二元一次不等式表示平面区域

⒉ 教材的重点、难点和关键
重点：二元一次不等式表示平面区域。
难点：准确理解和判断二元一次不等式所表示的平面 区域在直线的哪一侧。 关键：用数形结合的思想方法，帮助学生用集合的观 点和语言来分析和描述几何图形，用“代点法”并结合 多媒体课件动态演示突破难点。
二、学情分析和学法指导
1、高二学生通过不等式和本章前三节学习，对解析 几何的理性思维能力已经初步形成，具备了用代数方 法（坐标、方程）讨论图形性质的能力。 2、引导学生参与整个教学过程，合作学习、交流讨论、 自主探究、归纳总结得出结论。
(1)、学生交流合作、积极探索猜想。既调 的左下方的平面区域。 2 x y 100 0动了积极性，又培养了逻辑思维能力和 创造力。
以二元一次不等式 2 x y 100 0 的解为坐标的点的集合
(2) 、多媒体动态模拟演示，有助于学生在 {(x，y)| 2 x y 100 0}是在直线 2 x y 100 0 的右上方的 感性认识的基础上形成理性认识。
例一 … 例二 …
课后思考题 …
评价和说明
• 1、这节课安排了提出问题、创设情境；尝试探求，归纳猜想； 交流合作、解决问题；归纳总结、揭示新知；应用新知、练习巩 固；小结作业，问题创新等环节。整堂课围绕集合、化归、数形 结合的数学思想方法这一主题来展开的。 • 2、着重培养学生掌握数学的基本思想和提高学生的能力是设计 这堂课的出发点。 • 3、教学中注意应用建构主义的数学学习理论，引导认知主体积 极参与到探索、发现、讨论、交流的学习活动中去，使课堂教学 成为学生亲自参与的充满丰富生动的数学思维活动的场所。 • 4、教学中采用多媒体的手段，利用几何画板软件制作CAI课件， 画面丰富生动，使学生的多种感官获得外部刺激，有利于完善认 知结构。 • 5、时间大致安排：创设情境引入课题约3分钟，尝试探求，归纳 猜想约7分钟，交流合作、解决问题约10分钟，归纳总结、揭示 新知约5分钟，应用新知、练习巩固约15分钟，小结作业，问题 创新约5分钟，依据上课的具体情况可进行适当的调整。
问题4的设计目的在于让学生主动思考边界直线的实与虚不 所表示的平面区域时，此区域包括边界直线，应把边界直线画成实线。 同的表示含义，从而有效的突破这个易错点。
问题5：直线 Ax By C 0
符号如何？
同一侧所有的点（x，y）代入 Ax By C 所得实数
问题6：如何判断
Ax By C 0 表示直线 Ax By C 0 哪一侧平面区域？
5、应用新知、练习巩固
例1、画出不等式
2 x 3 y 6 0 表示的平面区域
设计以下几个问题: (1)、不等式表示的区域是在哪条直线的一侧？这条直线是画实线还是虚线？为什么？ (2)、运用代点法判断平面区域的位置时取哪个特殊点代入较好?
变式训练：画出不等式 3 y 2 x 表示的平面区域
结论：一般地，二元一次不等式 Ax By C 0在平面直角坐标系中表示直线
Ax By C 0 某一侧所有点组成的平面区域。
问题4： Ax By C 0
表示的平面区域与 Ax By C 0 表示的平面区域
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
有何不同？如何体现这种区别？
总结：我们把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线。画不等式 Ax By C 0
提出问题 创设情境
尝试探求 归纳猜想
交流合作 解决问题
小结作业 问题创新
应用新知 练习巩固
归纳总结 揭示新知
1、提出问题、创设情境 问题1：我们班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元 和1元的大、小彩球装点联欢晚会的会场，根据需要，大 球数不少于10个，小球数不少于20个，请你给出几种不同 的购买方案？ 学生列式: 设购买大球x个，小球y个
几何画板演示
练习:
学生自行练习，教师巡视，收集练习 中出现的典型错误，利用实物投影进 行集体订正。
1、画出下列不等式表示的平面区域（课本练习）： （1）x－y +1<0 （3）2x +5y≥0
2、画出下列不等式组表示的平面区域（课本练习）：
y x (1) x 2 y 4 y 2 x 3 2 y x (2) 3x 2 y 6 3 y x 9
(2)、多媒体动态地显示了公共平面区域的形成过程，加强了直观 性和生动性。 O 设计以下几个问题:
(1)、不等式组表示的平面区域如何确定？ (各个不等式表示的平面区域的交集即公共部分) x N , y N 呢？(回到本课开始的问题1) (2)、如果增加条件
(是上述平面区域内的整点构成的) 最后，多媒体演示平面区域的形成。
备课不只是对知识和教学过程的准备， 也包括对学情的分析掌握和学法指导。 二者的和谐统一是提高教学效果的基本 要求。
三、教学目标分析
从知识、能力和情感态度三个维度分析学 生的基础、优势和不足，是制定教学目标 1、知识目标：二元一次不等式（组）表示平面区域。 的重要依据。这里避免使用“使学生掌握 …”、“使学生学会…”等通常字眼，体现 了学生的主体地位和新教材新理念。 2、能力目标：进一步巩固数形结合、分类讨论、化归的
y
Po(xo,yo) P(x,y)
x x0 , y y0 ,
2x y 100 2x0 y0 100 0, 空（思维空间），让主体主动构建自己的 o 先取直线右上方平面区域的 x 2 x 认知结构，培养学生的创造力”是建构主 y 100 0 即 任意一点，再过该点作Y轴的 2x+y-100=0 义理论的学习观。 垂线，得到直线L上与该点有 所以，对于直线 2 x y 100 0 右上方的任意点P (x，y)， （2） 、学生分组探索解决问题，有利于培养良好 2 x y 100 相同纵坐标的点，这个思路 0 都成立。 的学习习惯，通过合作学习，提高分析和解决 符合学生的思维习惯，从而 2 问题的能力，变“学会”为“会学”。充分保 同理，对于直线 2 x y 100 0 左下方的任意点P (x，y)， x y 100 0 突破了证明的难点！
y
o
x
教材分析
学情分析 学法指导
教学目标
教学方法 教学手段 教学过程
一、教材分析
⒈ 教材的地位和作用
线性规划是是新教材中新增内容，是学生对 不等式、直线方程知识的深化和综合应用。二元 一次不等式表示平面区域是线性规划三个课时中 的第一课时，是后续学习“图解法”解决简单线 性规划问题的基础，并有助于下一章点与圆锥曲 线的位置关系的学习和理解。起着承上启下的作 用。 本节内容体现了数学的工具性、应用性，同 时渗透了数形结合、分类讨论、化归的数学思想。
（引导学生思考取何特殊点？） 多媒体演示平面区域的形成。
变式的设计是对过原点 的直线取特殊点问题的 一个补充！
例2、画出不等式组表示的平面区域。
y
2 x y 100 0 x 10 (1)、精心设计了阶梯型的问题，层层设疑，学生积极参与到教学 活动中，思维层层深入。 y 20 x
障学生的主体地位。 都成立。 猜想得证! (证明时过P点做垂直于X轴的直线是否可行？此问题交由学生课后思考)
所以, 2x y 2x0 y0 , （ 1 ）、“给学生提供活动的时（思维时间） 对课本的证明进行了改进。
。
4、归纳总结、揭示新知
对于一般的二元一次不等式，由学生自行归纳总结，不要求证明。
2 x y 100 2 x y 100 0 x 10 通过思考，相继得到许多不同的解： x 10 x 20 x 30 x 35 y 20 …… y 20 y 30 y 30 y 29 x N 上述各个解都满足 2 x y 100 0 y N
2、尝试探求，归纳猜想
几何画板演示
针对问题3，学生展开积极的分组交流探索活动，教师适时用 几何画板演示，引导学生观察随着动点P(xp，yp）的变化， 2 x p y 100 的数值变化情况，最后师生共同归纳并猜想： p
在平面直角坐标系中，以二元一次不等式 2 x y 100 0 的解为坐标的点的集合{(x，y)| 2 x y 100 0 }是在直线
作业: 1、P65习题7.4 第1题 2、研究性作业：我看“03年江苏高考数学卷错题风波” 文章见http://news.sohu.com/42/33/news212343342.shtml
附:板书设计
课题：§7.4.1 二元一次不等式表示平面区域
用二元一次不等式 表示平面区域 1.判断方法 … 1.注意事项 …
6、小结作业、问题创新
由学生归纳本节学习内容。 1、二元一次不等式（组）表示平面区域 课后思考题的设计，提出了在问题1的线性约束条件下， 2、画二元一次不等式表示的平面区域的方法: 求X+Y的最大值问题，为下一节课最优解的解决预设了 问题。 “直线定界，特殊点定域”
研究性作业的设计一方面是为了深化直线方程和二元一 不等式组表示平面区域的知识，另一方面培养学生独立 课后思考题： 思考，敢于挑战权威的科学品质，同时也是网络环境下 开展研究性学习的一次尝试，满足了学有余力的学生的 在问题1的条件下，大、小彩球最多可以买几个？ 需要。
1 、教学方法： 创设问题情境，采用探索讨论法进行教学，学生主动 参与提出问题、探索问题和解决问题的过程，突出以学生 为主体的探究性学习活动。 2、教学手段： 借助计算机在图形动态演示方面的优势，实现计算机 辅助教学。采用实物投影，对课堂练习进行反馈与校正。
五、教学过程
教学流程图：
以“模块”为基本单元，从问题引入到猜 想证明，从归纳新知到练习巩固，以问题 开始，以新的问题结束，环环相扣，逐层 深入，构成一个开放的回路。
数学思想，培养识图、画图的能力和探究问题的能力。 3、情感目标：体验成功的快乐，激发学习的兴趣。
四、教学方法和教学手段
建构主义认为，知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用 过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展。元认知理 论指出，学习过程既是认识过程又是情感过程，是“知、情、意、行”的 和谐统一。遵循教师为主导，学生为主体的教学原则，体现知识为载体， 思维为主线，能力为目标的教学思想，确定以下教学方法和教学手段：
(1)、启发诱导，揭示知识形成过程，让学生参与教学过程，倡导布 引导学生探索分析对于直线 Ax By C 0 同一侧的所有点(x , y) ，把坐标(x , y) 鲁纳的发现教学：让学生做学习的主人。 代入 Ax By C ，所得到实数的符号都相同，所以只需要在直线的某一侧取一个 (2)、通过前面对一个具体实例的求解，归纳总结得出一般结论，遵 特殊点(x0 , 循了从“具体到抽象”的认知规律，蕴含了从“特殊到一般” 0 y0)，从 A x0 B y 0 C 的正负即可判断不等式 Ax By C 的推理方法。 表示直线哪一侧的平面区域。一般把特殊点取为坐标原点，这种方法称为代点法. (3)、及时梳理归纳，符合建构主义的学习原理，能较好地形成新的 认知结构。代点法的引入，“直线定界，特殊点定域”，难点 的突破也就水到渠成了。 概括为：画二元一次不等式表示的平面区域的方法为“直线定界，特殊点定域” 特别地，当 C 0 时，常把原点作为特殊点，即“直线定界、原点定域”。
问题2： 平面直角坐标系内的点被直线2x y 100 0 分为哪三类？以上述解为坐标的点分布在 哪个区域？ 问题3： 直线 2x y 100 0 右上方的平面区域如何 表示？左下方的平面区域呢？
问题2与问题3意在建构新知与旧知之间的知识链，寻找学 习新知的思维的生长点。 问题是数学的“心脏”，是数学知识、能力发展的生长点 和思维的动力，把问题作为教学出发点，有利于激发学生 学数学、用数学的兴趣。
平面区域。
3、交流合作、解决问题
学生分组探索证明猜想，教师巡视参与讨论，并适时进行点拨指导。挑选 一个小组，通过实物投影展示他们对猜想的证明方案。（师生共同进行完 善修正）
证明：在直线 l : 2x y 100 0 右上方任取一点P(x，y)，过P点作垂直于y 轴的直线
y y0 交直线 l 于点Po ( x0 , y0 )。此时有