的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点 P（x，y）是圆 C上动点，试求 x+y 的最大值，并求出此时点 P 的直角坐标．4．若以直角坐标系xOy 的 O为极点， Ox为极轴，选择同样的长度单位成立极坐标系，得曲线 C 的极坐标方程是ρ =．（ 1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（ 2）若直线 l 的参数方程为（ t 为参数），P 3，当直线 l 与曲线 C ,02AB2.订交于 A，B 两点，求PA PB5．在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，成立极坐标系，曲线x 3cos 为参数），曲线 C 的极坐标方C 的参数方程为(12sin2y 程为．（ 1）求曲线 C 1 的一般方程和曲线 C 2 的直角坐标方程；（ 2）设 P 为曲线 C 1 上一点， Q 曲线 C 2 上一点，求 |PQ|的最小值及此时 P 点极坐标．6．在极坐标系中，曲线 C 的方程为ρ 2= ，点 R （ 2 ，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，成立平面直角坐标系，把曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程， R 点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设 P 为曲线 C 上一动点，以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形 PQRS 周长的最小值．7．已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求曲线 C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ =（ρ∈ R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．8．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以同样的长度单位成立极坐标系，己知直线 l 的极坐标方程为ρ cosθ﹣ρ sin θ =2，曲线 C 的极坐标方程为ρ sin 2θ=2pcosθ（ p＞ 0）．（ 1）设 t 为参数，若 x=﹣ 2+ t ，求直线 l 的参数方程；（2）已知直线 l 与曲线 C交于 P、Q，设 M（﹣ 2，﹣ 4），且 |PQ| 2 =|MP|? |MQ|，务实数 p 的值．9．在极坐标系中，射线l ：θ =与圆C：ρ =2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴成立平面直角坐标系xOy （Ⅰ）求点 A 的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若 E 为椭圆Γ的下极点， F 为椭圆Γ上随意一点，求?的取值范围．10．已知在直角坐标系中，曲线的 C 参数方程为（φ为参数），现以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ =．（1）求曲线 C 的一般方程和直线 l 的直角坐标方程；（2）在曲线 C 上能否存在一点 P，使点 P 到直线 l 的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点 P 的直角坐标；若不存在，请说明原因．11．已知曲线 C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I ）求曲线 C2的直角坐标系方程；（II ）设 M1是曲线 C1上的点， M2是曲线 C2上的点，求 |M1M2| 的最小值．12．设点 A 为曲线 C：ρ=2cosθ在极轴 Ox上方的一点，且 0≤θ≤，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴成立平面直角坐标系xOy，（1）求曲线 C 的参数方程；（2）以 A 为直角极点， AO为一条直角边作等腰直角三角形 OAB（B 在 A 的右下方），求 B 点轨迹的极坐标方程．13．在平面直角坐标系xOy中，曲线 C1：（φ为参数，实数a＞ 0），曲线 C2：（φ为参数，实数b＞ 0）．在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ =α（ρ≥ 0， 0≤α≤）与C1交于O、A 两点，与 C2交于 O、B 两点．当α =0 时，|OA|=1；当α =时，|OB|=2．（Ⅰ）求 a，b 的值；（Ⅱ）求 2|OA| 2 +|OA|? |OB| 的最大值．14．在平面直角坐标系中，曲线 C1：（a为参数）经过伸缩变换后，曲线为 C2，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建极坐标系．（Ⅰ）求 C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρ sin （﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2订交于 P，Q两点，求 |PQ| 的值．15．已知半圆 C 的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，] ．（Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系，求半圆 C 的极坐标方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T 是半圆 C 上一点，且 OT= ，试写出 T 点的极坐标．16．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ =2sin θ．（Ⅰ）把 C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 C1与 C2交点的极坐标（ρ≥ 0， 0≤θ＜ 2π）《极坐标与参数方程》综合测试题答案一．解答题（共16 小题）1．在极坐标系中，已知曲线 C：ρ =2cosθ，将曲线 C 上的点向左平移一个单位，而后纵坐标不变，横坐标伸长到本来的 2 倍，获得曲线 C1，又已知直线 l 过点 P （ 1,0 ），倾斜角为，且直线l与曲线C1交于A，B两点．3（ 1）求曲线 C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求+．【解答】解：（1）曲线 C 的直角坐标方程为： x2+y2﹣2x=0 即（ x﹣1）2+y2=1．∴曲线 C1的直角坐标方程为=1，∴曲线 C 表示焦点坐标为（﹣，0），（， 0），长轴长为 4 的椭圆（ 2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的方程=1 中，得13t24t 12 0 ．设 A、B 两点对应的参数分别为t 1， t 2，∴+=210 ．32．在直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程（φ为参数），以O为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系．（ 1）求圆 C 的极坐标方程；（ 2）直线 l 的极坐标方程是2ρsin （θ +）=3，射线OM：θ =与圆C的交点为 O、 P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ的长．【解答】解：（I ）利用 cos2φ +sin 2φ =1，把圆 C 的参数方程为参数）化为（ x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣ 2ρ cosθ =0，即ρ =2cosθ．（ II ）设（ρ1，θ1）为点 P 的极坐标，由，解得．（ρ 2 ，θ 2 ）点Q 的极坐，由，解得．∵θ 1=θ2 ，∴|PQ|=|ρ1ρ 2|=2．∴|PQ|=2 ．3．在极坐系中， C 的极坐方程：ρ2=4ρ（ cosθ+sin θ） 6．若以极点 O原点，极所在直 x 成立平面直角坐系．（Ⅰ）求 C 的参数方程；（Ⅱ）在直角坐系中，点 P（x，y）是 C上点，求 x+y 的最大，并求出此点 P 的直角坐．【解答】（本小分 10 分）修 4 4：坐系与参数方程解：（Ⅰ）因ρ2=4ρ（ cosθ +sin θ） 6，因此 x2+y2=4x+4y 6，因此 x2+y24x 4y+6=0，即（ x 2）2+（y 2）2=2C的一般方程．⋯（ 4 分）因此所求的 C 的参数方程（θ 参数）．⋯（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，⋯（7 分）当，即点 P 的直角坐（3，3），⋯（9 分）x+y 取到最大 6．⋯（10 分）4．若以直角坐系xOy 的 O极点， Ox极，同样的度位成立极坐系，得曲 C 的极坐方程是ρ =．（ 1）将曲 C 的极坐方程化直角坐方程，并指出曲是什么曲；（ 2）若直线 l 的参数方程为（ t 为参数），P 3,0，当直线 l 与曲线 C 2AB2.订交于 A， B 两点，求PA PB【解答】解：（1）∵ρ =，∴ρ 2sin2θ =6ρcosθ，∴曲线 C 的直角坐标方程为y2=6x．曲线为以（，0）为焦点，张口向右的抛物线．（ 2）直线 l的参数方程可化为，代入 y2=6x 得 t 2﹣4t ﹣12=0．解得 t 1=﹣2，t 2=6．22AB∴ | |=|t 1﹣t 2|=8 ．3PA PB5．在平面直角坐标系xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，成立x3cos为参数），曲线 C 的极坐标方程为极坐标系，曲线 C 的参数方程为(12sin 2y．（1）求曲线 C1的一般方程和曲线 C2的直角坐标方程；（2）设 P 为曲线 C1上一点， Q曲线 C2上一点，求 |PQ|的最小值及此时 P 点极坐标．【解答】解：（ 1）由消去参数α，得曲线C1的一般方程为．由得，曲线 C2的直角坐标方程为．（2）设 P（2 cosα， 2sin α），则点P到曲线C2的距离为．当时， d 有最小值，因此|PQ|的最小值为．6．在极坐标系中，曲线 C 的方程为ρ2=，点 R（2 ，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，成立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设 P 为曲线 C 上一动点，以 PR为对角线的矩形 PQRS的一边垂直于极轴，求矩形 PQRS周长的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为 x=ρcosθ， y=ρsin θ，则：曲线 C 的方程为ρ2=，转变成．点 R 的极坐标转变成直角坐标为： R（2，2）．（Ⅱ）设 P（）依据题意，获得 Q（ 2， sin θ），则： |PQ|=，|QR|=2﹣sin θ，因此： |PQ|+|QR|=．当时，（ |PQ|+|QR| ）min=2，矩形的最小周长为 4．7．已知平面直角坐标系中，曲线 C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ2=2cosθ．（Ⅰ）求曲线 C1的极坐标方程与曲线 C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ =（ρ∈ R）与曲线 C1交于 P，Q两点，求 |PQ| 的长度．【解答】解：（I ）曲线 C1的参数方程为（φ为参数），利用平方关系消去φ可得：+（y+1）2 =9，睁开为： x2+y2﹣ 2 x+2y﹣ 5=0，可得极坐标方程：ρcosθ+2ρ sin θ﹣ 5=0．2曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ=2ρ cos θ，可得直角坐标方程：（ II ）把直线θ =（ρ∈ R）代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣ 2ρ﹣ 5=0，∴ρ 1+ρ2 =2，ρ 1?ρ2=﹣5，∴ |PQ|=| ρ1﹣ρ2|===2．8．在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，以同样的长度单位成立极坐标系，己知直线 l 的极坐标方程为ρ cosθ﹣ρ sin θ=2，曲线 C的极坐标方程为ρ sin 2θ=2pcosθ（ p＞0）．（ 1）设 t 为参数，若 x=﹣ 2+ t ，求直线 l 的参数方程；（2）已知直线 l 与曲线 C 交于 P、Q，设 M（﹣ 2，﹣ 4），且 |PQ| 2=|MP|? |MQ|，务实数 p 的值．【解答】解：（ 1）直线 l 的极坐标方程为ρ cosθ﹣ρ sin θ=2，化为直角坐标方程： x﹣y﹣2=0．∵ x=﹣2+ t ，∴ y=x﹣2=﹣ 4+ t ，∴直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）曲线 C 的极坐标方程为ρ sin 2θ =2pcosθ（ p＞0），即为ρ2 sin 2θ=2pρ cos θ（ p＞0），可得直角坐标方程： y2=2px．把直线 l 的参数方程代入可得： t 2﹣（ 8+2p）t+8p+32=0．∴ t 1+t 2=（8+2p），t1t2=8p+32．不如设 |MP|=t 1， |MQ|=t 2．|PQ|=|t 1﹣ t 2 |===．∵|PQ| 2=|MP|? |MQ|，∴ 8p2+32p=8p+32，化为： p2+3p﹣4=0，解得 p=1．9．在极坐标系中，射线 l ：θ =与圆C：ρ =2 交于点 A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴成立平面直角坐标系 xOy （Ⅰ）求点 A 的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若 E 为椭圆Γ的下极点， F 为椭圆Γ上随意一点，求?的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）射线 l ：θ =与圆 C：ρ =2 交于点 A（ 2，），点 A 的直角坐标（，1）；椭圆Γ 的方程为ρ2=，直角坐标方程为+y2=1，参数方程为（θ为参数）；（Ⅱ）设 F（ cosθ， sin θ），∵ E（ 0，﹣ 1），∴=（﹣，﹣ 2）， =（cosθ﹣， sin θ﹣ 1），∴?=﹣3cosθ +3﹣2（sin θ﹣ 1）=sin （θ +α） +5，∴?的取值范围是 [5 ﹣，5+] ．10．已知在直角坐标系中，曲线的 C 参数方程为（φ为参数），现以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线 C 的一般方程和直线 l 的直角坐标方程；（2）在曲线 C 上能否存在一点 P，使点 P 到直线 l 的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点 P 的直角坐标；若不存在，请说明原因．【解答】解：（1）曲线的 C 参数方程为（φ为参数），一般方程为（x﹣ 1）2+（y﹣ 1）2=4，直线 l 的极坐标方程为ρ =，直角坐标方程为x﹣ y﹣ 4=0；（ 2）点 P 到直线 l 的距离 d==，∴φ﹣=2kπ﹣，即φ =2kπ﹣（k∈ Z），距离的最小值为2﹣2，点P 的直角坐标（ 1+，1﹣）．11．已知曲线 C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I ）求曲线 C2的直角坐标系方程；（II ）设 M1是曲线 C1上的点， M2是曲线 C2上的点，求 |M1M2| 的最小值．【解答】解：（I ）由可得ρ =x﹣2，∴ρ 2=（x﹣2）2，即y2=4（x﹣1）；（Ⅱ）曲线 C1的参数方程为（t为参数），消去t得：2x+y+4=0．∴曲线 C1的直角坐标方程为2x+y+4=0．∵ M1是曲线 C1上的点， M2是曲线 C2上的点，∴|M1M2| 的最小值等于 M2到直线 2x+y+4=0 的距离的最小值．设 M2（r 2﹣ 1，2r ）， M2到直线 2x+y+4=0 的距离为 d，则 d==≥．∴ |M1M2| 的最小值为．12．设点 A 为曲线 C：ρ=2cosθ在极轴 Ox上方的一点，且 0≤θ≤，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴成立平面直角坐标系xOy，（1）求曲线 C 的参数方程；（2）以 A 为直角极点， AO为一条直角边作等腰直角三角形 OAB（B 在 A 的右下方），求点 B 轨迹的极坐标方程．【解答】（1）x1 cos(0，θ为参数）y sin2（ 2）：设 A（ρ0，θ0），且知足ρ0=2cosθ0，B（ρ，θ），依题意，即代入ρ 0=2cosθ0 并整理得，，，因此点 B 的轨迹方程为，．13．在平面直角坐标系xOy中，曲线 C1：（φ为参数，实数a＞ 0），曲线 C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ =α（ρ≥ 0， 0≤α≤）与C1交于O、A两点，与 C2交于 O、 B 两点．当α =0 时， |OA|=1 ；当α =时，|OB|=2．（Ⅰ）求 a，b 的值；（Ⅱ）求 2|OA| 2 +|OA|? |OB| 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由曲线 C1：（φ为参数，实数a＞0），化为一般方程为（ x﹣ a）2+y2 =a2，睁开为： x2+y2﹣ 2ax=0，其极坐标方程为ρ2=2aρ cos θ，即ρ =2acosθ，由题意可适当θ=0 时， |OA|=ρ =1，∴ a= ．曲线 C2：（φ为参数，实数b＞0），化为一般方程为x2 +（ y﹣ b）2=b2，睁开可得极坐标方程为ρ=2bsin θ，由题意可适当时， |OB|= ρ=2，∴ b=1．（Ⅱ）由（ I ）可得 C1，C2的方程分别为ρ =cosθ，ρ =2sin θ．∴2|OA| 2+|OA| ? |OB|=2cos 2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2 θ+1=+1，∵ 2θ + ∈，∴+1 的最大值为+1，当 2θ+ =时，θ =时取到最大值．14．在平面直角坐标系中，曲线 C1：（a 为参数）经过伸缩变换后的曲线为 C ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系．2（Ⅰ）求 C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线 C3的极坐标方程为ρ sin （﹣θ） =1，且曲线 C3与曲线 C2订交于 P，Q两点，求 |PQ| 的值．【解答】解：（Ⅰ）C2的参数方程为（α为参数），一般方程为（ x′﹣ 1）2+y′2=1，∴ C2的极坐标方程为ρ =2cosθ；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心， 2 为半径的圆，曲线 C3的极坐标方程为ρ sin （﹣θ） =1，直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，∴圆心到直线的距离d== ，∴ |PQ|=2=．15．已知半圆 C 的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，] ．（Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系，求半圆 C 的极坐标方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T 是半圆 C 上一点，且 OT=，试写出T点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）由半圆 C的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，] ，则圆的一般方程为x2+（y﹣1）2=1（0≤x≤1），由 x=ρ cosθ， y=ρ sin θ， x2+y2=ρ2，可得半圆 C 的极坐标方程为ρ =2sin θ，θ∈ [0 ，] ；（Ⅱ）由题意可得半圆 C 的直径为 2，设半圆的直径为OA，则 sin ∠TAO=，因为∠ TAO∈ [0 ，] ，则∠ TAO=，因为∠ TAO=∠TOX，因此∠ TOX=，T 点的极坐标为（，）．16．已知曲线 C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ =2sin θ．（Ⅰ）把 C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 C1与 C2交点的极坐标（ρ≥ 0， 0≤θ＜ 2π）【解答】解：（Ⅰ）曲线 C1的参数方程式（t为参数），得（ x﹣4）2+（y﹣5）2=25 即为圆 C1的一般方程，即 x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将 x=ρ cosθ， y=ρ sin θ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣ 10ρsin θ +16=0，此即为 C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线 C2的极坐标方程为ρ =2sin θ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴ C1与 C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．。

极坐标与参数方程高考题含答案)

极坐标与参数方程高考题1.在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积. 解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 11sin 452⨯=12.2.已知曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=t y t x l 222:（t 为参数）（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值. 解：(1)曲线C 的参数方程为(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为|4cos θ+3sin θ-6|, 则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,3.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,(1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.解：(1)C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为: x 1cos sin y θθ=+⎧⎨=⎩(0≤θ≤π).(2)设D(1+cos θ,sin θ).由(1)知C 是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan θ=,θ=3π.故D 的直角坐标为32（. 4.将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.解：(1)设(x 1,y 1)为圆上的点,经变换为C 上点(x,y),由22x y +=1得x 2+22y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1,即曲线C 的方程为4x 2+2y =4.故C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 2cos x y (θ为参数).(2)由解得或不妨设P 1(1,0),P 2(0,2),则线段P 1P 2的中点坐标为12（，1）,所求直线斜率为k=12,于是所求直线方程为y-1=12（x-12）,化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,即ρ=θθsin 4cos 23--. 5.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M 、N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2，当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)．所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．6.在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin (θ－π4)＝22，(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1，π2)．7.在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．解：由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.8.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. 解：(1)ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.(4分) (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3－22t )2＋(22t )2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.9.在直角坐标版权法xOy 吕，直线l的参数方程为132(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=.(I)写出C 的直角坐标方程；(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标. 解：(I)由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=，所以(223x y +-=(II)设132P t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又C，则PC ==，故当0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0).。

近三年高考数学全国卷坐标系与参数方程真题

近三年高考数学真题坐标系与参数方程专练 2020全国理科一22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k k x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．（1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．2020全国卷二.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.2019全国理科一在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．2019江苏在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.2018全国卷2221141t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ+=在直角坐标系xOy 中，曲线C ₁的方程为y=k ∣x ∣+2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ₂的极坐标方程为p ²+2p -3=0.（1）求C ₂的直角坐标方程:（2）若C ₁与C ₂有且仅有三个公共点，求C ₁的方程.2017全国卷在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（θ为参数），直线l 的参数方程为. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.2020全国理科一3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x t t y t =⎧⎨=⎩为参数），两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos (sin x t t y t ⎧=⎨=⎩为参数），所以0,0x y ≥≥，曲线1C的参数方程化为22cos (sin t t t==为参数），两式相加得曲线1C1+=，1=1,01,01y x x y =-≤≤≤≤，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=，联立12,C C方程141630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -=12=136=（舍去）， 11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为11(,)44. 2019全国理科一解：（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-. l的直角坐标方程为2110x +=.（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）.C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=. 当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l. 2019江苏解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B，2π），由余弦定理，得AB=.（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l的距离为3sin()242ππ⨯-=.。

极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题

极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]极坐标与参数方程高考精练（经典39题）1．在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB .2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α=）作平行于()4R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点.(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长.3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t ty ta x ,3⎩⎨⎧=+=.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=.（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值.6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π，半径r=1，P 在圆C 上运动。

（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。

极坐标与参数方程含答案(经典39题)(整理版)

高考极坐标参数方程(经典39题)在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程. （2）求弦长AB .2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α=）作平行于()4R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； (Ⅱ)求|BC|的长.3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．4．已知直线l的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y ta x ,3⎩⎨⎧=+=.在极坐标极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值.6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π，半径r=1，P 在圆C 上运动。

7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为)4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(=θ+πρ.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.8．平面直角坐标系中，将曲线⎩⎨⎧==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度．9．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=.21, 233t y t x （t 为参数）．求极点在直线l 上的射影点P 的极坐标；若M 、N 分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值。

专题26 极坐标与参数方程丨十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编(解析版)(共27页)

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！1十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—极坐标与参数方程目录题型一：极坐标与普通方程互化...........................................................1题型二：极坐标方程的应用...................................................................3题型三：参数方程与普通方程互化......................................................11题型四：参数方程的应用.....................................................................13题型五：极坐标与参数方程的综合应用. (21)题型一：极坐标与普通方程互化1．(2023年全国甲卷理科·第22题)已知点(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，α为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，且||||4PA PB ⋅=．(1)求α；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．【答案】(1)3π4(2)cos sin 30ρθρθ+-=解析：(1)因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于,A B 两点，所以ππ2α<<，令0x =，12cos t α=-，令0y =，21sin t α=-，所以21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====，所以sin 21α=±，即π2π2k α=+，解得π1π,42k k α=+∈Z ，因为ππ2α<<，所以3π4α=．(2)由(1)可知，直线l 的斜率为tan 1α=-，且过点()2,1，所以直线l 的普通方程为：()12y x -=--，即30x y +-=，由cos ,sin x y ρθρθ==可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30ρθρθ+-=．2．(2021年高考全国甲卷理科·第22题)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．(1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足AP =，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．【答案】(1)(222x y -+=；(2)P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，C与1C 没有公共点．解析：(1)由曲线C 的极坐标方程ρθ=可得2cos ρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得22x y +=，即(222x y -+=，即曲线C 的直角坐标方程为(222x y +=；(2)设(),P x y ，设)MθθAP =，())()1,1,22cos 2sin x y θθθθ∴-=-=+-，则122cos 2sin x y θθ⎧-=+-⎪⎨=⎪⎩32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)曲线C 的圆心为)，曲线1C 的圆心为()3，半径为2，则圆心距为3-32-< ，∴两圆内含，故曲线C 与1C 没有公共点．3．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第22题)[选修4–4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．(1)求2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．【答案】解析：(1)由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．(2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+．4．(2015高考数学江苏文理·第23题)已知圆C 的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径．【答案】(C 分析：先根据222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==将圆C 的极坐标方程化成直角坐标方程，再根据圆的标准方程得到其半径．解析：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系x y O ．圆C 的极坐标方程为2cos 4022ρθθ⎛⎫+--= ⎪⎪⎝⎭，化简，得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=．则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +-+-=，即()()22116x y -++=，所以圆C ．题型二：极坐标方程的应用1．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第22题)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22sin x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=．(1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．【答案】(120++=y m (2)195122-≤≤m 解析：【小问1详解】因为l ：sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=，所以1sin cos 022ρθρθ⋅+⋅+=m ，又因为sin ,cos y x ρθρθ⋅=⋅=，所以化简为13022++=y x m ，整理得l 20++=y m 【小问2详解】联立l 与C 的方程，即将2=x t ，2sin y t =代入20++=y m中，可得3cos 22sin 20++=t t m ，所以23(12sin )2sin 20-++=t t m ，化简为26sin 2sin 320-+++=t t m ，要使l 与C 有公共点，则226sin 2sin 3=--m t t 有解，令sin =t a ，则[]1,1a ∈-，令2()623=--f a a a ，(11)a -≤≤，对称轴为16a =，开口向上，所以(1)623()5=-=+-=max f f a ，min 11219(())36666==--=-f f a ，所以19256-≤≤m m 的取值范围为195122-≤≤m ．2．(2020江苏高考·第22题)在极坐标系中，已知点1π(,3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sin C ρθ=上(其中0ρ≥，02θπ≤<)．(1)求1ρ，2ρ的值(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．【答案】(1)1242ρρ==，(2))4π【解析】(1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，11cos2,43πρρ=∴= ，因为点B 为直线6πθ=上，故其直角坐标方程为y x =，又4sin ρθ=对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y +-=，由22340y x x y y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩解得00x y ==⎧⎨⎩或1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，对应的点为())0,0,，故对应的极径为20ρ=或22ρ=．(2)cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21ρθρθθθθ==∴=∴= ，5[0,2),,44ππθπθ∈∴=，当4πθ=时ρ=当54πθ=时0ρ=-<，舍；即所求交点坐标为当),4π3．(2019·全国Ⅲ·理·第22题)如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A，4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC，曲线3M 是弧 CD．(1)分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；(2)曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M上，且||OP =P 的极坐标．【答案】(1)12cos (04M πρθθ=：≤≤,232sin (44M ππρθθ=：≤≤,332cos ()4M πρθθπ=-：≤≤；(2))6π或3π或2)3π或56π【官方解析】(1)由题设可得， ,,AB BCCD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ,2sin ,2cos ρθρθρθ===-．所以1M 的极坐标方程为2cos (04πρθθ=≤≤，2M 的极坐标方程为32sin ()44ππρθθ=≤≤，3M 的极坐标方程为32cos ()4πρθθπ=-≤≤．(2)设(,)P ρθ，由题设及(1)知若04πθ，则2cos θ=，解得6πθ=；若344ππθ，则2sin θ=，解得3πθ=或23πθ=；若34πθπ，则2cos θ-=56πθ=．综上P 的极坐标为)6π或3π或23π或5)6π．【点评】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．4．(2019·全国Ⅱ·理·第22题)在极坐标系中，O 为极点，点()00,M ρθ()00ρ>在曲线:C 4sin ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．()1当03πθ=时，求0ρ及l 的极坐标方程；()2当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【答案】()10ρ=l 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；()24cos ρθ=42ππθ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤.【官方解析】()1因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==.由已知得||||cos23OP OA π==.设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点.在Rt OPQ △中cos 23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，经检验，点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上.所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.()2设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，cos 4cos OPOA θθ==，即 4cos ρθ=.因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π.【分析】()1先由题意，将03πθ=代入4sin ρθ=即可求出0ρ；根据题意求出直线l 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；()2先由题意得到P 点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.【解析】()1因为点()00,M ρθ()00ρ>在曲线:4sin C ρθ=上，所以004sin 4sin3πρθ===；即3M π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以tan 3OM k π==因为直线l 过点()4,0A 且与OM 垂直，所以直线l 的直角坐标方程为()43y x =--，即40x -=；因此，其极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，即l 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；()2设(),P x y ，则OP y k x =，4AP y k x =-，由题意，OP AP ⊥，所以1OP AP k k ⋅=-，故2214y x x=--，整理得2240x y x +-=，因为P 在线段OM 上，M 在C 上运动，所以02x ≤≤，24y ≤≤，所以，P 点轨迹的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos 42ππρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤.【点评】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.5．(2019·江苏·第22题)在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求,A B 两点间的距离；(2)求点B 到直线l 的距离.【答案】见解析【解析】(1)设极点为O .在OAB △中，4(3,)A π，)2B π，由余弦定理，得AB =.(2)因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又2B π，所以点B 到直线l的距离为3sin()242ππ⨯-=.6．(2018年高考数学江苏卷·第23题)[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【答案】直线l 被曲线C截得的弦长为．解析：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为(2，0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A (4，0)，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos6AB ==．因此，直线l 被曲线C截得的弦长为．7．(2015高考数学新课标2理科·第2310分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数，0t ≠)，其中0απ≤<，在以O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．(Ⅰ)．求2C 与1C 交点的直角坐标；(Ⅱ)．若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．【答案】(Ⅰ)(0,0)和3(,)22；(Ⅱ)4．解析：(Ⅰ)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和33,)22．(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-4in()3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．8．(2015高考数学新课标1理科·第23题)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中。

极坐标参数方程全国卷含答案

(2015新2) 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤α < π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：23cos ρθ=。

（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求||AB 的最大值。

（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为(23,)αα．所以2sin 23AB αα=-4in()3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4(2014新2) 在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.解：（I ）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤. 可得C 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t x ≤≤）（Ⅱ）设D (1cos ,sin )t t +.由（I ）知C 是以G （1,0）为圆心，1为半径的上半圆。

因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同，tan 3,3t t π==.故D 的直角坐标为(1cos,sin )33ππ+，即33(,)22。

(2013新2) 已知动点,P Q 都在曲线2cos :2sin x C y ββ=⎧⎨=⎩(β为参数上,对应参数分别为βα=与)20(2πααβ<<=,M 为PQ 的中点.(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.【答案】(2012新2)已知曲线1C 的参数方程是12cos ,3sin ,x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π。

高考数学十年真题专题解析—极坐标系与参数方程

极坐标系与参数方程考点116平面直角坐标系中的伸缩变换考点117极坐标和直角坐标的互化1．(2020全国Ⅱ文理21)已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,:4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，21,:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)．(1)将12,C C 的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．【解析】(1)由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=，由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=．(2)由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其中0a >，则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =，∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=，∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=．2．(2020全国Ⅲ文理22)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222,23x t t y t t⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩(t 为参数且1t ≠)，C 与坐标轴交于,A B 两点．(1)求AB ；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【解析】(1)令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =(舍)，则26412y =++=，即(0,12)A ．令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =(舍)，则2244x =--=-，即(4,0)B -．AB ∴==．(2)由(1)可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=．由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=．3．(2020江苏22)在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,6B ρ在圆:4sinC ρθ=上(其中0ρ≥，02θπ≤<)．(1)求1ρ，2ρ的值(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．【解析】(1)1122cos24;4sin 236ππρρρρ=∴==∴=Q Q ．(2)5cos 2,4sin 4sin cos 2,sin 21[0,2),44ππρθρθθθθθπθ==∴=∴=∈∴=Q Q ，当4πθ=时ρ=；当54πθ=时0ρ=-<(舍)；即所求交点坐标为当)4π．4．(2019全国II 文理22)在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．(1)当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【解析】(1)因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==由已知得||||cos23OP OA π==．设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上．所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(2)设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ==即 4cos ρθ=．．因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．5．(2019全国III 文理22)如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧 CD．(1)分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；(2)曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【解析】(1)由题设可得，弧 ,,AB BCCD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-，所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)设(,)P ρθ，由题设及(1)知若π04θ，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ ，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ ，则2cos θ-=，解得5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．考点118参数方程与普通方程的互化6．(2020上海14)已知直线方程3410x y ++=的一个参数方程可以是()A ．1314x ty t=+⎧⎨=-+⎩B ．1413x t y t=-⎧⎨=--⎩C ．1314x t y t=-⎧⎨=-+⎩D ．1413x t y t=+⎧⎨=--⎩【答案】D【解析】A ．参数方程可化简为4370x y --=，故A 不正确；B ．参数方程可化简为3470x y --=，故B 不正确；C ．参数方程可化简为4310x y +-=，故C 不正确；D ．参数方程可化简为3410x y ++=，故D 正确．故选D ．7．(2018全国Ⅲ)[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】(1)O 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O 交于两点．当2απ≠时，记tan k α=，则l 的方程为y kx =-．l 与O 交于两点当且仅当1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,44π3π．(2)l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数，44απ3π<<)．设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t满足2sin 10t α-+=．于是A B t t α+=，P t α=．又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩所以点P的轨迹的参数方程是22,2cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)．考点119极坐标方程与参数方程的综合应用8．(2018北京文理)在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =___．【答案】1【解析】利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线的方程为0x y a +-=，圆的方程为22(1)1x y -+=，所以圆心(1,0)，半径1r =，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即1=，∴1a =或1，又0a >，∴1a =+．9．(2017北京文理)在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为(1,0))，则||AP 的最小值为___________．【答案】1【解析】圆的普通方程为222440x y x y +--+=，即22(1)(2)1x y -+-=．设圆心为(1,2)C ，所以min ||||211AP PC r =-=-=．10．(2017天津文理)在极坐标系中，直线4cos(106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为_____．【答案】2【解析】直线的普通方程为210y ++=，圆的普通方程为22(1)1x y +-=，因为圆心到直线的距离314d =<，所以有两个交点．11．(2016北京文理)在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点，则||AB =．【答案】2【解析】将cos sin 10ρθθ-=化为直角坐标方程为10x --=，将ρ=2cos θ化为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1，0)，半径r=1，又(1，0)在直线10x -=上，所以|AB|=2r=2．12．(2015广东文理)已知直线l 的极坐标方程为2sin()24πρθ-=，点Α的极坐标为722,)4πA (，则点Α到直线l 的距离为．【答案】522【解析】由2sin()24πρθ-=得22(sin cos )22ρθθ´-=，所以1y x -=，故直线l 的直角坐标方程为10x y -+=，而点7(22,)4A π对应的直角坐标为(2,2)A -，所以点(2,2)A -到直线l ：10x y -+=的距离为|221|5222++=．13．(2015安徽文理)在极坐标系中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是．【答案】6【解析】圆8sin ρθ=即28sin ρρθ=，化为直角坐标方程为22(4)16x y +-=，直线3πθ=，则tan 3θ=，化为直角坐标方程为30x y -=，圆心(0,4)到直线的距离为|4|24-=，所以圆上的点到直线距离的最大值为6．14．(2020全国Ⅰ文理21)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．(1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．【解析】(1)当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos ,sin x t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数)，两式平方相加得221x y +=，∴曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆．(2)当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos ,sin x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)，∴0,0x y ≥≥，曲线1C 的参数方程化为22cos (sin x tt y t==为参数)，两式相加得曲线1C 方程为1x y +=，得1y x =-，平方得1,01,01y x x y=-+≤≤≤≤，曲线2C的极坐标方程为4cos16sin30ρθρθ-+=，曲线2C直角坐标方程为41630x y-+=，联立12,C C方程1,41630y xx y⎧=-+⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x-=12=136=(舍去)，11,44x y∴==，12,C C∴公共点的直角坐标为11(,)44．15．(2019全国1文理22)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin110ρθθ+=．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．【解析】(1)因为221111tt--<≤+，且()22222222141211y t txt t⎛⎫-⎛⎫+=+=⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C的直角坐标方程为221(1)4yx x+=≠-．l的直角坐标方程为2110x++=．(2)由(1)可设C的参数方程为cos,2sinxyαα=⎧⎨=⎩(α为参数，ππα-<<)．C上的点到lπ4cos113α⎛⎫-+⎪=．当2π3α=-时，π4cos113α⎛⎫-+⎪⎝⎭取得最小值7，故C上的点到l．16．(2018全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为||2y k x=+．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos30ρρθ+-=．(1)求2C的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．【解析】(1)由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．(2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+．17．(2018全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为221416+=x y ．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan αα=⋅+-y x ；当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1=x ．(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80ααα+++-=t t ．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120+=t t ．又由①得1224(2cos sin )13cos ααα++=-+t t ，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2α==-k ．18．(2018江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过(4,0)A ，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB=π6，连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA=π2，所以π4cos 6AB ==．因此，直线l 被曲线C截得的弦长为．19．(2017全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l，求a ．【解析】(1)曲线C 的普通方程为2219x y +=．当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,2525-．(2)直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l的距离为d =．当4a -≥时，d=，所以8a =；当4a <-时，d=16a =-．综上，8a =或16a =-．20．(2017全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(2,3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．【解析】(1)设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>，M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>．由椭圆知||OP ρ=，14||cos OM ρθ==．由||||16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程4cos ρθ=(0)ρ>，因此2C 的直角坐标方程为22(2)4(0)x y x -+=≠．(2)设点B 的极坐标为(,)B ρα(0)B ρ>．由题设知||2OA =，4cos B ρα=，于是OAB ∆面积1||sin 2B S OA AOB ρ=⋅⋅∠4cos |sin()|3παα=-32|sin(2|32πα=--2+≤当12πα=-时，S取得最大值2+OAB ∆面积的最大值为2+．21．(2017全国Ⅲ文理)在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x mm y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(m 为参数)．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．【解析】(1)消去参数t 得1l 的普通方程():l y k x =-12，消去参数m 得2l 的普通方程():l y x k=+212．设(,)P x y ，由题设得()()y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩212，消去k 得()x y y -=≠2240，所以C 的普通方程为()x y y -=≠2240．(2)C 的极坐标方程为()cos sin ρθθ-=2224(),θπθπ≠0＜＜2，联立()()cos sin cos sin ρθθρθθ⎧-=⎪⎨⎪⎩2224+得()cos sin cos sin θθθθ-=2+，故tan θ=-13，从而cos sin θθ2291=，=1010，代入()cos sin ρθθ222-=4得ρ2=5，所以交点M22．(2017江苏)在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=．因为点P 在曲线C上，设2(2,)P s ，从而点P 到直线l的的距离22d ==s =min 455d =．因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l的距离取到最小值5．23．(2016全国I 文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=．(I)说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；(II)直线3C 的极坐标方程为0=a θ，其中0a 满足0tan =2a ，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【解析】(1)cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩(t 均为参数)，∴()2221x y a +-=①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-=．∵222sin x y y ρρθ+==，，∴222sin 10a ρρθ-+-=，即为1C 的极坐标方程．(2)24cos C ρθ=：，两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+= ，，224x y x ∴+=，即()2224x y -+=②3C ：化为普通方程为2y x =，由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ，①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ，∴210a -=，∴1a =．24．(2016全国II 文理)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．(I)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(II)直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数)，l 与C 交于A 、B 两点，10AB =，求l 的斜率．【解析】(Ⅰ)整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．(Ⅱ)记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：226102521kk ⎛⎫-=- ⎪ ⎪+⎝⎭，即22369014k k =+，整理得253k =，则153k =±．25．(2016全国III 文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=．(Ⅰ)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．【解析】(Ⅰ)1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=．(Ⅱ)由题意，可设点P 的直角坐标为3,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值，即为P 到2C的距离()d α的最小值，|3cos sin 4|()2|sin()2|32d ααπαα+-==+-．当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α2，此时P 的直角坐标为31(,)22．26．(2016江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为()11,23,2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．【解析】椭圆C 的普通方程为2214y x +=，将直线l 的参数方程11232x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214y x +=，得223()12(1)124t ++=，即27160t t +=，解得10t =，2167t =-，所以1216||7AB t t =-=．27．(2015全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中，直线1C ：2x =-，圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求1C ，2C 的极坐标方程；(Ⅱ)若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN ∆的面积．【解析】(Ⅰ)因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．(Ⅱ)将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1ρ=222ρ2，|MN|=1ρ－2ρ2，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o121sin 452⨯=12．28．(2015全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数，t ≠0)其中0απ<≤，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=，3C ：23ρθ=．(Ⅰ)求2C 与3C 交点的直角坐标；(Ⅱ)若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值．【解析】(Ⅰ)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或3,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和33,22．(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-4in(3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．29．(2015江苏)已知圆C的极坐标方程为2sin(404πρθ+--=，求圆C 的半径．【解析】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xoy ．圆C的极坐标方程为2sin cos 4022ρθθ⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭，化简，得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=．则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +-+-=，即()()22116x y -++=，所以圆C．30．(2015陕西文理)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为13232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρθ=．(Ⅰ)写出⊙C 的直角坐标方程；(Ⅱ)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．【解析】(Ⅰ)由2,sin ρθρθ==得，从而有(2222+,+3x y x y =-=所以．(Ⅱ)设13(3t,t),22P +又，则|PC |==，故当t =0时，|PC |取最小值，此时P 点的直角坐标为(3,0)．31．(2014全国Ⅰ文理)已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．【解析】2cos .().3sin .x y θθθ=⎧⎨=⎩（I）曲线C的参数方程为为参数60.l x y +-=直线的普通方程为2……5分(Ⅱ)cos sin l θθ曲线C上任意一点P(2.3)到的距离为3sin 6.d θθ=+-4)6,tan .sin 303d PA θααα==+-=︒则其中为锐角，且sin 5PA θα当(+)=-1时，取得最大值，最大值为25sin()1.5PA θα+=当时，取得最小值，最小值为32．(2014全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．(Ⅰ)求C 的参数方程；(Ⅱ)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据(Ⅰ)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．【解析】(I)C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤，可得C 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数，0t x ≤≤)．(Ⅱ)设D (1cos ,sin )t t +．由(I)知C 是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同，tan 3t t π==．故D 的直角坐标为(1cos,sin 33ππ+，即33(,22．33．(2013全国Ⅰ文理)已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．(Ⅰ)把1C 的参数方程化为极坐标方程；(Ⅱ)求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥，02θπ≤≤)．【解析】将45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=，即1C ：22810160x y x y +--+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得，28cos 10sin 160ρρθρθ--+=，∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．(Ⅱ)2C 的普通方程为2220x y y +-=，由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，∴1C 与2C 的交点的极坐标分别为4π)，(2,2π．34．(2013全国Ⅱ文理)已知动点P ，Q 都在曲线C ：()2cos 2sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数上，对应参数分别为βα=与2βα=(02απ<<)M 为PQ 的中点．(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．【解析】(Ⅰ)由题意有()()2cos ,2sin ,2cos 2,2sin 2,P Q αααα因此()cos cos 2,sin sin 2M αααα++，M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2,x y αααα=+⎧⎨=+⎩(02απ<<)．(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d ==(02απ<<)，当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．35．(2012全国文理)已知曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x (ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ．正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π．(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB P A +++的取值范围．【解析】(1)点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ，点,,,A B C D 的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)----．(2)设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，222222004416t PA PB PC PD x y =+++=++23220sin [32,52]ϕ=+∈．36．(2011全国文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =uuu v uuuv，P 点的轨迹为曲线2C (Ⅰ)求2C 的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB ．【解析】(I)设(,)P x y ，则由条件知M(,22x y)．由于M 点在1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩，从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=．射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=，射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin 3πρ=．所以21||||23AB ρρ-==。

极坐标与参数方程含答案

极坐标系与参数方程一．高考真题1．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值（ C ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-2.在极坐标系中，圆心在()2，π且过极点的圆的方程为（ B ）A.ρθ=22cosB.ρθ=-22c o sC.ρθ=22sinD.ρθ=-22s i n3.极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝ 12的图形是( B )A.C.D.4.极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是（ D ）A ．两条相交直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线5．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ=3，则点(2，π/6)到直线l 的距离为 2 ．6．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（ B ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）27.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)(33R t t y t x ∈⎩⎨⎧-=+=参数，圆C 的参数方程为[])20(2sin 2cos 2πθθθ，参数∈⎩⎨⎧+==y x ，则圆C 的圆心坐标为（0,2），圆心到直线l 的距离为22.二．极坐标与参数方程知识点回顾及练习(一)极坐标1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x x y yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩ 的作用下,点(,)P x y 对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.例1：在平面直角坐标系中，方程1y x 22=+所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧='='3y y 2x,x 后的图形所对应的方程是19422='+'y x .例2：在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy 3x,x 后，曲线C 变为曲线9y 9x 22='+'，则曲线C 的方程是122=+y x例3：在同一平面直角坐标系中，使曲线2sin3x y =变为曲线sinx y =的伸缩变换是⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 2132.极坐标系的概念如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ；以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对（，）叫做点M 的极坐标.例1：极坐标系中，点M )4,4(π表示的意思是在正方向45°处的距极点距离为4的点。

极坐标与参数方程专项训练及详细答案

一．选择题（共4小题）1．在极坐标系中，圆C ：ρ2+k 2cos ρ+ρsin θ﹣k=0关于直线l ：θ=（ρ∈R ）对称的充要条件是（）2．过点A （4，﹣）引圆ρ=4sin θ的一条切线，则切线长为（）． B C二．填空题（共11小题） 5．极坐标系下，直线与圆的公共点个数是 __ ．6．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 1、C 2的极坐标方程分别为，，则曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的最远距离为 _________ ．7．在极坐标系中，点M （4，）到直线l ：ρ（2cos θ+sin θ）=4的距离d= _________ ． 8．极坐标方程所表示曲线的直角坐标方程是 _________ ．9．已知直线（t 为参数）与曲线（y ﹣2）2﹣x 2=1相交于A ，B 两点，则点M （﹣1，2）到弦AB 的中点的距离为 _________ ． 10．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程是ρ=6sin θ，以极点为坐标原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是为参数），则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为 _________ ． 11．（坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：psin 2θ=2acos θ（a ＞0），过点P （﹣2，﹣4）的直线l 的参数方程为，直线l 与曲线C 分别交于M 、N ．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则实数a 的值为_________ ．12．已知曲线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的交点为A ，B ，，则|AB|=13．在平面直角坐标下，曲线，曲，若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a 的取值范围为 _________ ．14．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为．（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为，求|PA|+|PB|．15．已知过定点P （﹣1，0）的直线l ：（其中t 为参数）与圆：x 2+y 2﹣2x ﹣4y+4=0交于M ，N 两点，则PM ．PN= _________ ．三．解答题（共3小题）16．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C 的参数方程为．以直角坐标系原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．点P为曲线C上的一个动点，求点P到直线l距离的最小值．17．在平面直角坐标系xOy中，圆C 的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆圆C相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．18．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．在极坐标系中，圆C：ρ2+k2cosρ+ρsinθ﹣k=0关于直线l：θ=（ρ∈R）对称的充要条件是（）在直线所以，即2．过点A（4，﹣）引圆ρ=4sinθ的一条切线，则切线长为（），运算求得结果．）即==43．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（﹣1，1），若取原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建（|OP|=﹣．∴圆心的极坐标二．填空题（共11小题）5．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线与圆的公共点个数是1．解：直线，即x+y=圆心到直线的距离等于=6．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 1、C 2的极坐标方程分别为，，则曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的最远距离为．d=|CQ||PQ|=d+r=故答案为：7．（2004•上海）在极坐标系中，点M （4，）到直线l ：ρ（2cos θ+sin θ）=4的距离d=．，）化成直角坐标方程为（）==故填：8．极坐标方程所表示曲线的直角坐标方程是．解：∵极坐标方程=59．已知直线（t 为参数）与曲线（y ﹣2）2﹣x 2=1相交于A ，B 两点，则点M （﹣1，2）到弦AB 的中点的距离为．=，，根据中点坐标的性质可得中点对应的参数为中点的距离为×…故答案为：．10．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程是ρ=6sin θ，以极点为坐标原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是为参数），则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为 4 ．，我们可以求出直线的一般方程，代入点到圆心距为．所以11．（坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：psin 2θ=2acos θ（a ＞0），过点P （﹣2，﹣4）的直线l 的参数方程为，直线l 与曲线C 分别交于M 、N ．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则实数a 的值为1 ．2|x 则由•，|x |x 12．已知曲线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的交点为A ，B ，，则|AB|=．解：把曲线化为普通方程得：=，即把曲线联立得：，消去，﹣．213．在平面直角坐标下，曲线，曲线，若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a 的取值范围为．解：曲线曲线∴，﹣22，故答案为：14．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为．（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为，求|PA|+|PB|．的方程为∴的直角坐标方程：（Ⅱ），即由于所以15．已知过定点P （﹣1，0）的直线l ：（其中t 为参数）与圆：x 2+y 2﹣2x ﹣4y+4=0交于M ，N 两点，则PM ．PN= 7 ．（其中×t=7=0三．解答题（共3小题）16．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为．以直角坐标系原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．点P为曲线C 上的一个动点，求点P 到直线l 距离的最小值．）=2化简为：ρ，即===﹣17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（θ为参数），直线l 经过点P （1，1），倾斜角，（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆圆C 相交与两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．化为普通方程为，把直线，∴18．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．的距离为=。

极坐标和参数方程真题卷(含答案)

2015级《极坐标和参数方程》真题卷班级___________________________1．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧⎪⎨=⎪⎩，为参数，.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+= .（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标.2．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y 2=25.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，∣AB ∣求l 的斜率.3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cosθ. （Ⅰ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a.4．在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M,N ,求2C MN ∆的面积.5．在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）．求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）．若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．6．已知曲线221:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值．7．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈．（1）求C 得参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标．8．已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ。

极坐标参数方程大题真题

1．(2017·全国Ⅲ理，22)[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．2．(2017·全国Ⅱ理，22)[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．3．(2017·全国Ⅰ理，22)[选修4-4，坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)． (1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a .4．(2016·全国Ⅲ，23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标系方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．5．(2016·全国Ⅱ理，23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．6．(2016·全国Ⅰ理，23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .7．（本小题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=。

专题21极坐标与参数方程【2023高考】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题21 极坐标与参数方程一、解答题1．(2022年全国甲卷理科·第22题)在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为26t x y +⎧=⎪⎨⎪=⎩(t 为参数)，曲线2C的参数方程为26s x y +⎧=-⎪⎨⎪=⎩(s 为参数)．(1)写出1C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2cos sin 0θθ-=，求3C 与1C 交点的直角坐标，及3C 与2C 交点的直角坐标．【答案】(1)()2620y x y =-≥；(2)31,C C 的交点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，()1,2，32,C C 的交点坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()1,2--．解析：(1)因为26t x +=，y ，所以226y x +=，即1C 的普通方程为()2620y x y =-≥．(2)因为2,6sx y +=-=262x y =--，即2C 的普通方程为()2620y x y =--≤，由2cos sin 02cos sin 0θθρθρθ-=⇒-=，即3C 的普通方程为20x y -=．联立()262020y x y x y ⎧=-≥⎪⎨-=⎪⎩，解得：121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或12x y =⎧⎨=⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,2；联立()262020y x y x y ⎧=--≤⎪⎨-=⎪⎩，解得：121x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()1,2--．【题目栏目】选修部分\坐标系与参数方程\圆锥曲线的参数方程及其应用【题目来源】2022年全国甲卷理科·第22题2．(2022年全国乙卷理科·第22题)在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2sin x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=．(1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．【答案】20++=y m(2)195122-≤≤m 解析：【小问1详解】因为l ：sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=，所以1sin cos 02ρθρθ⋅⋅+=m ，又因为sin ,cos y x ρθρθ⋅=⋅=，所以化简为102+=y x m ，整理得l 20++=y m 【小问2详解】联立l 与C 的方程，即将s 2=x t ，2sin y t =代入20++=y m 中，可得3cos 22sin 20++=t t m ，所以23(12sin )2sin 20-++=t t ，化简为26sin 2sin 320-+++=t t m ，要使l 与C 有公共点，则226sin 2sin 3=--m t t 有解，令sin =t a ，则[]1,1a ∈-，令2()623=--f a aa ，(11)a -≤≤，对称轴为16a =，开口向上，所以(1)623()5=-=+-=m a x f f a ，min 11219(()36666==--=-f f a ，所以19256-≤≤m m 的取值范围为195122-≤≤m ．【题目栏目】选修部分\坐标系与参数方程\直线的参数方程及其应用【题目来源】2022年全国乙卷理科·第22题3．(2021年高考全国乙卷理科·第22题)在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为()2,1C ，半径为1．(1)写出C 的一个参数方程;(2)过点()4,1F 作C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．【答案】(1)2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，(α为参数)；(2)2cos(43πρθ+=2cos()43πρθ-=+解析：(1)由题意，C 的普通方程为22(2)(1)1x y -+-=，所以C 参数方程为2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，(α为参数)(2)由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为1(4)y k x -=-，即140kx y k -+-=，由圆心到直线的距离等于11=，解得k =330y -+-=330y +--=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入化简得2cos(43πρθ+=2cos()43πρθ-=+【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题．【题目栏目】选修部分\坐标系与参数方程\圆的参数方程及其应用【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第22题4．(2021年高考全国甲卷理科·第22题)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρθ=．(1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P满足AP =，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．【答案】(1)(222x y -+=；(2)P 的轨迹1C的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，C 与1C 的的没有公共点．解析：(1)由曲线C 的极坐标方程ρθ=可得2cos ρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得22x y +=，即(222x y -+=，即曲线C 的直角坐标方程为(222x y +=；(2)设(),P x y ，设)MθθAP = ，())()1,22cos 2sin x y θθθθ∴-=-=+，则122cos 2sin x y θθ⎧-=+⎪⎨=⎪⎩32cos 2sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，故P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)曲线C 的圆心为)，曲线1C 的圆心为()3，半径为2，则圆心距为3-，32-< ，∴两圆内含，故曲线C 与1C 没有公共点．【题目栏目】选修部分\坐标系与参数方程\极坐标和直角坐标的互化【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第22题5．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第22题)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．(1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．【答案】(1)曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；(2)11(,44．【解析】(1)当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x tt y t =⎧⎨=⎩为参数)，两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；(2)当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos (sin x tt y t⎧=⎨=⎩为参数)，所以0,0x y ≥≥，曲线1C的参数方程化为22cos (sin tt t==为参数)，两式相加得曲线1C1+=，1=-，平方得1,01,01y x x y =-+≤≤≤≤，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=，联立12,C C方程141630y x x y ⎧=-+⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -+=12=136=(舍去)，11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为11(,44．【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题．【题目栏目】选修部分\坐标系与参数方程\参数方程与普通方程的互化【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第22题6．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第22题)已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，(θ为参数)，C 2：1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)．(1)将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1，C 2交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．的【答案】(1)1:4C x y +=；222:4C x y -=；(2)17cos 5ρθ=．解析：(1)由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=；由11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=．(2)由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其中0a >，则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =，∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=，∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=．【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化【题目栏目】选修部分\坐标系与参数方程\圆的参数方程及其应用【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第22题7．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第22题)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t⎧=--⎨=-+⎩(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A 、B 两点．(1)求||AB ；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【答案】(1)(2)3cos sin 120ρθρθ-+=解析：(1)令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =(舍)，则26412y =++=，即(0,12)A ．令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =(舍)，则2244x =--=-，即(4,0)B -．AB ∴==；(2)由(1)可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=．由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=．【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题．【题目栏目】选修部分\坐标系与参数方程\极坐标方程的应用【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第22题8．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第22题)如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC，曲线3M 是弧 CD ．(1)分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；(2)曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】(1)12cos (0)4M πρθθ=：≤≤,232sin ()44M ππρθθ=：≤≤,332cos ()4M πρθθπ=-：≤≤；(2)6π或)3π或23π或5)6π【官方解析】(1)由题设可得， ,,ABBC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ,2sin ,2cos ρθρθρθ===-．所以1M 的极坐标方程为2cos (0)4πρθθ=≤≤，2M 的极坐标方程为32sin ()44ππρθθ=≤≤，3M 的极坐标方程为32cos ()4πρθθπ=-≤≤．(2)设(,)P ρθ，由题设及(1)知若04πθ……，则2cos θ=，解得6πθ=；若344ππθ……，则2sin θ=，解得3πθ=或23πθ=；若34πθπ……，则2cos θ-=，解得56πθ=．综上P的极坐标为6π或)3π或2)3π或56π．【点评】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．【题目栏目】选修部分\坐标系与参数方程\极坐标方程的应用【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第22题9．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第22题)在极坐标系中，O 为极点，点()00,M ρθ()00ρ>在曲线:C 4sin ρθ=上，直线l 过点且与OM 垂直，垂足为P ．()1当03πθ=时，求0ρ及l 的极坐标方程；()2当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【答案】()10ρ=l 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；()24cos ρθ=42ππθ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤.【官方解析】()1因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==.由已知得||||cos23OP OA π==.设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点.在Rt OPQ △中cos 23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，经检验，点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上.所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.()2设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，cos 4cos OPOA θθ== ，即 4cos ρθ=.(4,0)A因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π .【分析】()1先由题意，将03πθ=代入4sin ρθ=即可求出0ρ；根据题意求出直线l 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；()2先由题意得到P 点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.【解析】()1因为点()00,M ρθ()00ρ>在曲线:4sin C ρθ=上，所以；即3M π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以tan 3OM k π==因为直线l 过点()4,0A 且与OM 垂直，所以直线l的直角坐标方程为)4y x =-，即40x +-=；因此，其极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，即l 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；()2设(),P x y ，则OP y k x =， 4AP y k x =-，由题意，OP AP ⊥，所以1OP AP k k ⋅=-，故2214y x x=--，整理得2240x y x +-=，因为P 在线段OM 上，M 在C 上运动，所以02x ≤≤，24y ≤≤，所以，P 点轨迹的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos 42ππρθθ⎛⎫=⎪⎝⎭≤≤.【点评】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.【题目栏目】选修部分\坐标系与参数方程\极坐标方程的应用【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第22题10．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第22题)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩(t为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=．004sin 4sin3πρθ===(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】解：(1)因为221111t t --<+≤，且2222222214121(1)y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l的直角坐标方程为2110x +=．(2)由(1)可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数，ππα-<<)．C 上的点到l当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l．【题目栏目】选修部分\坐标系与参数方程\圆锥曲线的参数方程及其应用【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第22题11．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第22题)【选修4—4：坐标系与参数方程】(10分)在直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，过点(0,，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交,A B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【答案】【官方解析】(1)O ⊙的直角坐标方程为221x y +=当π2α=时，l 与O ⊙交于两点；当π2α≠时，tan k α=，则l的方程为y kx =-l 与O ⊙1<，解得1k <-或1k >，即ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或π3π,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．综上可知α的取值范围为3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭(2)l的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数，π3π44α<<)设,,A B P 对应的参数分别为,,A B P t t t ，则2A B P t t t +=，且A t ，B t满足2sin 10t α-+=于是A B t t α+=，P t α=，又点P 的坐标(),x y满足cos sin P P x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩所以点P的轨迹的参数方程是22x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(α为参数，π3π44α<<)【民间解析】(1)由O ⊙的参数方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，消去参数θ，可得O ⊙：221x y +=当2πα=时，直线:0l x =显然与O ⊙：221x y +=有两个交点当2πα≠时，可设直线:l y kx =由直线l 与O ⊙交,A B两点，可得1O l d -，解得21k >，所以1k >或1k <-又tan k α=，且[)0,απ∈，所以42ππα<<或324ππα<<综上可知α的取值范围为3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭(2)法一：记(0,M ，设(),P x y ，连结OP ，则有MP OP⊥所以0MP OP ⋅=，所以((),,0x y x y +⋅=即220x y ++=即2212x y ⎛+= ⎝①此外点P 必须在圆O ⊙：221x y +=内所以221x y +<②所以1<，即y >所以AB 中点P的轨迹方程为2212x y y ⎛⎛++=> ⎝⎝所以AB 中点P的轨迹方程的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，(θ为参数，且0θπ<<)法二：可设(:cot l x y α=+，()()1122,,,A x y B x y ，()00,P x y联立(221cot x y x y α⎧+=⎪⎨=⎪⎩，消去x，(222cot 1y y α+=整理可得()22221cot cot 2cot 10y ααα+++-=由根与系数的关系得12y y +=1202y y y +==所以120cot 1cot 22x x x αα⎛+ ++⎝⎭====所以点P的轨迹的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩其中α为参数，且3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭)．【题目栏目】选修部分\坐标系与参数方程\直线的参数方程及其应用【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第22题12．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第22题)[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,x θy θ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，直线l 的参数方程为1cos ,2sin ,x t αy t α=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．【答案】解析：(1)曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-，当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．(2)将l 的参数方程带入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=．又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．【题目栏目】选修部分\坐标系与参数方程\直线的参数方程及其应用【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第22题13．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第22题)[选修4–4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．(1)求2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．【答案】解析：(1)由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．(2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+．【题目栏目】选修部分\坐标系与参数方程\极坐标和直角坐标的互化【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第22题14．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第22题)[选修4―4:坐标系与参数方程]在直角坐标系中,曲线xOy C的参数方程为(为参数),直线l 的参数方程为．(1)若,求与的交点坐标;(2)若上的点到,求．【答案】(1)与的交点坐标为,;(2)或．【分析】(1)先将曲线和直线l 化成普通方程,然后联立求出交点坐标;(2)直线的普通方程为,设上的点,的距离为．对进行讨论,分和两种情况,求出的值．【解析】(1)曲线的普通方程为．当时,直线的普通方程为．由解得或．从而与的交点坐标为,． (2)直线的普通方程为,故上的点到的距离为．当时,所以; 当时,,所以．综上,或．【考点】考查直角坐标方程与极坐标方程的互化,参数方程与普通方程的互化,直线与曲线的位置关系【点评】化参数方程为普通方程主要是消参,可以利用加减消元、平方消元、代入法等等;在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题,通常将极坐标方程化为直角坐标方程,参数方程化为普通方程来解决．【题目栏目】选修部分\坐标系与参数方程\圆锥曲线的参数方程及其应用3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩θ41x a ty t =+⎧⎨=-⎩1a =-C l C l a C l ()3,02124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭8a =16a =-C l 440x y a +--=C (3cos ,sin )θθl d =a 4a ≥-4a <-a C 2219x y +=1a =-430x y +-=2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩30x y =⎧⎨=⎩21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C (3,0)2124,)2525440x y a +--=C (3cos ,sin )θθd =4a ≥-d =8a =4a <-d =16a =-8a =16a =-【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第22题15．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第22题)在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数)．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．(1)写出的普通方程；(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径．【答案】(Ⅰ)(1)由直线的参数方程为(为参数)，可得由直线的参数方程为(为参数)，可得联立，的方程，消去参数可得：即当时，，此时两直线没有交点所以曲线的普通方程为：．(2)法一：将代入，可得曲线的极坐标方程为：联立曲线与的极坐标方程整理可得所以点xOy 1l 2x ty kt=+⎧⎨=⎩t 2l 2x m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩m 1l 2l P k P C C x ()3:cos sin 0l ρθθ+=M 3l C M ()2240x y y -=≠1l 2x ty kt=+⎧⎨=⎩t ()1:2l y k x =-2l 2x mmy k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩m 22:x l y k +=1l 2l k 224y x =-224x y -=0y =0,0m t ==C 224x y -=()0y ≠cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩224x y -=C ()()2cos sin cos sin 4ρθθθθ-+=C 3l ()()()2cos sin cos sin 4cos sin 0ρθθθθρθθ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩()()cos sin cos sin ρθθρθθ⎧-=⎪⇒⎨+=⎪⎩()()2222cos sin cos sin 10ρθθρθθ⇒-++=2210ρρ=⇒=M法二：将代入，可得联立方程故的直角坐标为，所以．故点【考点】参数方程与普通方程的互化；极坐标中的极径的求解【点评】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．【题目栏目】选修部分\坐标系与参数方程\极坐标方程的应用【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第22题16．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第22题)[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)为曲线上的动点，点在线段上，且满足,求点的轨迹的直角坐标方程；(2)设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．【答案】【命题意图】坐标系与参数方程，求动点的轨迹方程，三角函数【基本解法】(1)解法一：设点在极坐标下坐标为由可得点的坐标为，代入曲线的极坐标方程，得：，即，两边同乘以，化成直角坐标方程为：，由题意知，所以检验得．解法二：设点在直角坐标系下坐标为，曲线的直角坐标方程为，因为三点cos sin xyρθρθ=⎧⎨=⎩()3:cos sin 0l ρθθ+=3:l x y +=224x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩x y x y ⎧-=⎪⇒⎨+=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩M OM ==M xOy x 1C cos 4ρθ=M 1C P OM ||||16OM OP ⋅=P 2C A (2,)3πB 2C OAB ∆P (),ρθ16OM OP ⋅=M 16,θρ⎛⎫⎪⎝⎭1C 16cos 4θρ=4cos ρθ=ρ224x y x +=0ρ>224(0)x y x x +=≠P (),x y 1C 4x =,,O P M共线，所以点的坐标为，代入条件得：，因为，化简得：．(2)解法一：由(1)知曲线的极坐标方程为，故可设点坐标为，由得，即最大值为．解法二：在直角坐标系中，点坐标为，直线．设点点坐标，则点到直线的距离所以坐标满足方程，由柯西不等式得：，即即由解法三：前面同解法二，坐标满足方程，故可设的坐标，即．M 44,y x ⎛⎫⎪⎝⎭16OM OP ⋅=16=0x >224(0)xy x x +=≠2C 4cos ρθ=B (4cos ,)θθ2124cos sin(2sin 2sin 223OAB S πθθθθθ∆=⋅⋅⋅---2sin(23πθ=--+22ππθ-≤≤2OAB S ∆≤+2A OA 0y -=B (,)x y B OA d 122OABS d ∆=⋅⋅B 22(2)4x y -+=2222(2)(1)2)x y x y ⎤⎤⎡⎤-++-≥--⎣⎦⎦⎥⎦42)4x y -≤--≤44y -+≤-≤+OAB S ∆2OAB S ∆≤+122OABS d ∆=⋅⋅B 22(2)4x y -+=B (22cos ,2sin )αα+2OABS ∆【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程；三角形面积的最值。

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1.（2019江苏）在极坐标系中，已知两
点3,
,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭
，直线l 的方程为sin 34
ρθπ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
.
（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.
2．(2018江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为π
sin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，
求直线l 被曲线C 截得的弦长．
3．（2017江苏）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82
x t t
y =-+⎧⎪
⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C
的参数方程为2
2x s
y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直
线l 的距离的最小值．
（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．
4．（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为()11,2,x t t y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩为参数，
椭圆C 的参数方程为()cos ,
2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩
为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线
段AB 的长．
5．（2015江苏）已知圆C
的极坐标方程为2sin()404
π
ρθ+--=，求圆C 的半径.
答案部分
1、解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，
4π），B
，2
π
），由余弦定理，得AB
=（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l
过点)2π，倾斜角为
34
π．
又)2B π，所以点B 到直线l
的距离为3sin(
)242
ππ
⨯-=. 2、因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为(2,0)，直径为4的圆．
因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过(4,0)A ，倾斜角为π
6，
所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π
6
．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =
π2
，
O
l
所以π
4cos
6
AB ==l
被曲线C 截得的弦长为 3．直线l 的普通方程为280x y -+=.
因为点P
在曲线C 上，设2(2,)P s ，从而点P
到直线l
的的距离22d =
=，
当
s =
min 5
d =
. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P
到直线l 的距离取到最小值
5
.
4、椭圆C 的普通方程为22
14y x +=，将直线l
的参数方程112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2
2
14y
x +
=
，得2
2)12(1)12
4
t ++=，即27160t t +=，解得10t =，2167t =-
.所以1216
||7
AB t t =-=. 5、以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐
标系xoy ．
圆C
的极坐标方程为2
40ρθθ⎫+--=⎪⎪⎝⎭
，
化简，得2
2sin 2cos 40ρρθρθ+--=．。